Методы оценивания погрешности решения некорректных задач на компактах в банаховых решетках

Актуальность темы

Многие практически важные задачи могут быть записаны в виде операторного уравнения.

Ах = и, (0.1) где z^Z, u^U1A:Z->U — линейный ограниченный инъективный оператор, Z и II — линейные нормированные пространства. Согласно определению, данному Ж. Адамаром [1], задача (0.1) называется корректно поставленной, если для любый входных данных А, и из некоторого класса ее решение существует, единственно, и малые изменения в правой части и и операторе, А влекут малые изменения в решении.

Многие практически важные задачи не являются корректно поставленными, в частности, зачастую решение не зависит непрерывно от входных данных задачи. Для решения таких задач нельзя применять стандартные методы, и в середине XX века стали разрабатываться специальные методы. Основополагающими работами по теории некорректно поставленных задач являются работы А. Н. Тихонова [2−7], В. К. Иванова [8−11], М. М. Лаврентьева [12,13]. Теория некоректных задач активно развивалась и развивается как в нашей стране, так и за рубежом. Некоторые результаты представлены в [14−43].

Впервые подход к решению некорректных задач был предложен академиком А. Н. Тихоновым в работах [2, 3] и основывается на понятии регуляризующего алгоритма. Предположим, что вместо точных входных данных (А, и), А € Ь^, II) нам известны лишь приближенные данные (Л/г, и, 5), Аь? и), а также мера близости приближенных и точных данных К ^ 0 и 6 > 0: \АНА\ ^ к, Цг^ — ^ 6. Обозначим вектор погрешностей входных данных ту = (/г, 6). Обозначим через 2 точное решение задачи (0.1) .

Определение 0.1 Оператор R: L (Z, U) xU хЩ —" Z называется pe-гуляризующим алгоритмом, если R (Ah, us, h,6) = zn —> z при г] = (h, S) —> 0 для любых точных данных (А, и) из некоторого «допустимого» класса.

Таким образом, регуляризующий алгоритм ставит в соответствие любым допустимым приближенным данным (Ah, us):i значению погрешности Г] некий элемент zv Е Z, который стремится к точному при 77 —> 0. Регуляризующие алгоритмы существуют во многих важных случаях. Например, если Z и U суть гильбертовы пространства, регуляризующий алгоритм для задачи (0.1) существует [31].

Если регуляризующий алгоритм R для некоторой задачи существует, то он не является единственным. Действительно, любой оператор R, такой что R{Ah, us, h,5) = R (Ah, U5, h, 6) • (1 + const ¦ 6), также является регуляризующим алгоритмом. Заметим, что регуляризущих алгоритмов, не зависящих явно от погрешности входных данных, для некорректных задач не существует [44].

Рассмотрим функционал А. Н. Тихонова.

Ma (z) = \Ahz-u5\2u + a\z\2z. (0.2).

Он является сильно выпуклым Va > 0, если Z — гильбертово пространство (как сумма сильно выпуклого функционала a||z||| и выпуклого функционала \AhZ — щ\ц). Следовательно, он достигает глобального минимума (на любом выпуклом замкнутом множестве) в единственной точке Этот элемент рассматривается в качестве приближенного решения задачи (0.1). Если параметр регуляризации, а выбран надлежащим образом, это решение сходится к точному при 7] —>¦ 0.

Существуют различные способы выбора параметра регуляризации, а [31] (обобщенный принцип невязки и др.). Заметим, что выбор параметра регуляризации, не зависящий явно от погрешности 77, невозможен [45]. Подробнее останавливаться на вопросах выбора параметра регуляризации, а мы здесь не будем.

При решении некорректно поставленных задач крайне важно использовать всю дополнительную априорную информацию о решении. Пусть нам известно априори, что точное решение принадлежит компактному множеству М С Z. В этом случае возможно построение специальных регуляризующих алгоритмов. Например, В. К. Иванов в работе [8] предложил использовать в этом случае т.н. квазирешения. Для задачи (0.1) квазирешение определятся как zq = argmin{||A2 —: * 6 М С Z}.

Наряду с квазирешениями, также используются г]-квазирешения. Элемент zv Е М называется 77-квазирешением, если для него выполнено соотношение.

