Условия и методы спрямляемости некоторых пространственных тканей, номографирования уравнений и приведения их к каноническим формам

Актуальность работы. Тема работы связана с тремя важными разделами математики: геометрией ткани, номографией и проблемами приведения уравнений к каноническим формам.

Согласно идее Ф. Клейна геометрия изучает инварианты относительно тех или иных групп преобразований. Эта точка зрения применима и к дифференциальной геометрии.

В.Бляшке предложил рассматривать «топологическую» дифференциальную геометрию, т. е. изучать дифференциально-геометрические (локальные!) свойства различных объектов, инвариантные относительно произвольных взаимно-однозначных и взаимно-непрерывных (топологических) преобразований.

Изменение целей исследования отразилось и на его объекте. Изучаемые в классической дифференциальной геометрии кривые и поверхности устроены в «малом» в каждой своей (обыкновенной) точке топологически одинаково — малый отрезок любой линии не отличается от отрезка прямой, а небольшой участок поверхности — от плоской площадки. Поэтому кривые и поверхности не имеют топологических свойств, позволяющих отличать одну из них от другой.

Также и «сети» на плоскости или на произвольной поверхности, т. е. двухпараметрические семейства линий, такие, что через каждую точку определённой области проходят две (не касающиеся в этой точке!) линии, топологически эквивалентны — все они устроены как сеть координатных линий в декартовой системе координат.

По другому обстоит дело, когда от сети переходят к «3-ткани», т. е. к трёхпараметрическому семейству линий на плоскости или на поверхности, такому, что три (не касающиеся друг друга!) линии трёх различных семейств 3-ткани уже могут быть устроены топологически различно: далеко не каждую такую ткань можно отобразить, скажем, на ткань, образованную прямыми трёх фиксированных направлений.

Аналогичная ситуация имеет место, если рассматривать 4-ткань в трёхмерном пространстве, образованную четырёхпараметрическим семейством поверхностей. Подобные «ткани» и родственные им объекты — основной предмет изучения в «геометрии тканей».

Геометрия тканей" как новое направление в дифференциальной геометрии появилось на рубеже 20−30-х г. г. XX века в трудах виднейшего геометра, руководителя Гамбургской математической школы В. Бляшке, его многочисленных учеников и сотрудников. Однако, и до настоящего времени остаётся большое число вопросов, на которые не получены ответы. Формулируя нерешённые проблемы, относящиеся к тканям, в том числе, образованными поверхностями, В. Бляшке [1] назвал фундаментальной проблему отыскания необходимых и достаточных условий спрямляемости тканей, т. е. условий, при выполнении которых ткань была бы топологически эквивалентна ткани, образованной плоскостями. При этом отметил, что «. .непосредственное нахождение условий спрямляемости представляется безнадежным. Несколько более доступным кажется доказательство следующего предложения об однозначности», аналогичное гипотезе Гронвэлла (Р.Н.ОгопуаП (1912 г.)): «Образованная поверхностями ткань, не являющаяся шестиугольной, допускает (с точностью до коллинеаций) не больше одной реализации в виде ткани из плоскостей». В. Бляшке ставит также вопросы о проективной классификации тканей, видах их уравнений, о преобразованиях, допускаемых уравнениями тканей [1, с.с.59, 62, 111].

В.Бляшке в своих работах указал на связь геометрии тканей с номографией. Если ткань спрямляется, то двойственным образом спрямлённой ткани будет номограмма из выравненных точек. Такие номограммы нашли широкое применение в различных отраслях знаний.

Номографией называют область математики, в которой рассматривается теория и практика построения номограмм — особых чертежей, служащих для решения различных уравнений, в том числе и со многими переменными. Каждая формула, для которой строится номограмма, выражает обычно закон течения какого-либо процесса или закон, по которому изменяются различные переменные величины, входящие в данный расчет. Номограмма — графическое изображение этого закона. Пользование этими чертежами уже не требует никаких дополнительных построений. Искомая величина отыскивается непосредственно на самой номограмме путем прикладывания линейки к чертежу или другим столь же простым приемом. Ценными свойствами номограмм является их большая наглядность, удобность и эффективность для анализа и прогнозирования положенных в основу номограмм зависимостей [11,87, 102]. Отметим, что название раздела математики «Номография «установлено в 1890 г. на Международном математическом конгрессе в Париже.

7].

