Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Использование графов в совершенствовании среднего математического образования

Диссертация: Использование графов в совершенствовании среднего математического образования
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Вместе с тем, в научно-педагогической литературе, прямо или косвенно связанной с проблемой введения элементов теории графов в общеобразовательную школу, не отражены исследования особенностей языка теории графов, обеспечивающие доступность его для учащихся и позволяющие использовать его как средство методики ©-бучения математике на всех ступенях обучения^ не вскрыта возможности использования… Читать ещё >

Содержание

  • ВВЕДЕНИЕ
  • Гдава 1. РОЛЬ И МЕСТО ГРАФОВ В ОБУЧЕНИЙ МАТЕМАТИКЕ
  • 1. Особенности языка теории графов и возможности его использования как методического средства обучения математике
  • 1. Некоторые особенности теории графов как раздела математики
  • 2. Особенности языка графов, обеспечивающие до-^ ступность его для учащихся и возможность использования в школе. II 3. Гра$ы как средство наглядности при обучении математике
  • 2. Графы как средство углубятся и обогащения содержания школьной м&тейатики
  • 1. О возможностях углубления содержания школьного нурса математики в связи с использованием языка графов
  • 2. О возможностях обогащения содержания школьного курса математики в связи с использованием языка графов
  • 3. Графи как средство развития прикладного направления среднего математического образования
  • 1. Об актуальности и специфике проблеш прикладной ориентации среднего математического образования
  • 2. Об использовании графов на трех этапах процесса применения математики
  • 3. О возможностях и путях введения в курс математики нового прикладного содержания, связанного с использованием языка графов
  • 4. Возможности использования графов для усиления взаимосвязей учебных дисциплин
  • Глава II. ВНЕДРЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ ГРАФОВ В ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ
    • I. О внедрении графов в основной курс математики
    • 1. О содержательно-методической линии графов в курсе математики
    • 2. Примеры использования рисунков графов в новых школьных учебниках и пособиях. 61 v
    • 3. Другие возможности использования: графов как j средства наглядности в курсе математики средней школы. .. .67 v
    • 2. Факультативное обучение элементам теории графов

Использование графов в совершенствовании среднего математического образования (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Перестройка среднего математического образования вызвана не только существенным ростом требований, предъявляемых к школьной математике со стороны науки и практики, но и переходом к всеобщему среднему образованию, осуществляемому на основе решений ХХ1У съезда КПСС. Уровень современной науки и технини, научная организация народно-хозяйственной деятельности требуют от работников практически любой отрасли умения использовать методы математики.

Завершается переход на новые програмш по математике, обогатилось содержание общего математического образования, повысился его теоретический уровень. Однако, какими бы достоинствами новое содержание и методика обучения ни обладали, научно-технический прогресс требует дальнейшего их совершенствования. В работах советских ученых — педагогов и математиков — уже намечены его основные задачи. Среди них можно назвать такие, как идейное обогащение и углубление содержания школьной математики, использование ведущих и обобщающих идей и методов, уточнение и обогащение языка школьной математики, развитие ее прикладной направленности, укрепление связей с другими предметами. Наряду с этим, переход к всеобщему среднему образованию требует, чтобы школьная математика при всем ее научном перевооружении была общедоступна.

Естественно, что к отбору содержания учебного материала предъявляются серьезные требования не только с точки зрения соответствия современности. Новые понятия, методы могут быть введены в школьное образование только тогда, когда они позволяют учащимся увидеть известное и существенно важное в новом, более ярком и k правильном освещении, или когда они приобрели общепризнанное положение в науке, производстве, быту, культуре, общественной жизни, то есть удовлетворяют критерию многократной применимости в современной практике. Выбор этого критерия основан на том, что познание предполагает использование полученных знаний, то есть применение их на практике, понимаемой широко — как совокупность научной и производственно-технической деятельности человечества" /176/.

Определенную роль в решении перечисленных выше задач может сыграть введение в школьное математическое образование элементов теории графов. Теория графов развивается как самостоятельный раздел математики со своим языком и методами, но в силу общности понятия «граф» и особенностей языка часто выступает в роли «разнорабочего», помогая решать прикладные задачи. Язык графов может помочь сделать изложение ряда дисциплин более наглядным, доступным, упростить расчеты. Применение методов теории графов часто позволяет снизить трудоемкость исследования, повышает производительность научной и инженерно-конструкторской мысли.

Тан, язык теории графов и связанные с ней методы исследования уже сейчас продуктивно используются в экономике, теории планирования и управления, в исследовании операций, в линейном и динамическом программировании, в теории игр, в электротехнике, в электронике, в математической лингвистике, в социологических исследованиях, в химии, в современной биологии и медицине. Язык теории графов обслуживает и такие отрасли математики, как теория множеств, топология, комбинаторика, теория информации, теория вероятностей, теория групп, линейная алгебра, теория структур, теория конечных автоматов. По словам такого авторитетного специалиста в области теории графов, кан А. А. Зыков, «Сейчас количество важных практических и теоретических задач самого разнообразного конкретного содержания и самой различной степени сложности, сводящихся к задачам и проблемам1: чистой теории графов, растет столь быстро, что для решения их „в розницу“ кустарными методами или остроумными индивидуальными приемами не хватает и не может хватать квалифицированных работников» /64/.