IAhzv — щ\ ^ <5 + h\zv\.

В монографии [31] было показано, что lim \zn — z|| = 0, т. е. метод квазирешений является регуляризующим алгоритмом.

На практике, помимо нахождения приближенного решения, сходящегося к точному, требуется также оценивать точность приближения. К сожалению, в общем случае оценить погрешность приближенного решения некорректной задачи нельзя. Предположим для простоты, что оператор известен точно (т.е. Ah = Л). Ошибка приближенного решения zs есть функция ошибки входных данных, а также, возможно, точного решения z: pi-*KCV (M), (0−3) где константа С не зависит от z и O. Оценки такого вида называются точечными. Ввиду того, что точное решение z неизвестно, большее значение имеют т.н. равномерные оценки, где <р = (р (6) не зависит от z.

Пусть R (us, 6) — некоторый регуляризующий алгоритм для задачи (0.1). Обозначим оценку погрешности для метода R в точке z.

Л (Д, М)= sup \R (us, S)-z\. щ: ||uj-u||^5.

Пусть V С Z — некоторое множество априорных ограничений (возможно, совпадающее с Z). Оказывается, что если отображение R непрерывно и существует равномерная на множестве V оценка погрешности sup A (R, 6, z) ^ <р (6) 0, zeV то сужение оператора А'1 на множество AV С U непрерывно на AV С U [31,46]. Таким образом, невозможно построить оценку погрешности решения на всем пространстве Z. Однако если множество априорных ограничений V есть компакт, то оператор Л-1, определенный на AV, непрерывен, и оценка погрешности может быть найдена.

Общая идея построения оценки погрешности приближенного решения состоит в нахождении некоторого множества, диаметр которого конечен при 7] Ф 0 и стремится к нулю при TJ —>¦ 0, и которому заведомо принадлежит точное решение. Такое множество называется множеством приближенных решений. Обозначим его Zapv (rf). Пусть приближенное решение zv также принадлежит множеству Zapp (r]). В этом случае, очевидно, выполнено неравенство.

Zrj ~ z\ ^ (p{zv, rj) = sup ||^-z||<00. (0.4) z? Zapp (T/).

Здесь zv? Zapp (r]) — приближенное решение, погрешность которого требуется оценить. Так как при 77 —> 0 диаметр Zapp (r]) стремится к нулю, lim^o vizri, v) = 0, и величина </9(2^, 77) интерпретируется как оценка погрешности приближенного решения zv.

В некоторых случаях, когда априорной информации для построения множества приближенных решений с указанными свойствами недостаточно, иногда все же удается построить множество, диаметр которого стремится к нулю при при Г] —" 0, но которому точное решение принадлежит лишь при достаточно малой погрешности: Ц77Ц ^ 7]0, где г)0 зависит от неизвестного точного решения. Если, а таком множестве построить оценку, аналогичную (0.4), то эта величина действительно будет оценкой погрешности лишь при достаточно малых г). Такая оценка погрешности называется апостериорной.

Множество приближенных решений может быть построено различными способами. Различные множества приближенных решений, построенные для одной и той же физической задачи, могут отличаться свойствами выпуклости, типом задающих их ограниченийв некоторых случаях удается установить вложенность одного множества в другое. Естественно, желательно выбирать множества приближенных решений, которые были бы по возможности «уже», чтобы получающаяся оценка погрешности была меньше. Кроме того, от вида множества приближенных решений зависит сложность вычисления самой оценки погрешности (0.4). Все это стоит учитывать при постановке задачи. Выбор функциональных пространств также является весьма существенным. Чаще всего, в качестве пространства решений выбирают гильбертовы (½, И¹ и др.) или рефлексивные банаховы пространства (Ьр, р > 1 и др.). Это обеспечивает существование регуляризующих алгоритмов. Выбор пространства и зачастую существенным не является, можно, например, в качестве и выбрать пространство непрерывных функций С. Множество приближенных решений обычно задается какими-либо нелинейными ограничениями по норме соответствующих пространств. Погрешность понимается также как некоторая величина, ограничивающая сверху норму разности между приближенным и точным решениями.

