Спектральная теория периодических дифференциальных операторов и асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений

Диссертация посвящена исследованию геометрических (качественных) свойств решений дифференциальных уравнений с периодическими (вообще говоря, неограниченными) коэффициентами и с постоянными коэффициентами.

Состояние качественной теории дифференциальных уравнений долгое время отражали известные монографии Ю. Л. Далецкого, М. Г. Крейна «Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве» и X. Массера, X. Шеффера «Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства», авторы которых отмечали крайнюю важность развития соответствующей теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в связи с приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными:

Авторы отчетливо осознают, что арена бесконечномерных пространств требует присутствия неограниченных операторов, без которых невозможна настоящая теория устойчивости систем с бесконечным числом степеней свободы". (Ю.Л. Далецкий, М. Г. Крейн, стр. 12) мы совершенно игнорируем возможность распространения теории на случай, когда значения, А (в уравнении вида х + Ах = Н — прим. автора) суть неограниченные операторы в X. Такое обобщение теории представило бы конечно, огромный интерес особенно ввиду возможных приложений к уравнениям в частных производных". (X. Массера, X. Шеффер, стр. 11).

Важную роль в качественной теории решений дифференциальных уравнений являются оценки ограниченных решений дифференциальных уравнений. Одним из методов получения оценок является оценка нормы обратного оператора, рассматриваемого в подходящем функциональном пространстве. Значительную роль при оценках норм обратных операторов играют теоремы вложения Соболева. Важность оценок норм обратных операторов объясняется возможностью их использования при разрешимости нелинейных уравнений. При изучении качественных свойств решений дифференциальных уравнений (на их важность указывал А. Пуанкаре) важно получение формул их асимптотических представлений. Таким вопросам посвящена третья глава диссертации. Таким образом, тема диссертации является актуальной.

В первой главе диссертации приведены основные понятия и используемые результаты. В частности, приводятся наиболее важные понятия из спектральной теории замкнутых операторов, теории векторных функций и теории банаховых алгебр. Особое внимание уделяется изложению теории полугрупп операторов.

Во второй главе диссертации на основе теоремы вложения С. Л. Соболева получены оценки нормы обратного оператора, действующего, а одном из рассматриваемых пространств ./" сДМ, Л). Т.

Пусть X — банахово пространство, Епс1Х — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих вХ. Через = .Т-ЦМ, X) будем обозначать одно из следующих функциональных пространств: Ц,{Ж, Х), р Е [1, оо], СЫ (М, X).

В банаховом пространстве (Ж, X) рассматривается линейное дифференциальное уравнение где Ст: Б (С?) С —)¦ - дифференциальный оператор с областью определения И (С^) — {х €: х абсолютно непрерывна и х е и, А е Ь^{Ж, ЕпйХ), если Ты = ??, р? [1, оо]. Если Рш — Си, то предполагается, что, А? Сш (Ш, Епс1Х). Для Т — Ц^, р? [1, оо], оператор С? будет обозначаться через Ср.

Условия разрешимости уравнения (1) для любой функции /? Т7^ и единственности решения этого уравнения эквивалентны обратимости оператора С?. Ключевое значение при получении оценок нормы обратного оператора играет следующая лемма. Лемма 2.1. Для любых /3 > 0 и х е И-^^М, Н) верна оценка.

Сх = Стх = хА{Ь)х = / е ^(М, X),.

1).

Ыоо < {рс+(М|И|2 + ±С-(М\х\2) < 1.

— С+((3,итх\2 + -\х\2), 1 1 где причем С+(1,27г) < 1.013.

В следующей тбиреме получена точная константа вложения пространства СоболеваИ¹^^, Н) в банахово пространство CW (M, H).

Теорема 2.1. Для любой функции х G И^^М) веРна оценка.

1 + е~ш.

Моо < и эта оценка является точной. Равенство достигается на функции ip G W^R) euda: ip (t) = ip (t) = (1—ехр (—2cj))1(exp (-i)+ exp{t-ш)), t G [0,w).

