Асимптотическое решение матрично сингулярно возмущенных линейных задач оптимального управления с ограничениями на управление

Актуальность темы

В течение последних пятидесяти лет внимание многих авторов, занимающихся асимптотическими методами теории дифференциальных уравнений, привлекают дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр при производной. Этот интерес вызван потребностями практики в связи с интенсивным развитием таких областей, как теория автоматического регулирования, теория нелинейных колебаний, квантовая механика, гидродинамика, кинетика и других, где встречаются подобного рода уравнения. Эти системы естественным образом возникают при моделировании и исследовании объектов различной природы, характерной особенностью которых является способность совершать одновременно быстрые и медленные движения.

Сложную композицию быстрых и медленных движений представляет собой движение систем твердых тел. В задачах динамики спутников это может быть связано с наличием демпфирующих устройств или упругих элементов малой массы. Для гироскопических приборов и систем наличие быстрых — нутационных и медленных — прецессионных колебаний хорошо известно и наблюдается практически всегда.

В теории автоматического управления модели, описываемые сингулярно возмущенными дифференциальными уравнениями, возникают по целому ряду причин. Во-первых, такая ситуация естественна для задач управления системами, динамика которых объективно складывается из разнотемповых движений: гироскопические, электромеханические и другие системы. Во-вторых, появление сингулярных возмущсний может быть связано со спецификой применяемых методов управления и для однотемповых систем. Примерами могут служить задачи с использованием метода штрафов при малом коэффициенте штрафа за управление (, дешевое" унравление) ([14]).

Системы дифференциальных уравнений, содержащие малый параметр при части производных, вида dt = edft=g{x, y, t, e). где х? Шт, у 6 IRn, t е М,£— малый параметр, относятся к классу сингулярно возмущенных систем.

Трудность построения асимптотического разложения решений таких уравнений и невозможность применения к ним обычной «классической» схемы разложения в степенной ряд по малому параметру связаны с тем, что если формально положить значение параметра равным нулю, то порядок уравнения понижается и решение упрощенного таким образом уравнения не может удовлетворить всем дополнительным условиям, поставленным для исходного уравнения. В связи с этой особенностью возмущения подобного рода получили название сингулярных.

За последние десятилетия изучен довольно широкий круг задач, связанных с сингуляными возмущениями, и разработаны разнообразные методы решения этих задач. Одним из основных методов является метод пограничных функций, предложенный для линейных задач М. И. Вишиком и JI.A. Люстерником ([15]) и для нелинейных задач А. Б. Васильевой ([7]-[9]). Он заключается в построении асимптотического разложения решения сингулярно возмущенной задачи в виде ряда, члены которого определяются после решения серии более простых невозмущенных задач. При этом ряд состоит из регулярной и погранслойной частей. Пограничные члены достаточно велики в окрестностях тех точек, где наблюдается явление пограничного слоя (другими словами, в окрестности тех точек, где заданы дополнительные условия, исчезающие для вырожденной системы), и экспоненциально убывают по мере удаления от них.

Асимптотические методы исследования сингулярно возмущенных систем активно используются в теории оптимальных процессов. То есть, уравнения (1) могут содержать вектор управляющих параметров и 6 IFF и иметь вид.

§ = f{x, y, u, t, e), = g{x, y, u, t, e).

Обзором, охватывающим многочисленные направления использования теории сингулярных возмущений в задачах управления, является обзор [10], опубликованный в 1982 г. С этого времени появились новые идеи и результаты. Следует отметить недавно опубликованный обзор М. Г. Дмитриева и Г. А. Куриной [20], в котором приведены основные результаты, касающиеся сингулярно возмущенных задач управления, опубликованные после 1982 г. Большинство статей и монографий по этой тематике имеют в своей основе тот или иной метод построения асимптотических разложений решений краевых задач, вытекающих из условий оптимальности управления. При этом широко используется как метод пограничных функций (А.Б. Васильева, В. Ф. Бутузов, Н.Н. Нефедов), так и методы разделения движений (В.В. Стрыгин, В. А. Соболев [51]) и согласования асимптотических разложений (A.M. Ильин [23]).