Понятие «граф» очень емко и связано со многими основными понятиями, в частности, и школьной математики. О степени общности этого понятия свидетельствует уже то, что оно включает понятие «бинарное отношение», которое, в свою очередь, охватывает столь общие понятия, как отношения родства, тождества, конгруэнтности, равновеликости, подобия, параллельности, перпендикулярности, делимости и др. Как вид отношения может рассматриваться и такое важное понятие школьной математики, как функция (или преобразование). А любое бинарное отношение J? на множестве может быть представлено в виде графа Г с множеством вершин t/U так, что ориентированное ребро <Д6>^. Г тогда и только тогда, когда истинно соотношение /? RB .

Анализ ряда особенностей языка теории графов дал нам основание для выдвижения с л едущей гипотезы: включение элементов теории графов в школьный курс математики может быть осуществлено так, что позволит на доступном учащимся уровне углубить и обогатить его содержание без расширения объема.

Отдельные вопросы использования элементов теории графов в школьном обучении математике уже обсуждаются учеными в нашей стране. Проводится ряд исследований, связанных с проблемой введения бинарных отношений уже на начальных ступенях обучения математике (К.И.Нешков, А. М. Пышкало, В. Н. Рудницкая, М.М.Тоненкова). Доступное для учащихся введение бинарных отношений влечет за собой и применение рисунков графов, как средства их наглядного изображения, облегчающего первые опыты ребят в математическом шшлении.

Над проблемой исследования условий, возможностей и методини формирования понятия «отношение» у детей 6−8 лет с естественным вовлечением в этот процесс рисунков графов работает сектор начального обучения НИИ СМО АПН СССР.

Вопросам использования графов при изучении функции, как вида бинарного отношения, посвящены работы Ф. М. Рафиковой и В.А.Байда-ка. В диссертациях И. С. Беляевой и А. К. Ибраева обосновывается принципиальная возможность знакомства учащихся с элементами теории графов на факультативных и кружковых занятиях по комбинаторике и топологии.

Начиная с 1970 года, на внеклассные занятия школьников по математике элементы теории графов и ее приложений проникают в основном через научно-популярный физико-математический журнал «Квант», издаваешй АН СССР и АПН СССР.

Рисунки графов как средство наглядного изображения отношений использованы в школьных пособиях по математике во Франции, Бельгии, ФРГ, Югославии, Венгрии и других странах. В последнее время материалы по основам теории графов и ее приложениям нередко публикуются в научно-популярных журналах для школьников, издаваешх в Венгрии, Польше, ГДР, Югославии, Чехословакии, Румынии, Англии, США, ФРГ.

Вместе с тем, в научно-педагогической литературе, прямо или косвенно связанной с проблемой введения элементов теории графов в общеобразовательную школу, не отражены исследования особенностей языка теории графов, обеспечивающие доступность его для учащихся и позволяющие использовать его как средство методики ©-бучения математике на всех ступенях обучения^ не вскрыта возможности использования графов как средства развития прикладной направленности среднего математического образования и средства углубления и обогащения содержания школьной математики. В научно-педагогической литературе не освещены возможности использования. и изучения элементов теории графов и ее приложений при углубленном изучении математики, а также вопросы использования языка графов для укрепления межпредметных связей.

Проблема нашего диссертационного исследования заключается в выявлении возможностей и определении путей использования языка графов для совершенствования среднего математического образования.

Для решения проблемы диссертации были поставлены следующие задачи:

1. Обосновать целесообразность использования языка графов как методического средства обучения математике.

2. Определить возможности использования графов в целях углубления и обогащения содержания курса школьной математики.

3. Выявить возможности использования графов для развития при- ¦ кладного направления среднего математического образования.

4. Определить возможные направления усиления взаимосвязей учебных дисциплин на основе использования языка графов.

5. Наметить пути внедрения графов в школьный курс математики.

6. Определить содержание и разработать методику факультативного обучения восьмиклассников по теме «Графы и их применений» .

Решение первых четырех задач описано в первой главе диссертации. Во второй главе изложены решения последних двух задач, ход и результата эксперимента. В заключении подведены итоги исследования и намечены перспективы дальнейшей работы.

При исследовании задач были проанализированы содержание новых программ по математике, программы факультативных курсов по математике, новые учебные пособия и учебники, отечественная и зарубежная математическая, методическая, пеихояого-педагогичеекая литература по теме исследования^ также использованы первые результаты перехода школ на обучение по новым программам, личный педагогический опыт автора, результаты экспериментального преподавания.

— б.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Проведенное исследование послужило основанием для следующих выводов.

Проникновение языка графов в среднее математическое образование является закономерным и естественным процессом и объясняется удачным сочетанием глубокой общности понятия граф, широкой применимости в современной математике и приложениях с существованием графического эквивалента для всякого конечного графа.

Рисунки графов при разработанной методике берут на себя важные операционные функщи языка и служат эффективным методическим средством обучения математике и ее приложениям.

Использование языка графов как методического средства обучения способствует более широкому и плодотворному внедрению в школу теоретике-множественного аппарата математики.