В 30−90 г. г. прошлого столетия широкий круг теоретических проблем и прикладных задач эффективно решался с помощью номограмм. Исследователи отдела номографии ВЦ АН СССР, различных научных школ и семинаров в Москве, Ленинграде, Иваново, Свердловске, Новосибирске, Чебоксарах, Липецке, Чимкенте, Батуми, Алма-Ате, Кзыл-Орде, Ереване, Душанбе, Риге и других городах СССР, а также в Германии, Франции, Болгарии, Румынии, Польше, Италии и других странах успешно занимались различными вопросами, связанными с номографией.

В современных условиях ЭВМ способны выполнить расчеты функциональных зависимостей со многими переменными и выдать их в виде таблиц (как правило, объемных, с многочисленными входами). Но по таким таблицам затруднительно исследовать влияние одних параметров, входящих в формулу, на другиеневозможно дать наглядную геометрическую интерпретацию каким-либо свойствам номографируемой формулыпо таким таблицам практически невозможно установить ранее неизвестные особенности изучаемой зависимости, но что позволяет делать построенная номограмма [6].

Основными проблемами теоретической номографии являются проблемы представимости и единственности [1−5,7,12,20].

Суть первой проблемы: можно ли данное уравнение привести к определенной детерминантной форме и, если возможно, то указать алгоритм такого приведения. «В настоящее время получены решения этой проблемы для некоторых уравнений. Они сложны и на практике не применяются» [7, с.331].

Вторая проблема состоит в разрешении вопроса: единственным ли способом приводится изучаемая зависимость к детерминантной форме, и если не единственным, то указать все возможные способы и установить возможности преобразования номограмм в> каждом из них. Для использования результатов решения этой проблемы не требуется знать теорию их получения. Эти результаты сразу становятся достоянием практики.

Вопросами геометрии тканей и теоретической номографии занимались и занимаются многие отечественные и зарубежные исследователи. Для уравне-, ний с тремя переменными решение отдельных вопросов указанных проблем можно найти в работах Т. Гронвэлла (Т. GronwaH) [2], С. В. Бахвалова [4], г. Г.С. Хованского[5−7], П. В. Николаева [13−17], М.В.Пентковского[20,21], С. В. Смирнова [26], Г. Е. Джемс-Леви [33], В. В. Гольдберга [90−92], М. А. Акивиса [89], Г. А. Толстихиной, А. М. Шелехова [93] и др. авторов. Не до конца решенным остаётся лишь общий случай, когда в номограмме носители всех трёх шкал переменных (/' = 1 — 3) криволинейны. Не доказано и предложение об однозначности, высказанное Гронвэллом. В терминах геометрии тканей гипотеза Гронвелла означает, что если нешестиугольиая ткань спрямляема, то её реализация в виде прямолинейной ткани единственна (с точностью до коллинеаций) [1,2]. Боль (G. Bol) и Борувка (О. Boruvka) показали в 1938 г., что число проективно различных реализаций нешестиугольной ткани не больше 16. В. Бляшке считал эту оценку «явно завышенной'^!, с.63]. Гуйдо (V.Guido) в 1961 г. улучшил этот результат, показав, что число таких реализаций не больше 11.

Решением проблем, связанных со спрямляемостью тканей и номографированием уравнений с больипш числом переменных, занимались В. Бляшке [1], T. Gronwall [2], H.A. Глаголев [3], Г. С. Хованский [8,9,10], П. В. Николаев [12], С. В. Смирнов [22,23,25], E.H. Кузьмин [29,30], E. Hosel [32], E. Goursat [34], О. В. Ермолова [35], M. Czyzykowski [37], J. Wojtowicz [38], V. Guido [42], R. Mehmke [45], Adams Douglas [50], Bal Lascu [53], Ю. И. Боголюбов [54, 55], Р. Петров [67], Rado Francise [94], Г. С. Прокопьев [69,72], Г. А. Мазаева [78−79], Г. М.Плотникова[80−83], Mihoc Maria [84] и др. Однако и до настоящего времени в вопросах представимости уравнений той или иной номограммой и проблеме единственности остается много нерешенных вопросов. В. Бляшке утверждает, что эти проблемы номографии являются примерами вопросов, которые теоретически не сложны, но фактическому решению которых препятствуют вычислительные трудности [1, с.63].

В диссертационной работе дается решение поставленных вопросов для. уравнений с четырьмя переменными в трёхмерном пространстве. Многие авторы занимались такими уравнениями и посвятили свои исследования различным вопросам как геометрии тканей, так, и теоретической номографии. Следует назвать В. Бляшке, Н. А. Глаголева, С. В. Смирнова, E.H. Кузьмина, О. В. Ермолову, Г. С. Хованского, Л. Я. Нейшуллер, В. В. Казьмина, M.D. Ocagne, E. Hosel, Mihoc Maria, Т. Н. Солнцеву, C.H. Буланова, Ю. И. Боголюбова, Р. Петрова, И. С. Глазырину и др.