Рассматриваемый дифференциальный оператор С = d/dt—A (t) обладает свойством: его обратимость в одном из рассматриваемых функциональных пространств периодических функций влечет его обратимость во всех остальных. Этот результат содержится в теореме 2.2, которая получена для более общего класса операторов, построенных по некоторому семейству эволюционных операторов. В частности, теорема 2.2 будет верна для дифференциального оператора С с неограниченными операторными коэффициентами A (t), A (t + eu) = A (t), te Ж, которые порождают корректную задачу Коши (см. [3] и [11]).

Пусть U: Ar -" EndX — сильно непрерывное и> - периодическое семейство эволюционных операторов, т. е. выполнены следующие условия:

1. U (t, t) = I, tE M;

2. U (t, s) U (s, r) = U (t, г) для всех т < s < t из M- 3- sup0< oo-.

4. U (t+uj, s-Kj) = U (t, s) для всех t, s ElR (условие периодичности семейства U)..

Для заданного семейства эволюционных операторов U: Ar —>• EndX символом Vit), t? [0,cj], обозначим оператор U (t + си, t)? EndX..

Отправляясь от произвольного^{-периодического} сильно непрерывного семейства эволюционных операторов U: Ar —> EndX, определим оператор Си: D (jC) С TW{X) —>• FU (X). Непрерывная w-периодическая функция х? ТШ (Х) относится к области определения оператора Сц, если существует функция /? Ти (Х) такая, что верны равенства x (t) = U (t, 0) x{0) — [ U{t, r) f{T)dr, t?[0,cu}..

J о.

Отметим, что функция / единственна и при этом полагается — /¦ В следующей теореме получено необходимое и достаточное условие обратимости оператора С в одном из пространств Теорема 2.2. Для того, чтобы линейный оператор Си: D (Cu) С С ^(Х) —у ^(Х) был обратим, необходимо и достаточно, чтобы был обратим оператор Ыш = I — Ы{си, 0) (т.е. 1 0 а (Ы (си, 0))). Если оператор Ыш обратим, то обратимы операторы I — V (t), t? [0,cj]- и имеют место оценки i-v{t))-l\.

Интегральное представление обратного оператора Сц1 с помощью функции Грина содержит.

Теорема 2.3. Если оператор Ыш обратим, то обратим оператор Си: D (Cu) С ТШ (Х) -> ТШ (Х) и обратный к Си оператор определяется формулой uf)= Г G (t, r) f®dr, /еад,.

JQ где функция (Грина) G: [0,w] х [0,w] —" EndX имеет вид {U{t, t-u)-I)-lU{t, r), 0.

G (t, r) = {.

U (t, t-w) — I)~lU{t, Tw), t.

Пусть теперь X — H — гильбертово пространство. Основные результаты второй главы (теоремы 2.6, 2.7) связаны с оценкой периодических ограниченных решений дифференциального уравнения (1) для ограниченной функции /, полученных с использованием нормы обратного оператора в пространстве Н). Она, в свою очередь, может быть в некоторых случаях посчитана через более просто вычислимые числовые величины, связанные с операторной функцией А..

Рассматривается дифференциальный оператор С = —d/dt + A{t): D© С ТШ{Н) ->¦ ТШ{Н) с функцией, А в L™(R, EndH), если ТШ{Н) = Ьрш (Ш, Н), 1 < р < оо, и, А е Cu (R, EndH), если.

Теорема 2.6. Пусть оператор С = —d/dt + A (t): D{C) С Wj'1 С Я) —Ll (R, H) обратим. Тогда он обратим в.

Ь™(Ш, Н) (для A G L™(R, EndH)) и обратим в Сш{Ш, Н) (для, А Е СШ (М, EndH)). При этом для любого /3 > 0 верна оценка.

II/:-1!!", < C+(P, uj)(/3\C-% + 1(1 + ll^llaPIloo)) = А),.

