Математическое моделирование элементарных физико-химических процессов на поверхности твердых тел при наличии нескольких типов активных центров: метод трансфер-матрицы

Кинетика реакций простых молекул на поверхности переходных металлов является традиционным объектом исследований в гетерогенном катализе. Интерес к изучению этих реакций объясняется как запросами практики (многие переходные металлы являются эффективными катализаторами промышленно важных процессов), так и попытками ответить на вопросы, имеющие общетеоретическое значение. Экспериментально было обнаружено, что в большинстве систем кинетика элементарных процессов, таких, как адсорбция, десорбция, поверхностная диффузия и т. д. является неидеальной, т. е. не описывается простым законом действующих масс в форме закона действующих поверхностей. Причина неидеальности различна в различных системах. В частности, одними го наиболее распространенных причин являются латеральные взаимодействия в адсорбционном слое и реконструкция или релаксация поверхности.

Модельными объектами науки о поверхности служат монокристаллы. Как следует из проведенного обзора литературных данных, экспериментальные результаты, полученные различными методами, недвусмысленно демонстрируют существенную неидеальность практически всех исследованных систем даже в этом простейшем случае (хорошо известно такое интересное явление, как образование упорядоченных структур адсорбированных молекул та поверхности монокристаллов). При теоретическом анализе всего многообразия экспериментальных данных часто наиболее подходящей моделью оказывается модель решеточного газа или какая-либо из ее модификаций. Это справедливо, прежде всего, для хемосорбции.

Отметим, что разрабатываемая в течении нескольких десятилетий математическая кинетика базируется, в основном, на представлении об идеальности адсорбционного слоя. С математической точки зрения это выражается тем, что кинетические уравнения являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, правые части которых имеют полиномиальный вид (обычно полиномы степени не выше трех) с константами скоростей элементарных процессов, не зависящими от состава реакционной смеси на поверхности катализатора. В реальных системах эти константы начинают зависеть (иногда очень сильно) от состояния поверхности.

Таким образом, при моделировании реальных систем возникает проблема определения этак зависимостей. Естественно, что наиболее перспективным подходом является создание физических моделей адсорбционного слоя, в рамках которых зависимости констант скоростей от состояния поверхности определяются небольшим числом параметров, таких, как энергии латеральных взаимодействий и им подобные. Как уже говорилось, часто такой моделью оказывается одна из модификаций обобщенной модели решеточного газа. Можно утверждать, что, по-видимому, одной из важнейших задач при моделировании гетерогенно-ката-литических процессов является вычисление зависимостей констант скоростей элементарных процессов от состояния поверхности в рамках модели решеточного газа.

Модель решеточного газа (МРГ) является одной из наиболее значимых моделей в статистической физике. Ее различные обобщения позволяют описывать даже такие сложные явления, как индуцированная адсорбцией реконструкция поверхности и сжатие структур. Ранее в рамках МРГ и теории переходною состояния были получены общие формулы для констант скоростей элементарных физико-химических процессов на поверхности твердых тел. В эти соотношения входят вероятности различных конфшураций адсорбированных частиц, располагающихся в узлах решетки. Эти формулы в некотором смысле являются решением поставленной задачи, однако, вычисление вероятностей, входящих в них, представляет основную сложность при моделировании. Широко используемый и практически универсальный метод Монте-Карло весьма трудоемок и требует значительных машинных ресурсов. Следует отметить также, что при некоторых наборах параметров сходимость этого метода к равновесному состоянию поверхности чрезвычайно медленна. Различные детерминистские методы, традиционно используемые при изучении модели решеточного газа и изоморфной ей модели Изинга, имеют ряд существенных недостатков, наиболее заметно проявляющихся при температурах ниже критической. В этом случае ошибки вычисления могут достигать нескольких раз. Современные мощные подхода, разработанные в статистической физике решеточных систем, такие, как метод трансфер-матрицы, до начала 90-х годов практически не использовались при изучении кинетики элементарных процессов на поверхности.

Учитывая сказанное, становится понятной актуальность выработки новых подходов к моделированию гетерогенно-каталитических процессов, основанных на современных достижениях теоретической физики. Недавно было предложено использовать при моделировании процессов на поверхности в рамках МРГ и теории переходного состояния метод трансфер-матрицы (МГМ), являющийся одним из наиболее мощных подходов в современной теоретической статистической фшике. Были проанализированы простые МРГ с одним типом активных центров в элементарной ячейке и была показана высокая эффективность МТМ во всей области параметров, включая критическую область непрерывных фазовых переходов.