Вопрос о представимости уравнений той или иной номограммой, той или иной спрямлённой тканью часто решается в зависимости от приведения данного уравнения к определённой канонической форме [1,6, 29−31, 58, 86]. В связи с этим важной становится задача об условиях и методах такой приводимости.

Вопросу приведения уравнений с четырьмя переменными t4 =f{t, i2, i?) к каноническим формам, в. частности, разделению переменных по одному или на различные пары, посвятили свои труды Н. А. Глаголев [3], Г. С. Ховапский [8,10], Л .Я. Нейшуллер [36], Ласку Бал [52], Ю. И. Боголюбов [53], A.M. и.

Бухвалов [61], Нгуен Ши Туэн [63], Р. И. Новобранова [66], О. В. Ермолова [35], Г. С. Прокопьев [71], Mihoc Maria [84,85] и др. И этот вопрос оказался тесно увязанным как с проблемами спрямляемости тканей [1], так и с вопросами теоретической номографии.

Так, Н. А. Глаголев [3] привёл ряд уравнений с четырьмя переменными: i+/2+/3+/l=0-Jr + -l- + 4. + -i- = 0-A = A: /1+/2=А-А + 1'.

1 / 2 УЗ J 4 /2 J ./4 /2 /З /4.

2+/з-/4=^4- f+fi-g=fl+f*'g2 /l- /3+/l.

2 1-/3-/4 где есть краткое обозначение функций /,(1,), 8,(1,)), для которых возможны плоские составные номограммы из выравненных точек. Он указал также отдельные виды номограмм, которыми представляются каждое из приведённых уравнений.

Е Гурса[34], О.В. Ермолова[35], Л .Я. Нейшуллер[36] и др. исследовали вопрос об условиях разделения переменных в уравнении с четырьмя переменными. Эти условия могут рассматриваться как необходимые для представления указанных уравнений пространственными номограммами из выравненных точек.

Жижиковски [37] получил необходимые и достаточные условия представления функций в виде Р (11,12,(3,14)=/11((1),.-/ы (11), (/=/-•/).

Пространственные номограммы из выравненных точек для уравнений с четырьмя переменными в простейших случаях были рассмотрены также в работах Б. Адамса [50] и С. Н. Буланова [51], которые использовали методы начертательной геометрии для изображения на плоскости некоторых частных видов пространственных номограмм из выравненных точек.

Вопросу приведения уравнений к некоторым каноническим формам посвящены работы и других авторов. В частности, Войтович [38] дал необходимые и достаточные условия существования анаморфозирующих множителей, приводящих уравнение, л, (3, /*,) = 0 к уравнениям где у- = у- (7,). Для каждого из этих случаев указаны формулы для определения анаморфозирующих множителей.

Л. Матеева [27] нашла необходимые и достаточные условия представимости уравнения г = где п>2, в виде =.

Цель работы. Работа автора посвящена решению теоретических проблем номографии, геометрии тканей, каноническим формам для уравнения с четырьмя переменными. Ставится задача найти не только условия представимости уравнений = /{(?, 12,13) составными шкальными номограммами с прямолинейной немой шкалой, но и указать эффективные методы такой представимости. Изучается возможность выделения канонических форм уравнений (2), представимые такими номограммами, и найти условия приводимости уравнений к этим каноническим формам с указанием конечных формул' элементов этих форм, рассмотрев и вопрос о возможных преобразованиях найденных функций. Целью работы является и решение вопросов единственности представлений рассматриваемых в работе номограмм. Таким образом, ставится задача довести решения поставленных задач теоретической номографии до практической реализации.

Указанные вопросы в работе решаются для случаев представления уравнений (4 составными шкальными номограммами нулевого и первого жанров, а также для некоторых типов номограмм второго — четвертого жанров, с прямолинейной немой шкалой.

В области геометрии тканей ставится цель найти условия спрямляемости соответствующих пространственных тканей и рассмотреть проблемы единственности таких преобразований. Изучается и вопрос о видах уравнения ^ = /(/7,для некоторых шестиугольных и нешестиугольных пространственной ткани, нашедших большое практическое применение.

Методы исследования. Основными методами исследования явились:

— номографические методы исследования,.

