Свойства типа линделёфовости и топологические произведения

Содержание

• Терминология и обозначения
• Глава 1. Слабая линделефовость и квазилинде-лефовость
  • 1. Слабо линделефовы пространства
  • 2. Квазилинделефовы пространства
• Глава 2. Линейная линделефовость и о-линде-лефовость
  • 1. Линейно линделефовы и инициально компактные пространства
  • 2. о-линделефовы и о-компактные пространства
• Заключительные замечания и нерешенные задачи
• Свойство Линделефа является классическим обобщением компактности. Определение линделефова пространства было дано П. С. Александровым и П. С. Урысоном [1]

0.1. Определение. Топологическое пространство называется финально компактным, если каждое его открытое покрытие содержит счетное подпокрытие. Регулярное финально компактное пространство называется линделефовым.

Каждое линделефово пространство нормально и паракомпактно [20].

Важность класса линделефовых пространств связана, в частности, и с тем, что он одновременно охватывает класс сепарабельных метрических пространств и класс компактов. Но в отличие от компактности, которая сохраняется любыми произведениями (теорема Тихонова [28], один из фундаментальных результатов общей топологии), и в отличие от сепарабельности и метризуемости, которая сохраняется конечными произведениями, произведение двух линделефовых пространств уже не обязано быть линделефовым. Классическим примером такого пространства является «стрелка Зоргенфрея» [27]. Особое значение поэтому приобретает вопрос об условиях, при которых линделефовость и ее обобщения сохраняются при (хотя бы конечных) произведениях.

Переходя к положительным результатам о произведениях линделефовых пространств, отметим следующее простое предложение:

0.2. Теорема. Произведение линделефова пространства и линделефова локально компактного пространства является линделефовым.

Отметим, что локальную компактность в последней теореме нельзя заменить полнотой по Чеху, поскольку при дополнительных теоретико-множественных предположениях ([19] при СН, [8] при MA) существует линделефово пространство, произведение которого на пространство иррациональных чисел не является линделефовым. Однако, если полными по Чеху оказываются оба сомножителя, то произведение будет линделефовым. Это верно и для счетных произведений:

0.3. Теорема. [15], [13]. Произведение счетного семейства полных по Чеху линделефовых пространств является (полным по Чеху) линделефовым пространством.

В работе [2] А. В. Архангельским было введено понятие перистого пространства (или р-пространства):

0.4. Определение. Тихоновское пространство X называется р-про-странством, если для некоторой (а тогда и для любой) хаусдорфо-вой компактификации сХ пространства X найдется счетное семейство {7п: n G со} покрытий множества X открытыми в сХ множествами, такое, что для любой точки х G X имеет место включение n{St (x, 7n): n € со} С X, где St (x, 7n) = U{U G yn: ж G U}.

Класс р-пространств содержит все метризуемые и все полные по Чеху пространства. Все локально полные по Чеху пространства являются^{-пространствами.} Справедливо следующее усиление теоремы 0.3:

0.5. Теорема. [2] Произведение счетного семейства линделефовых р-пространств линделефово.

Однако, как показал Э. Майкл [19], произведение сепарабельного метрического пространства и линделефова пространства не обязано быть линделефовым пространством. Тем более, произведение линделефова пространства и линделефова р-пространства не обязано быть линделе-фовым.

Еще один класс линделефовых пространств выделил в [22] К. Нагами — это так называемые линделефовы Е-пространства. Линделефовы Е-пространства характеризуются тем, что они являются непрерывными образами линделефовых^{-пространств.} Очевидно, из этой характеристики и теоремы 0.5 вытекает

0.6. Теорема. Произведение счетного семейства линделефовых Е-про-странств линделефово.

В частности, поскольку каждое сг-компактное пространство является линделефовым Е-пространством, то

0.7. Следствие. [17] Произведение счетного семейства ст-компактных пространств является линделефовым пространством.

В диссертации исследуется поведение при операции произведения свойств, обобщающих линделефовость. Все пространства в дальнейшем, если не оговорено противное, будем считать тихоновскими. Первым из таких свойств является слабая линделефовость, определенная в [14]:

0.8. Определение. Пространство X называется слабо линделефовым, если из любого его открытого покрытия можно выделить счетное подсемейство, объединение которого всюду плотно в X.