Другой подход к построению асимптотики решения задач оптимального управления, называемый прямой схемой, состоит в непосредственной подстановке постулируемого асимптотического разложения решения в условие задачи и нахождении серии задач оптимального управления, решениями которых являются члены асимптотики. Впервые этот подход использовался для сингулярно возмущенных задач С. В. Белокопытовым и М. Г. Дмитриевым (см., например, [3], [4], [21]).

Однако в задачах с замкнутой областью значений управляющей функции применение этих подходов построения асимптотики оптимального управления встречает ряд препятствий. Например, проблема с гладкостью. При использовании в этом случае прямой схемы известным является ограничение только на нулевой член разложения в ряд по степеням малого параметра для управляющей функции и возникает вопрос о том, каким ограничениям должно удовлетворять каждое следующее приближение оптимального управления. Для задач, содержащих ограничение на управление, исследования до конца 80-х годов носили преимущественно качественный характер. В основном исследовался предельный переход решения возмущенной задачи к решению вырожденной при стремлении малого параметра к нулю. Здесь следует указать работы М. Г. Дмитриева ([22]), P.V. Kokotovic и А.Н. Haddad ([65], [66]), Т. Р. Гичева, А. Л. Дончева ([19]), M.D. Ardema ([55]).

Сингулярно возмущенные задачи оптимального управления, содержащие ограничения на управление, исследовались в работах W.D.

Collins ([57]), Н. Н. Субботиной ([73]), а также H.J. Kelley ([61], [62]). Подобного рода задачи рассматривались также в обзорах [10], [20], [38], [63], [64], [68].

Задача оптимального быстродействия для сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений рассматривалась, например, в работах [25], [27], [57], [63] - [68].

В работе W.D. Collins ([57]) изучались вопросы о наличии и местоположении дополнительных точек переключения оптимального управления сингулярно возмущенной задачи оптимального быстродействия по отношению к вырожденной. Было установлено, что точки переключения оптимального управления в сингулярно возмущенной задаче при достаточно малых значениях параметра делятся на три группы. К первой группе относятся точки, сосредоточенные вблизи начального момента. Множество таких точек может быть пустым.

Второй группе принадлежат точки, близкие к соответствующим точкам переключения вырожденной задачи. Наконец, третья группа состоит из точек, сосредоточенных вблизи конечного момента (множество этих точек, вообще говоря, пустым быть не может, так как их появление обусловлено необходимостью исправить потерю граничных условий (если таковая произошла) при переходе к вырожденной задаче).

Метод построения асимптотических приближений к решениям широкого класса регулярно и сингулярно возмущенных задач оптимального управления, в которых уравнение состояния линейно, но управлению, а на значения управляющей функции наложено ограничение типа замкнутых неравенств, впервые был разработан А.И.

Калининым ([25] - [31], [60]). Этот метод позволяет получить в явном виде асимптотику точек переключения оптимального управления и построить для заданного натурального числа N асимптотически субоптимальное управление N-го порядка.

В работах О. В. Видилиной ([11] - [14]) для построения асимптотики точек переключения оптимального управления в задаче оптимального быстродействия производится декомпозиция уравнения состояния на уравнения с быстрыми и медленными переменными. Затем, постулируя структуру оптимального управления, выписываются соотношения для отыскания асимптотики точек переключения оптимального управления. Однако, в этих работах отсутствует строгое доказательство оптимальности управлений, поэтому в них, фактически, идет речь о построении асимптотики точек переключения допустимых управлений.

В последние двадцать лет возрос интерес к задачам управления с уравнением состояния не разрешенным относительно производной. Не разрешенные относительно производных системы носят в литературе название дескрипторных, вырожденных или сингулярных, систем обобщенного пространства состояний, систем полусостояния, алгебро-дифференциальных, неявных и обобщенных линейных систем. Системы такого вида можно встретить в экономике (уравнение межотраслевого баланса, модель Леонтьева), в теории электронных схем и в радиофизике (см., например, [2], [34], [16]).