— методы геометрии тканей,.

— многие разделы классических областей математики,.

— полнота и замкнутость системы функций,.

— теория непрерывных групп преобразований,.

— методы проективной и дифференциальной геометрии,.

— Пфаффовы уравнения и пфаффовы системы,.

— теория графов.

Научная новизна и практическая ценность. Все представляемые к защите результаты получены автором. Их новизна, в частности, характеризуется тем, что впервые.

В области номографии:

1. Проведена проективная классификация рассматриваемых типов номограмм. Доказаны теоремы о существовании точно 15 проективно различных графов номограмм нулевого жанра.

2. Получены необходимые и достаточные условия представимости уравнения ^ =/^1,12,13) номограммами рассмотренных типов.

3. Приведены конечные формулы (в квадратурах) вычисления неизвестных функций в уравнении (3), соответствующих рассмотренным номограммам, и их возможные преобразования.

4. Выделены графы номограмм, определяющие для заданного уравнения.

— единственные номограммы нулевого жанра;

— однопараметрические семейства номограмм нулевого жанра ;

— графы номограмм, определяющие по две непроективные номо-грамммы нулевого жанра;

— графы номограмм, определяющие для заданного уравнения четыре непроективные номограммы нулевого жанра.

5. Номограммам нулевого жанра соответствует точно восемь канонических форм их уравнений, обладающих свойством полноты и несовместности.

6. Рассмотрены типы непроективных номограмм более высоких жанров (см. Таблицу 11 диссертации), эквивалентные в малом [1] рассмотренным 15 типам номограмм нулевого жанра. Это номограммы, в которых носителями шкал переменных, лежащих в одной плоскости, являются прямые линии, тогда в другой плоскости носителем шкал является одно коническое сечение (номограммы второго жанра), или в обеих плоскостях носителями двух шкал являются конические сечения (номограммы четвёртого жанра). Их количество 31, для них указаны условия представимости, они обладают свойством полноты и несовместности.

7. Аналогичные исследования проведены и с номограммами первого жанра. Их оказалось точно по пять непроективных графов номограмм для каждого из четырех случаев номограмм первого жанра.

8. Для номограмм первого жанра существуют в точности 16 канонических форм уравнений, образующих полную и несовместную группу.

9. Рассмотрены типы номограмм третьего жанра, эквивалентные в малом рассмотренным номограммам первого жанра.

В области геометрии тканей:

10. В геометрии тканей получены условия шестиугольности тканей. Найдены типы шестиугольных тканей, условия их спрямляемости. Определены канонические уравнения рассмотренных шестиугольных пространственных тканей, изучены проблемы единственности. Условия теоремы [1.3.1] являются условиями октаэдричности пространственных тканей [1], выраженные через функцию тканей. Указаны девять эквивалентных в малом [1] октаэдрических пространственных тканей.

11. Найдены 46 шестиугольных пространственных тканей. Для них найдены условия спрямляемости.

12. Получены условия спрямляемости пространственных нешестиугольных тканей. Найдены канонические уравнения таких тканей. Исследована проблема единственности. Приведены результаты, впервые опровергающие гипотезу о единственности спрямляемости нешестиугольных тканей, сформулированную В. Бляшке в 1959 году. В области канрнических форм:

13. Доказано, что для составных шкальных номограмм нулевого жанра существуют в точности восемь канонических форм уравнений 14 =/{*1<�Ь>Ь)> представимых такими номограммами. Найденная система канонических форм полна и несовместна. Для всех канонических форм указаны дополнительные возможности их преобразования.

14. Для всех рассмотренных в работе 82 непроективных типов номограмм и тканей найдено ядро канонических форм уравнения =/(/, со~ стоящее из 24 уравнений, обладающих свойствами полноты и несовместности.

15. Для каждой из 24 канонических форм найдены условия и указаны методы приводимости уравнений /4 = /(//Л?,^) к этим формам. '.

16. Рассмотрен класс типов номограмм более высоких жанров (второго, третьего, четвёртого), и двойственных к ним тканей, уравнения которых приводятся к какой-нибудь из 24 канонических форм, и при том оказалось, что к какой-либо другой из них не приводятся.

17. Все полученные результаты без каких-либо дополнительных исследований пригодны для практики.