Класс слабо линделефовых пространств довольно широк, он включает в себя не только все линделефовы пространства, но и все пространства со счетным числом Суслина. Первый пример, показывающий, что слабая линделефовость не сохраняется конечными произведениями, был построен в предположении 2К° = 2Kl Ульмером [29]. Позднее Хайнал и Юхас [16] построили «наивный» пример линделефова пространства, квадрат которого не является слабо линделефовым. Ульмером доказана также следующая теорема:

0.9. Теорема. [29] Произведение бесконечного семейства пространств является слабо линделефовым тогда и только тогда, когда произведение каждого конечного подсемейства этого семейства является слабо линделефовым.

В частности, хотя произведение несчетного семейства линделефо-вых^{-пространств} может не быть линделефовым, оно всегда будет слабо линделефовым ввиду теоремы

0.9. Среди положительных результатов о произведениях слабо линделефовых пространств отметим следующий:

0.10. Теорема. [10] Произведение любого семейства слабо линделефовых Р-нространств является слабо линделефовым.

0.11. Определение. Топологическое пространство X называется Р-пространством, если каждое множество типа G§ в X является открытым.

Аналогичный результат для счетных произведений линделефовых пространств был установлен Н. Ноблом в работе [23]. В § 1 главы 1 будет доказана следующая теорема:

Теорема

1.5. Произведение любого семейства локально полных по Чеху слабо линделефовых пространств является слабо линделефовым.

Некоторым усилением слабой линделефовости является следующее свойство, введенное A.B. Архангельским:

0.12. Определение. [4] Пространство X называется квазилинделефо-вым, если для любого замкнутого подмножества М С X и любого семейства 7 открытых в X множеств, покрывающего М, найдется счетное подсемейство ¡-л С 7 такое, что Ufi D М.

Все пространства со счетным числом Суслина квазилинделефовы.

В классе нормальных пространств квазилинделефовость и слабая лин-делефовость равносильны [4]. Справедливо также следующее утверждение:

Предложение 1.8. Если X — слабо линделефово Р-пространство, то X квазилинделефово.

§ 2 главы 1 посвящен изучению поведения квазилинделефовых пространств при операции произведения. Оказывается, что квазилинделефовость может утрачиваться даже при умножении квазилинделефова пространства X на компакт К. При этом пространство X может быть даже локально компактным (пример 1.11) или нормальным (пример 1.13). Однако, если нормальным является не только пространство X, но и произведение X X К, то тогда X X К будет и квазилинделефовым (теорема 1.14). Своего рода необходимое условие сохранения квази-линделефовости произведениями на компакты дает следующая

Теорема 1.15. Если X — квазилинделефово пространство, и для любого компакта К произведение X X К является квазилинделефовым, то X — линейно линделефово.

Линейная линделефовость обобщает свойство Линделефа несколько в другом направлении. Определение линейно линделефова пространства восходит еще к «Мемуару.» П. С. Александрова и П. С. Урысона [1] (первоначально финально компактными были названы как раз линейно линделефовы пространства). Как известно, компактность пространства X допускает описание как в терминах открытых покрытий (любое открытое покрытие содержит конечное подпокрытие), так и в терминах точек полного накопления (каждое бесконечное подмножество регулярной мощности имеет точку полного накопления). Однако, если рассмотреть ослабленные варианты этих двух равносильных определений компактности («любое открытое покрытие содержит счетное подпокрытие» и «каждое подмножество несчетной регулярной мощности имеет точку полного накопления»), то они уже не будут равносильны. Первое из этих свойств есть свойство Линделефа. Пространства, обладающие вторым свойством, были названы финально компактными в смысле точек полного накопления, а позднее — ввиду следующей характеристики в терминах покрытий — линейно линделе-фовыми:

0.13. Определение. Пространство X называется линейно линделефо-вым, если выполнено одно из следующих равносильных условий:

1) каждое подмножество пространства X, мощность которого является несчетным регулярным кардиналом, имеет точку полного накопления в X-

2) каждая трансфинитная последовательность несчетной регулярной длины, состоящая из элементов пространства X, имеет точку полного накопления в X-

3) каждое открытое покрытие пространства X, линейно (вполне) упорядоченное по включению, содержит счетное подпокрытие.