С математической точки зрения, метод трансфер-матрицы сводится к построению некоторой матрицы с неотрицательными матричными элементами и определению нескольких, в простейшем случае одного, наибольших по модулю собственных значений. В процессе изучения простых МРГ было обнаружено, что метод прямой итерации в некоторых случаях оказывается очень неэффективным и может совсем не сходиться с требуемой точностью. В представляемой работе предложено использовать для этой цели современный вариант метода Ланцоша, который оказался лишен этого недостатка.

Современные методы исследования поверхности убедительно продемонстрировали, что очень часто одновременно функционируют несколько типов активных центров в одной элементарной ячейке. Кроме того, было также показано, что значительное влияние оказывает геометрический размер адсорбированных молекул. Изучаемые ранее простые МРГ не могут адекватно отражать свойства таких систем. Для их корректного описания необходимо строить существенно более сложные модели с большим числом состояний элементарной ячейки и многочисленными запретами на определенной конфигурации расположения адсорбированных частиц вследствии конечности их геометрических размеров. С математической точки зрения трансфер-матрицы таких моделей, во-первых, теряют нормальность и, во-вторых, значительное число их матричных элементов становятся равными нулю. В предлагаемой работе показывается высокая эффективность метода трансфер-матрицы и при изучении таких сложных моделей.

Таким образом, целью предлагаемой работы является распространение метода трансфер-матрицы на сложные решеточные модели с несколькими типами активных центров и при учете геометрических размеров адсорбированных молекул, выбор оптимальных численных алгоритмов, полуколичественное описание экспериментальных концентрационных зависимостей наблюдаемых аррениусовских параметров десорбции для системы СО/ЩДОО), разработка численного алгоритма метода трансфер-матрицы для систем со случайно распределенными центрами различной природы.

Как уже отмечалось, в качестве метода моделирования автором выбран метод трансфер-матрицы, обладающий рядом существенных преимуществ по сравнению с традиционно используемыми кластерными методами, в частности, метод трансфер-матрицы корректен во всей области допустимых значений параметров модели.

Кратко опишем структуру диссертации.

Диссертация состоит из Введения, трех Глав, Заключения, Приложения и Списка цитируемой литературы.

1. Р. Бэкстер, Точно решаемые модели в статистической механике — М.: Мир, 1985 -486с.

2. Дж. Смарт, Эффективное поле в теории магнетизма М.: Мир, 1968 — 271с.

3. Ф. Дайсои, Э. Монтролл, М. Кац, М. Фишер, Устойчивость и фазовые переходыМ.: Мир, 1973 373с.

4. P.D. McMahon, E.D. Glandt, J.S. Walker, Renormalization group theory in solution thermodynamics // Chem. Eng. Sci. 1988 — v.43,№ 10 — p.2561 — 2586.

5. В. П. Жданов, Элементарные фгоикохимические процессы на поверхностиНовосибирск.: Наука, 1988 296с.

6. А. З. Наташинский, В. Л. Покровский, Флуктуационная теория фазовых переходовМ.: Наука, 1982 382с.

7. В. N. J. Persson, Ordered structures and phase transitions in adsorbed layers // Surface Sci. Rep. -1992. v. 15, № 1−3. -p. 1−135.

8. A.G. Naumovets, Phase transitions in two dimensions // Contemp. Phys. 1989 -v.30,№ 3-p. 187−201.

9. G. A. Somoijai, Modem concepts in surface science and heterogeneous catalysis // J. Phys. Chem. 1990 — v.94-№ 3 — p. 1013−1023.

10. K. Binder, D.P. Landau, Critical phenomena at surfaces // Physica A. 1990 -v, 163,№l — p. 17−30.

11. Ю. В. Шулепов, E.B. Аксененко, Решеточный газ Киев.: Наукова думка — 1981 -267с.

12. D.L. Doering, S. Semancik, Low temperature ordering of sodium overlayers on Ru (lOO) // Surface Sci. 1983 — v.129,№ 1 — p. 177−191.

13. G. Pirag, H.P. Bonzel, Ordering of potassium overlayers on Pt (lll) // Surface Sci. -1988 v. 194,№½ — p.245−257.

14. A.V. Myshlyavtsev, V.P. Zhdanov, Surface diffusion and anisotropic lateral interactions // Surface Sci. 1993 — v.291 — p.145−153.