Задачи управления с не разрешенным относительно производной уравнением состояния наряду с самостоятельным интересом представляют также интерес в теории сингулярно возмущенных задач, так как при пренебрежении малыми параметрами дифференциальный порядок модели понижается и возникает вопрос о существовании оптимального управления в такой вырожденной задаче, а также вопрос о корректности пренебрежения в смысле близости решений возмущенной и невозмущенной задач. Если даже решение вырожденной задачи не существует, то интерес представляет построение асимптотического разложения по малому параметру решения возмущенной задачи.

Наиболее полно изученными являются сингулярно возмущенные задачи управления, приводящиеся к уравнениям с оператором вида.

А+еВ при производной, где оператор, А вырожден, а А+еВ обратим при достаточно малых е ф 0 (см., например, обзоры [38], [20] и библиографический указатель [37]). Если, А ф diag (1,0) или В ф.

Ф diag (0,/), то такие задачи будем называть матрично сингулярно возмущенными. За очень редким исключением (см., например, [40], где изучался предельный переход при стремлении малого параметра к нулю в задаче Майера) ранее рассматривались матрично сингулярно возмущенные задачи оптимального управления без ограничений на значения управляющих функций.

Далее будем считать, что выполнены следующие условия:

1°. Все В — жордановы цепочки оператора, А имеют одинаковую длину р.

2°. Оператор QCP: Кег, А —> Кег Л', где P, Q — ортогональные проекторы пространства состояний на Кег А, Кег А' соответственно, обратим. Штрих с обозначением оператора всюду означает сопряженный оператор.

Цель работы. Основная цель настоящей диссертации — изучение структуры точек переключения оптимального управления для линейной матрично сингулярно возмущенной задачи оптимального быстродействия и построение асимптотических разложений точек переключения оптимального управления для линейной матрично сингулярно возмущенной задачи оптимального быстродействия и для одной линейной матрично сингулярно возмущенной задачи терминального управления при наличии ограничений на значения управляющей функции типа замкнутых неравенств.

Общая методика исследования. При изучении структуры точек переключения оптимального управления для матрично сингулярно возмущенной задачи оптимального быстродействия используется идея W.D. Collins [57] о разбиении множества точек переключения на три класса. Предварительно исходное уравнение состояния приводится к системе, в которой выделены быстрые и медленные переменные, затем производится переход к каноническому представлению системы.

При построении асимптотических разложений точек переключения оптимального управления применяется идея метода, предложенного А. И. Калининым (см. [25]), согласно которому происходит дскомпозиция исходной задачи на задачи меньшей размерности. При этом используется тот факт, что точки переключения при некоторых условиях делятся на две группы: точки, близкие к моментам переключения оптимального управления для соответствующей вырожденной задачи и точки, лежащие в некоторой малой окрестности конечного момента времени.

Поскольку в диссертации исследуются системы с нестандартным вхождением малого параметра, то непосредственно использовать результаты работ W.D. Collins и А. И. Калинина не представляется возможным.

В работе используются основные факты теории оптимального управления (принцип максимума JI.C. Понтрягина, теорема о числе переключений и т. п.), классические факты линейной алгебры и теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В работе изучена структура точек переключения оптимального управления для нового класса сингулярно возмущенных задач, а именно, для матрично сингулярно возмущенных линейных задач оптимального быстродействия. Построена асимптотика точек переключения оптимального управления для матрично сингулярно возмущенной линейной задачи оптимального быстродействия и для одной матрично сингулярно возмущенной задачи терминального управления.

Отметим, что в настоящей работе алгоритм построения асимптотики точек переключения оптимального управления значительно проще, чем алгоритм А. И. Калинина для стандартных сингулярно возмущенных задач за счет предварительного преобразования уравнения состояния возмущенной задачи в систему относительно медленных и быстрых переменных.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные результаты выясняют асимптотическую структуру оптимального управления для нового класса задач: линейных матрично сингулярно возмущенных задач оптимального быстродействия и терминального управления. При этом отсутствуют проблемы с вычислительной неустойчивостью, так как вычислительные процедуры алгоритмов не содержат интегрирования жестких систем. Приведенные алгоритмы построения асимптотических разложений точек переключения могут быть использованы для практических задач.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 19 параграфов, 22 рисунка и списка.

