Обобщенные приведенные модули и некоторые их применения в геометрической теории функций комплексного переменного

В физике широко используется понятие емкости, введенное Фарадеем еще в начале 19 века. Формализованное обобщение этого понятия оказалось весьма плодотворным и нашло многочисленные приложения в математике. Различные виды емкостей активно применяются в функциональном анализе, теории функций, а также в теории дифференциальных уравнений с частными производными (см., например, [4, 5, 31, 34, 41, 44, 47, 93]). Одним из основных методов современной геометрической теории функций является метод симметризации, основанный, в том числе, и на теории емкостей множеств и конденсаторов [39, 67].

С емкостью конденсатора тесно связан так называемый приведенный модуль, который возникает в асимптотике емкости конденсатора при стягивании его пластин в точки. Понятие приведенного модуля области восходит к классическим работам Г. Греча и О. Тейхмюллера начала 20-го века. Большое влияние на применение приведенного модуля в геометрической теории функций комплексного переменного оказали исследования Л. Альфорса и А. Берлинга [59], Дж. Дженкинса [10], П. Дюрена [68]-[72], В. Хеймана [45]. Многочисленные обобщения и разновидности приведенных модулей были даны в работах В. В. Асеева [6], В. Н. Дубинина [12]-[16], [18, 19], П. Дюрена [69, 72], Е. Г. Емельянова [21]-[23], Г. В. Кузьминой [24]-[28], В. М. Миклюкова [32], И. П. Митюка [35, 36], А. Ю. Солынина [42, 43] и других математиков. О широте приложений приведенных модулей можно судить, например, по работам Р. Барнарда и А. Ю. Солынина [62], Д. Бет-сакоса [63], А. Ю. Васильева [91, 92], Г. Виттиха [94], Д. Гайера и В. Хеймана [73], Л. Карлесона и Н. Г. Макарова [65], Л. В. Ковалева [78], В. М. Миклюкова [33], С. Р. Насырова [81], К. Поммеренке [85], А. Пфлюгера [84] и многих других. Приведенные модули тесно связаны с такими понятиями, как емкость Робена и функция Робена, изучению и применению которых в последнее время посвящено немало работ [11], [68]-[72], [81, 83, 90, 92]. С помощью приведенных модулей получено большое число результатов в геометрической теории функций: их применяют при изучении квазиконформных и квазирегулярных отображений [78, 93], однолистных гармонических отображений [66], многолистных функций [45]. В теории конформных отображений приведенные модули нашли эффективное применение при доказательстве теорем покрытия и искажения [10, 18].

В теории плоских конденсаторов существуют два подхода к изучению приведенных модулей: экстремально-метрический и емкостной. Систематическому развитию первого подхода посвящены работы Г. В. Кузьминой, а также Е. Г. Емельянова и А. Ю. Солынина (см. 27,43]). Мы придерживаемся второго подхода, когда приведенный модуль возникает в асимптотике емкости обобщенного конденсатора при стягивании его пластин в точки [13]. Оба подхода дополняют и обогащают друг друга. Заметим, что ранее при емкостном подходе рассматривались в основном «внутренние» приведенные модули относительно произвольного конечного числа точек, в то время как при экстремально-метрическом подходе дополнительно использовались такие разновидности «граничного» приведенного модуля, как приведенный модуль двуугольника и треугольника.

Цель диссертационной работы — развивая емкостной подход, ввести и изучить наиболее общие понятия приведенных модулей, включающие как его внутренние так и граничные разновидности при любом количестве вершин и при различных типах емкостей конденсатора, и показать приложения таких приведенных модулей в геометрической теории функций комплексного переменного.

В первой главе изучаются две разновидности приведенного модуля, исследуются их свойства и рассматриваются частные случаи.

В параграфе 1.1 вводится понятие приведенного модуля М (В, Г, А, Ф) множества В относительно некоторых его граничных дуг Г С п дБ) и совокупности % = - внутренних и граничных ток=1 чек этого множества, а также заданных совокупностей вещественных чисел п д = №)ь=1>? Ч Ф 0 и Функций Ф = {/^г1/*}£=1, где щ ~ произволь-к=1 ные положительные числа.

Обобщенным приведенным модулем множества В относительно множества Г и совокупностей А, Ф называется предел.

М (В, Г, А, Ф) = Нт{|С7(г- 5, Г, Я, А, Ф)| + ^ 1о8г}, (1.1.1) г->1) ¿-'К если он существует и конечен. Здесь |С (гВ, Г, А, Ф)| - величина, обратная конформной емкости обобщенного конденсатора, для которого допустимая функция равна нулю в окрестности Г и равна 6к в окрестности почти кругов в В с центрами в точках радиусов /¿-¿-г" *, к = 1,., п, число ак = 2, если⁶ 5, и а&7Г — внутренний угол множества В с вершиной в точке если хь? дВ.

В параграфе 1.2 показано, что введенный таким образом приведенный модуль содержит как частные случаи приведенные модули Е. Г. Емельянова, А. Ю. Солынина, Г. В. Кузьминой, В. Н. Дубинина и др. Мы приводим формулы для вычисления некоторых приведенных модулей через внутренние радиусы областей и функции Грина. В параграфах 1.3, 1.4 устанавливаются свойства обобщенного приведенного модуля: монотонность, поведение при конформном отображении и принципы симметрии.