15. A.V. Myshlyavtsev, V.P. Zhdanov, P.R. Norton, Surface diffusion and anisotropic lateral interactions // Surf. Rev. Lett. 1996 — v.3,№ 3 — p. 1417−1420.

16. R. Koch, M. ВогЬопш, O. Haase, K.H. Reider, Reconstruction behaviour of fcc (llO) transition metal surface and their vicinals // Appl. Phys. A.- 1992, — 55, № 5-p. 417−429.

17. А. Исихара, Статистическая физика M.: Мир — 1973 — 471с.

18. N.C. Barttet, T.L. Einstein, Proposed decorated lattice-gas model of HZPd (100) // Phys. Rev. Lett. 1987 — v.59,№ 2 — p.244.

19. K. Tamaru, Dynamic heterogeneous catalysis N.Y.: Academic Press, 1978 — 140p.

20. Г. К. Боресков, Гетерогенный катализ М.: Наука, 1986 — 304с.

21. В.Е. Nieuwenhuys, Adsorption and reactions of CO, NO, H2 and 02 on group VIII metal surfaces // Surface Sci. 1983 — v. 126 — p.307−336.

22. R.J. Behm, K. Chrislmann, G. Ertl, Adsorption of hydrogen on Pd (100) 11 Surface Scil- 1980 v.99 — p.320−340.

23. G. Lauth. E. Schwarz, K. Christmann, The adsorption of hydrogen on a ruthenium (1010) surface // J. Chem. Phys. 1989 — v.91,№ 6 — p.3729−3743.

24. D.J. Coulman, J. Wintterlin, R.J. Behm, G. Ertl, Novel mechanism for the formation of clicmisorption phases. The (2×1)0 Cu (110) «adder-row» reconstruction 11 Phys. Rev. Lett. — 1990 — v.64,№ 15 — p. 1761−1764.

25. W. Oed, U. Starke, F. Bothe, K. Heinz, LEED structure analysis of P (2×2)S/Ni (100) /7 Surface Sci. 1990 — v.234,№l-2 — p.72−78.

26. V.P. Zhdanov, P.R. Norton, Statistics of adsorption on top and bridge sites of a square lattice // Surface Sci. 1994 — v.312 — p.441−449.

27. II. Pfnur, P. Feulner, D. Menzel, The influence of adsorbate interactions on kinetics and equilibrium for CO on Ru (100). Desorption kinetics and equilibrium // J. Chem. Phys.- 1983 v.79,№ 9 -p.4613−4623.

28. V.P. Zhdanov, Strong lateral interactions in the activated state for surface diffusion: C0/Ru (001) // Surface Sci. 1991 — v.257 — p, 63−69.

29. K. Christmann, K.J. Behm, G. Ertl e.a., Chemisorbed geometry of hydrogen on Ni (l 11): order and disorder 11 J. Chem. Phys. 1979 — v.70,№ 9 — p.4168−4184.

30. G. Parschmann, E. Kirsten, K.II. Rieder, A He-diffraction study of the low-coverage (1×2) phase of hydrogen on Rh (110) // Surface Sci. 1990 — v.225,№>3 — p.367−372.

31. А. Г. Наумовец, Дифракция медленных электронов 11 Спектроскопия и дифракция медленных электронов при исследовании поверхности твердых тел М.: Наука, 1985; с. 162−221.

32. D.G. Castmer, G.A. Somorjai, Surface structures of adsorbed gases on solid surfaces // Chem. Rev. 1979 — v. 79, № 3 -p, 233−252.

33. P. Piercy, II. Pftrar, Experimental verification of critical exponents in the two-dimensional four-state Potts universality class: oxygen on Ru (0001) // Phys. Rev. Lett.1987 v.59,№lQ — p. 1124−1127.

34. И. Ф. Люксютов, А. Г. Федорус, Критческие индексы системы H/W (110) // ЖЭТФ 1981 -т.80,№ 6 -с.2511−2518.

35. L. Gnsager, Ciystal statistics. A two-dimensional model with an order-disorder transition // Phys. Rev. 1944 -v. 65,№>3−4 — p. 117−149.

36. Т. Хилл, Статистическая механика M.: ИЛ, I960 — 486с.

37. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Статистическая физика М.: Наука, 1976 — 584с.

38. L.K. Runnels, L.L. Combs, Exact finite mithod of lattice statistics. I. Square and triangular lattice gases of hard molecules /7 J. Chem. Phys. 1966 — v.45,№ 7 — p.2482−2492.

