О свойстве магнуса и конечных подгруппах гиперболических групп

Содержание

• В 1930 г. В. Магнус опубликовал статью [26], имеющую большое значение для комбинаторной теории групп и логики, в которой доказал т.н. Freiheitssatz (теорему о свободе)

Теорема 1. Пусть G — факторгруппа свободной группы со свободными порождающими x?., хП- где п ^ 2, по нормальному замыканию циклически приведённого слова г, имеющего нетривиальное вхождение xf1. Тогда подгруппа F группы G, порождённая образами Х2,., хп, является свободной группой ранга п — 1.

В контексте теоремы о свободе F называется подгруппой Магнуса, В [26] также доказана тесно связанная с торемой о свободе

Теорема 2. Пусть F — свободная группа, ur, s? F. Если нормальные замыкания rus совпадают, то г сопряжен с s или s~l.

Будем говорить, что группа G обладает свойством Магнуса, если для каждых двух элементов г. s € G с совпадающими нормальными замыканиями верно, что г сопряжен с s или s~l.

К числу первых обобщений результатов Магнуса относится работа М. Гриндлингера [17], в которой доказано, что если два подмножества U 1 V счётной свободной группы обладают совпадающими нормальными замыканиями и удовлетворяют некоторым метрическим условиям малых сокращений, то существует такая биекция ip: U —> V, что г сопряжен с ip® или Е. В. Кашинцевым в [3, 4] и М. Паласинским в [27].

С.Д. Бродский поставил вопрос, над какими группами, помимо свободных, разрешимо каждое уравнение1. В работе [2] он сформулировал утверждение о том, что к числу этих групп принадлежат локально индикабельные группы. Из этого утверждения следует теорема о свободе для локально индикабельных групп: любые локально индикабельные группы, А и В естественно вкладываются в, А * В/((г)), где г — элемент А* В} который не сопрягается внутрь, А или В, и ((г)) — его нормальное замыкание в, А * В. Дж. Хоуи попытался получить аналог теоремы 2 для локально индикабельных

Пусть G — некоторая группа, Хп — свободная группа ранга п и F = G * Хп — свободное произведение групп G и Хп. Пусть, далее, w — элемент группы F, не сопряженный ни с каким элементом из G. Говорят, что уравнение w — 1 разрешимо над группой G, если существует гомоморфизм группы F и некоторую группу, действующий тождественно на G и переводящий w в единицу. групп, что получилось у него с некоторыми ограничениями (см. 20], теорема 14). М. Эджевет получил в [15] более полный результат, который формулируется следующим образом. Пусть (7 = А * В, где, А и В — локально ргадикабельные группы. Если г, 5? С — циклически приведённые слова длины не менее 2 с совпадающими нормальными замыканиями, то г сопряжено с 5 или й-1.

В [9] О. Богопольский, Е. Кудрявцева и X. Цишанг сделали первые шаги по исследованию фундаментальных групп замкнутых поверхностей на предмет обладания свойством Магнуса. Был доказан следующий факт. Пусть б1 — замкнутая поверхность, и г, 5 — два элемента её фундаментальной группы, каждый из которых может быть представлен простой двусторонней петлёй2 и которые обладают совпадающими нормальными замыканиями. Тогда г сопряжён с я или 5"1.

Богопольский получил в [8] более полный результат: он доказал, что фундаментальные группы замкнутых ориентируемых поверхностей обладают свойством Магнуса. Кроме того, в [8] получены следующие результаты:

1) Построена бесконечная серия гиперболических групп без кручения, не обладающих свойством Магнуса.

2) Все бесконечные группы с одним соотношением и кручением не обладают свойством Магнуса.

Поиском аналогов подгрупп Магнуса для фундаментальных групп замкнутых ориентируемых поверхностей занимался Хоуи. На замкнутой ориентируемой поверхности в он рассматривал пару петель, а и где (3 — простая петля. Затем он исследовал, при каких условиях вложение F ь→ С?/]У (ск) является инъективным, где С = ^1(5), N{0) — нормальное замыкание элемента, а в группе С?, а^ - фундаментальная группа компоненты связности Заметим, что в зависимости от того, разбивает (3 поверхность Б или нет, количество таких компонент связности равно двум или одному.