I I /** 1|| Л I ЛОЛ I 1 Л /Л ГУ> Г) ПГП пгщ /~ПГЛП С* 1 ГГЛ/1 л/1 ««Л т />*"/>/ /О /» «/Э ПЛОЛ ^ Р-7» ^ —.

5С || «О ||р ~ Пирк1УЫЬ и I ЬОри/П IV ри, А-/ - ! Ьр И/ОЫ^Ми Си и) р? [1,оо]. Для нормы решения х дифференциального уравнения (1) с $ 6 имеет место оценка: ||#||оо <.

Ф^, С0, А)\/\оо..

Теорема 2.7. Пусть дифференциальный оператор С = й/(И — А{1) имеет постоянные коэффициенты А{£) = А$? ЕгкШ и ст (Ао) П (г^й) = 0. ТогЛг ок обратим в СШ (Ж, Н) и для любого (3 > 0 имеет место оценка.

1Ю100 < ±С+(/?, и-)(/Зтахпе2 — ЛоНК.

В третьей главе получено асимптотическое представление ограниченных решений линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при исчезающей на бесконечности и медленно меняющейся на бесконечности правой части..

Пусть далее X — конечномерное нормированное пространство, символом 7 обозначим М или Сь, и{"Л X) — банахово пространство равномерно непрерывных ограниченных функций с нормой ||ж||оо = тах^ ||ж (£)||, х? Съ, и (3,Х). Замкнутое подпространство функций х из X), обладающих свойством Нт^^оо ||а-(£)|| = О, обозначим Со = С$(3,Х)..

Определение 3.1. Функция х? называется медленно меняющейся на бесконечности, если для любого, а? 3, Б (а)х — х? Со (7, X), где (3(а)х)(Ь) = х^ + а) — оператор сдвига функции х на а..

Пространство таких функций обозначим символом С8 = X)..

Имеет место включение Со С С^. Символом обозначим банахову алгебру комплексных суммируемых на К. функций со сверткой в качестве умножения. Собственное значение Ао оператора, А будем называть полупростым, если отсутствуют присоединенные векторы, отвечающие собственному значению Ао.

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида: х = Ах + /, (2) где / 6 Со (М, Х), А? Епс1Х. Во всех теоремах третьей главы под решением понимается непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая уравнению (2)..

Следующие леммы содержат некоторые свойства функций из пространств Со (К, X) и С5г (М, X), используемые при доказательствах теорем..

Лемма 3.1. Пусть х? Сь^М, X), непрерывно дифференцируема их? Со (К, Х). Тогда х? X)..

Лемма 3.2. Пусть функция? Со (К, X), а /? Ь1(М). Тогда свертка (</? * /)(?) = /^/(^ ~ т)<�р (т)с1т,? ? Мпринадлежит С0(М, Х)..

Лемма 3.3. Пусть функция <р? X), а /? /^(Е). Тогда их свертка (/ * </?)(?) = ~ т)<^т,? ? М, принадлежит.

Са^Х)..

Лемма 3.4. Для того, чтобы функция (р? Сь1И (М, X) принадлежала подпространству С^(Ж, X) необходимо и достаточно, чтобы /*(/?? Со (М, X), для любой функции f? 1/1(М) с /(0) = 0..

Лемма 3.5. Если х? Сг, 5 М (Ж, X) и непрерывно дифференцируема, причем х 6 X), то х с X)..

Основные результаты о представлении решений содержатся в следующих трех теоремах..

Теорема 3.1. Пусть функция / принадлежит пространству Со (М, X) ао (А) = {гА^/с = 1,., гп} - совокупность полупростых собственных значений оператора А, лежащих на мнимой оси. Если существует ограниченное решение уравнения (2), то оно представимо в виде т м, (з) к=1 где ук 6 С81(Ш, Х)..

Отметим, что представление решения (3) не является единственным. Если т к=1 то Ук — Ш? С0{Ж, Х)..

Теорема 3.2. Пусть функция / принадлежит пространству X), сг0(Л) = {¿-А к, к = 1,., т} - совокупность полупростых собственных значений оператора А, лежащих на мнимой оси. Если существует ограниченное решение х уравнения (2), то оно имеет вид т х0) = + <�р{г), г е ж, к=1 где ук € Са1{Ж, Х), <р е Св1{Ш, Х)..