Целенаправленное использование языка графов в обучении математике способствует на доступном для учащихся уровне углублению и обогащению содержания школьной математики, развитию его прикладного направления, укреплению мегаредметных связей, не требуя при этом увеличения объема учебного материала.

Наибольший педагогический эффект достигается при планомерном использований языка графов кан методического средства на протяжении всего обучения математике.

В процессе исследования проблеш совершенствования среднего математического образования на основе использования методических возможностей языка графов наш получены следующие результаты.

1. йаявлены особенности языка графов, позволяющие использовать его как эффективное методическое средство при обучении математике, начиная уже с младших классов.

2. Определены возможности использования графов в целях углуб-лежия и обогащения содержания школьной математики. Расширяя возможности наглядного преподавания, язык графов позволяет с более общих позиций осветить важные темы школьного курса математики и ввести на доступном для учащихся уровне новое содержание. Это достигается без увеличения объема учебного материала или сроков обучения, за счет внутренних резервов курса математики.

3. Обоснована возможность и намечены пути использования графов для развития прикладного направления среднего математического образования. Широкая применимость языка графов и доступность его для учащихся открывают богатае возможности включения в ткань курса математини упражнений из прикладных областей, то есть увеличивают диапазон традиционного приложения школьной математики на практике, и тем создают благоприятные условия для знакомства учащихся с процессом применения математики.

4. На основе анализа учебников и учебных пособий для средней шнолы по разным предметам выявлены резервы для усиления взаимосвязи учебных дисциплин, возникающие в связи с использованием в обучении языка графов. Целенаправленное использование языка графов в обучении математике и другим учебным предметам открывает учащимся новые стороны изучаешх объектов, позволяет выделить и подчеркнуть объективно присутствующие взаимосвязи учебных дисциплин.

5. Намечены пути внедрения элементов теории графов в школьный курс математики как методического средства обучения. Разработаны теоретические основы и исследованы предпосылки проведения содержательно-методической линии графов в курсе математики массовой школы. На основе анализа новых учебников и учебных пособий по математике выявлены возможности для более полного и широкого использования языка графов в качестве средства наглядности.

6. Разработаны содержание и методика факультативного обучения элементам теории графов и ее приложениям учащихся 8-ых классов. Подготовлены учебные материалы «Графи и их применения» (2 части) для факультативных занятий в 8-ых классах. Работа над содержанием и методикой построения этого курса рассматривалась нами как поисковое средство для совершенствования факультативов по математике, введения в школу нового содержания, для определения путей развития прикладной направленности среднего математического образования.

7. В ходе экспериментального обучения доказана принципиальная реализуемость выявленных возможностей использования графов при обучении математике. Подтверждена также эффективность использования при факультативном обучении таких методов, как индуктивный подход, создание ситуаций поиска, выдвижение гипотез, широкое использование задач, служащих мотивом при открытии и доказательстве свойств изучаешх объектов и для развития теории. Реализация этих методов может бать использована и в других новых факультативах, поскольку они отвечают специфике факультативного обучения математике и помогают решить его главные учебные задачи.

Полученные результаты способствуют достижению основной цепи диссертации — выявить резервы дальнейшего совершенствования среднего математического образования и наметить пути их реализации.

Продолжением данной работы должны явиться разработка и последовательное проведение содержательно-методической линии графов в обязательном курсе математики в целях углубления и обогащения его содержания и развития его прикладной направленности при одновременном увеличении доли наглядности и доступности материала в целом. Материалы разработки содержательно-методической линии графов в курсе массовой школы с соответствующей корректировкой могут быть использованы в ПТУ и техникумах. Еще более широкие возможности для испольщования графов представляют школы с углубленным изучением математики. Не менее важным представляется продолжение работы по выявлению и реализации резервов развития взаимосвязи учебных дисциплин на базе использования изобразительного языка графов.

По теме диссертации нами были сделаны доклада на Всесоюзной научно-практической конференции по проблеме учебно-воспитательной работы в классах и школах с углубленным изучением отдельных предметов (1972 г.), на Ш Всесоюзных Педагогических чтениях (1973 г.) и на совместном семинаре молодых ученых АПН СССР и АПН ГДР (1973 г.).

Основное содержание диссертации отражено в следующих опубликованных работах:

1. О методической линии графов в едином курсе математики, тезисы доклада, Всесоюзная научно-практическая конференция по проблеме учебно-воспитательной работы в школах и классах с углубленным изучением отдельных предметов. М., НИИ СМО АПН СССР, 1972.

2. Гра<|ы помогают решать логические задачи. «Математика в школе», № 2, 1972.

3. О факультативном курсе дня учащихся 8-х классов нГра|и и их применения", тезисы доклада. Сб. «Психолого-педагогические основы совершенствования содержания и методов обучения», М., «Педагогика», 1973.

4. Методические особенности использования графов в преподавании математики в средней школе, тезисы, Сб. «Вопросы коммунистического и социалистического воспитания», М., НИИ ОП АПН СССР, 1973.

5. О графах с цветными ребрами, «Квант», Ш 8, 1973.