В [21] доказано, что это вложение инъективно, если (3 разбивает Б и, а не сопряжена в С с петлёй, целиком лежащей в одной из компонент связности 3. Для случая неразбивающей кривой (3 доказано, что достаточно потребовать, чтобы, а и ?3 не были гомотопны о

Простая петля называется двусторонней, если существует вещественное число д > 0, такое что ¿-окрестность этой петли гомеоморфна цилиндру. непересекающимся петлям, и чтобы Pix индекс пересечения равнялся нулю.

В этой же работе [21] Хоуи сделал утверждение, что условие равенства нулю индекса пересечения можно отбросить. Однако, это утверждение ошибочно, о чём Хоуи сообщает в [22], приводя контрпример. Тем не менее, в [22] удалось ослабить условия для случая нсразбивающей петли? достаточно потребовать, чтобы, а и? не были гомотопны петлям, которые пересекаются менее двух раз.

В [23] подход к изучению фундаментальных групп замкнутых ориентируемых поверхностей распространён на предельные группы.

А. JI. Шмелькин показал в [6], что свободные метабелевы группы ранга не менее 2, а так же ограниченные сплетения свободных абелевых групп не обладают свойством Магнуса. Тем не менее, он указывает условия, не являющиеся, впрочем, необходимыми, при которых из совпадения нормальных замыканий двух элементов свободной метабелевой группы следует их сопряжённость ([6], теорема 2). К. Свиридов приводит алгоритм распознавания равенства нормальных замыканий элементов свободных метабелевых групп и ограниченных сплетений свободных абелевых групп. М. Эвансу принадлежит следующий результат о нормальных замыканиях элементов свободных метабелевых групп: в [16] он показывает, что если нормальному замыканию элемента д принадлежит примитивный элемент h то д сопряжён с к±г. В [5] Е. И. Тимошенко показал, что результат Эванса не справедлив для групп многообразия ДОТП.

Результат первой части диссертации опубликован в совместной статье с Богопольским [37]. Этим результатом является теорема 1.1.1 и её важное следствие, касающееся фундаментальных групп неориентируемых поверхностей — предложение 1.1.2.

Замечание 3.

1) Затронем логические аспекты свойства Магнуса. В [8] было показано, что если G, G2 — две элементарно эквивалентные группы и G1 обладает свойством Магнуса, то им обладает и группа G2.

2) Пусть S — замкнутая поверхность рода д, где д ^ 2, если S ориентируемая и д ^ 4, если S неориентируемая. В [29] Зела сформулировал утверждение, что фундаментальная группа поверхности S элементарно эквивалентна свободной неабелевой группе конечного ранга. Полное доказательство этого результата содержится в препринтах [30].

3) Пункты 1) и 2) дают другое доказательство того, что фундаментальная группа $ обладает свойством Магнуса (см.

И).

4) Теорема 1.1.1 не покрывается результатом работы [29], т.к. среди групп, обладающих копредставлением указанного вида, присутствуют группы не экзистенциально эквивалентные, (а значит и не элементарно эквивалентные) свободной неабелевой группе конечного ранга.

Например, рассмотрим группу

С = (а, Ь, Х!,., хп, у!,., ут | [а, Ь][Х, У]гк), где п ^ 2, т ^ 1, X, У — два слова в алфавите Ж1,., гсп, Z — слово в алфавите ., к ^ 4, причём [.X, У] 1 и? ф 1 в соответствующих свободных группах. По теореме 1.1.1, группа С? обладает свойством Магнуса. Однако, (? не экзистенциально эквивалентна свободной неабелевой группе. Действительно, согласно [13], 1-я степень нетривиального элемента свободной неабелевой группы не может быть представлена как произведение менее чем коммутаторов. Таким образом, формула

З^ь ?3, ?4, Ф ф 1 А г2][23, гл}гк = 1) выполняется в С и не выполняется в какой-либо свободной неабелевой группе.

5) Доказательство наличия свойства Магнуса тривиально для фундаментальных групп замкнутых неориентируемых поверхностей рода 1 и 2 (см. раздел 1.6). Обладает ли свойством Магнуса фундаментальная группа замкнутой неориентируемой поверхности рода 3, остаётся открытым вопросом. Отметим, что эта группа имеет копредставление (а, Ь, с а2Ь2с2) и, следовательно, не элементарно эквивалентна неабелевой свободной группе (см. [25], гл. 1, предложение 6.6.)