Однако зачастую в приложениях оказываются важными понятия положительности, неравенства. Эту информацию о частичной упорядоченности нельзя отразить без использования аппарата теории векторных решеток (линейных полуупорядоченных пространств, в которых векторная и порядковая структуры определенным образом согласованы). Теория таких пространств была развита, в основном, в 30-е годы XX века в работах Л. В. Канторовича [47−50].

Вещественное векторное пространство X называется векторной решеткой, если X является одновременно частично упорядоченным множеством, в котором для любых двух элементов х, у (Е X существуют их супремум х Vу и инфимум хАу, причем выполнены следующие условия согласования алгебраических операций и порядка:

1) для любого z? X из х ^ у вытекает х + z ^ у + z.

2) если х ^ 0 и Л ^ 0, Л 6 М, то Хх ^ 0.

Для любого х? X элемент х+ = ж V 0 называется его положительной частью, элемент = (—ж) V 0 = (—х)+ - его отрицательной частью, а элемент |ж| = х+ + - его модулем.

Очевидно, что в векторной решетке существуют супремум и инфимум любого конечного числа элементов. Важным свойством векторной решетки является существование в ней точных граней у бесконечных (счетных или несчетных) множеств. Полной векторной решеткой (или К — пространством) называется векторная решетка, в которой всякое ограниченное сверху множество имеет супремум. Если же для любого ограниченного сверху множества, А С X существует счетное подмножество А' С, А такое, что sup, А = sup А', то векторная решетка X называется К — пространством счетного типа.

Многие функциональные пространства могут быть наделены как нормой, так и отношением частичного порядка. Важным является вопрос согласования нормы и порядка. Норма || • || на векторной решетке X называется монотонной, если из х ^ у вытекает, что ||ж|| ^ ||г/||. Нормированной решеткой называется векторная решетка, снабженная монотонной нормой. Полная по норме векторная решетка называется банаховой решеткой.

Обратные задачи в полных по норме векторных решетках (банаховых решетках) и будут рассмотрены в настоящей диссертации. Наличие более богатой по сравнению с обычным нормированным пространством структуры в банаховой решетке требует несколько по-новому сформулировать обратную задачу. Однако наличие упорядочения позволяет построить множество приближенных решений, обладающее рядом достоинств по сравнению с множествами приближенных решений, которые могут быть построены, опираясь только на понятие нормы. Во-первых, это множество приближенных решений является выпуклым, в т. ч., в случае неточно заданного оператора. Во-вторых, ограничения, задающие это множество, являются линейными, что позволяет (по крайней мере, в некоторых случаях) более эффективно решать задачу вычисления оценки погрешности. В-третьих, это множество приближенных решений обычно уже аналогичного множества, использующего нелинейные ограничения по норме (при тех же входных данных).

Кроме того, в некоторых случаях можно построить точную нижнюю и верхнюю грани множества приближенных решений (используя порядковую полноту пространства приближенных решений), обладающие свойством сходимости по норме к точному решению. Это позволяет по-новому взглянуть на оценку погрешности приближенного решения. Вместо некоторой величины, ограничивающей норму разности между точным и приближенным решениями, мы получаем два элемента пространства решений, задающих некоторый «коридор» в смысле частичного порядка в пространстве решений, гарантированно содержащий в себе точное решение. Такая оценка погрешности зачастую допускает более естественную интерпретацию и может оказаться более полезной на практике.

Цель работы Целью диссертации являются.

• постановка обратной задачи в банаховых пространствах, наделенных структурой частичного упорядочения, — банаховых решетках,.

• разработка математического аппарата для решения обратных задач на компактных множествах в банаховых решетках и оценки погрешности приближенных решений,.

• изучение вопросов существования точных нижней и верхней граней (в смысле частичного порядка) множества приближенных решений, а также условий их сходимости к точному решению,.

• применение методов оценки погрешности приближенных решений к задачам:

1) нахождения коэффициента параболического уравнения на примере одной задачи из теории ценообразования опционов Блэка-Шоулза;

2) определения толщины ледяного щита по измерениям поля скоростей льда с использованием условия сохранения массы;

3) восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля вне него.

В работе используются методы функционального анализа, теории некорректно поставленных задач, теории поллупорядоченных пространств, выпуклого анализа, математического программирования. Положения, выносимые на защиту.