6. Графы и их применения, экспериментальное учебно-методическое пособие для факультативных занятий в 8-х класеа, ч. 1, 6,5 п.л. М., НИИ СМО АПН СССР, 1973.

7. Графы и их применения, экспериментальное учебно-методическое пособие для факультативных занятий в 8-х классах, ч. П,.

4 п.л., М., НИИ СМО АПН СССР, 1974.

Показать весь текст

Список литературы

  1. В.И. Материализм и эмпириокритицизм. Полное собр. соч., т. 18.
  2. В.И. Философские тетради. Полное собр. соч., т. 29.
  3. К. Математические рукописи. М., «Наука», 1968.
  4. Ф. Анти-Дюринг. Соч. К. Марке и Ф. Энгельс, т. 20.
  5. Ф. Диалектика природы, Соч. К. Маркс и Ф. Энгельс, т.20.
  6. Математика, ее содержание, методы и значение, т. 1−3. М.,
  7. Изд-во Академии наук СССР, 1956.
  8. Синтез современного научного знания. Диалектический материализм и современное естествознание. М., «Наука», 1973.
  9. О состоянии и мерах по дальнейшему совершенствованию народногообразования в СССР. Материалы шестой сессии Верховного Совета СССР восьмого созыва, 17−19 июля 1973 г. М., «Политиздат», 1973.
  10. Авондо-Бодино Дж. Применение в экономике теории графов. М., 1. Прогресс", 1966.
  11. . Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М., «Советское радио», 1970.
  12. З.В. Математическое обеспечение экономических расчетов с использованием теории графов. М. Статистика^ 1974.12. Алгебра, 13. Алгебра, 14. Алгебра, 15. Алгебраf16. Алферова
  13. A.M. Педагогическая наука школе. «Советская педагогика», т б, 1968.
  14. В.Ф. Проблема интуиции в философии и в математике, М., 1. Мысль", 1965.
  15. В.А. Система изучения свойств функций в школе, Омск, 1. Омсная правда", 1975.
  16. Р., Саати Т. Конечные rpatje и сети. М., «Наука», 1974/
  17. Л.Ю. Графы и их применения, экспериментальное учебно-методическое пособие для факультативных занятий в 8-ых классах, 1 и П части. М., НИИ СМО АПН СССР, 1973 и 1974.
  18. Л.Ю. Графе помогают решать логические задачи. «Математика в школе», Ш 2, 1972.
  19. К. Теория графов и ее применения. М., «ИЛ», 1962.
  20. Л.А. Линейные электрические цепи. М., «Высшая школа», 1974.
  21. И.Г. Сетевое планирование и управление в строительстве, М., «Стройиздат», 1972.
  22. У. Графическое представление информации. М., «Мир», '1971.
  23. Н. Об архитектуре математики. Сб. Математическоепросвещение, вып. 5, М., Физматгиз, 1960.
  24. Васильев Н.Б., Молчанов С. А., Розенталь А. Л., Савин А. П., Математические соревнования (геометрия), М., «Наука», 1974.
  25. В. Предисловие к русскому изданию книги Боумен У. Гра-уфическое представление информации. М., «Мир», 1971.
  26. В.Ф. Средства отображения информации, «Энергетика», 1969.
  27. Внеклассная работа по математике в 4−5 классах, под ред.
  28. Шварцбурда С. И, «Просвещение», М., 1974.
  29. Г. Г. Исследование кратковременной памяти. Канд. дис.,
  30. М., МГУ, фак. психологии, 1971.
  31. М.С., Колягин Ю. М., Роитман П.Б. Уроки геометрии в
  32. УП классе. (Первое полугодие). Пособие для учителей, М., «Просвещение», 1973.
  33. П.Я. Развитие исследований по формированию умственных действий, в кн. Психологическая наука в СССР, том 1, М., 1959.
  34. П.Я. Умственное дейвтвие как основа формированиямысли и образа, «Вопросы психологии», 1 6, стр. У 58−69, 1975.
  35. М. Математические головоломки и развлечения. М.,"Мир", 1971.1.'
  36. М. Математические досуги, М., «Мир», 1972.
  37. М. Математические новеллы. М., «Мир», 1974.
  38. С. Путешествие в страну линейного программирования, М., 1. Мир", 1973.
  39. География материков, уч. для б класса. Коринская В. А. и др., 1. М., «Просвещение», 1971.
  40. Геометрия, 6 класс, учебное пособие под ред. А. Н. Колмогорова, 1. М., «Просвещение», 1974.
  41. Геометрия в У1 классе, в помощь учителю, под ред. А. Н. Колмогорова, М., «Просвещение», 1972.
  42. Геометрия, учебное пособие для 7 класса средней школы, подред. А. Н. Колмогорова, М., «Просвещение», 1973.
  43. Геометрия в УП классе, пособие для учителей. Гусев В. А., Маолова Г. Г. и др., М., «Просвещение», 1973.
  44. Геометрия, учебное пособие для 8 класса средней школы, подред. А. Н. Колмогорова, М., «Просвещение», 1974.
  45. Геометрия в 8 классе, пособие для учителей, Гусев В. А., Маолова Г. Г. и др., М., «Просвещение», 1974.
  46. В.М. Роль математики в современной науке. Ст. в ж. v