Вторая часть диссертации посвящена конечным подгруппам гиперболических групп. Гиперболические группы были введены М. Громовым в работе [19] и по сей день являются важным объектом исследования в геометрической теории групп и топологии. Эти группы можно определить несколькими способами. Чтобы воспользоваться одним из них, нам потребуется сперва определить 5-тонкие треугольники и ¿-гиперболические метрические пространства.

Геодезический треугольник в метрическом пространстве назовём ¿-тонким, где? €: К+ = {г? М|г ^ 0}, если каждая из его сторон лежит в объединении ¿-окрестностей двух оставшихся. Геодезическое метрическое пространство называется ¿-гиперболическим для некоторого 5⁰, если все геодезические треугольники в этом пространстве являются ¿-тонкими. В свою очередь, группа называется гиперболической, если её граф Кэли относительно некоторой конечной системы порождающих, будучи рассмотрен как метрическое пространство относительно словарной метрики, ассоциированной с этой порождающей системой, является ¿-гиперболическим пространством для некоторого <5⁰.

О подгруппах гиперболических групп известно немного. Известно, что квазивыпуклые подгруппы гиперболических групп сами являются гиперболическими, и известно, что гиперболические группы удовлетворяют альтернативе Титса ([19]) 3. С другой стороны подгруппы гиперболических групп могут иметь сложное строение. Как показано в [24], подгруппа гиперболической группы не всегда является квазивыпуклой. В [28] описан пример гиперболической группы, обладающей консчнопорождённой подгруппой, которая бесконечно определена (а значит, не является гиперболической). И наконец, в [12] построен пример гиперболической группы, обладающей конечноопределённой негиперболической подгруппой.

Кручение осложняет изучение гиперболических групп. Так только недавно была положительно решена проблема изоморфизма для гиперболических групп с кручением ([14]), в то время как эта проблема для гиперболических групп без кручения решена в 1995 г. ([31]).

О.В. Богопольский и В. Н. Герасимов доказали в [1], что конечные подгруппы ¿-гиперболической группы не могут быть сколь угодно большими. А именно, каждая такая подгруппа сопряжена с подгруппой, лежащей внутри шара радиуса 2? + 1 с центом в единице.

В [7] Г. Н. Аржанцева доказала следующую теорему, сформулированную первоночально Громовым в [19]. Для каждой о

Группа удовлетворяет альтернативе Титса, если каждая её подгруппа либо содержит свободную неабелеву подгруппу, либо является почти разрешимой. Заметим, что почти разрешимые подгруппы гиперболических групп являются элементарными гиперболическими (см. опр. 3.2.15). Действительно, из теоремы 38 в первой главе книги [18] следует, что подгруппа гиперболической группы либо является элементарной гиперболической группой, либо содержит свободную неабелеву подгруппу. квазивыпуклой подгруппы бесконечного индекса Н гиперболической группы без кручения С существует элемент бесконечного порядка д € (7, такой что подгруппа, порождённая д и Н квазивыпукла и является свободным произведением (д) * Н. При обобщении этой теоремы на все гиперболические группы, включая группы с кручением, прежде всего возникает желание рассмотреть частный случай, когда Н — конечная подгруппа. Кроме того, интересно исследовать, как располагаются в гиперболических группах их конечные подгруппы.

Пусть (? — неэлсментарная гиперболическая группа, и Н — её конечная подгруппа. Во второй части мы исследуем следующий вопрос:

Существует ли в С свободная подгруппа ^ ранга 2, такая что Н и .Р не связаны нетривиальными соотношениями, т. е. (.Я1, Н) — Е*Н?

Рассмотрим следующие примеры:

1) С = * Н, где — неэлементарная гиперболическая группа. Тогда такая Я1 существует.

2) б = С?1 х Я, где (?х — гиперболическая группа. Тогда такой Я1 не существует.

3) (7 = (а, 6|а2,63). Для подгруппы (а) подойдёт подгруппа

Я1 = ((ЪаЪ)~1 аЪаЪа (ЪаЪ), (ЬаЬ)~2аЬаЬа (ЬаЬ)2), а для подгруппы (Ъ) — подгруппа а"1 Ра.

Исчерпывающий ответ на этот вопрос даёт основной результат второй части диссертации — теорема 2.1.1. Результаты второй части опубликованы в статье [35].

Уже после того, как статья [35] прошла рецензию, автором было замечено, что в условиях теоремы 2.1.1 подгруппа Я1 * Н является квазивыпуклой (см. замечание 2.3.30). В [35] не доказывается квазивыпуклость подгруппы Я1 * Н.