В пятом параграфе первой главы доказываются следующие принципы композиции.

Теорема 1.6. Пусть мноэ/сества В, Г и совокупности Z = Д = Ф = {^кг1/кУк= и {ак}к=1 ~ из определения приведенного модуля М := М (В, Г, А, Ф). Пусть В^ г = 1,., т, — попарно непересекающиеся открытые подмножества В, и пусть Гг-, Zi = А" =^г = {Щ]гЩ*У}*= и 1 ~ из определения приведенных модулей М (:= М (В{, Г{, Z^, Д,-, Ф,-), г — 1,., т. Предположим, что выполняются следующие условия: каэ/сдая точка из совокупности совпадает с точкой гк € % при некотором к = (в случае, когда г^ - достижимая граничная точка множества В{, имеется ввиду, что изобраоюаю-щая ее точка совпадает с точкой или с точкой, изображающей точку 2^)/ для любых г и ] имеют место равенства = ¡-хц = Щз —^к, где к = Г, — С Г, г = 1,., ш, и пг/сть п т щ аа5Ы^г (1.5.14) к=1 г=1 j=l.

Тогда, при условии существования указанных приведенных модулей, справедливо неравенство п ^ т / щ.

М? ак82к/щ <? МЛ схфЦуц к=1 / ?=1.

Теорема 1.7. Пусть выполняются все условия теоремы 1.6. со следующими изменениями: а) г = 1,., т — попарно непересекающиеся открытые мноо1сества на С2) для которых дВ{ ГС С2 В, г = 1,., т (взамен условия Вг С В, г = 1,., т), б) каэ1сдая точка ^ Е Z совпадает с некоторой точкой г^ Е Zi, т в) Г С У Гг- (взамен условия ГгС Г, % = 1,., т). г=1.

Тогда при условии существования приведенных модулей справедливо неравенство п / щ м? ак5к/"к ^ Е мч Л.

1 / г=1 -=1.

Свойства монотонности и принципы композиции для обобщенного приведенного модуля имеют весьма простой смысл и, в то же время, содержат как частные случаи многие важные утверждения такого рода, известные ранее под другими названиями: классические леммы Греча [10, с. 38−40], одна из разновидностей кусочно разделяющей симметризации [12], неравенства для приведенных модулей при разбиении треугольника на треугольники и двуугольника на двуугольники (ср. [43, с. 19]), неравенство Е. Г. Емельянова между приведенными модулями двух типов [22], неравенства П. Дюрена и М. Шиффера для емкостей Робена и функций Робена и.

ДР.

В параграфе 1.7 рассматривается другая разновидность приведенного модуля М (В, Т, Д, Ф), полученная аналогично определению (1.1.1), но при дополнительном требовании на допустимые функции: они должны быть постоянными в некоторых окрестностях выбранных компонент дополнения исходного множества В. Это обобщение содержит как частный случай приведенный модуль т (го, Г, В) области В относительно некоторой точки го этой области и отмеченной граничной компоненты Г, введенный И. П. Митюком [36] (определение этого модуля дано в параграфе 1.6), а также определения приведенного модуля, восходящие к работам Г. Греча, О. Тейхмюллера, Г. Виттиха и имеющие различнные приложения в теории аналитических функций (см. например [10, 36]). Сравнение двух разновидностей приведенных модулей дает неравенство м{в, г, я, а, ф) > м (в, г, г, а, ф). (1.7.24).

В параграфе 1.8 диссертации исследованы основные свойства обобщенного приведенного модуля М (В, Г, А, Ф), связанные с расширением множества, выполнением конформного отображения и реализацией принципа композиции.

Вторая глава посвящена некоторым приложениям обобщенных приведенных модулей к традиционным задачам геометрической теории функций комплексного переменного.

Обозначим через В — класс функций ю = /(-г), регулярных и однолистных в единичном круге и := {г: г < 1}, и удовлетворяющих условию |/(г)| < 1 при 2? 11. Пусть Во — подкласс функций из класса В, для которых /(0) = 0. Основным результатом параграфа 2.1 является следующая теорема искажения для ограниченных и однолистных в круге функций.

Теорема 2.1. Пусть функция ю = /(г) принадлежит классу В, и пусть она и ее производные определены также в граничных точках Ч, %к = 1/(^)1 = 1) к = 1,., I. Пусть гк, к = I + 1,., п — произвольные точки круга II. Тогда для любых вещественных чисел 6к, к = 1,., п, удовлетворяющих условию.

4 + 2? 4 = о.

2.1.1) к=1 к=1+1 справедливо неравенство.

Г I п иь=1 к=1+1 п п.

2 8к5, пп.

1 — гкг8.

2.1.2) к=1з=1+1.

1 — /М/М где вк8 = 2, если одновременно к >1 + 1 и б> 1 + 1, и — 1 б остальных случаях.

Неравенство (2.1.2) для класса функций Во при 1 = 1, п = 2 и 2г2 = 0 дает результат А. Ю. Солынина [43], а если положить / = 2, п = 3, хз = 0 и ¿-з = -½, то получим неравенство А. Ю. Васильева и К. Поммеренке [86, с. 434].

