Внутренние и внешние смешанные обратные краевые задачи по параметру x

Диссертация посвящена исследованию смешанных обратных краевых задач для аналитических функций по параметру х.

Под обратными краевыми задачами понимаются задачи отыскания контура по некоторым величинам, заданным на нем. Обычная постановка таких задач заключается в том, что в искомой области ищется функция, принадлежащая заданному классу (аналитическая или являющаяся решением какого-либо заданного уравнения), причем на контуре независимых условий задается на единицу больше, чем их требуется для решения обычной (при заданной области) для данного класса функций краевой задачи. Обратные краевые задачи — научное направление, получившее широкое применение в задачах механики, сплошных сред и физики. К настоящему времени оно довольно хорошо разработано, особенно для аналитических функций и находит приложение в таких областях, как аэродинамика, гидродинамика, теория фильтрации, теория взрыва, электрохимическая размерная обработка металлов.

Развитие теории обратных краевых задач началось с работы Г. Г. Тума-шева [89], где дано точное и эффективное решение некоторых задач гидромеханики. М. Т. Нужин [70] дал общую постановку обратной краевой задачи и сформулировал ее впервые как математическую задачу для аналитических функций. С тех пор теория обратных краевых задач стала активно развиваться. Исследования теоретического и прикладного характера проводились в тесном взаимодействии. Некоторые из них описаны в монографиях [91], [90], [71], [79], обзорных статьях [1], [5] и др. Обратным краевым задачам посвящено большое количество работ казанских математиков и механиков.

Интересным классом являются внешние обратные краевые задачи, когда искомая область содержит бесконечно удаленную точку. Одной из основных обратных краевых задач для аналитических функций является внешняя обратная краевая задача по параметру 5 в постановке Ф. Д. Гахова [14]. Ф. Д. Гахов нашел уравнение для определения полюса искомой функции и доказал его разрешимость. Это уравнение стало называться его именемВ дальнейшем оно исследовалось многими, авторами- (Л. А. АксентьевМ.И. Киндер, А. В". КиселевС. Н1Кудряшов,. €. Р-. Нась1ров^ ВС. .Рогожин, — С. Б. Сагитова,. П. Л. Шабалин и др-), которые изучали: вопросыединственности' решения этого уравнения, структуру множества, его корней и пр. В [75], [76] построены примеры функций, для которых уравнение1 Гахова имеет* несколько решений. Работы, [40], [41], [42]- посвящены вопросу условий: единственностивнешней обратной краевой задачи. В [98] было получено интегральное представление решения внешней обратной краевой задачи, и на его основе выведен: аналог уравнения Гахова. В [3] выделены классы мероморфных функций, обеспечивающие единственность решения внешнейобратной краевой задачи. При построении этих классов использован метод подчинения. дляфункционалов. Дано сравнение с теоремами единственности в. обратных задачах теории логарифмического потенциала., В [6]> построен примерпоказывающий, что множество корней уравнения Гахова в двусвязной области может содержать континуум. Вработе [37] показано, что уравнение Гахова во внешней обратной краевой задачи. по параметру в имеет конечное число решений. В'[7] доказано, что точкас^о тогда и: только тогда удовлетворяет уравнению Гахова^ когдаона является стационарной точкой некоторой поверхности в .й3. На основании этого в работе [36] не только доказана разрешимость уравнения Рахова при наиболее слабых требованиях на начальные данныено и установлено, что число его корней не меньшечем порядок связности области.

Обобщением обратных краевых задач- [91], [14] являются смешанные обратные краевые задачи, которые являются важным классом краевых задач ' с неизвестной (свободной) границей. Как правило, в этих задачах ищутся область с частично неизвестной границей и аналитическая в этой области функция по заданным краевым-условиям. На неизвестной части краевые значения неизвестной функции задаются через некоторый параметр, в качестве которого выбирается дуговая абсцисса б, декартова координата х, полярный радиус или полярный угол.

Опишем некоторые работы, в которых исследовались смешанные обратные краевые задачи.

В своей работе [105] БДемченко решал смешанную краевую задачу для гармонической функции, задавая граничные значения в зависимости от полярного угла единичного круга плоскости при конформном отображении его на искомую область. Смешанная обратная задача с граничными условиями в форме Демченко исследована в работе [23].

В [89]" рассматривается смешанная задача определения формы профиля по заданному распределению скорости. Профиль обтекается плоскопараллельным потоком жидкости в бесконечном канале с параллельными стенками.