1. Багриновский К. А. О гладких решениях некоторых задач планирования / К. А. Багриновский // Проблемы народнохозяйственного оптимума. М., 1969.

2. Белокопытов С. В. Прямой метод решения задач оптимального управления с быстрыми и медленными движениями / С. В. Белокопытов, М. Г. Дмитриев // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1985. — № 3. — С. 147−152.

3. Белокопытов С. В. Решение классических задач оптимального управления с погранслоем / С. В. Белокопытов, М. Г. Дмитриев // Автоматика и телемеханика. 1989. — № 7. -С. 71−82.

4. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления / В. Г. Болтянский. М.: Наука, 1969. — 408 с.

5. Вайнберг М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. М.: Наука, 1969.527 с.

6. Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных / А. Б. Васильева // Журн. вычислительной мат. и мат. физ. 1963. — Т. З, № 4. — С. 641−642.

7. Васильева А. Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов.- М.: Наука, 1973.

8. Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. М.: Высш. шк, 1990. — 207 с.

9. Васильева А. Б. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления / А. Б. Васильева, М. Г. Дмитриев // Итоги пауки и техники. Сер. Мат. анализ. М., 1982. С.3−78.

10. Видилина О. В. Понижение порядка задачи оптимального быстродействия с сингулярными возмущениями / О. В. Видилина // Изв. РАЕН. Сер. МММИУ. 1999. — Т. З, № 2. С. 117−127.

11. Видилина О. В. Оптимальное управление в системах с быстрыми и медленными переменными / О. В. Видилина // Обозрение прикладной и пром. мат. 2001. — Т.8, № 1. — С. 124.

12. Видилина О. В. Декомпозиция задач оптимального быстродействия с сингулярными возмущениями / О. В. Видилина // Мехатроника, автоматизация, управление. 2004. — № 8. С. 16−23.

13. Видилина О. В. Интегральные многообразия в задачахоптимального быстродействия для сингулярно возмущенный дифференциальных уравнений: дис.. канд. физ.-мат. наук / О. В. Видилина. Самара, 2007. — 135 с.

14. Вишик М. И. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром / М. И. Вишик, JI.A. Люстерник // Успехи мат. наук.- 1957. Т. 12, вып. 5 (77). — С. 3−122.

15. Влах И. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем / И. Влах, К. Сингхал. М.: Радио и связь, 1988. — 559 с.

16. Габасов Р. Принцип максимума в теории оптимальногоуправления / Р. Габасов, Ф. М. Кириллова. Мн.: Наука и техника. — 1974. — 271 с.

17. Гамкрелидзе Р. В. Теория оптимальных, но быстродействиюпроцессов в линейных системах / Р. В. Гамкрелидзе // Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1958. — Т.22, № 4.

18. Гичев Т. Р. Сходимость решения линейной сингулярно возмущенной задачи быстродействия / Т. Р. Гичев, A.JI. Доичев // Прикладная мат. и механика. 1979. — Т.43, вып. 3. — С. 466−474.

19. Дмитриев М. Г. Сингулярные возмущения в задачах управления / М. Г. Дмитриев, Г. А. Курина // Автоматика и телемеханика. 2006. — № 1. — С. 3−51.

20. Дмитриев М. Г. Прямая схема построения асимптотикирешения классических задач оптимального управления / М. Г. Дмитриев, Г. А. Курина // Программные системы. Теоретические основы и приложения / под ред. А. К. Айламазяна. М., 1991.

21. Дмитриев М. Г. О непрерывности решения задачи Майера по сингулярным возмущениям / М. Г. Дмитриев // Жури, вычислительной мат. и мат. физ. 1972. — Т. 12, № 3. — С. 788−791.

22. Данилин А. Р. Асимптотика решения задачи о быстродействии при возмущении начальных условий / A.M. Ильин, А. Р. Данилин // Изв. АН. Техническая кибернетика. 1994. — № 3. — С. 96−103.

23. Егоров А. И. Основы теории управления/ А. И. Егоров. М.: Физматлит, 2004.

24. Калинин А. И. Асимптотические методы оптимизации возмущенных динамических систем / А. И. Калинин. Ми.: Экоперсиектива, 2000. 183 с.