Первый пример линейно линделефова пространства, которое не является линделефовым, был построен лишь в 1962 году A.C. Мищенко [18]. Недавно Р. З. Бузякова и Грюнхаге независимо построили более простой пример такого пространства [6]. Пространство Бузяковой и Грюнхаге является, кроме того, топологической группой, таким образом, даже в классе топологических групп линейная линделефовость не равносильна свойству Линделефа.

Имеет место следующий результат:

0.14. Теорема. [18],[25] Каждое счетно паракомпактное линеино лин-делефово пространство является линделефовым.

Однако, следующие вопросы остаются открытыми:

0.15. Вопрос. Верно ли, что каждое линейно линделефово нормальное пространство является линделефовым?

0.16. Вопрос. [6] Верно ли, что каждое локально компактное линейно линделефово пространство является линделефовым?

В недавней работе A.B. Архангельского и Р. З. Бузяковой содержится следующий результат:

0.17. Теорема. [7] Каждое локально метризуемое линейно линделефово пространство сепарабельно и метризуемо (а стало быть, линделефово).

Стандартным образом можно доказать, что теорема 0.2 переносится и на случай линейно линделефовых пространств (теорема 2.1). Основным результатом § 1 главы 2 и одним из главных результатов диссертации является следующая

Теорема

2.6. Произведение счетного семейства локально полных по Чеху линейно линделефовых пространств является линейно линделефовым пространством.

Стоит отметить, что метод, позволяющий доказать аналогичное утверждение для линделефовых пространств, в данной ситуации не работает. Аналогичный результат получен и для инициально компактных пространств (2.8). Сходство доказательств для случаев линейно линделефовых и инициально компактных пространств объясняется тем, что каждое из этих свойств допускает характеризацию в терминах точек полного накопления, в то время как для свойства Лин-делефа такой характеристики нет.

Еще одно свойство, близкое к свойству Линделефа, было предложено A.B. Архангельским:

0.18. Определение. [5] Пространство X называется дискретно линделефовым, если для каждого дискретного подпространства, А С X замыкание Clx (A) линделефово.

Каждое дискретно линделефово пространство является линейно линделефовым [5], но до сих пор остается открытым следующий вопрос:

0.19. Вопрос. [5] Существует ли тихоновское дискретно линделефово не линделефово пространство?

Если окажется, что дискретная линделефовость отлична от линде-лефовости, то это свойство будет «плохим» с точки зрения сохранения произведениями, а именно — дискретная линделефовость не будет сохраняться при умножении на компакт (замечание 2.3).

Наконец, в § 2 главы 2 обсуждается понятие о-линделефова пространства, введенное несколько лет назад A.B. Архангельским:

0.20. Определение. Пространство X называется о-линделефовым, если каждое семейство непустых открытых в X множеств, мощность которого является несчетным регулярным кардиналом, имеет точку полного накопления.

Линейная линделефовость отличается от данного свойства лишь тем, что вместо семейств открытых множеств рассматриваются семейства точек (определение точки полного накопления для семейства множеств дано ниже в разделе «Терминологии и обозначения»).

Очевидно, каждое линейно линделефово пространство является о-линделефовым. Однако, класс о-линделефовых пространств существенно шире класса линейно линделефовых пространств. Имеет место

Теорема

2.13. Каждое слабо линделефово пространство является о-линделеф овым.

Таким образом, о-линделефовость является одновременным обобщением слабой линделефовости и линейной линделефовости. Импликации между определенными выше свойствами типа линделефовости можно изобразить в виде следующей диаграммы (наименования сокращены до первых букв): 0.21. кл —> сл л ол дл —> лл

Других импликаций между этими свойствами нет (см. 1.12, 2.14), кроме импликаций ДЛ —>¦ Л, СЛ, КЛ, наличие или отсутствие которых еще не установлено.