М. И. Хайкин [94], [95] рассмотрел смешанную обратную краевую задачу в случае, когда задается область Д^, причем на неизвестном участке 1Л заданной длины имеется граничное условие (ко/йг = /(в), в € [0,1] а известная дуга Ь задается одним из следующих способов: а) Ь задана полностью, концы ее фиксированыЬ) Ь задана с точностью до подобия относительно некоторой точки хорды, соединяющей ее концыс) Ь лежит на заданной кривой, уходящей в бесконечность, конец ее не фиксирован. Частными случаями описанной задачи являются задачи обтекания безграничным потоком невесомой жидкости профиля, часть границы которого задается, и фильтрационные задачи построения подземного контура, когда часть его известна. М. И. Хайкин [94] получил теорему существования решения внутренней смешанной обратной краевой задачи и применил эти результаты при исследовании разрешимости задач симметричного обтекания гладких препятствий в случае, когда на струях задается скорость в зависимости от дуговой абсциссы, а колебание функции на симметричной-половине препятствия меньшек. При том же ограничении колебания на известном участке границы Н. Б. Салимов [77], [78] доказал разрешимость ряда смешанных обратных краевых задач теории фильтрации.

Обратные и смешанные обратные краевые задачи могут быть поставлены для систем эллиптических уравнений. Для широкого класса задач такого типа, имеющих приложения в механике жидкости, В. Н. Монаховым [47] методами функционального анализа доказаны теоремы существования и единственности в предположении, что скорость нигде в нуль не обращается. Ряд результатов, относящихся к обратным и смешанным обратным задачам, содержится в книге [48].

В работе [72] полученыфешения смешанных обратных краевых задач для некоторых частных случаев, относящихся к гидроаэромеханике и теории фильтрации.

В. Н. Монахов [49] поставил смешанную обратную краевую задачу по параметру э с полигональным известным участком границы и сформулировал теорему существования и единственности при единственном ограничении на полигон — стороны его не пересекаются, углы при вершинах отличны от 0 и 27 Г, тем самым расширяя класс кривых, которому принадлежит задаваемый участок границы. Этот результат применяется в задачах струйного обтекания криволинейных препятствий: заданное препятствие заменяется вписанным в него полигономтак видоизмененная задача сводится к упомянутой выше смешанной краевой задаче, откуда делаются выводы о разрешимости исходной задачи (решение ее получается как предел решений в случае полигонов при неограниченном увеличении числа их сторон). Использовав полученные для этого случая результаты при помощи аппроксимации, В. Н. Монахов исследовал разрешимость обратной смешанной краевой задачи с заданным произвольным спрямляемым участком границы.

А. М. Елизаровым [24] рассматриваются внешние смешанные обратные краевые задачи нахождения односвязной области, содержащей бесконечно удаленную точку, и регулярной или мероморфной функции, В работе [25] получен ряд теорем существования и единственности решений смешанных обратных краевых задач с использованием методов функционального анализа. В статье [26] рассматривается смешанная обратная краевая задача нахождения формы неизвестного замкнутого профиля, расположенного над криволинейным дном и обтекаемого установившимся потоком несжимаемой невесомой жидкости. В статье [28] рассматриваются внутренние смешанные обратные краевые задачи, в граничных условиях которых фигурируют только действительная и мнимая части искомой регулярной функции, причем часть условий задается в форме Демченко. В [30] рассматриваются внутренняя и внешняя смешанные обратные краевые задачи с граничными условиями из [94], когда в качестве параметра вместо дуговой абсциссы й используется г = х. В работе [31] рассматриваются внутренние и внешние смешанные обратные краевые задачи теории аналитических функций для двусвязной области.

Дадим постановку смешанной обратной краевой задачи по параметру х, которая является основным объектом исследования нашей диссертации.

Пусть Иг — жорданова область на плоскости, ограниченная кривой которая состоит из двух дуг Ь и Ь% причем Ь известна, а Ь2 является искомой. Обозначим через г* = х* + гу* и г** = х** -Iiy** точки стыка ДУГ Ь и Ь2. Смешанная обратная краевая задача по параметру х состоит в определении области и аналитической в ней функции IV = гу (г), которая конформно отображает I). на жорданову область по следующим краевым условиям (рис. 1).

Рис. 1.

1) Граница состоит из двух ляпуновских дуг, пересекающихся под ненулевыми углами, причем при отображении и> = ии (г) дуге Ь соответствует дуга Ь1&bdquoа Ь — дуга Ь2иг.

2) Дуга Ь является графиком непрерывной функции у = д (х), х* < х < х**, при этом точкам вида х—гд{х) е Ь2 соответствуют точки (р (х)+{ф (х) Е ¿-ш, х* < х < х**, где 1р{х) и ф (х) — непрерывно дифференцируемые функции.