25. Калинин А. И. Асимптотическая оптимизация линейныхсингулярно возмущенных систем управления / А. И. Калинин // Дифференциальные уравнения. 1989. — Т. 25, № 10. -С. 1687−1698.

26. Калинин А. И. Алгоритм асимптотического решения сингулярно возмущенной линейной задачи оптимального быстродействия / А. И. Калинин // Прикладная мат. и механика.- 1989. Т. 53, № 6. — С. 880−889.

27. Калинин А. И. Метод асимптотического решения сингулярновозмущенной линейной задачи терминального управления / А. И. Калинин // Журн. вычислительной мат. и мат. физ. -1990. Т. 30, № 3. — С. 366−378.

28. Калинин А. И. Асимптотика решений возмущенных задачоптимального управления / А. И. Калинин // Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1994. — № 3. — С. 104−114.

29. Калинин А. И. Асимптотика решения линейной сингулярновозмущенной задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями / А. И. Калинин // Жури, вычислительной мат. и мат. физ. 2000. — Т. 40, № 1. — С. 54−64.

30. Калинин А. И. Приближенное решение задачи оптимальногобыстродействия для линейной сингулярно возмущенной системы / А. И. Калинин // Вестн. БГУ. Сер. 1. 2006. — № 3. f: С. 109−114.

31. Калман Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб. М.: Мир, 1971. — 400 с.

32. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. М.: Мир, 1972. — 400 с.

33. Кобринский Н. Е. Экономическая кибернентика // Н. Е. Кобринский, Е. З. Майлинас, А. Д. Смирнов. М.: Экономика, — 1989. — 407 с.

34. Красовский Н. Н. Теория управления движением/ Н. Н. Красовский. М.: Наука, 1968. — 475 с.

35. Курина Г. А. Полная управляемость линейных матричносингулярно возмущенных систем / Г. А. Курина. Воронеж, 1987. — 7 с. -Деп. в ВИНИТИ 28.08.87, № 6373, В87.

36. Курина Г. А. Сингулярные возмущения в задачах управленияГ.А. Курина, Е. Ю. Долгополова // Библиограф, указатель (1982 2002) / - Воронеж: ВГЛТА. — 2004.

37. Курина Г. А. Сингулярные возмущения задач управления суравнением состояния, не разрешенным относительно производной: обзор / Г. А. Курина // Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1992. — № 4. — С. 20−48.

38. Курина Г. А. О расщеплении линейных систем / Г. А. КуринаДеп. в ВИНИТИ, Воронеж. 1990. — № 3484, В90.

39. Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. М.:Наука, 1972. — 432 с.

40. Ли Э. В. Основы теории оптимального управления / Э. В. Ли, Л. Маркус. М.:Наука, 1972. — 576 с.

41. Ломов С. А.

Введение

в общую теорию сингулярных возмущений / С. А. Ломов. М.:Наука, 1981. — 398 с.

42. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики / Н. Н. Моисеев. М.:Наука, 1969. — 400 с.

43. Мищенко Е. Ф. Дифференциальные уравнения с малымпараметром и релаксационные колебания / Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розов. М.:Наука, 1975. — 247 с.

44. Первозванский А. А. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация / А. А. Первозванский, В. Г. Гайцгори.- М.:Наука, 1979. 342 с.

45. Покорный Ю. В. Краткий курс математической теорииоптимальных задач / Ю. В. Покорный. Воронеж: Центр.-Чернозем, кн. изд-во, 2007. — 140 с.

46. Математическая теория оптимальных процессов / J1.C. Понтрягин и др.]. М.: Наука, 1983. — 392 с.

47. Пшеничный Б. Н. О задаче преследования / Б. Н. Пшеничный // Кибернентика. 1967. — № 6. — С. 54−64.

48. Соболев В. А. Декомпозиция разпотемповых систем с разрывными управлениями / В. А. Соболев, JI.M. Фридман // Автоматика и телемеханика. 1988. — К0- 3. — С. 29−34.

49. Стрыгин В. В. Разделение движений методом интегральных многообразий / В. В. Стрыгин, В. А. Соболев. М.: Наука, 1988. — 256 с.

50. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальныхуравнений от малого параметра / А. Н. Тихонов // Мат. сб.- 1948. 22, № 2. — С. 193−204.

51. Тихонов А. Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры / А. Н. Тихонов // Мат. сб. 1950. 27, № 2. С. 147−156.

52. Черноусько Ф. Л. Вычислительные и приближенные методыоптимального управления / Ф. М. Черноусько, В.Б. Колмановс-кий // Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ. М., 1977. Т. 20. С.101−166.

53. Ardeina M.D. Singular perturbations in systems and control / M.D. Ardeina. New York: Springer, 1983. — 251 -263 p.

54. Carlson D.A. Infinite Horizon Optimal Control / D.A. Carlson, A. Haurie // Lect. Notes in Econom. and Math. Systems.- 1987. V.290. — P. 255.

55. Collins W.D. Singular perturbations of linear time-optimal control problems /W.D. Collins // Recent Mathematical Develope-ments in Control. New York, 1973. — P.123−139.

56. Haddad A.H. Note on singular perturbation of linear state regulators / A.H. Haddad, P.V. Kokotovic // I.E.E.E. Trans. Autom. Control. 1971. — № 15. — P. 279−281.

57. Hadlock C. Near optimal design of three-time scale systemsC. Hadlock, M. Jamshidi, P.V. Kokotovic // In «Proc. Fourth Ann. Princeton Conf. Information Sciences and Systems». 1970. P. 118−122.

58. Kalinin A.I. Asymptotic optimization of a linear singularly perturbed system containing parameters of a different orders of smallness in the derivatives / A.I. Kalinin, I.V. Gribkovskaya // Сотр. Maths. Math. Phys. 1995. — V.35. — № 9. — P. 1041−1051.

59. Kelley H.J. Flight path optimization with multiple time scales / H.J. Kelley // Journal of Aircraft. 1971. — № 8. — P. 238−240.

60. Kelley H.J. Aircraft manoever optimization by reduced-orderapproximation / H.J. Kelley // Advances in Control Systems.- 1972. № 9.

61. Kokotovic P.V. Recent trends in feedback design: an overview / P.V. Kokotovic // Automatica. 1985. — 21, № 3. — P. 225−236.

62. Kokotovic P.V. Applications of singular perturbation techniques to control problems / P.V. Kokotovic // SIAM Review.- 1984. 26, № 4. — P. 501−550.

63. Kokotovic P.V. Controlability and time-optimal control ofsystems with slow and fast modes / P.V. Kokotovic, A.H. Haddad // IEEE Trans. Autom. Control. 1975. — V. 20, № 1. P. 111−113.

64. Kokotovic P.V. Singular perturbations of a class of time-optimalcontrols / P.V. Kokotovic, A.H. Haddad // IEEE Trans. Autom. Control. 1975. — V. 20. — P. 163−164.

65. Kokotovic P.V. Singular Perturbations Methods in Control. Analysis and Design / P.V. Kokotovic, H.K. Khalil, J. O’Reily. -New York: Academic Press, 1986.

66. Sannuti P. Near optimum design of linear systems by a singularperturbation method / P. Sannuti, P.V. Kokotovic // IEEE Trans. Autom. Control. 1969. — 14. — P. 15−21.

67. Sannuti P. Continuity and differentiability properties of optimal control with respect singular perturbations / P. Sannuti // IEEE Trans. Autom. Control. 1969. — 14. — P. 762−763.

68. Subbotina N.N. The value functions of singularly perturbed time-optimal control problems in the framework of Lyapunov functions method / N.N. Subbotina // Metherriatical and Computer Modelling. 2007. 45. — P. 1284 — 1293.

69. Корыпаева Ю. В. Алгоритм асимптотического решения матрично сингулярно возмущенной линейной задачи быстродействия/ Ю. В. Корыпаева // Физико-математическое моделирование систем: материалы междунар. семинара. Воронеж, 2004. — С. 185−190.

70. Корыпаева Ю. В. Алгоритм асимптотического решения матрично сингулярно возмущенной линейной задачи быстродействия / Ю. В. Корыпаева // Вестник ВГТУ. 2006. — Т.2. № 8. С. 92−96.