В § 2 главы 2 изучается поведение о-линделефовости и близких к ней свойств (о-компактность, т-псевдокомпактность в смысле точек полного накопления) при операции произведения. Приведен пример линделефова пространства, квадрат которого не является о-линделе-фовым (пример 2.18), доказаны следующие теоремы:

Теорема

2.20. Произведение о-линделефова пространства и о-линде-лефова локально компактного пространства является о-линделефовым.

Теорема

2.26. Произведение счетного семейства локально полных по Чеху о-линделефовых пространств является о-линделефовым.

Аналогичные результаты получены для о-компактных пространств и пространств, инициально т-псевдокомпактных в смысле точек полного накопления. Определения этих свойств даны в § 2 главы 2.

В последнем разделе приведены некоторые обобщения полученных результатов и отмечены нерешенные задачи, касающиеся темы диссертации.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю профессору Александру Владимировичу Архангельскому за постановку задач, полезные обсуждения и постоянное внимание к работе.

Терминология и обозначения

Под пространством мы всегда понимаем топологическое пространство. Все рассматриваемые пространства, если не оговорено противное, считаются тихоновскими. Под окрестностью точки в топологическом пространстве мы всегда понимаем открытое множество, содержащее эту точку. Замыкание множества М С X в пространстве X обозначается Сх М, или М, если из контекста ясно, какое пространство выступает в роли X.

Ординал отождествляется с множеством всех меньших ординалов, кардинал — с наименьшим ординалом соответствующей мощности. Символом, Но обозначается первый бесконечный кардинал, со — первый бесконечный ординал. Буквами г, Л, х, а, Ь всегда обозначаются кардиналы, а, ?3 — ординалы, 7, р, V — семейства открытых множеств. Кардинал г называется регулярным, если его нельзя представить в виде суммы XXга: с^ € А}, где Л < г и та < т при любом, а € Л. Кардиналы, не являющиеся регулярными, называются сингулярными.

Трансфинитной последовательностью длины г в пространстве X называется отображение /: т —> X- точки /(а), а 6 т называются элементами последовательности / и обозначаются ха.

Точка х? X называется точкой полного накопления последовательности /, если для любой окрестности II точки х справедливо равенство {а> Е т: ха € и} = т. Аналогичным образом определяется точка полного накопления множества М С X. Точка х? X называется точкой полного накопления для (индексированного) семейства {Ва: а &euro-Е Л} подмножеств X, если для любой ее окрестности 17 справедливо равенство {а е Л: Ва П и ф 0}| = Л.

Символами М, (ф, I обозначаются множество натуральных чисел, множество действительных чисел, множество рациональных чисел, отрезок [0,1] С К соответственно. Буквой D мы обозначаем дискретное двоеточие {0,1}. Стоун-чеховская компактификация пространства X обозначается ?3X.

Мы говорим, что множество имеет тип G$ (Fa), если оно предста-вимо в виде пересечения счетного семейства открытых множеств (соответственно, объединения счетного семейства замкнутых множеств).

Символом Т (а) обозначается пространство ординала, а с порядковой топологией.

Оператор проектирования из произведения J| Хп на подпроизведение fl Хп (на к-ъш сомножитель Xk) обозначается (соответственно, 7г^).

0.22. Определение. [1] Пусть, а и Ь — произвольные бесконечные кардиналы, а ^ Ь. Топологическое пространство X называется [а-Ь]-компактным в смысле точек полного накопления, если для любого множества М С X регулярной мощности т такого, что, а ^ т ^ Ь, существует точка полного накопления в X, или, что равносильно, любая трансфинитная последовательность регулярной длины т элементов пространства X, а ^ т ^ Ь, имеет точку полного накопления в X.

0.23. Определение. [1] Пусть г — произвольный бесконечный кардинал. Топологическое пространство X называется инициально т-ком-пактным, если оно т]-компактно. Инициально Ко-компактные пространства называются счетно компактными.

Терминология, не оговоренная в этом параграфе, соответствует книге [11].