Вопросы корректности и устойчивости задач возможностной оптимизации

Актуальность.

Оптимизационные задачи возникают при формализации задач проектирования, анализе сложных экономических и технических систем, решении проблем управления, планирования производственных процессов. При этом может иметь место влияние на исходные данные неконтролируемых возмущающих факторов, ошибок, порождаемых идеализированностью математической модели, округлений, производимых при численной реализации метода решения и т. д. В этих условиях оказывается важным выделение классов оптимизационных задач, на решения которых подобные факторы не оказывают существенного влияния. Такие задачи называются устойчивыми. Вопросы устойчивости применительно к классическим постановкам задач принятия решений исследовались в фундаментальных трудах А. Н. Тихонова, получили развитие в работах С. А. Ашманова, Ф. П. Васильева, В. Г. Карманова, Д. А. Молодцова, В. В. Федорова и других авторов. В этих работах сформировались математический аппарат и методологические подходы к исследованию устойчивости.

Проблема устойчивости является актуальной и при моделировании задач принятия решений в рамках возможностной оптимизации.

Параметры этих задач изначально несут в себе элемент неопределенности, размытости. Реальные экспертные данные аппроксимируются получаемыми на практике возможностными распределениями значений нечетких параметров, и в случае неустойчивости исходной задачи аппроксимирующая модель оказывается неадекватной.

Тем не менее, вопросы устойчивости задач возможностной оптимизации изучены явно недостаточно. Наиболее значительными в этом направлении являются работы Р. Фуллера [51, 69, 72, 73, 74] и М. Ковач [23, 24]. В них исследована устойчивость некоторых классов оптимизационных задач и систем линейных уравнений с нечеткими параметрами. Однако, во всех этих работах исследуется фактически один критерий принятия решений — критерий Беллмана-Заде, и, вместе с тем, отсутствует единообразный подход к исследованию — определение устойчивости уточняется в контексте конкретной рассматриваемой задачи. Также следует отметить, что в подавляющем большинстве случаев остается открытым вопрос об условиях сильной устойчивости.

Таким образом, можно говорить о том, что различные модели критериев и ограничений, представляющие несомненный практический интерес при построении задач принятия решений в условиях неопределенности, образуют достаточно широкое поле исследования в контексте рассматриваемой проблемы.

Обзор литературы.

Вопросам устойчивости моделей и принципов принятия решений в теории оптимизации систем и исследовании операций уделено значительное внимание. Очевидная важность и многообразие рассматриваемых аспектов позволило результатам исследований оформиться в самостоятельный раздел — теорию устойчивости задач оптимизации. Из большого числа работ, посвященных данной тематике, в первую очередь следует отметить общепризнанные монографии А. Н. Тихонова, В. Я. Арсенина [44], В. К. Иванова и др. [20], а также монографии С. А. Ашманова [5], Ф. П. Васильева, А. Ю. Иваницкого [11], В.Г. Карма-нова [21], Д. А. Молодцова [30], В. В. Федорова [50]. Достаточно полные библиографии по теории устойчивости приведены, например, в [11, 32].

Что касается устойчивости моделей нечеткой и возможностной оптимизации, составляющих подкласс класса задач оптимизации и принятия решений в условиях неопределенности, то здесь, как уже упоминалось ранее, основополагающими являются работы Р. Фуллера и М. Ковач. В них последовательно исследуется устойчивость систем линейных возможностных равенств, параметры которых характеризуются трапециевидными [23] и липшицуемыми распределениями [74], задач нечеткой линейной оптимизации в классах симметричных три-ангулярных [73] и непрерывных распределений [72]. Приведем основные полученные результаты.

В работе [23] рассмотрены системы линейных алгебраических уравнений с нечеткими коэффициентами, моделируемыми симметричными трапециевидными нечеткими числами с верхней шириной в > 0 и нижней шириной, а > 0. Получена оценка.

7 — < min{l- ¿-/а'}, где <т, as есть функции принадлежности нечетких решений исходной и возмущенной задач соответственно, S — величина возмущения.

В предположении, что множество четких оптимальных решений системы непусто, получена оценка р{х, Х*) = inf х-у< C0{S + e)(xi + l), х е Х*(6), где X* — множество оптимальных решений исходной системы, = х Е Мп | as (x) = 1}, С’о — некоторая положительная постоянная. В работе также отмечено, что так как симметричные трапециевидные или триангулярные нечеткие числа могут быть получены сглаживанием прямоугольных или острых нечетких чисел, то такое сглаживание представляет собой некоторую регуляризацию систем, рассматриваемых на классах прямоугольных или острых нечетких чисел.

В работе [73] исследована линейная задача минимизации четкой целевой функции при нечетких ограничениях, параметры которых являются симметричными триангулярными нечеткими числами. Получена оценка.

1 1 i — flS\c = sup Ifl{x) — HS (x) I <6[— + где /?, ?/ есть степени выполнения ограничений исходной и возмущенной систем, а — коэффициент нечеткости параметров технологической матрицы, d — минимальный коэффициент нечеткости компонент вектора ресурсов.

В работе [72] для задачи возможностного линейного программирования в постановке Дж. Бакли [68] получена оценка возмущения возможностного распределения целевого функционала, позволяющая сделать вывод о слабой устойчивости задачи при моделировании нечетких параметров непрерывными функциями распределения: sup Poss[Zs = z]~ Poss[Z = z]< co (S), xeRn и-(с>) = тах{со>(ау, 5), со (а^б), и (Ь{, 6), ш (Ь*, 5), иси (с?, 5). Здесь у.