39. Ш. Ma, Современная теория критических явлений М.: Мир.1980 — 300с.

40. К. Биндер. Общие вопросы теории и техники статистического моделирования методом Монте Карло /У Методы Монте Карло в статистической физике М.: Мир, 1982 — с.1−57.

41. J.-S. Wang, R. H Swendson, Claster Monte Carlo algorithms //Physica A. 1990 -v.l67,№ 3 — p. 565−579.

42. Г. Г. Еленин, А. Г. Макеев, Численное исследование образования островковых структур в неидеальном адсорбционном слое //Препр. Ин-т. Прикл.мат. АН СССР1988 № 170 -22с,.

43. Г. Г. Еленин, Ю. В. Трощиев, Качественный анаше решений соответствующих свсрструктурс Р (2×1) в неидеальном слое адсорбата /УМат.моделирование 1990 -т.2,№ 2 — с. 1.17−128.

44. Р.Балеску. Равновесная и неравновесная статистическая механика, т.1 М.:Мир, 1978 — 405 с.

45. Th. Neimeijer, J.M.T. van Leeuwen, Wilson theory for 2-dim.ensional Isitig spin systems /7 Physica 1974 — v.71 — p. 17−40.

46. A.A.Migdal, Phase transformations in gauge and spin-lattice systems ii Soviet Phys., JETP 1976 — v.42 — p. 743−746.

47. L.P. Kadanoff, Notes on Migdal’s recursion formulas /7 Ann. Phys. 1976 — v. 100 -p.359−39 448. ?.A. Wood, Vocabulary of surface crystallography // J. Appl. Phys. 1964 — v.35,№ 4 -p. 1306−1312.

48. M. Schick, J.C. Walker, M. Wortis, Phase diagram of the triangular Ising model: Renomialization-group calculation with application to adsorbed monolayers // Phys. Rev. B 1977 — v. 16,№ 5 — p.2205−2209.

49. K. Nagai, Y. Ohno, T. Nakamura, Phase diagram of hydrogen adsorbed on Ni (lll) /'/' Phys. Rev. B 1984 -v.30,№>3 — p. 1461−1469.

50. M. Kaufman, R.B. Griffiths, J.M. Yeomans, M.E. Fisher, Three-component model and tricritical points: A renormalization-group study in two dimensiones // Phys. Rev. B 1981; v.23,%7 p.3448−3455.

51. M.P. Nightingale, Scaling theory and finite systems //Physica A. 1976 — v.83 — P.561 569.

52. B. Derrida, L. de Seze, J. Vannimenns, Finite size scaling and phenomenological renormalization //lectures Notes in Physics 1981 — v. 149 — P.46−50.

53. R. R, dos Santos, L. Sneddon, Finite-size rescaling transformation //Phys. Rev. B. -1981 v.23, № 7 — P.3541 -3547.

54. N.C. Bartlet, T.L. Einstein, L.D. Roelofs, Transfer-matrix approach to estimating coverage discontinuties and multicritical point positions in two-dimensional lattice gas phase diagram /VPhys. Rev. B. 1986 — v.34, № 3 — P. 1616−1625.

55. P.A. Rikvold, W. Kinzel, J.D. Gunton, K. Kaski, Finite-size scaling study of a two dimensional lattice gas model with a tricritical point //Phys.Rev.B. 1983 — v.28, — P.26 862 695.

56. L. Sneddon, Ising antiferromagnets in a magnetic field //J.Phys.C. 1979 — v. 12, № 15- P.3051−3055.

57. W. Kinzel, M. Schick, Extent of exponent variation in a hard-square lattice gas with second neighbor repulsion //Phys.Rev.B. 1981 — v.24, № 1 — P.324−330.

58. P.A. Rikvold, J.B. Collins, G.D. Hansen, J.D. Gunton, Three-state lattice gas on a triangular lattice as a model for multieomponent adsorption //Surface Sei. 1988 — v.203, № 3 -P. 500−523.

59. P.A. Rikvold, M.R. Deakin, Lateral interactions and enhanced adsoiption //Surface Sei. 1991 — v.243 — No 1−3 — P. 180−193.