Теорема 3.3. Пусть функция / принадлежит X) и.

часть спектра оператора А, лежащая на мнимой оси, состоит из пь собственных значении иоуА) — — 1,.5?72.}. Если существует ограниченное решение х уравнения (2), то оно имеет вид т ^Ук^ехр^г) + е К, к=1 гдеукеСз1(Ш, Х),(реС81(Ж, Х)..

Далее приведем достаточное условие существования ограниченных решений уравнения (2)..

Теорема 3.4. Пусть функция / из (2) принадлежит подпространству Со (М, Х) П 1/1 (М, X) и пусть ао (А) = {гк, к = 1,., ш} состоит из полупростых собственных значений оператора А, лежащих на мнимой оси, тогда уравнение (2) имееет хотя бы одно ограниченное решение..

1. Баскаков А. Г. Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений/ А. Г. Баскаков // Дифференциальные уравнения. — 2003 — Т. 39. — № 3. — С. 413−415..

2. Перов А. И. Частотные признаки существования ограниченных решений/ А. И. Перов // Дифференциальные уравнения. 2007 -Т.43. — № 7. — С. 896−904..

3. Баскаков А. Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений./ А. Г. Баскаков // Известия РАН, серия математическая. 2009 -Т. 73. — № 2. — С. 3−68..

4. Баскаков А. Г. Лекции по алгебре / А. Г. Баскаков // Воронеж: Воронежский государственный университет, 2004. 306 с..

5. Баскаков А. Г. Гармонический анализ линейных операторов / А. Г. Баскаков // Воронеж: Изд-во ВГУ, 1987. — 165 с..

6. Баскаков А. Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейныхоператоров/ А. Г. Баскаков // Функциональный анализ, СМФН. 2004 — Том 9 — М.: МАИ — С.3−151.

7. Баскаков А. Г. Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторовоценки решений / А. Г. Баскаков, Ю. Н. Синтяев // Дифференциальные уравнения.-2010, — Т.46. № 2, — С.1−10..

8. Соболев C.JI. Об одной теореме функционального анализа./ C.JI. Соболев // Математический сборник, — 1938. Т. 4(46). — № 3, — С. 471−497..

9. Либ Э. Анализ /Э. Либ, М. Лосс // Новосибирск: Научная книга. 1998. — 257 с..

10. Колмогоров А. Н. Элементы теории функции и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, C.B. Фомин, — М.: Наука, 1968, — 543 с..

11. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. / С. Г. Крейн.- М.: Мир, 1967.464 с..

12. Далецкий Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн, — М.: Наука, 1970. 535 с..

13. Хенри. Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. / Д. Хенри, — М.: Мир, 1985.376 с..

14. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс, — М.: ИЛ, 1962, — 830 с..

15. Chicone С., Latushkin Y. Evolution semigroup in dynamical systems and differential equations. Mathematical Surveys Monography, 70, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999..

16. Люстерник Л. А. Элементы функционального анализа / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев, — М.: Наука, 1965, — 520 с..

17. Engel K.J. One Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations / K.J. Engel, R. Nagel // Semigroup Forum.- 2001. V.63. № 2,-P.278−280..

18. Като Т. Теория возмущений линейных операторов./ Като Т. -М.: Мир, 1972. 740 с..

19. Чернышов М. К. Об обратимости линейных дифференциальных операторов первого порядка. / М. К. Чернышов // Мат. заметки.-1998, — Т.64. № 5, — С.796−800..

20. Красносельский М. А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций./ М. А. Красносельский, П. П. Забрейко, Е. И. Пустыльник, П. Е. Соболевский М.: Наука, 1966. — 499 с..

21. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений./ М. А. Красносельский М.: Наука, 1966. — 331 с..

22. Якубович В. А., Старжинский В.M. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения./ В. А. Якубович, В. М. Старжинский М.: Наука, 1972. — 720 с..

23. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория./ Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц М.:Издательство иностранной литературы., 1962. — 873 с..

24. Данфорд Н. Линейные операторы. Спектральная теория./ Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц М.:Мир., 1966. — 1063 с..

25. Гельфанд И. М. Коммутативные нормированные кольца./ И. М. Гельфанд, Д. А. Райков, Г. Е. Шилов M Государственное издательство физико-математической литературы., 1960. — 315 с..

26. Калужина Н. С. Теорема Берлинга для непрерывных ограниченных функций и функций Степанова с дискретным спектром /Н.С. Калужина, C.B. Марюшенков //Вестник ВГУ, серия: физика, математика 2008 — № 2 — С. 115−121.

27. Кобычев К. С. Оценки оператора вложения пространства Соболева периодических функций и оценки решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. / А. Г. Баскаков, К. С. Кобычев // Дифференциальные уравнения 2011 — т. 47, № 5 — С. 611 620.

28. Кобычев К. С. Оценки оператора вложения в пространства Соболева периодических функций и оценки решенийдифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. / К. С. Кобычев // Вестник ПММ,-Воронеж:ВГУ- 2010 г.- С.214−221.

29. Кобычев К. С. Оценка ограниченных решений периодической краевой задачи /К.С. Кобычев// Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна. Тезисы докладов.-Воронеж:ВГУ, — 2008. С. 68.

30. Кобычев К. С. Об условиях обратимости дифференциальных операторов / К. С. Кобычев / / Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна. Тезисы докладов.- Воронеж: ВГУ, — 2010. С. 81−83.

31. Кобычев К. С. Об асимптотических свойствах решений дифференциальных уравнений: Препринт НИИМ ВГУ № 42: Декабрь 2011 / К. С. Кобычев // Воронеж: Воронежский государственный университет, 2011. 17 с..

32. Красносельский М. А. Нелинейные почти периодические колебания / М. А. Красносельский, В. Ш. Бурд, Ю. С. Колесов,-М.: Наука, 1970, — 351 с.

33. Крейн С. Г. Функциональный анализ / С. Г. Крейн, — М.: Наука, 1972..

34. Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа / С. С. Кутателадзе.- Изд-во ин-та матем. Новосибирск, 2000. 349 с..

35. Латушкин Ю. Д. Операторы взвешенного сдвига и линейные расширения динамических систем / Ю. Д. Латушкин, A.M. Степин // УМН.- 1991. Т.46, — № 2, — С.85−143..

36. Массера Х. Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х. Л. Массера, Х. Х. Шеффер,-М.: Мир, 1970, — 456 с..

37. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк, — М.: Наука, 1969. 527 с..

38. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин.- М.:Мир, 1975 -449 с..

39. Тюрин В. М. Об обратимости оператора ^ — A (t) в некоторых функциональных пространствах / В. М. Тюрин / / Мат. заметки,-1979, — Т.25. № 4, — С.585−590..

40. Тюрин В. М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах /B.М. Тюрин // Сиб. матем. журн, — 1991. Т.32, — № 3, — С.160−165..

41. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде, — М.:Мир, 1969. 1070 с..

42. Треногин В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин, — М.: Физматлит, 2002, — 488 с..

43. Baskakov A. Spectral analysis of operators with the two-point Bohr spectrum / A. Baskakov, I. Krishtal //J. Math. Anal. Appl.- 2005.-V38. P.420−439..

44. Baskakov A. On solution of differential inclusions in homogeneous spaces of functions / A. Baskakov, V. Obuhovskii, P. Zecca //J. Math. Anal. Appl.- 2006. -V324. P.1310−1323..

45. Gearhart L. Spectral theory for contraction semigroups on Hilbert spaces / L. Gearhart // Trans. Amer. Math. Soc.- 1978, — V.236.-P.385−394..

46. Gohberg I. Classes of linear operators / I. Gohberg, S. Goldberg, M. Kaashoek // Birhauser, vol. I, Oper. Theory Adv. Appl., 49, Basel, Boston, Berlin, 1990..