  47. Вестник Академии наук, К? 9, 1974.
  48. .В. Математика и современное естествознание/В кн.:
  49. Синтез современного научного знания. М.,"Наука", 1973.
  50. .В. Прикладные аспекты преподавания математики.
  51. Сб. Математическое образование сегодня, ж."Знание", Ш 6, 1974.
  52. .В. Символ прогрессивных идей и методов в педагогике. ж."Веетнин высшей шкоды", № 5, 1965.
  53. Л.И. и Яглом И.М. Индукция в геометрии. М., Физматгиз, 1961.
  54. Гончаров В. Л. Математика как учебный предмет, Известия АПН
  55. РСФСР, выпуск 92, М., 1958.
  56. Н.К. К вопросу о философских основах педагогики.
  57. Советская педагогика", 1 7, 1944.
  58. Гончаров Н. К, Наглядность как дидактический принцип. «Советская педагогика», Ш 5−6, 1937.
  59. И., Магнус В. Группы и их графы, М., «Мир», 1971. v
  60. В.В. Виды обобщения в обучении, «Педагогика», М., 1972.
  61. Е.Б., Молчанов С. А., Розенталь А. Л. Математическиесоревнования. Арифметика и алгебра, М., 1970.
  62. Е.Б., Молчанов С. А., Розенталь А. Л., Толпыго А.К.
  63. Математические задачи. М., «Наука», 1971.
  64. Е. Тренируем память. Ст. в газете «Московский комсомолец» 5 августа 1973, 12 августа 1973,19 августа 1973.
  65. Зинченко В .П-, ВергилесЖ.Ю. Формирование зрительного образа, 1. Изд-во МГУ, 1968. ~
  66. В., Ретанова Е. К проблеме визуального мышления, и
  67. Техническая эстетика, i 7, 1969.
  68. Зоология, учебник для 6−7 классов средней школы. Шховский Б. Е. и др., М., «Просвещение», 1969.
  69. А.А. Теория конечных графов, Новосибирск, «Наука», 1969.
  70. История СССР, учебник для 7 класса, Нечкина М. В., Лейбенгруб П. С, М., «Просвещение», 1975.
  71. История СССР, учебное пособие для 8 класса. Нечкина 1.В.,
  72. А.В., Лейбенгруб П. С., М., «Просвещение», 1968.
  73. Кабаяова-Меллер Е. Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. М., «Просвещение», 1968.
  74. Дж., Снелл Дж., Конечные цепи Маркова, М., «Наука», 1970.
  75. Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную математику, М., ИЛ, 1963.
  76. А.Н. К новым программам по математике, «Математика в школе», № 2, 1968.
  77. А.Н. Новые программы, специализированные школы.
  78. Сб. Математическое образование сегодня. М., «Знание», № 6, 1974.
  79. Колмогоров А. Н. Предисловие редактора перевода к книге
  80. Р.Фора, А. Кофмана, М. Дени-Папена, «Современная математика», М., «Мир», 1966.
  81. А.Н. О профессии математика, М., Изд-во МГУ, 1959.
  82. А.Н. О содержании курса математики средней школы . Докл. на 15 секции Международного математического конгресса. М., 1966.
  83. А.Н. Современная математика и математика в современной школе. Проблеш социалистической педагогики. М., «Педагогика», 1973.
  84. А.Н., Яглом И. М. О содержании школьного курсаматематики, ж. «Математика в школе», i 4, 1965.
  85. Ю.И. Применение теории ориентированных графов при vрасчете линейных электрических цепей. Киев, 1968.
  86. .А. Математическая смекалка, 1., Физматгиз, 1954. ь
  87. Кофман Ж. Введение в приняадную комбинаторику, М","Наука", 1974.
  88. А., Дебазей Г., Сетевые метода планирования и их применение, М., «Прогресс», 1968.
  89. A.M., Шеховцов В. В. Сетевое планирование и управление, М., «Экономика», 1969.
  90. В.А. Психология математических способностей школьников, М., «Просвещение», 1968.
  91. С. Языки математики в преподавании, ж. «Математика в школе», N? 6, 1962.
  92. Р., Роббинс Г. Что такое математика. I., «Просвещение», 1966.
  93. Л.Н. Недостатки шшления учащихся при самостоятельномрешении задч. Известия АПН РСФСР, 1 115, М., 1961.
  94. М.П. Использование общеобразовательных аспектов программирования для ЭВМ в совершенствовании среднего математического образования. Канд. дисс. М., НИИ СиМО АПН СССР, 1974.
  95. Л.Ш. Вопросы использования графических изображенийпри решении математических задач в начальной школе, Ташкент, ГПИ им. Низами, 1973.
  96. А.А. Сборник задач московских математических олимпиад.1. М., «Просвещение», 1965.
  97. А.А. Онтодидактика в математике, «За науку в Сибирй*, газета СО АН СССР, Ш 37 (568), 20 сент.1972.
  98. А.А. О реформе математических программ, „Математика vв школе“, № 2, 1973.
  99. Ю.Н., Нешков К. И., Пышкало A.M., Математика в начальных классах, ч. 3, под ред. А. И. Маркушевича, „Педагогика“, М., 1971.