60. N.H. Fuchs, Transfer-matrix analysis for Ising models /'/Phys.Rev.B -1990 v.41, № 4- P.2173−2183.

61. M.A. Novotnv, Transfer matrix studies of d > 3 Ising models //J.Appl.Phys. 1990 -v.67, № 9, Pt2B — p. 5448−5450.

62. K. Binder, D P. Landau, Square lattice gases with two-and three-body interactions: a model for the adsorption of hydrogen on Pd (100) //Surface Sci. 1981 — v. 108, № 3 -P.505−525.

63. F. Claro, V. Kumar, Phase diagrams for a square lattice with twoand three-body interactions //Surface Sci. 1982 — v. 119, № 2 — P. L371−377.

64. W. Selke, K. Binder, W. Kinzel. Lattice gas model with competing interactions //Surface Sci, 1983 — v. 125, № 1 — P. 74−93.

65. D.P. Landau, Critical and multicritical behavior in a triangular-lattice gas Ising model //Phys.Rev.B 1983 — v.27, № 9 — P.5604−5617.

66. C. Uebing, Monte Carlo study of surface phase transitions in lattice gases on interpenetrating square sublattices /7 Surface Sci. 1992 -v.260, JV°l-3, p.286−294.

67. M. Sandhoff, H. Pfnur, H.-U. Everts, Firstand second-order phase transitions in a simple lattice gas model // Furophys.Lett. .- 1994 2,5, 2 p. 105−111.

68. A. Michev, E. Bauer, Monte Carlo study of Cu adsorbed on W (110) //Surface Sci. -1989 v.222, № 1 — P. 163−180.

69. B. Kuchta, R.D. Etters, On the nature of the orientitional transition of monolayer N2 on graphite //J.Cliem. Phys. 1988 — v.88, № 4 — P. 2793−2799.

70. E.G. Seebanear, A.C.F. Kong, L.D. Schmidt, The coverage dependence of the pre-exponential factor for desoiption //Surface Sci. 1988 — v, 193, № 3 — P.417−436.

71. V. P, Zhdanov, Airhenius parameters for rate processes on solid surfaces .//Surface Sci, Rep. -1991 v. 12, № 5- P. 184 -242.

72. V.P. Zhdanov, Lattice-gas model for description of the adsorbed moleculas of two kinds //Surface Sci. 1981 — v. Ill, № 1 — P.63−79.

73. V.P. Zhdanov, Lattice-gas model of bimolecular reaction on surface //Surface Sci. -1981 v. 102, № 1 -P.L35−40.

74. V. P, Zhdanov. Effect of the lateral interaction of adsorbed molecules on pre-exponential factor of the desorption rate constant //Surface Sci. 1981 — v. Ill, № 1T> T /C^O.^X"?X JJS.

75. V.P. Zhdanov, Thermal desorption from adlayer of interacting particles //Surface Sci. -1983 v.133, № 2 — P.469−483.

76. A.V. Myshlyavtsev, G.S. Yablonskii, Transfer matrix method for calculation of thermodynamics and kinetic of surface processes //in Advances in Thermodynamics V.6, -1992 (eds S. Sienieutich and P. Salomon) — Taylor &FrancisNew York — P.460−481.

77. A.B. Мышлявцев, Г. С. Яблонский, Влияние латеральных взаимодействий на книетические характеристики мономолекулярной адсорбции //Теоретическая и экспериментальная химия -1992 т.28,№ 1 — с.47−52.

78. А. В. Мышлявцев, Изотермы и термодесорбционные спектры для модели с двумя типами центров в одной элементарной ячейке /Поверхность 1994,№ 2 — с.28−32.

79. A.V. Myshlyavtsev, G.S.Yablonskii, Modem lattice-gas models for chemical surface processes /7 Mathematical methods in contemperar}' chemistry (ed. S.I. Kuchanov), New York, Gordon and Breach, 1996 p.369−412.

80. XL. Hock, R.B. Me Quistan, Comparison of physical adsorption isotherms for planar and cylindrical lattices //J.Chem.Phys. 1988 — v. 89, № 4 — P. 2292−2300.

81. A.V. Myshlyavtsev, M.D. Dongak. Isotherms and chemical diffusion coefficient for the simplest model with two types of adsorption centres into one elementary cell // Phys, Low-Dim. Struct. 1996 — v. 4/5 — p.65−73.

82. V.P. Zhdanov, Effect of lateral interactions of adsorbed molecules on adsorption and desorption rates //J.Chem.Soc. Faraday Trans.2. 1986 — v. 82, № 1 — P. 149−150.