Особый интерес в последнее время возникает к классическим двуточечным теоремам искажения для однолистных аналитических функций (см., например [75, 76, 77, 87]). С другой стороны, не ослабевает интерес и к оценкам, содержащим производную Шварца [88, 89]. Обозначим через.

— вычисленную в точке г производную Шварца функции /(г). В параграфе 2.2 доказаны двуточечные теоремы искажения для Шварциана, в частности, имеет место.

Теорема 2.2. Если функция ио = /(г)? В, то для любых точек х и ?2 из единичного круга и и любых вещественных постоянных 71 и 72 справедливы неравенства.

Ы-/Ы)2 (Z2 — Zi)4 — Z1Z2.

UWM/Mi'J.

-^(rfa)1- (2−2-7).

1−1/ЫРУ (1 — W2)2 (1 — Ы2)2 |i — ггг2|2' + 127 172.

1 — f (zi)f (z2))2 |1-^2|2 1?-. /WW 1^Г-JfWLV /о о о.

— «127l72Re Iе шгш -671 Ir^wJ — (2−2-8) п 2 (fU) V, 67l2 67f 127 172.

672 h-ГТТТТТэ +7i-iTT^ + Ti-TTm? +.

Д-1/Ы12- (i-ki2)2 (1-N2)2 h-zir где el2a = ——— • —Равенство в (2.2.7) и (2.2.8) достигается для z2~ z 1 — ZiZ2 для функции w = f (z), заданной соотношением еш——— ———,.

1 — zz 1 — rw Z2-Z1 z2-zi гае a = it — arg —, r =-. ii-^i+va-kiHa-hi2).

В работе [85, с. 217] для класса функций Во К. Поммеренке доказал неравенство x/IMfcap f (E) > cap Е, где cap (•) означает логарифмическую емкость, а множества Е и f{E) лежат на единичных окружностях [12, с. 15]. Третий параграф второй главы диссертации содержит далеко идущее обобщение этого результата (теорема 2.4).

Пусть 7 — замкнутое подмножество окружности z — 1, Z = - совокупность точек z.? U, k = 1,., п, и, А = - совокупность вещественных чисел к = 1,., п, ^ 8 ^ 0. Для заданных, А к=1 введем обозначение.

2п 2 п.

Я (7, А) =^52к 1оёг (С, 7, хк) + ^ й^Дт^*" *')' а-=1 кфв где 5п+к = 5к, = 1/5*, А- = 1,., п.

Теорема 2.4. Пусть функция ги = /(г) принадлежит классу В и пусть /(х) —> 1, когда точка х стремится к множеству 7, состоящему из конечного числа замкнутых дуг на окружности х = 1. Тогда для любых совокупностей точек Ъ — и чисел, А = справедливо неравенство >Я (/(7),^А)-Я (7,^А)) (2.3.16).

Й Я**) где Ж = о штрих у знака суммы означает, что при хк =.

0 (/(??) = 0) под соответствующим множителем понимается единица. Вычисляя правую часть в (2.3.16) в случае двух сближающихся точек и 22 и <$ 1 = — 82 = 1, получаем.

Следствие 2.1. Если функция и) = /(х) принадлежит классу Во и если /(г) —> 7' С {и): |го| = 1}, когда точка х стремится к замкнутой дуге 7 С {х: х = 1}, то выполняется неравенство.

7 о. ./ |2.

2 ^С08—|/'(0)|2со8—^, (2.3.18) где, а — длина дуги 7, егЬ — середина этой дуги, а' - длина 7', а ег*' - ее середина. Равенство достигается для функции Пика 1(х]Х) = к~г (Хк (2:)) и дуг {г: х = е{в, в < с/2} для любых 0 < <7 < 2п и 8Н12(а/4) < Л < 1 (здесь &-(г) = х{1 — х)~2 — функция Кебе).

Используя теорему 2.1 в частных случаях (при конкретных наборах Д, Ф), в параграфе 2.4 получены следующие результаты для коэффициентов однолистных функций.

Теорема 2.5. Если функция гп = /(г) = ^ а^ принадлеснсит классу к=1.

Во, то.

Щ — 5/(0)| < 60(1 — Ы4 — 2|а2|2). (2.4.21).

Равенство достигается для функций Пика егв1{егв'г А), где 0 < Л < 1, а в, & - вещественные числа.

Теорема 2.6.Пусть функция и) = /(г) принадлежит классу В, и пусть, дополнительно, /(г) определена на некоторой открытой дуге окружности г = 1, содержащей точку х = 1, триэ/сды дифференцируема в этой точке и отображает указанную дугу на дугу окружности |ги| = 1 так, что справедливо разложение г) = 1 + 01(2 — 1) + а2{г — I)2 + а3(г — I)3 + о ((г — I)3), 2 1, г < 1. Тогда имеют место точные оценки.

2Иеа2 > ах{а1 — 1), (2.4.24).

Це (|М)<0. (2.4.25).

Равенство в первом неравенстве достигается для функций Пика 1(г-Х), О < А < 1, а во втором — для тождественного отображения /(г) = г.

Неравенство (2.4.25) теоремы 2.6. можно трактовать и как оценку действительной части Шварциана на границе.

Ие5/(1) <0.