47. Goldberg S. Unbounded linear operators. Theory and applications / S. Goldberg //McGraw-Hill, New York-Toronto, 1966..

48. Goldstein J.A. Semigroups of Operators and Applications / J.A. Goldstein // Oxford University Press.- 1985..

49. Kamenskii M., Obuhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces / M. Kamenskii, V. Obuhovskii, P. Zecca // de Gruyter Ser. Nonlinear Anal. Appl.- 2001. V.7.

50. Latushkin Yu. Evolution semigroups and Lyapunov theorems in Banach spaces / Y. Latushkin, S. Montogomery-Smith //J. Funkt.Anal.- 1995. V.127. № 1. P.173−197..

51. Latushkin Yu. Exponential Dichotomy and Mild Solutions of Nonautonomous Equations in Banach Spaces / Y. Latushkin, T. Randolph, R. Schnaubelt // Journal of Dynamics and Differential Equations.- 1998. V.10. № 3, — P.489−510..

52. Latushkin Yu. Fredholm properties of evolution semigroups / Yu. Latushkin, Yu. Tomilov // Illinois J. Math.- 2004, — V.48. № 3.-P.999−1020..

53. Latushkin Yu. Fredholm differential operators with unbounded coefficients / Yu. Latushkin, Yu. Tomilov //J. Differential Equations.-2005. V.208. № 2, — P.388−429..

54. Megan M. Discrete admissibility and exponential dichotomy for evolution families / M. Megan, A. L. Sasu, B. Sasu // Discrete Contin. Dyn. Syst.- 2003, — V.9. № 2, — P.383−397..

55. Van Minh N. Exponential stability, exponential expansiveness, and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line / N. Van Minh, F. Rabiger, R. Schnaubelt // Integral Equations and Operator Theory.- 1998, — V.32. № 3. P.332−353..

56. Van Minh N. Characterizations of dichotomies of evolution equations on the half-line / N. Van Minh, N. Th. Huy //J. Math. Anal. Appl.- 2001, — V.261. № 1, — P.28−44..

57. Nagel R. Semigroup methods for nonautonomous Cauchy problems / R. Nagel //Lecture Notes in Pure and Appl. Math.- V.168.-Dekker.- New York.- 1995, — P.301−316..

58. Perron 0. Uber eine Matrixtransformation / 0. Perron // Mathematische Zeitschrift.- 1930, — V.32. № 1, — P.465−473..

59. Pruss J. On the spectrum of Co semigroups / J. Pruss // Trans. Amer. Math. Soc.- 1984, — V.284. P.847−857..

60. Rabiger F. The spectral mapping theorem for evolution semigroups on spaces of vector-valued functions / F. Rabiger, R. Schnaubelt // Semigroup Forum.- 1996. V.52. № 1, — P.225−239..

61. Rau R.T. Hyperbolic evolution semigroups on vector valued function spaces / R.T. Rau // Semigroup Forum.- 1994, — V.48. № 1.-P.107−118..

62. Schnaubelt R. Asymptotically autonomous parabolic evolution equations / R. Schnaubelt // Journal of Evolution equations.- 2001.-V.I.- P.19−37..

63. Taylor A.E. Introduction to functional analysis / A.E. Taylor // John Wiley andSons.- New York 1958..

64. Aldroubi A. Slanted matrices, Banach frames, and sampling / A. Al-droubi, A.G. Baskakov I. Krishtal // J. Funkt. Anal.- 2008..

65. Carrol R.W. Singular and Degenerate Cauchy Problems / R.W. Carrol, R.E. Showalter — New York: Academic Press, 1976.-333P..

66. Chicone C. Hyperbolicity and dissipativity in Evolution equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Appl. Math.- 1995. V168. P.95−106.

67. Chicone C. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Amer. Math. Soc.-1999. 361 p..

68. Cross R. Multivalued linear operators / R. Cross New York: M. Dekker.- 1998..

69. Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi New York: M. Dekker.- 1998..