83. V.P. Zhdanov, On one of the ways of application of the lattice-gas model to describe kinetics of desorption //Surface Sci. 1986 — v. 171, № 2 — P. L461−463.

84. C.G. Goymour, D.A. King, Lateral interaction model for desorption kinetics //J.Chem. Soc. Faraday Trans. 1. -1973 v. 69, № 4 — P.749−760.

85. D.A. King, Kinetics of adsorption, desorption and migration at single crystal metal surface //Crit.Rev. Sol. State Mater.Sci. 1978 — v.7 — P. 167−208.

86. D.L. Adams, Consequence of adsorbate-adsorbate interactions for thermal desorption and LEED measurements //Surface Sci. 1974 — v. 42, № 1 — P. 12−36.

87. V.P. Zhdanov, The coverage dependence of the sticking coefficient and the desorption pre-exponentiaJ. factor //Surface Sci.- 1989 v.209, №>3 — P.523−535.

88. P.K. Johansson, «Fast» thermal desorption role of adsorbate interaction //Chem.Phys.Lett. -1979 v. 65, № 2 -P.366−370.

89. U. Leuiiiansser, Generalized quasichemical approximation for a lattice gas: application to CO on Ru //Z.Phys. 1980 — v. B37, № 1 — P.65−67.

90. F.D. Nieto, D.L. Vaiiadares, P.A. Velasco, G. Zgrablich, Influence of adsorbate-adsorbate interaction, on Atrheniys parameyers for desorption processes // J. Phys.rCondens. Matter .- 1993 v5, Suppl., №" 33A, — p. A147-A148.

91. C.-M. Chan, R. Aris, W.H. Weinberg, An analysis of thermal desoiption mass spectra I //Appl.Sittf.Sci. 1978 — v. 1 -P.360−376.

92. J.M. Soler, N. Garsia, How much quantitative information may be expected from programmed desoiption experiments? //Surface Sei. 1983 — v. 124, № 2 — P. 563−570.

93. A.M. de Jong, J.W. Niemantsverdrict, Thermal desoiption analysis: comparative test of ten commonly applied procedures //Surface Sei. 1990 — v. 233, № 3 — P. 355−365.

94. J.L. Brand, M.V. Arena, A.A. Deckert, S.M. George, CO desorption kinetics from clean and sulfur-covered Ru (001) surfaces //.T.Chem.Phys. 1990 — v. 92, № 7 — P. 44 834 490.

95. B.A. Banse, B.E. Koel, Interaction of oxygen with Pd (lll): high effective 02 pressure conditions by using nitrogen dioxide //Surface Sei. 1990 — v. 232, № 3 — P.275−285.

96. H. Miki, T. Nagase, T. Kioka. S. Sugai, K. Kawasaki Chemisorption of NO on a Pt surface I A TDS study .//Surface Sei. 1990 — v. 225, № 1−2 — P. 1−9.

97. A.V. Myshlyavtsev, V.P. Zhdanov, The effect of nearest-neighbour and next-nearest-neighbour lateral interactions on thermal desorption spectra //Chem. Phys.Lett. 1989 — v. 162, № 1,2 -P. 43−46.

98. J.L. Sales, G. Zgrablich, V.P. Zhdanov, Lattice gas model for calculating thermal desoiption spectra: comparison between analytical and Monte Carlo results //Surface Sei. -1989 v. 209, № ½ — P. 208−214.

99. A.V. Myshlyavtsev, J.L. Sales, G. Zgrablich, V.P. Zhdanov, The effect of three-body interactions on thermal desorption spectra //J.Statistical Phys. 1990 — v. 58, № 5/6 -P. 1029−1039.

100. K. Nagai, K.H. Bennemann, Monte Carlo calculation of thermal desorption spectra: application to C0/Ru (001) // Surface Sei.- 1992 v.260,№ 1−3 — p.286−294.

101. B. Meng, W.H. Weinberg, Monte Carlo simulations of temperature programmed desorption spectra // J. Chem.Phys.- 1994 v. 100,№ 7 — p. 5280−5289.

102. ITSales, G. Zgrablich. Thermal desorption of interacting molecules from heterogeneous surfaces application to CO desoiption from MgO //Surface Sei. 1987 -v. 187, № 1 — P. 1−20.

103. M. Silverberg, A. Ben-Shaul, F. Robentrost, On the effect of adsorbate aggregation on the kinetics of surface reactions //.T.Chem. Phys. 1985 — v. 83, № 12 — P.6501−6513.