1) постановка обратной задачи в банаховых решетках, определение множества приближенных решений;

2) теорема о сходимости элементов множества приближенных решений к точному решению;

3) теорема существования точных нижней и верхней граней множества приближенных решений и их сходимости к точному решению;

4) применение методов оценки погрешности приближенного решения для обратных задач финансовой математики, гляциологии и магнетизма.

Личный вклад автора Основные результаты, полученные в данной диссертационной работе, были впервые получены автором. Постановка математической задачи и анализ полученных результатов проводились под руководством профессора А. Г. Яголы. Постановка задачи определения толщины ледяного щита проводилась совместно с профессором Дж. Джонсоном из Университета Монтаны, США. Научная новизна и практическая значимость Автором впервые рассмотрены обратные задачи в функциональных пространствах, наделенных отношением частичного порядка, — банаховых решетках. Построено множество приближенных решений в случае, когда известно априори, что точное решение принадлежит компактному множеству. Построенное множество приближенных решений задается с использованием порядковой структуры пространства решений и по некоторым параметрам выгодно отличается от множеств приближенных решений, которые могут быть построены без использования информации о порядке. Доказана сходимость элементов построенного множества приближенных решений к точному. Кроме того, изучен вопрос о существовании точных верхней и нижней граней множества приближенных решений (в смысле частичного порядка) и их сходимости к точному. Эти точные грани могут рассматриваться как верхняя и нижняя оценки неизвестного точного решения в смысле частичного порядка в пространстве решений. Этот способ описания погрешности приближенного решения в приложениях зачастую допускает более простую и естественную интерпретацию, нежели классическая оценка погрешности по норме.

С вычислительной точки зрения эти оценки во многих случаях могут быть получены весьма эффективно. Например, в случае, когда пространством решений является пространство L?(Q), где — замкнутая ограниченная область в Rn, и неизвестное решение аппроксимируется кусочно-постоянной функцией, эти оценки могут быть получены путем решения линейного по размерности пространства, аппроксимирующего пространство решений, числа задач линейного программирования. Таким образом, оценки могут быть найдены за полиномиальное время.

Разработанные методы могут быть применены при решении различных линейных обратных задач при наличии достаточного количества априорной информации. К числу возможных приложений относятся:

• задачи томографии,.

• обратные задачи астрофизики,.

• обратные задачи геофизики,.

• задачи науки о материалах, в методы неразрушающего контроля,.

• задачи обработки изображений и др.

В настоящей диссертации методы оценки погрешности приближенных решений некорректных задач применены к задачам финансовой математики, гляциологии и магнетизма.

Апробация работы Основные результаты диссертационной работы были представлены:

1) на международной конференции «Computers and Information in Engineering Conference IDETC/CIE 2011» в Вашингтоне, округ Колумбия, США, 28−31 августа 2011,.

2) на на международной конференции «The 8th Congress of the ISAAC» в Москве, 22−27 августа 2011 года,.

3) на первом симпозиуме по обратным задачам в рамках программы Висби в Гетеборге, Швеция, 2−3 июня 2011 года,.

4) на втором симпозиуме по обратным задачам в рамках программы Висби в Сунне, Швеция, 4 мая 2012 года,.

5) на научном семинаре кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ им М. В. Ломоносова в Москве, 22 марта 2012 года,.

6) на научном семинаре «Обратные задачи математической физики» НИВЦ МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством А. Б. Баку-шинского, А. В. Тихонравова и А. Г. Яголы в Москве, 25 апреля 2012 года и 13 февраля 2013 года,.

7) на научном семинаре кафедры прикладной математики факультета математики Университета Монтаны в Мизуле, Монтана, США, 4 сентября 2012 года,.

8) на коллоквиуме факультета математики Университета Монтаны в Мизуле, Монтана, США, 10 декабря 2012 года,.

9) на научном семинаре кафедры математики Физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова в Москве, 13 февраля 2013 года.

Публикации По теме диссертации опубликовано 8 работ, из которых 3 статьи в рецензируемых печатных научных журналах [51−53], 2 статьи в сборниках трудов конференций [54,55] и 3 тезиса докладов на конференциях [56−58]. В журналах из списка ВАК РФ опубликовано 3 статьи [51−53].