  100. А.И. Математика и воспитание шшления. Сб. Математическое образование сегодня. М.,"Знание», Ш 6, 1974.
  101. А.И. Об очередных задачах преподавания математики в школе, ж. «Математика в школе», 1 2,1962.
  102. А.И. Очередные научно-педагогические проблемаперехода школы на новое содержание образования. «Советская педагогика», № 9, 1970.
  103. Математика, учебник для 4-го класса средней школы, под ред.
  104. А.И.Маркушевича, М., «Просвещение», 1975.
  105. Математическое образование сегодня. М., «Знание», № 6, 1974.
  106. A.M. Актуальные вопросы проблемного обучения. В кн.
  107. Оконь В-? Основы проблемного обучения. М., «Просвещение», 1968.
  108. А.Н. Ориентированные графы и конечные автоматы. М., 1. Наука", 1971.
  109. Н.А. Матричный метод анализа электрических цепей.1. М., «Энергия», 1972.
  110. Д.И. Основы химии, т. 1. ОНТй, Гостехиздат, М.-Л., 1934.
  111. В.М. Введение в школу приложений математики, связанных с использованием ЭВМ, докторская диссертация, М., АПН СССР НИИ СМО, 1973.
  112. И.Б. Применение графов в разработке учебных планов и планировании учебного процесса, ж. «Советская педагогика», 1 3, 1966.
  113. Е.А., Петраков И. С. Международные математическиеолимпиады, М., «Просвещение», 1971.
  114. В.И. Задача о коммивояжере. М., «Знание», 1969.
  115. Ю.С. Юбилей бензола, ж."Природа", Ш 12, 1965.
  116. Неорганическая химия, учебник для 9 нласса. Ходаков Ю.В.и др., М., «Просвещение», 1972.
  117. Неорганическая химия, учебник, 7−8 классы. Ходаков Ю.В.и др., М., «Просвещение», РСФСР, 1964.
  118. К. И. Рудницкая В.Н., Пышкало A.M. Математика, 1 классяасти 1 и П), М., Ротапринт НИИ СиМО АПН СССР. 1973.
  119. И.Jl. Привитие логической грамотности при обучении математике. Канд. дисс. М., НИИ СиМО АПН СССР, 1973.
  120. Новейшая история (1917−1939), учебник для девятого классасредней школы. Кузьмичев П. М. и др. М., «Просвещение», 1974.
  121. Новейшая история (1939−1972 гг.), учебное пособие для десятого нласса средней школы. Кузьмичев П. М. и др., М., «Просвещение», 1973.
  122. Обучение младших школьников (сб. научных трудов), состави-итель А. М. Пышкало, АПН СССР, НИИ СиМО, М., 1973.
  123. Общая биология, учебник для 1Х и X классов. Полянский Ю.И.и др., М., «Просвещение», 1971.
  124. А.А. и др. Сетевые методы планирования и организации учебного процесса. М., «Высшая школа», 1972.
  125. Органическая химия, учебник для 10 кл. Цветков Л.А.1. М., «Просвещение», 1972.
  126. Оре 0. Графы и их применение. М., «Мир», 1965.
  127. Оре 0. Теория графов. М., «Мир», 1968.
  128. Основные положения по разработке и применению систем сетевого планирования и управления. М., «Экономика», 1967.
  129. Ф. и Папи Ж. Дети и графы. Обучение детей шестилетнего возраста математическим понятиям. М., «Педагогика», 1974.
  130. Г. Э. Сетевое планирование и управление. М., «Экономика»
  131. Физика, учебник для 6-го класса под ред. академика И. К. Кикоина, «Просвещение», М., 1975.
  132. . Избранные психологические труда. М., «Просвещение», 11 969.
  133. Д. Как решать задачу? М., «Просвещение», 1959.
  134. Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М., ЙЛ, 1957.
  135. Д. Математическое открытие. М., «Наука», 1970.
  136. В.М., Чертков И. Н. Строение и свойства органическихвеществ, уч.пособие по факультативному курсу для учащихся 10 классов. М., «Просвещение», 1974.
  137. Д.А., Пушкин В. Н. Мышление и автоматы. М., «Советское радио», 1972.
  138. Проблемы социалистической педагогики. Материалы 1 научнойконференции ученых-педагогов социалистических стран, М., «Педагогика», 1973.
  139. В.Н. Психология и кибернетика, М., «Педагогика», 1971.
  140. Г. и Теплиц 0. Числа и фигуры. М., Физматгиз, 1962.
  141. Раковер Б. Д. Алгоритмические аспекты в обучении математике
  142. Алгебра и элементарные функции), канд. дисс., М., АПН СССР НИИ СиМО, 1968.
  143. Ф.М. Введение понятия функции на основе изучениябинарных отношений, ж. «Математика в школе», v Ш 3, 1972.
  144. В., Миллер ПЕРТ система управления. М., «Экономика», 1965.
  145. А., Буавер М., Робер Ж. Направленные графы и их приложение к электрическим цепям и машинам. М.-Л., 1964.
  146. Росс Эшби У. Введение в кибернетику. М., ИЛ, 1959.
  147. С.Л. О штлении и путях его исследования. М., 1. Изд-во АН СССР, 1958.