104. S.J. Lombardo, A.T. Bell, A Monte Carlo model for the simulation of temperature-programmed desorption spectra //Surface Sei.- 1988 v. 206, № ½ — P. 101−123.

105. S.J. Lombardo, A.T. Bell, Monte Carlo simulation of temperature-programmed desorption of coadsorbed species //Surface Sei. 1989 — v. 224, № 1−3 — P.451−475.

106. A.G. Naumovets, V.Y. Poplavsky, Yu.S. Vedula, Diffusion and phase transitions in barium monolayers on the (110) plane of tungsten // Surface Sei. 1988 — v.200.№ 2/3 -p.321−346.

107. R. Morin, Diffusion and compressihility of sodium on the (110) plane of tungten //Surface Sei. 1985 — v. 102, № 2 — P.588−609.

108. R. Gomer, Surface diffusion //Vacuum 1983 — v. 33, js> 9 — P. 537−542.

109. A.A. Deckert, J.L. Brandt, M.V. Arena, S.M. George, Surface diffusion of carbon monoxite on Ru (100) studied using laser-induced thermal desorption //Surface Sei. 1989 -v. 208, № 3 — P.441−462.

110. D.R. Mullius, B. Roop, S.A. Costello, J.M.White, Isotope effects in surface diffusion hydrogen and deuterium on Ni (100) //Surface Sei. 1987 — v. 186, № ½ — P.67−74.

111. M. Tringides, R. Gomer, Anisotropy in surface diffusion: oxygen, hydrogen and deuterium on the (110) plane of tungsten //Surface Sei. 1985 — v. 155, № I — P.254−278.

112. J.-S. Liu, H.-J. Lu, R. Gomer, Diffusion of CO onNi (lll) and Ni (115) //Surface Sei. 1990 — v. 234- №? 3 — P.251−261.

113. D.A. Reed, G, Ehrlich, Surface diffusion, atomic jump rates and thermodynamics //Surface Sei. ~ 1981 v. 102, № 2 — P.588−609.

114. D.A. Reed, G. Ehrlich, Surface diffusion and the time correlaation of concentration fluctuations //Surface Sei. 1981 — v. 105, № 2 — P.603−628.

115. V.P. Zhdanov, General equations for description of surface diffusion in the framework of the lattice-gas model //Surface Sei. 1985 — v. 149, № 1 — P. L13−17.

116. A. Sadiq, K. Binder, Diffusion of adsorbate atoms m ordered and disordered monolayers at surfaces //Surface Sei. 1983 — v. 128, № 2 — P.350−382.

117. A. Natori, A. Otsubo, Surface diffusion and formation of an ordered state II //Surface Sei. 1987 — v. 184, № ½ — P.289 — 301.

118. Cn. Uebing, R. Gomer, A Monte Carlo study of surface diffusion coefficients in the presence of adsorbate-adsorbate interactions I. Repulsive nearest-neighbor interactions //J.Chem.Phys, 1991 — v. 95, № 10 — P. 7626 -7635.

119. Ch. Uebing, R. Gamer, A Monte Carlo study of surface diffusion coefficients in the presence of adsorbate-adsorbate interactions IT. Attractive nearest-neighbor interactions .//J.Chem.Phys. -1991 v. 95, №> 10 — P.7636−7640.

120. M.C. Tringides, R. Gomer, Adsorbate-adsorbate interaction effect in surface diffusion // Surface Sei. 1992 — v.265,№ 1−3 — p.283−292.

121. C. Uebing, Diffusion on stepped square surfaces: a Monte Carlo approach /7 Phys, Rev. В 1994 -v.49,№ 19 — p. 13 913−13 920.

122. A.A. Тарасенко, A.A. Чумак, Изучение диффузии в модели двумерного решеточного газа с сильным латеральным взаимодействием методом ренорм-грушш //Поверхность 1989 — №>11 — с. 98−105.

123. A.A. Тарасенко, A.A. Чумак, Диффузия адсорбированных атомов на двумерной треугольной решетке //Поверхность -1991 ХйЗ — с.37−44.

124. И М. Гельфанд, Лекции по линейной алгебре, изд. 2, Гостехиздат, M.-JI, 1951 г., добавл. 1.

125. В. Н. Фаддеева, Вычислительные методы линейной алгебры, Гостехиздат, М, 1950, гл Ш.

126. А. Г. Курош, Курс высшей алгебры, Гостехиздат, М.-Л., 1946, гл. VI.