С помощью теорем 2.5 и 2.6 в параграфе 2.5 найдены оценки для коэффициентов алгебраических полиномов. В частности доказана следующая.

Теорема 2Я. Для любых полипомов Р (г) = ]Г) С}.гк степени п с век=о щественными коэффициентами к = 0,1,., п имеет место точная оценка с1{с1 + ^п1)<2^-Н (Р)-Ь{Р)) где Ь (Р) = шш{Р (г): г е [-1,1]}, ЩР) = тах{Р (г): г € [-1,1]}.

Равенство достигается для полинома Чебышева первого рода. Из теоремы 2.8 следует известная оценка с"|<(Я (Р)-1(Р))2п-2, эквивалентная классическому свойству полинома Чебышева Тп (г) = гп +. наименее отклоняться от нуля на отрезке [—1,1] среди полиномов вида Р (г) = гп +. [64]. Таким образом, полученную оценку можно рассматривать как уточнение этого свойства с участием следующего коэффициента полинома Р (г).

Задачи об экстремальном разбиении занимают существенную часть геометрической теории функций комплексного переменного [12, 27]. Заменяя в этих задачах известные приведенные модули на обобщенные [17], приходим к новым постановкам. В параграфе 2.6 с помощью принципа композиции для приведенного модуля М (В, Г, Z, А, Ф) и диссимметризации установлены следующие результаты.

Теорема 2.9.Пусть функции т = fk{z), к = 1,., п мероморфно и однолистно отображают круг и на попарно неналегающие области, причем /¿-(О) ф оо, к = 1 Тогда для любых вещественных чисел вь, к = 1,., п справедливо неравенство у Ке 1 < Ке V (2 6 27).

Ьх |/и°)12 то)?. / - Ь (лад — жог (2−6-27).

Теорема 2.10.Для любых мероморфных и однолистных в круге и функций и) = отобраоюающих этот круг на попарно неполегающие области таким образом, что /к (0) = 1, к = 1,., п, справедливо точное неравенство.

Равенство в (2.6.29) достигается для функций /¿-(г) = ехр (27гг (& — 1)/п)[(1 + *)/(1 — г)]2/", где под корнем понимается ветвь, сохраняющая единицу, к = 1,., п.

Выписанные утверждения можно получить, по-видимому, методом Нехари [82], поскольку данный метод и наш подход опираются на принцип Дирихле. Вместе с тем, представляет интерес емкостная интерпретация результатов и привлечение в дальнейшем симметризационных преобразований конденсаторов [12].

В параграфе 2.6 получены также некоторые приложения приведенного модуля М (В, Г, Д, Ф) к задачам о неналегающих областях (теоремы 2.11 и 2.12).

В седьмом параграфе второй главы доказываются теоремы покрытия. Пусть В* - произвольная экстремальная область типа К с граничной компонентой г = 1. Это означает, что точка г = О Е В*- всякая граничная компонента области В*, отличная от |, г| = 1, есть дуга окружности (или точка), концентрической с г = 1- и для достаточно малых г > 0 модуль семейства кривых, лежащих в В*{г: г < г}, разделяющих окружности г = г и |, г| = 1, равен модулю кольца г < г < 1.

Пусть в (В*) — класс функций и) = ¡-(г), конформно и однолистно отображающих область В* С С2 на некоторую область В С Сш так, что /(0) = 0, /'(0) = 1 и окружность г = 1 переходит во внешнюю граничную компоненту Г области В. Обозначим через ЛД0), /? Б (В*) расстояние от начала координат до ближайшей точки Г, лежащей на луче а^го = 9, 0 < < ооздесь 9 — произвольное действительное число. Если при данном 9 указанной точки не существует, то полагаем Л/(0) = +оо.

Теорема 2.13.Для любой функции ш = /(г) класса 5(В*) и любого действительного числа 9 справедливо неравенство пЧ^М (2−7-зз) к-1.

Равенство в (2.7.33) имеет место для функции т = г[1 + (егвг)п]~2/п.

При п = 1 неравенство (2.7.33) обобщает известную теорему Кебе-Бибербаха на случай функций, заданных в многосвязных областях. В 1956 г. Ю. Е. Аленицын установил, что для многосвязных областей справедливо неравенство [1, теорема 1] л Л ^ 1 шах Аг [ 9 -|—> —р.

1 <�к<�п 3 п) ~~ Щ.

Для односвязных областей утверждение, аналогичное (2.7.33), получено В. Н. Дубининым в работе [12, теорема 2.19].

Заключительная теорема 2.14 параграфа 2.7 содержит оценку Л/(0) снизу для функций, заданных в круге с одним концентрическим круговым разрезом, если известно, что другая компонента дополнения образа круга (не внешняя) содержит некоторый круг |ги + аегЬ | < К При фиксированных р, 0 < р < 1 и ср, 0 < ср < тг обозначим через <р) круг г < 1 с разрезом 7 := {г = ре—ср < ф < Рассмотрим функцию /о (, г-а, Я, 6) конформно и однолистно отображающую область Сг (р, <р) на область {ъи: |гу + а| > Щ с разрезом {ю: Ь < Иеи- < +оо, 1 т ги = 0}, а>0, Я> 0, Ь> 0 так, что /о (0- а, Я, Ъ) = 0. Эту функцию можно представить в виде суперпозиции следующих функций в (и — а) 01 (и + а)' ю = Нк &п (К{1 — 2и) + %К', к) — а, где в (и, т) — тета-функция с параметром т = 1К'/(2К), эп (и, к) — функция Якоби, к = II/(Ь + а), К и К' - связанные эллиптические интегралы, а = (гК' - Н)/(2К) + ½, 8п (Л, к) = у/а^к)-1, КеН = К, К'/2 < 1 т /г < К'.