Впервые смешанную обратную краевую задачу по параметру х поставил и исследовал В. Н. Монахов [49]. Основная его идея заключалась в замене кривой Ь близкой ломаной с вершинами в точках г,, гп = г**, гп = г*). В. Н. Монахов установил, что разрешимость задачи в случае, когда известная часть границы является ломаной, существенно зависит от величины углов 0,17 г, оептг, которые образует эта ломаная с лучами, исходящими вниз из ее концов. В. 49] детально исследован случай, когда величины этих углов меньше 7 Г.

С.' Р. Насыровым [55], [56]'было замечено, что с использованием результатов В. Н. Монахова [49] можно доказать разрешимость задачи на полигональных римановых поверхностях, а также’для. достаточно произвольных границ. В отличие от однолистного случая, где ищется область с частично неизвестной границей, при формулировке задачи был предложен принципиально новый подход: искать кривую на известной римановой поверхности Я, разбивающую Я на две части, одна из которых является искомой рима- -новой поверхностью. Кроме того, в [55], [56] были исправлены некоторые неточности в исследовании задачи В. Н. Монаховым, отмеченные в [4].

Исследование смешанной обратной краевой задачи по параметру х можно встретить в работах Р. Б. Салимова и Е. В. Стрежневой [81], [80], [82], С. Р. Тлюстен [84], [85], [86], [87] и др.

В [58] была дана постановка задачи для расположенных над С полигональных римановых поверхностей с простыми точками ветвления, получено интегральное представление решения, зависящее от нескольких акцессорных параметров, доказана локальная единственность решения в зависимости от этих параметров.

Актуальной является задача разработки приближенных методов решения смешанных обратных краевых задач. Одной из целей нашего исследования является разработка приближенного метода решения внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру х методом движущегося разреза. Метод движущегося разреза применялся ранее П. П. Куфаревым [88] при нахождении акцессорных параметров в интеграле КристоффеляШварца.

Проблема определения констант (акцессорных параметров) и, ?2, ¿-п в интеграле Кристоффеля — Шварца была поставлена работах Э. Кристоффеля [102] и Г. Шварца [109]. Существуют различные методы определения этих констант. Наиболее просто вопрос решается в тех случаях, когда формулу Кристоффеля — Шварца можно проинтегрировать в явном виде. Ряд примеров подобных решений приведен М. А. Лаврентьевым [44], [46].

Известна, конструктивная-* схема, созданная А. Вайнштейном [110] для решения задачиотыскания параметров? конформного отображения" многоугольниковона названа методом непрерывности.

01. Бергман предложил два способа определения констант в интеграле Кристоффеля — Шварца для многоугольников, имеющих углы- |тг и |тг, и в качестве конкретных примеров? рассмотрел четырехугольник исимметричный шестиугольник [99], [100]:. Наиболее обстоятельно вопрос определения констант Кристоффеля — Шварца рассмотрел Н. П. Стенин: [16], применивший для этого метод Ньютона — Фурье в сочетании с методом вычисления несобственных интегралов Л. ВКанторовича [33]. Приближенный метод, дающий в отдельных частных случаях хорошие результаты, был предложен5 И. С. Хара [96]. Случай произвольного четырехугольника рассмотрен' В. Копенфельсом и Ф. Штальманом [38]. Авторы для этой цели использовали гипергеометрические ряды. П. Ф. Фильчаковым [92]: для определения констант в интеграле Кристоффеля — Шварца были применены степенные-рядьь [93].

П. П. Куфарсв [11], [88], используя уравнение Левнера, показал, что определение параметров в интеграле Кристоффеля — Шварца может быть сведено к численному интегрированию соответствующей системы, дифференциальных уравнений. П. П. Куфаревым был предложен метод численного определения параметров в-интеграле Кристоффеля — Шварца, осуществляющем конформное отображение круга |ги| < 1 на полигональную область. Разработка этого метода и: первые доведенные до конца численные расчеты-были выполнены Ю. В1 Чистяковым [97].

В работе [20] к проблеме отыскания параметров конформного отображения многоугольников применяется разработанный В. Н. Монаховым [50] сходящийся метод циклической итерации для решения задач гидродинамики со свободными границами и осуществляется численная реализация метода на.ЭВМ.

В работе [103] получена обобщенная формула Кристоффеля — Шварца отображения многосвязной круговой области на область, ограниченную многосвязным полигоном.