127. К. И. Бабенко, Основы численного анализа, М: Наука, 1986 г.

128. Д. К, Фаддеев, В. Н. Фаддеева. Вычислительные методы линейной алгебры, М: Изд-во АН СССР, 1960 г.- физматиз, 1963 г.

129. А. Н. Коновалов, Введение в вычислительные методы линейной алгебры, Новосибирск: ВО «Наука», 1993 г.

130. Х. Д. Икрамов, Численное решение матричных уравнений, М.: Наука, главная редакция физ.-мат. литературы, 1984 г.

131. В. Н. Кублановская. 11рименение ортогональных преобразований для решениязадач алгебры: Автореферат докторской диссертацииЛ. 1972 г.

132. Francis J.G.F. The QR trancformation — a unitary analogue to the LRtransformation //Comput. .Т.-1: 1961 — 4: ГТ: 1962, — 4.

133. Дж.Х. Уилкинсон, Алгебраическая проблема собственных значений. М: Наука, 1970.

134. Г. Стренг, Линейная алгебра и ее применения, М.: Мир, 1980 г.

135. А. А. Амосов, Ю. А. Дубинский, Н. В. Копченова, Вычислительные методы для инженеров, Учебное пособие, М.: Высш. шк., 1994 г.

136. Дж.Х. Уилкинсон К. Райнш, Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976 г.

137. Х. Д. Икрамов, Несимметричная проблема собствкных значений. Численные методы. М: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1991 г.

138. В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов, Матрицы и вычисления, М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1984 г.

139. В. В. Воеводин, Вычислительные основы линейной алгебры, М.: Наука, 1977 г.

140. Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц М.: Наука, 1988. — 552с.

141. О. Yukiyasu, N. Hidetoshi, Phase diagram of the ±J Ising model in two dimensiones // J. Phys. Soc. Jap. 1987 — v.56,№ 9 — p.3265−3269.

142. H. Kitatani, T. Oguchi, On the three-dimensional ±J Ising model by the transfer matrix method // Coop. Dyn. Complex Pliys. Syst.: Proc. 2nd Yukawa Int. Symp., Kyoto, Aug. 24−27, 1988. Berlin etc., 1989 — p. 177−178.

143. P.B. Хемминг, Численные методы M.: Наука, 1л. ред. ф. мат. лит., 1968, 400 с.

144. И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений М.: Фтаматгиз, 1963. 1100 с.

145. Р. Стенли, Перечислительная комбинаторика М.: Мир, 1990, 440 с.

146. С. Lanczos, An iteration method for the solution of the eigenvalue problem of linear differential and integral operators //J.Res.Nat.Bw.Siand.B.-1950;№>45-P.225−281.

147. W.E. Arnoldi, The principle of minimized iterations in the solution of the matrix eigenvalue problem //Quart. Appl.Math.-1951;9, № 1.

148. Kaniel S. Estimates for some computational techniques in linear algebra //Math.Comput. 1966;20, № 95.

149. Saad Y. On the rates of convergence of the Lanczos and the block-Lanczos methods. //SIAM J. Numer.Anal. -1980;17, № 5.

150. A.B. Князев, Выделение собственных значений и векторов в сеточных задачах: алгоритмы и оценки погрешности IvL: ОВМ АН СССР, 1986 г.

151. B.N. Parlett, The software scene in the extraction of eigenvalues from sparse matrices //SIAM J.Sci. Stat. Comput-1984.-5, № 3.

152. Б. Парлетт, Симметричная проблема собственных значений, М: Мир, 1983.

153. Х. Д. Ихсрамов, Разреженные матрицы //Математический анализ. Итоги науки и техники, М.: ВИНИТИ, 1982.

154. ХК. Cullum, R.A. Willougliby, Lanczos algorithms for large symmetric eigenvalues computations. Vol.i.Theory. Vol.2.Programs. Basel: Birkhauser, 1985.

155. B.N. Parlett, D.S. Scott. The Lanczos algorithm with selective orthogonalizatiotiMath.Comput.-1979, 33.

156. A.B. Собянин, Анализ ошибок округления и устойчивости в методах типа Ланцоша. М.: ОВМ АН СССР, 1985.

157. B. Nour-Omid, B.N. Parlett, R.L. Taylor, Lanczos versus subspacc iteration for solution of eigenvalue problems./Tbtf, J. Numer. Meih. Eng. 1983 -19, № 6.