Ровэ^ = г], Робб^ = г] и аг-у, 6г-, с, оф, с^ есть возможностные распределения целевых функционалов и параметры исходной и возмущенной задач соответственно. Отметим, что в теореме 3.3 мы получаем аналогичную оценку для задачи максимизации меры достижения нечеткой цели, используя несколько более простую технику доказательства, чем в данной работе.

В заключение упомянем ряд работ [64, 65, 76, 89], посвященных выходящему за рамки тематики данной диссертации исследованию устойчивости некоторых задач многокритериальной нечеткой оптимизации.

Цель работы.

Цель предлагаемой диссертационной работы состоит в исследовании устойчивости ряда моделей возможностной оптимизации, называемых базовыми, поведение которых относительно некорректности задания нечетких параметров не изучено до настоящего времени. При возможностной интерпретации нечеткости, которой мы придерживаемся в данной работе, под некорректностью задания параметров понимается наличие погрешностей в задании функций распределения их возможных значений. Устойчивость задачи в данном случае, в соответствии со сложившейся классической методологией [44], предлагается определять выполнением следующих условий: а) задача разрешима на множествах точных и приближенных параметровб') оптимальные значения нечеткого целевого функционала, вычисленные по приближенным данным, при уменьшении погрешности приближения сходятся к его точному оптимальному значениюб") множество решений (оптимальных альтернатив) задачи с приближенными параметрами при уменьшении погрешности стягивается к множеству решений задачи с точными параметрами.

В случае а, б' назовем задачу устойчивой по результату (или слабо устойчивой), в случае а, б" — устойчивой по решению (сильно устойчивой).

Основные задачи.

Основными решаемыми в диссертационной работе задачами являются:

• анализ специфики исследования устойчивости задач оптимизации в услових нечеткой или неполной информации при возмож-ностной интерпретации неопределенности;

• развитие и систематизация математического аппарата теории возможностей, необходимого для проведения данного исследования;

• выявление классов возможностных распределений нечетких параметров, гарантирующих устойчивое поведение критериев оптимальности;

• определение условий слабой и сильной устойчивости задач воз-можностной оптимизации, построенных на основе базовых моделей критериев и ограничений;

• установление взаимосвязей между слабо и сильно устойчивыми задачами;

• обоснование методов регуляризации неустойчивых задач;

• выработка алгоритмов и рекомендаций по аспектам устойчивости для реализации рассматриваемых задач в системах поддержки принятия решений.

Методика исследования.

Для формализованного описания изучаемого класса задач используется математический аппарат современной теории возможностей, при доказательстве теорем используются методы возможностной оптимизации, математического программирования, математического и функционального анализа. Методологическую основу исследования составляют результаты классической теории устойчивости и корректности задач оптимизации.

Практическая значимость работы.

Полученные результаты позволят обосновывать корректность применения рассмотренных моделей в задачах оптимизации технико-экономических систем различного назначения, решать вопросы применимости для этих моделей конкретных семейств нечетких величин. Предложенные алгоритмы и рекомендации могут быть использованы при разработке систем поддержки принятия решений.

Внедрение результатов работы.

Проведенные научные исследования поддержаны грантом РФФИ, проект № 98−01−212 «Разработка и исследование моделей и методов воз-можностной оптимизации», исполнителем которого диссертант являлся в 1998 — 2000 гг. Результаты диссертации используются также в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского госуниверситета.

Апробация.

Основные результаты диссертационной работы докладывались автором на б-м и 7-м Европейских конгрессах по интеллектуальным технологиям и мягким вычислениям (ЕИИТ '98, ЕЦЕ1Т '99, Ахен, Германия), на научной конференции, посвященной 70-летию со дня рождения академика В. А. Мельникова (Москва, 1999 год), на I конференции-семинаре «Математические модели сложных систем» (Тверь, 1999 год), на семинарах в ТвГУ и ВЦ РАН.

Структура работы и ее содержание.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии.

Заключение

.

Проведенное в диссертационной работе исследование в рамках предлагаемого единообразного подхода определяет условия сильной и слабой устойчивости базовых моделей возможностной оптимизации, обосновывает необходимость и корректность применения регуляризующих методов, соответствующих специфике рассматриваемых задач. Среди полученных результатов основными являются следующие:

1. Показана устойчивость моделей оптимизации модального значения и максимизации уровня в классе возможностных величин, обладающих квазивогнутыми полунепрерывными сверху распределениями. Так как полунепрерывность сверху распределений возможностных величин обуславливается аксиоматикой [92], это позволяет говорить об устойчивости данных моделей в общем случае.

2. Показана устойчивость модели максимизации меры достижения нечеткой цели в классе квазивогнутых непрерывных распределений при моделировании неопределенности как мерой возможности, так и мерой необходимости. Отмечено, что требование непрерывности для данной модели является существенным.

3. Доказано, что в случае устойчивости (по решению или по результату) рассмотренные модели имеют ограниченное множество решений. При этом условии доказана эквивалентность устойчивости по результату устойчивости по решению.

4. Получено условие сильной устойчивости для всех рассмотренных моделей. Его смысл — задача должна допускать повышение возможности выполнения ограничений, затребованное значение уровня не должно быть максимальным.

5. Предложен метод регуляризации неустойчивых задач возможност-ной оптимизации, основанный на коррекции возможности выполнения ограничений.

В плане дальнейших исследований перспективным представляется рассмотрение устойчивости моделей максимизации меры с возмож-ностными параметрами, определяемыми полунепрерывными сверху распределениями. Предполагается, что подобное исследование может быть осуществлено введением соответствующей псевдо-метрики в классе полунепрерывных распределений.