Теорема 2.14.Пусть функция ги = /(г) конформно и однолистно отобраэюает область С (р,(р) на некоторую двусвязную область, одна компонента дополнения которой содержит круг вида т + аей < Я при некоторых а,? и В, а другая бесконечно удаленную точку, /(0) = 0 и ¡-/'(О)! > |/о (0)а> -К, Ь)|- Тогда справедливо неравенство.

Л/(0) > Ь.

Равенство достигается для функции /о (г-а, Л, Ь).

Перечислим основные результаты диссертационной работы:

1. Введено понятие обобщенного приведенного модуля, содержащее как его внутренние так и граничные разновидности. Установлены свойства обобщенного приведенного модуля: монотонность, поведение при конформном отображении, принципы симметрии и принципы композиции.

2. Обобщено понятие приведенного модуля И. П. Митюка и изучены некоторые его свойства.

3. Доказаны новые теоремы искажения для функций, ограниченных и однолистных в единичном круге. В частности, обобщено неравенство Поммеренке о поведении логарифмической емкости граничного множества при конформном отображении. Получены новые двуточечные теоремы искажения для производных Шварца ограниченных и однолистных функций.

4. Установлены новые неравенства для коэффициентов однолистных функций, ограниченных в единичном круге, а также для коэффициентов алгебраических полиномов.

5. Доказаны новые теоремы об экстремальном разбиении комплексной сферы и теоремы покрытия.

По теме диссертации опубликовано 13 работ [17],[20],[48]-[58].

Результаты диссертации по мере их получения докладывались на Дальневосточных математических школах — семинарах им. академика Е.В. Зо-лотова (Владивосток, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005), на Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 2002, 2004), на семинарах по геометрической теории функций ИПМ ДВО РАН (руководитель чл.-корр. РАН В.Н. Дубинин), на научном семинаре ИПМ ДВО РАН (руководитель чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецов), на семинарах кафедры математики ДВГСГА (руководитель профессор Б.Е. Фишман), на областных смотрах-конкурсах научных работ молодых ученых и аспирантов высших учебных заведений и учреждений науки Еврейской автономной области (2004, 2005).

1. Аленицын, Ю. Е. Об однолистных функциях в многосвязных областях / Ю. Е. Аленицын // Матем. сб. -1956. -Т. 39(81), № 3. — С. 315−336.

2. Аленицын, Ю.Е. О функциях без общих значений и внешней границе области значений функций / Ю. Е. Аленицын // Матем. сб. -1958. -Т. 46(88), № 4. -С. 373−388.

3. Аленицын, Ю. Е. Об однолистных функциях без общих значений в многосвязной области / Ю. Е. Аленицын // Тр. Мат. ин-та АН СССР. -1968. -Т. 94. -С. 4−18.

4. Асеев, В. В. Непрерывность конформной емкости для конденсаторов с равномерно совершенными пластинами / В. В. Асеев // Сибирский математический журнал. -1999. -Т. 39, № 2. -С. 243−253.

5. Асеев, В. В. Деформация пластин малых конденсаторов и проблема П. П. Белинского / В. В. Асеев // Сибирский математический журнал. -2001. -Т. 42, № 6. -С. 1215−1230- поправка к статье // Сибирский математический журнал. -2003. -Т. 44, № 1. -С. 232−235.

6. Асеев, В. В. Трансфинитные диаметры и модули конденсаторов в полуметрических пространствах / В. В. Асеев, O.A. Лазарева // Дальневосточный математический журнал. -2004. -Т. 5, № 1. -С. 12−21.

7. Виттих, Г. В. Новейшие исследования по однозначным аналитическим функциям / Г. В. Виттих. -М.: Физматгиз, 1960. 320 с.

8. Волковыский, Л. И. Сборник задач по теории функций комплексного переменного / Л. И. Волковыский, Г. Л. Лунц, И. Г. Араманович. -М.: Физматлит, 2002. 312 с.

9. Голузин, Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г. М. Голузин. -М.: Наука, 1966. 630 с.

10. Дженкинс, Дж. Однолистные функции и конформные отображения / Дж. Дженкинс. -М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 268 с.

11. Дитмар, Б. Искажение гиперболической емкости Робина при конформном отображении и экстремальные конфигурации / Б. Дитмар, А. Ю. Солынин // Зап. научн. семин. ПОМИ. -2000. -Т. 263. -С. 49−69.

12. Дубинин, В. Н. Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного / В. Н. Дубинин // Успехи матем. наук. -1994. -Т. 49, № 1. -С. 3−76.

13. Дубинин, В. Н. Приведенные модули открытых множеств в теории аналитических функций / В. Н. Дубинин // Докл. РАН. -1998. -Т. 363, № 6. -С. 731−734.