  148. С.Л., Основы общей психологии, М., 1946.
  149. В.Н. Введение элементов теории отношений в курсматематики начальной школы, построенный на теореитико-множеетвенной основе, Автореферат, НИИ СМО АПН СССР, М., 1975.
  150. В.Н. Применение графов н решению уравнений, ст.в сб. научных трудов «Обучение младших школьни-у нов», НИИ СиМО АПН СССР, М., 1973.
  151. В.Н. Проблемы формирования понятия отношенияу младших школьников при обучении математике, ст. в сб. научных трудов «Обучение младших школьников'., НИИ СиМО АПН СССР, М., 1973.
  152. В.Н. Решение текстовых задач с помощью графов.ст. в сб. научных трудов „Обучение младших школьников“, ротапринт НИИ СиМО АПН СССР, М., 1973.
  153. Г. И. О природе математического знания. М.,"Мысль», 1968.
  154. Т.Л. Математические методы исследования операций.
  155. Военное изд-во МО СССР, М., 1963.
  156. Т. Целочисленные методы оптимизации и связанные с ними экстремальные проблемы. М., «Мир», 1973.
  157. Г. От Менделеева до менделеевия и далее, ж. «Химияи жизнь», Ш 3, 1969.
  158. Системы сетевого планирования и управления. Програшрованное введение в ПЕРТ), М., «Мир», 1965.
  159. Ю.И. Оптодидактика совершенствует учебные предметы, «Народное образование», 1973, Ш 5.
  160. А.Г., Тюхтин B.C. О взаимосвязи наун в современноместествознании, В кн. Синтез современного научного знания. М., «Наука», 1973.
  161. А.А. Педагогика математики, Высшая школа, Минск, 1974.
  162. Экономическая география СССР. Учебное пособие для 8 кл.,
  163. К.Ф. и др. М., «Просвещение», 1974.
  164. А.А., Фирсов В. В. Мотивы выбора учащимися естественнонаучных фанультативных курсов. Сб. Факультативные занятия в средней школу. М., «Педагогика», 1973.
  165. М. Графы и диаграммы Венна как средство повышенияматематической культуры учащихся 1-Ш классов. Канд дисс., М., НИИ СиМО АПН СССР, 1967.
  166. Управление познавательной деятельностью учащихся. Сб. подред. П. Я. Гальперина и Н. Ф. Талызиной. М., Изд. МГУ, 1972.
  167. Я.В. Избранные математические развлечения. Петроград, «Сеятель», 1924.
  168. К.Д. Избранное, ч. П, М., Учпедгиз, 1939.
  169. Факультативные занятия в средней школе, под ред. М П Кашинаи Д. А. Эпшейтена, М., «Педагогика», 1973.
  170. Физика. Учебное пособие для 8-го класса ср. школы. Кикоин
  171. Й.К.и Кикоин А. К. М., «Просвещение», 1973.
  172. Физика, учебное пособие для 9-го класса средней школы.
  173. .Б. и др. М., «Просвещение», 1971.
  174. Физика, учебное пособие для 10-го класса средней школы,
  175. Г. Я. и Буховцев Б.Б. М., «Просвещение», 1972.
  176. Физическая география СССР, учебное пособие для 7 класса.
  177. Соловьев и др. М., «Просвещение», 1971.
  178. Физическая география, учебник для 5 класса. Максимов Н. А., 1. М., «Просвещение», 1967.
  179. В.В. Некоторые проблемы обучения теории вероятностейкак прикладной дисциплине. Канд. дисс. М., НИИ СиМО АПН СССР, 1974.
  180. Л.Р., Фалкерсон Д. Р. Потоки в сетях. М., «Мир», 1966.
  181. Фор Р., Кофман А., Дени, Папен М. Современная математина.1. М., «Мир», 1966.
  182. Л.М. Дидантические основы применения задач в обучении. Донн, дисс., М., Изд. МГУ, 1971.
  183. Г., Дебруннер Г. Комбинаторная геометрия плоскости.1. М., «Наука», 1965.
  184. П.Р. Как писать математические тексты. Успехи математических наук, т. ХХУ1, вып. 5(161), 1971.
  185. Ф. Комбинаторные задачи перечисления графов. В сб.
  186. Прикладная математика под ред. Беккенбаха Э. М., «Мир», 1968.
  187. Ф. Теория графов. М., «Мир», 1973.
  188. А.Я. Педагогические статьи. М., АПН РСФСР, 1961.
  189. С.й. От алгоритмов к суждениям, «Советское радио», 1. М., 1973.
  190. С.И. Вопросы политехнической направленности среднего математического образования. Сборник Политехническое образование, часть 1. Ротапринт АПН СССР, М., 1974.
  191. С.И. О политехнической направленности среднегоматематического образования. «Советсная педагогика», 13, 1975.
  192. С.И. Проблемы повышенной математической подготовки учащихся, авторский доклад об опубликованных работах, представленных на соискание ученой степени доктора педагогических наук. М., НИИ ШОТСО, 1972.
  193. С.И., Фирсов В. В. О проблемах совершенствованияфакультативных занятий по математике. Сб. Факультативные занятия в средней школе. М., «Педагогика», 1973.