Структура работы Работа состоит из четырех глав. В первой главе обсуждаются известные методы оценки погрешности приближенных решений некорректных задач. Рассматривается вопрос нахождения решений, обладающих оптимальной оценкой погрешности. Схема оценки погрешности на компакте используется для оценки погрешности приближенного решения в обратной задаче нахождения коэффициента параболического уравнения. Практической задачей, в которой возникает данная постановка, является задача определения неизвестной ожидаемой доходности акций в модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза.

Во второй главе рассматривается постановка обратных задач в банаховых решетках. Априори предполагается, что точное решение принадлежит компактному множеству. Вводится множество приближенных решений, основанное на отношении частичного порядка в пространстве решений. Выясняются вопросы существования точных верхней и нижней граней (в смысле частичного порядка) введенного множества приближенных решений и их сходимости к точному решению. Обсуждается сложность вычисления оценки погрешности по норме, а также верхней и нижней оценок неизвестного решения в смысле частичного порядка в пространстве решений.

В третьей главе метод построения верхней и нижней оценок решения, описанный в главе 2, применяется к задаче определения толщины ледяного щита по измерениям поля скоростей. Толщина ледяного щита описывается уравнением в частных производных, выражающим закон сохранения массы. Строятся верхняя и нижняя оценки для функции двух переменных, о которой априори известны ее оценка сверху (снизу функция ограничена нулем), а также константа Липшица.

В четвертой главе этот метод применяется для решения задачи восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля вне его. Математически эта задача представляет собой трехмерное интегральное уравнение Фредгольма первого рода для векторной функции. Априорная информация о решении состоит из ограничения на модуль неизвестного решения, а также из его константы Липшица. Строятся верхняя и нижняя оценки неизвестного точного решения. Тестовые расчеты были выполнены с использованием Суперкомпьютерного комплекса Московского Университета (суперкомпьютер «Ломоносов» — суперкомпьютер СКИФ МГУ «Чебышёв»).

Объем диссертации — 95 страниц. Она содержит 22 рисунка. Число наименований в списке литературы — 98.

Заключение

.

Диссертация посвящена изучению обратных задач для некорректных операторных уравнений на компактах в банаховых пространствах, наделенных порядковой структурой, — банаховых решетках. Построено множество приближенных решений, опирающееся на отношение частичного порядка в пространстве решений. Показано, что любой элемент этого множества может быть выбран в качестве приближенного решения обратной задачи.

Кроме того, показана возможность построения оценки погрешности по норме на введенном множестве приближенных решений. К сожалению, с вычислительной точки зрения задача нахождения оценки погрешности является трудной (задача принадлежит классу ЫР-полных задач). Это заставляет нас посмотреть с другой стороны на оценку погрешности. Предлагается вместо пары «приближенное решение и оценка сверху нормы разности приближенного и точного решений» находить верхнюю и нижнюю оценку (в смысле частичного порядка) неизвестного точного решения, задавая таким образом некоторый «коридор», заведомо его содержащий. Доказана сходимость этих оценок к точному решению. Кроме того, показано, что во многих случаях эти оценки могут быть найдены за полиномиальное время.

Описанные методы применены к задаче о нахождении толщины ледяного щита по измерениям поля его скоростей, а также к задаче о восстановлении параметров намагниченности судна по измерениям магнитного поля вне него. Показана возможность эффективного использования данных методов для решения указанных задач.

Автор выражает свою искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Григорьевичу Яголе за постоянное внимание к работе, интересные обсуждения полученных результатов, а также за готовность ответить на любые вопросы. Кроме того, автор выражает благодарность профессору Джесси Джонсону из Университета Монтаны, США, и его научной группе за плодотворное сотрудничество и проявленный интерес к новым методам оценки погрешности, а также коллеге Дмитрию Витальевичу Лукьяненко за плодотворную совместную работу над программной реализацией предложенного метода решения задачи об определении намагниченности. Автор также выражает благодарность РФФИ (гранты 11−01−40-а и 12−01−91 153-ГФЕНа) за частичную финансовую поддержку. И, наконец, автор благодарен близким, без постоянной поддержки и терпения которых он никогда бы ничего не написал.