14. Дубинин, В. Н. Приведенный модуль комплексной сферы / В. Н. Дубинин, Л. В. Ковалев // Зап. научн. семин. ПОМИ. -1998. -Т. 254. -С. 76−94.

15. Дубинин, В. Н. Экстремальные задачи теории функций, связанные с п-кратной симметрией / В. Н. Дубинин, Е. В. Костюченко // Зап. научн. семин. ПОМИ. -2001. -Т. 276. -С. 83−111.

16. Дубинин, В. Н. Конформные отображения и неравенства для алгебраических полиномов / В. Н. Дубинин // Алгебра и анализ. -2001. -Т. 13. Вып. 5. -С. 16−43.

17. Дубинин, В. Н. Обобщенный приведенный модуль / В. Н. Дубинин, Н. В. Эйрих // Дальневосточный математический журнал. -2002. -Т. 3, № 2. -С. 150−164.

18. Дубинин, В. Н. Емкости конденсаторов в геометрической теории функций / В. Н. Дубинин. -Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та. 2003. -116 с.

19. Дубинин, В. Н. Конформные отображения и неравенства для алгебраических полиномов II / В. Н. Дубинин // Зап.научн.семин. ПОМИ. -2003. -Т. 302. -С. 18−37.

20. Дубинин, В. Н. Некоторые применения обобщенных конденсаторов в теории аналитических функций / В. Н. Дубинин, Н. В. Эйрих // Зап. научн. семин. ПОМИ. -2004. -Т. 314. -С. 52−75.

21. Емельянов, Е.Г. К задачам об экстремальном разбиении / Е. Г. Емельянов // Зап. науч. семии. ЛОМИ. -1986. -Т. 154. -С. 76−89.

22. Емельянов, Е.Г. О связи двух задач об экстремальном разбиении / Е. Г. Емельянов // Зап. науч. семин. ЛОМИ. -1987. -Т. 160. -С. 91−98.

23. Емельянов, Е. Г. Теоремы об экстремальном разбиении в семействах систем областей различных типов / Е. Г. Емельянов, Г. В. Кузьмина // Зап. научн. семин. ПОМИ. -1997. -Т. 237. -С. 74−104.

24. Кузьмина, Г. В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы / Г. В. Кузьмина // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. Ленинград. -1980. -Т. 139. 240 с.

25. Кузьмина, Г. В. Об экстремальных свойствах квадратичных дифференциалов с полосообразными областями в структуре траекторий / Г. В. Кузьмина // Зап. науч. семин. ЛОМИ. -1986. -Т. 154. -С. 110−129.

26. Кузьмина, Г. В. К вопросу об экстремальных свойствах квадратичных дифференциалов с концевыми областями в структуре траекторий / Г. В. Кузьмина // Зап. науч. семин. ЛОМИ. -1988. -Т. 168. -С. 98−113.

27. Кузьмина, Г. В. Методы геометрической теории функций I, II / Г. В. Кузьмина // Алгебра и анализ. -1997. -Т. 9, № 3. -С. 41−103- № 5. -С. 1−50.

28. Кузьмина, Г. В. К задачам об экстремальном разбиении в семействах систем областей общего вида / Г. В. Кузьмина // Зап. науч. семин. ПОМИ. -2000. -Т. 263. -С. 157−186.

29. Курант, Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности / Р. Курант. -М.: Изд-во иностранной лит-ры, 1953. -310 с.

30. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. -СПб.: Лань, 2002. 688 с.

31. Мазья, В. Г. Пространства С.Л.Соболева / В. Г. Мазья. -Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1985. 415 с.

32. Миклюков, В.М. О некоторых граничных задачах теории конформных отображений / В. М. Миклюков // Сиб. матем. журн. -1977. -Т. 18, N2 5. -С. 1111−1124.

33. Миклюков, В. М. Конформное отображение нерегулярной поверхности и его применения / В. М. Миклюков. -Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2005. 273 с.

34. Митидиери, Э. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных / Э. Митидиери, С. И. Похожаев. -М.: МАИК «Наука/Интерпериодика», 2001. -383 с.

35. Митюк, И. П. Про однолист1 конформш вщображення многосвъязних областей / И. П. Митюк // ДАН УРСР. -1961. -№. -С. 158−160.

36. Митюк, И. П. Обобщенный приведенный модуль и некоторые его применения / И. П. Митюк // Изв. вузов. Математика. -1964. 2. -С. 110−119.

37. Олесов, A.B. Неравенства для мажорантных аналитических функций / A.B. Олесов // Зап. научн. семин. ПОМИ. -2004. -Т. 314. -С. 155−173.

38. Олесов, A.B. Неравенства для целых функций конечной степени и полиномов / A.B. Олесов // Зап. научн. семин. ПОМИ. -2004. -Т. 314. -С. 174−195.

39. Полиа, Г. Изопериметрические неравенства в математической физике / Г. Полиа, Г. Сегё. -М.: Физматгиз, 1962. 336 с.

40. Прудников, А. П. Интегралы и ряды / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. -М.: Наука, Главная редакция физ.-матем. литературы, 1981. 800 с.

41. Решетняк, Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением / Ю. Г. Решетняк. -Новосибирск: Наука, 1982. 288 с.