В работе [104] приводится вывод явной формулы отображения концентрического кругового кольца на двусвязную область, граница которой состоит из дуг окружностей. <

Т. А. Дрискол [106]! создал «Комплект инструментов КристоффеляШварца" — в пакете MATLAB, основанный на программе, разработанной ранее Трефевоном (Schwarz — Christoffel Toolbox [111]). Этот пакет позволяет строить отображение Кристоффеля — Шварца даже для очень, сложных областей.

Приближенные методы решения смешанных обратных задач со свободной границей рассматривались В. Н. Монаховым и его учениками.

В статье [50] разработан конструктивный вариационный метод решения функциональных уравнений относительно параметров конформных отображений. С помощью этого метода доказана разрешимость струйных задач гидродинамики и задач фильтрации жидкости со свободными границами в неограниченных областях.

В [51] разработан алгоритм циклической итерации (метод непрерывности) численного решения одного класса задач гидродинамики со свободными границами и установлена его сходимость.

В работе [17] вариационным методом решаются задачи фильтрации жидкости в неограниченных областях. Изучаются плоские стационарные потоки несжимаемой жидкости в пористой среде (пласте) со свободными (неизвестными) границами, которым соответствуют различные гидродинамические схемы фильтрации жидкости в пласте: приток жидкости к дрене или скважине из пористого слояфильтрация жидкости из открытого бассейна, через пористый слой (например, земляную плотину или пористую вставку химического реактора) — фильтрация жидкости под гидротехническим сооружением, подземная часть которого отыскивается по заданным эпюрам напоров или скоростей.

В [18] изучается задача о мажорантной оценке геометрического положения депрессионной кривой (свободной границы) в плоских стационарных задачах безнапорной фильтрации жидкости в пористых средах.

В статье [21] доказывается разрешимость задачи о квазиконформном отображении верхней полуплоскости на область, ограниченную свободной (неизвестной) границей и заданным неоднолистным полигоном, возникающей в теории фильтрации жидкости в неоднородной пористой среде.

Теоремы существования решений задач нелинейной фильтрации жидкости со свободными границами впервые доказаны В. Н. Монаховым [47] методами теории квазиконформных отображений. В работе [22] аналогичные результаты установлены для областей фильтрации со сложной геометрией заданных частей ее границы.

В [19] предложен численный алгоритм решения систем линейных уравнений, обобщающих уравнения для искомых параметров в формуле Кри-стоффеля — Шварца отображения многоугольников при отыскании числовых’параметров плоских стационарных задач фильтрации жидкости в областях, граница которых состоит из заданных отрезков прямых (полигона) и неизвестной кривой (свободной границы). Доказана сходимость этого алгоритма, и установлена оценка скорости сходимости.

Перейдем к детальному изложению результатов работы.

Диссертация состоит из трех глав. Нумерация теорем, лемм, формул и примеров сквозная.

В первой главе получена система дифференциальных уравнений для нахождения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля — Шварца. В § 1.1. приводятся необходимые для последующего изложения материала определения конца и простого конца односвязной области, семейства областей, а также некоторые предложения теории простых концов для последовательности областей. В § 1.2. выводится система дифференциальных уравнений для определения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля — Шварца.

Для нахождения этих параметров, мы предлагаем подход, идейно близкий к методу П. П. Куфарева. В основе нашего подхода лежит использование краевых задач Гильберта с кусочно-постоянными коэффициентами и вариаций их решений.

Функция, осуществляющая конформное отображение верхней полуплоскости на п-угольник, внутренние углы которого равны а^тг, а27г, ., аптг, представляется в виде интеграла Кристоффеля — Шварца.

Вещественные числа «1, ^ < .$ 2 <. < являются координатами точек вещественной оси, соответствующих вершинам Р, Р2, Рп п-угольника.

Рассматривается вспомогательная задача нахождения семейства конформных отображений верхней полуплоскости на плоскость с разрезом по ломаной, состоящей из луча и части границы заданного многоугольника Р1Р2 • • • Рп-Конец разреза движется по контуру многоугольника от первой вершины Р до последней Рп, луч имеет вершиной точку Р и направлен в сторону вершины Рп. Предполагается, что сторона РРп выбрана таким образом, что луч пересекает границу многоугольника только по этой стороне (рис. 2).

Сначала отобразим верхнюю полуплоскость на плоскость с разрезом по лучу от оо до Р. Применяя в случае необходимости преобразование поворота, можем считать, что луч идет по вещественной оси. Затем рассмотрим конформные отображения верхней полуплоскости на плоскость с разрезом вдоль луча от оо до Р и части отрезка [Р1, Р2]. Конец разреза движется от Р к Р2. Зададим соответствие трех точек: = — 1 переходит в ?2 = 1 в Р2, оо в оо.