18. Теория, представленная в диссертационной работе, может быть использована для построения специальных курсов для студентов и аспирантов математических факультетов. Приведёнными в работе методами можно продолжить исследования по представлению уравнений с четырьмя переменными номограммами второго-четвертого жанров общего вида кривых — носителей шкал переменных составной номограммы, и связанных с ними проблем геометрии тканей. Доказательства фундаментальных предложений на этот счет приведены в работе (теоремы [1.2.1], [3.1.1], следствия [1.2.1], |3.1.1], [3.1.2]).

Диссертационная работа является результатом собственных исследований автора. Вместе с тем следует отметить, что первые задачи и начала исследований по теме были предложены автору моим учителем профессором Петром Владимировичем Николаевым (1902;1970 г. г.).

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались или публиковались в трудах различных конференций: Первой Всесоюзной номографической конференции (Москва, 1965 г.), на научных конференциях в г. г. Казани (1967 г.), Ярославле (1968 г.), Свердловске (1967 г.), Челябинске (1970 г.), Иваново (1973, 1975 г. г.), Тюмени (1966 г.), Душанбе (1978 г.), на семинарах, проводимых ВЦ АН СССР совместно павильоном «Вычислительная техника» на ВДНХ (г. Москва) (1969, 1972, 1973,1974, 1986 г. г.), семинарах кафедры геометрии Свердловского педагогического института (1964;1969 г. г.), кафедры высшей математики Тюменского индустриального института (1965;1988 г. г.), кафедры высшей математики Тюменского архитектурно-строительного университета (1999;2005 г. г.), семинаре института математики и механики УрО РАН (2006 г.), международных конференциях в г. г. Пущино (2007 г.), Твери (2007 г.), Чебоксарах (2007 г.), Дубне (2008 г.), Москве (МГУ, мат. инст. им. Л. С. Стеклова (2008 г.)).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 30 статей и тезисов конференций, две работы депонировано, выпущена одна номография.

Объём и структура работы. Диссертация объёмом 270 страниц, состоит из Введения, четырёх глав, 15 параграфов. В работе изложено 64 авторских теорем (см. с. 260−262) и 16 следствий, помещено 13 таблиц.

Список литературы

содержит 127 наименований. В работе приведены примеры.

1. Бляшке В.

Введение

в геометрию тканей, — М., 1959.

2. Gronwall Т.Н. Sur les equations entre trios variables representables par les nomogrammes a points alignes // Journ. mathem. pures et appliques, ser. 6,8. Paris, 1912.

3. Глаголев H.A. Теоретические основы номографии.- M.-JL, ОНТИ-ГТТИ, 1934.

4. Бахвалов C.B. Дифференциально-геометрический метод решения проблем общей анаморфозы. Вестник МГУ, № 1,1961.

5. Хованский Г. С. Некоторые вопросы практической номографии.//Сб. «Вычисл. мате-мат.», сб.4. М.: Изд. АН СССР, 1959.

6. Хованский Г. С. Методы номографирования, — М.: Изд. ВЦ АН СССР, 1964.

7. Хованский Г. С. Основы номографии. — М.: Изд. «Наука», 1976.

8. Хованский Г. С. О представлении некоторых зависимостей с четырьмя переменными номограммами с ориентированным транспарантом. // Тезисы докладов. Труды Ш Всесоюзного математического съезда, т.2. М.: Изд-во АН СССР, 1956, с. 143−144.

9. Хованский Г. С. Формы зависимостей, обладающих дополнительными возможностями для преобразования номограмм с ориентированным транспарантом. // ДАН СССР, т. 118, 1958, № 2.

10. Хованский Г. С. О представлении зависимостей номограммами из выравненных точек // Номографический сборник № 1. М., ВЦ АН СССР, 1962, — С. 122−127.

11. Хованский Г. С. Применение номограмм для исследования функциональных зависимостей. // Материалы научно-технической конференции: «Новые разработки в области вычислительной математики и вычислительной техники». Киев, ВЦ ФН Укр. ССР, 1960.

12. Николаев П. В. О некоторых задачах номографии // Успехи математич. наук, т. 17, вып.1 (103)-М&bdquo- 1962, С. 256.

13. Николаев П. В. О представлении уравнений номограммами второго жанра.// ДАН СССР, т. 157, № 6, 1964.

14. Николаев П. В. О представлении уравнений номограммами второго жанра // Тез. докладов I межвуз. номографической конф. -М., 1965, с.38−39.

15. Николаев П. В. О представлении уравнений номограммами Коши и Кларка // Ученые записки Свердловского пединститута, серия «Математика», сборник 31, 1965. -С.199−227.

16. Николаев П. В. О номограммах второго жанра с ответной прямолинейной шкалой. //17.