42. Солынин, А. Ю. Решение одной изопериметрической задачи Полиа-Сеге / А. Ю. Солынин // Зап. научн. семин. ЛОМИ. -1988. -Т. 1G8. -С. 140−153.

43. Солынин, А. Ю. Модули и экстремально-метрические проблемы / А. Ю. Солынин // Алгебра и анализ. -1999. -Т. 11. -Вып. 1. -С. 3−86.

44. Сычев, A.B. Модули и пространственные квазиконформные отображения / A.B. Сычев. -Новосибирск: Наука, 1983. 161 с.

45. Хейман, В. К. Многолистные функции / В. К. Хейман. -М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 179 с.

46. Шлык, В. А. Емкость конденсатора и модуль семейства разделяющих поверхностей / В. А. Шлык // Зап. научн. сем. ЛОМИ. -1990. -Т.185. -С. 168−182.

47. Шубин, М. Емкости и их приложения / М. Шубин // Доклады международной школы-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика РАН Ю. Г. Решетняка. -Новосибирск. -С. 32−46.

48. Эйрих, Н. В. Приведенные модули п угольников / Н. В. Эйрих // Тезисы докладов Дальневосточной математической школы-семинараим. академика Е. В. Золотова. -Владивосток, ИПМ ДВО РАН. -2000. -С. 116−117.

49. Эйрих, Н. В. Принцип композиции для обобщенных приведенных модулей / Н. В. Эйрих // Тезисы докладов ДВ математической школы-семининара им. академика Е. В. Золотова. -Владивосток, ИПМ ДВО РАН. -2002. -С. 14−15.

50. Эйрих, Н.В. О вычислении приведенных модулей п угольников / Н. В. Эйрих // Тезисы докладов ДВ конф. студентов и аспирантов по матем. моделированию. -Владивосток, ИПМ ДВО РАН. -2002. -С. 3839.

51. Эйрих, Н.В. О приведенном модуле И. П. Митюка / Н. В. Эйрих // Дальневосточный математический журнал. -2003. -Т. 4, № 2. -С. 167— 181.

52. Эйрих, Н. В. Теорема покрытия для однолистных функций в круге с концентрическим круговым разрезом / Н. В. Эйрих // Тезисы докладов ДВ математической школы-семинара им. академика Е. В. Золотова. -Владивосток, ИПМ ДВО РАН. -2003. -С. 21−22.

53. Эйрих, Н.В. К вопросу о приведенных модулях в теории аналитических функций / Н. В. Эйрих // Сборник докладов Международной научно-практической конференции. 4.1. -Биробиджан, Изд-во БГПИ. -2004. -С. 37−43.

54. Эйрих, Н.В. К теоремам искажения для регулярных ограниченных и однолистных в круге функций / Н. В. Эйрих // Тезисы докладовДВ математической школы-семинара им. академика Е. В. Золотова. -Владивосток, ИПМ ДВО РАН. -2004. -С. 23−24.

55. Эйрих, Н.В. О коэффициентах однолистных ограниченных функций и алгебраических полиномов / Н. В. Эйрих // Тезисы докладов ДВ конф. студентов и аспирантов по матем. моделированию. -Владивосток, ИПМ ДВО РАН. -2004. -С. 6−8.

56. Эйрих, Н. В. Двуточечные теоремы искажения для ограниченных однолистных в круге функций / Н. В. Эйрих. -Владивосток: ИПМ ДВО РАН, препринт № 01, 2005. 13 с.

57. Эйрих, Н. В. Двуточечная теорема искажения для ограниченных однолистных функций / Н. В. Эйрих // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней матем. школы. -Воронеж. -2005. -С. 256−257.

58. Эйрих, Н. В. Оценки коэффициентов алгебраических полиномов / Н. В. Эйрих // Комплексный анализ и его приложения: Тезисы докладов международной школы-конференции. -Краснодар: Кубанский госуд. университет. -2005. -С. 113−114.

59. Ahlfors, L.V. Conformal invariants and function-theoretic null-sets / L.V. Ahlfors, A. Beurling // Acta Math. -1950. -V. 83, № ½. -P. 101−129.

60. Ahlfors, L.V. Conformal invariants / L.V. Ahlfors. Topics in geometric function theory. -New York: McGraw-Hill, 1973. 157 p.

61. Baernstein II, A. A counterexample concerning integrability of derivatives of conformal mappings / A. Baernstein II // J. Anal. Math. -1989. -V. 53. -P. 253−268.

62. Barnard, R. Local variations and minimal area problems / R. Barnard, A. Solynin // Indiana J. of Math. -2004. -V. 53. -P. 135−167.

63. Betsakos, D. Polarization, conformal invariants and Brownian motion / D. Betsakos // Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. A I Math. -1998. -V. 23. -P. 59−82.

64. Borwein, P. Polynomials and polynomial inequalities / P. Borwein, T. Erdelyi // Grad. Texts in Maht. -V. 161. -New York: Springer-Verlag, 1995. 480 p.

65. Carleson, L. Some results connected with Brennan’s conjecture / L. Carleson, N.G. Makarov // Ark. Mat. -1994. -V. 32, № 1. -P. 33−62.

66. Clunie, J. Univalent harmonic mappings / J. Clunie, T. Sheil-Small // Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. AI Math. -1984. -V. 9. -P. 3−25.

