Применение спектральной теории автоморфных функций к некоторым задачам аналитической теории чисел

Вопрос об асимптотическом поведении суммы.

0.1/.

IkUP где я:(уп) — число делителей натурального m, Н) натуральное, впервые был рассмотрен в работе [20]. В ней была доказана асимптотическая формула.

S-vCE) = c^Ca^eitP + 0^(pLL?), /0.2/.

Попытки выделить ещё один главный член и получить степенное понижение остатка в этой задаче привели к необходимости оценок сумм вида здесь иг — произвольное целое, отличное от нуля, 3) — натуральное/.

На важность оценок сумм типа /0.3/, в связи с гипотезой Петерссона, указал Ю. В. Линник в докладе на Международном Математическом конгрессе в Стокгольме в 1962 году /см. 10)/. В 1963 году появилась работа Хоу-ли /см. [1б] /, в которой он доказал оценку.

В этой же работе, с помощью /0.4/, он получил асимптотическую формулу.

0.3/.

0.4/.

— t Cc+ Q^C*' «) /0.5/ см. также работу [б], в которой получено логарифмическое уточнение /0.5 $ Оставаясь в рамках технических средств, используемых в [16}, оценку остаточного члена в /0.5/ можно довести до.

0−6/.

Это сделано в работе [4]. В работах [14], [1б], [l7] были найдены приложения неравенства /0.4/ к некоторым другим задачам.

В 1964 году Сельберг в [22] предложил новый подход к решению некоторых теоретико-числовых задач, использующий созданную им спектральную теорию автоморфных функций. Развивая идеи Сельберга, Н. В. Кузнецов в работе [8] получил принципиально новые результаты на пути к доказательству гипотезы Линника, касающейся поведения суммы сумм Клостермана.

В настоящей работе спектральная теория автоморфных функций применяется к изучению сумм вида /0.3/ и /0.5/. При этом существенно используются приёмы и методы из работ [8], [16] .

Работа состоит из трёх глав. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней изложены некоторые известные факты, связанные с полной модулярной группой, действующей на верхней полуплоскости, теорией положительно определённых квадратичных форм, специальными функциями и спектральной теорией автоморфных функций. Исключение составляет лемма 4, которая является новым результатом. Эта лемма, несмотря на простоту доказательства, играет важную роль в настоящей работе, так как устанавливает связь между теоретико-числовым выражением типа /0.3/ и теорийй автоморфных функций.

Во второй главе изучается сумма /0.3/. В первом параграфе этой главы доказывается теорема, в которой сум f — произвольная функция, с достаточно хорошими аналитическими свойствами/ выражаются через коэффициенты Фурье собственных функций оператора Лапласа-Бельтрами. Затем, во втором параграфе, выбирая специальным обра.

Это неравенство улучшает /0.4/.

В главе III изучается сумма /0.1/. В первом параграфе главы сформулированы некоторые известные результаты и доказаны вспомогательные леммы. Во втором параграфе доказывается асимптотическая формула мы ВИ" 0 ^(3)2−1*P + <:.?>)? + ?(?f+?).

Этот результат улучшает /0.6/.

Основные результаты работы опубликованы в статьях И, [4].

Автор выражает глубокую благодарность Н. М. Коробову за научное руководство. Автор также благодарен А. И. Виноградову, Н. В. Кузнецову, А. Б. Венкову, Л. А. Тахтаджяну и Н. В. Проскурину, общение с которыми в значительной мере способствовало появлению настоящей работы.