Далее из точки Р2 выпускаем разрез в направлении точки Рз и удлиняем его пока не дойдем до точки Рз и т. д. до тех пор, пока ломаная не обойдет границу многоугольника, за исключением стороны РпР.

Функция <�г©, отображающая верхнюю полуплоскость на плоскость с разрезом по ломаной в случае, когда конец разреза лежит на к-ои звене.

— 1 1.

Р.

Рис. 2 ломаной (к = 1, ?г), представима в виде интеграла Кристоффеля — Шварца.

40 = с Iи+1) Ц «уз + (1) где а3тг — внутренние углы многоугольника, г ~ аффикс точки Можно считать, что значения параметров ?1 и ?2 фиксированы и равны (—1) и 1 соответственно.

Вариация 6 г отображающей функции (1) может быть найдена как решение вполне определенной краевой задачи Гильберта. Используя (1) и равенство 6щ = получаем систему дифференциальных уравнений для нахождения параметров и С:

Теорема 5. Акцессорные параметры в интеграле Кристоффеля — Шварца (2) удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений: ат — гь+1 1 т 0:1(^+1 — 1) + а2{гк+1 + 1) + (Ц+1 ~ 1) х Ц+1 — ^ - Ъ2к+2-у к.

1 с1С 2а 1 (И{с+1 1 — а^ йЬ^.

С1гг ~ + + (1 + Ьк+1) й-т ~ ^ 1 + ^ з—о к у^ 1 — а^ (И2к+2-з 1 + ?2⁹.-1 с1т 1 + Ь2к+2-з.

Когда конец разреза доходит до вершины Рк+1 > осуществляется переход к новой системе, соответствующей случаю, когда конец разреза движется по (к + 1)-й стороне. При этом в качестве начальных условий для новых параметров tj используются значения, которые соответствуют финальному значению параметров, полученных на к-м этапе, их количество увеличивается на 2. Когда на (п — 1)-м этапе конец разреза стремится к вершине Рп, значения параметров ?^ стремятся к искомым акцессорным параметрам.

В § 1.3. рассмотрены примеры вычисления акцессорных параметров для следующих случаев:

1) конформного отображения, верхней! полуплоскости на шестиугольник с вершинами в. точках: 1, 2, 3.+ г, 2 + 2 г, 1 + 2 г, i и углами агтг = а^ж = Щ7Г = ав7Г = 37Г/4, а>27Г — OI57T = 7Г/2;

2) конформного отображения верхней полуплоскости на шестиугольник с вершинами в точках: 0, 1, 3 + г, 2 + 2 г, 1 + 2i, г и углами а7г = 7г/4 + arccosl//5, а27г = 7г/2 +arceos 2//5, о: з7г = щтг = а^и = 37г/4, скб7г = 7г/2.

В главе 2 рассмотрен приближенный метод решения внутренней смешанной обратной краевой задачи по параметру ж. В § 2.1 выводится система дифференциальных уравнений для определения акцессорных параметров. Предлагается приближенный метод нахождения акцессорных параметров — так называемый метод движущегося разреза. Для простоты считаем, что заданная ломаная L располагается в вертикальной полосе, ограниченной прямыми, проходящими через ее концы (это условие не является очень ограничительным, результаты работы могут быть легко распространены на общий случай). Наш метод основан на рассмотрении однопараметри-ческих семейств решений задачи для ломанных, которые состоят из двух вертикальных лучей и удлиняющегося разреза, конец которого движется по заданной ломаной L.

Рассматривается семейство решений смешанной обратной краевой задачи по параметру х в случае, когда известная часть границы состоит из двух лучей L* = {х = х*, у > у*}, L** = {х — х**, у > у**} и удлиняющегося разреза, конец которого пробегает ломаную Ll от точки z до точки zn. В случае, когда конец разреза располагается на (к — 1)-м звене, получаем разрез вдоль ломаной с вершинами в точках z = х** + iy**, z^ ., Zkи точке Zk: которая является подвижным концом ломаной (рис. 3). Обозначим через a. jтг, 2 < j < к — 1, углы ломаной Ll в точках zy, пусть атт — угол между звеном ZZ2 и лучом L**.

Интегральное представление решения в этом случае имеет вид С.

0 = л [ ш J h где.

М>1.

Ь,(и))(1и) к-1 п", Г) = «- ¿-о""-1» — Ш — - t2kr1 п 73 о, — 1.

1=2 ^ - 11к-з. 1 = ?1 < ?2 <�•••.