67. Dubinin V.N. Capacities and geometric transformation of subsets in n-space / V.N. Dubinin // Geometric and Functional Analysis. -1993. -V. 3, № 4. -P. 342−369.

68. Duren, P. Robin functions and energy functionals of multiplay connected domains / P. Duren, M.M. Schiffer // Pacific J. Math. -1991. -V. 148. -P. 251−273.

69. Duren, P. Robin functions and distortion of capacity under conformai mapping / P. Duren, M.M. Schiffer // Complex Variables. -1993. -V. 21. -P. 189−196.

70. Duren, P. Robin capacity and extremal length / P. Duren, J. Pfaltzgraff // J. Math. Analysis Appl. -1993. -V. 179, № 1. -P. 110−119.

71. Duren, P. Physical interpretation and further properties of Robin capacity / P. Duren, J. Pfaltzgraff, E. Thurman // Алгебра и анализ. -1997. -T. 9. Вып. 3. -С. 211−219.

72. Duren, P. Robin capacity / P. Duren // Computational methods and function theory (CMFT'97) N. Papamichael, St. Ruscheweyh and E.B.Saff (Eds.) World scientific Publishing Co. -1999. -P. 177−190.

73. Gaier, D. On the computation of modules of long quadrilaterals / D. Gaier, W. Hayman // Constr. Approx. -1991. -V. 7. -P. 453−467.

74. Hersch, J. On the reflection principle and some elementary ratios of conformai radii / J. Hersch // J. Anal. Math. -1984/85. -V. 44. -P. 251−268.

75. Jenkins, J.A. On weighted distortion in conformai mapping II / J.A. Jenkins // Bull. London Math. Soc. -1998. -V. 30. -P. 151−158.

76. Jenkins, J.A. On two point distortion theorems for bounded univalent regular functions / J.A. Jenkins // Kodai Math. J. -2001. -V. 24, № 3. -P. 329−338.

77. Kim, S. Two-point distortion theorems for univalent functions / S. Kim, D. Minda // Pacific J. Math. -1994. -V. 163, № 1. -P. 137−157.

78. Kovalev, L.V. Quasiregular mappings of maximal local modulus of continuity / L.V. Kovalev 11 Ann. Acad. Sei. Fenn. Math. -2004. -V. 29. -P. 211−222.

79. Lehto, O. Univalent functions and Teichmuller spaces / 0. Lehto. -Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1987. 257 p.

80. Mejia, D. Sobre la derivada Schawarziana de aplicaciones conformes hiperbolicamente / D. Mejia, Ch. Pommerenke // Revista Colombiana de Matematicas. -2001. -V. 35, № 2. -P. 51−60.

81. Nasyrov, S. Robin capacity and lift of infinitely thin airfoils / S. Nasyrov // Complex Variables. -2002. -V. 47, № 2. -P. 93−107.

82. Nehari, Z. Some inequalities in the theory of functions / Z. Nehari // Trans. Amer. Math. Soc. -1953. -V. 75, № 2. -P. 256−286.

83. O’Neill, M.D. Extremal domains for Robin capacity / M.D. O’Neill, R.E. Thurman // Complex Variables. -2000. -V. 41. -P. 91−109.

84. Pfluger, A. Extremallangen und Kapazitat / A. Pfluger // Comment. Math. Helv. -1955. -V. 29. -P. 120−131.

85. Pommerenke, Ch. Boundary Behaviour of Conformal Maps / Ch. Pommerenke. -New York: Springer-Verlag, 1992. 300 p.

86. Pommerenke, Ch. Angular derivatives of bounded univalent functions and extremal partitions of the unit disk / Ch. Pommerenke, A. Vasil’ev // Pacific J. Math. -2002. -V. 206, № 2. -P. 425−450.

87. Roth, O. A distortion theorem for bounded univalent functions / O. Roth // Ann. Acad. Sei. Fenn. Math. -2002. -V. 27. -P. 257−272.

88. Schippers, E. Distortion theorems for higher-order Schwarzian derivatives of univalent functions / E. Schippers // Proc. Amer. Math. Soc. -2000. -V. 128, № 11. -P. 3241−3249.

89. Schippers, E. Conformal invariants and higher-order Schwarz lemmas / E. Schippers // J. Anal. Math. -2003. -V. 90. -P. 217−241.

90. Stiemer, M. Representation formula for the Robin function / M. Stiemer // Complex Variables. -2003. -V. 48, № 5. -P. 417−427.

91. Vasil’ev, A.Yu. Moduli of families of curves for conformal and quasiconformal mapping: Lecture Notes in Math. 1788 / A.Yu. Vasil’ev. -Berlin: Springer, 2002. 211 p.

92. Vasil’ev, A.Yu. Robin’s modulus in a Hele-Shaw problem / A.Yu. Vasil’ev // Complex Variables. -2004. -V. 49, № 7−9. -P. 663−672.

93. Vuorinen, M. Conformal geometry and quasiregular mappings / M. Vuorinen // Lect. Notes. Math. -1988. -V. 1319. -P. 1−207.

94. Wittich, H. Zur Konformen Abbildung schlichter Gebiete / H. Wittich // Math. Nachr. -1958. -V. 16. -P. 226−234.