  194. Ю.А. Введение в современную математику. М., «Наука», 1965.
  195. Д.О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии, М."Наука",!^.
  196. Ю.А. Равенство, сходство, порядок. М., «Науна», 1971.
  197. В.А. О роли моделей в познании. Л., ЛГУ, 1961.
  198. Экономическая география зарубежных стран. Учебник для9 класса. Максаковский В. П. и др., М., «Просвещение», 1974.
  199. A.M. и Яглом И.М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении. М., Гостехиздат, 1954.183* Anderson, Sabга S. Graph theory and finite combinatorics.
  200. Chicago, 1970* 184* Bellman Hichard. Aicorithms, graphs and computers* N.Y. 1970.
  201. Mathematik in der Schule, No* 5, 1970. 188″ Harary Frank, Norman Robert Zy Cartwright Dorwin.
  202. Program" zur Modernen Mathematik), Printed in Germany, 1969*192 «Kuropatwa Otto. Besondere Eigenschaften топ Belationen.
  203. Belationen 2 (Program zur tfodernen Mathematik), Stuttgart, 1 970 193. lebelsk? Ladielav. Algebraic properties of trees, Praha 1969,
  204. Ore Qystein* The four—color problem* N, T» 1967*- U5 195″ Papy George, Mathdmatiqne modeme, P" 1−2, Bruxelles-Paris, 1964 1967*196* Preufi Gtinther. Aquivalenz-und Ordnungsrelationen, Relationen 3
  205. Beinecke, N4Y. 1967* 200, Yarga Tam&s. JAtsszunk Matenatifc&t! 2, Budapest, 1973.
  206. Здесь приведены фрагменты из главы 7 пособия /21/, в которых вводится матрица смежностей графа и операции над матрицами, Упражнения здесь опущены.1. ГЛАВА 71. ГРА®- И МАТРИЦЫ
  207. Напомним, чтс если в графе Г есть неориентированное ребро (А, В), то оно может быть заменено двумя ориентированными ребра" ми <�А,В> и <�В,А> .
  208. Всякий граф Г, не имеющий цветных вершин и ребер, можно* полностью описать матрицей смежностей. Любую квадратную матрицу* состоящую только из единиц и нулей, можно рассматривать как ма-'1 трицу смежностей некоторого графа.
  209. Две матрицы М и м' называют равными, если они одного порядка и все соответственные элементы их попарно равны, то есть, если для каждой пары L и? &-ц = а’Ц «
  210. Естественно, что равным матрицам смежностей соответствует один и тот же граф.
  211. Информацию о графе с помощью матрицы смежностей можно хранить без изображения графа, её можно передавать % „память ма“ вины».1. Упражнения. «» *§ 2. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ.
  212. Разные задачи, возникающие на практике, приводя®- к резного вида операциям над матрицами. Познакомимся о некоторыми из них.
  213. Простейшие операции над матрицами.
  214. Эту информацию зафиксируем с помощью двух матрицУ яХ' одинакового порядка.1. Ч *2X
  215. Используя только матрицы, определим и запишем: сколькими различными способами можно попасть из любого города I страны в любой город II страны. Для этого достаточно сложить соответствующие элементы матриц Я и X' .
  216. Результаты можно записать с помощью новой матрицы того же порядка: нч 6 1 3 9 2 4/мп>
  217. Снова рассмотрим схемы связей двух видов между городами двух стран (рио. 7.13).
  218. К такой же операция над двумя матрицами одинакового пэ-$ка привела бы задача отыскания наиболее дешевого пути из одного города в другой, так как числа на ребрах могут обозначать и стоимости проезда."упражнения.2. Умножение матриц.
  219. Пусть граф на рисунке 7.14 представляет систему воздушных линяй между аэропортами трех стран: два аэропорта xj и Jстране, три аэропорта yIt у2 и Д стране, два аэроаорта я Z2
  220. Систему связей между П и Ш странами зафиксируем с помощью матрицы В1*.'1. В. матрице В элемент /X если аэропорт у- связан с ф — Ч ~ с0' есш аэР°п°Рт У и не связан с Щ.
  221. Никаких других путей от Xj ДО net. Отсюда с. е 2. Для Ofj Можно записasь формулу:
  222. По заданным матрицам, А и В требуется определить элементы с 1} матрицы Cj1. Hi1.°И °12) °22 /.
  223. Рассуждения, аналогичные тем, которые проводились при ранении предыдущей задачи, определят и матрицу С, и алгоритм нахождения элементов с Ц .А именно:1. Ч I aIIBII+8I2®2I+ eI3B3IaIIBI2+aI2B22+aI3B32 V a2IBI2+^22B22+a23B32)уто ее"хГ1. Г&bdquo-)
  224. Итак, каждый элемент сЦ матрицы С, являющейся произведением матрицы, А на матрицу В, определяется следующей формулой: Glj e aiiBij + at2"jy+ ai.3V. + а^в, — .
  225. Коротко эту формулу можно записать так: ® п
Заполнить форму текущей работой

На отлично!