Моделирование оптимальных стратегий финансового инвестирования в стохастических условиях

Актуальность темы

исследования. Финансовое инвестирование непосредственно связано с формированием инвестиционного портфеля. Финансовые рынки в современных условиях (особенно зарождающиеся рынки, к числу которых относится и российский фондовый рынок) характеризуются нестационарными, стохастическими и кризисными явлениями различной природы. В таких условиях традиционная портфельная теория (модель САРМ) и классические методы финансовой математики, представляющие собой основанный на статистических методах механизм оптимизации формируемого инвестиционного портфеля по задаваемым критериям соотношения уровня его ожидаемой доходности и риска (характеризуемого дисперсией доходности), оказываются неадекватными.

Кроме того, инвестирование неотделимо от потребления (инвесторы, как правило, извлекают полезность не только из конечного капитала в конце инвестиционного периода, но и из промежуточного потребления в различные моменты времени), а инвестиционная стратегия требует динамической реструктуризации портфеля с учетом стохастической эволюции инвестиционной среды, что также не может быть учтено в рамках классической теории. Поэтому возникает необходимость развития методов моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения их доходности с учетом стохастической эволюции параметров инвестиционной среды.

Достоверные количественные результаты, касающиеся определения оптимальных стратегий инвестирования в рисковые финансовые инструменты и потребления в стохастических условиях, позволяющих агенту финансового рынка непрерывно реструктурировать портфель, могут быть получены в рамках строгих экономико-математических моделей финансового инвестирования в непрерывном времени с учетом функций полезности инвестора. Эти и определяется актуальность диссертационного исследования.

Степень изученности проблемы. Количественный анализ и прогнозирование финансового состояния фондовых рынков базируется на финансовом менеджменте, финансовой математике и финансовой эконометрике. Вопросы управления использованием капитала в процессе финансового инвестирования рассматривались в трудах зарубежных и отечественных ученых. Большой вклад в теорию и практику финансового менеджмента внесли Бирман Г., Блауг М., Блех Ю., Брейли Р., Бригхэм Ю., Гетце У., Гитман Л., Дамари Р.,. Дебре Ж., Друри К., Ирвин Д., Карлин Т., Коллас Б., Колб Р., Курц X., Крушвиц Л., Ли Ч., Маркович Г., Маршалл Д., Майерс С., Мертон Р., Миддлтон Д., Миллер М., Модильяни Ф., Моргенштерн О., Нейман Д., Перар Ж., Самуэльсон П., Тобин Д., Шарп У., Шим Д., Эрроу К. Среди отечественных ученых следует отметить Балабанова И. Т., Бланка И. А., Ефимову О. В., Ковалева В. В., Поляка Г. Б., Стоянову Е. С., Тренева H.H., Хоминич И.П.

Большой вклад в развитие таких разделов финансовой математики, как теория ренты, измерение доходности финансовых инструментов, анализ производственных инвестиций и измерителей финансовой эффективности, анализ финансовых рисков внесли российские и зарубежные ученые: Алексеев М. Ю., Башарин Г. П., Капитоненко В. В., Кардаш В. А., Касимов Ю. Ф., Кутуков В. Б., Перепелица В. А., Попова Е. В., Четыркин Е. М., Аким Э., Браун С., Бригхэм Ю., Гапенски Л., Джордан Н., Карлберг К., Кочович Е., Паррамоу К., Уотшем Т&bdquoШим Д. Математические основы анализа стохастических процессов в финансах разрабатывались Гнеденко B.C., Колмогоровым А. Н., Макаровым В. Л., Марковым A.A., Мельниковым A.B., Новиковым A.A., Павловым И. В., Прохоровым Ю. В., Ширяевым А. Н. Из иностранных ученых отметим Винера Н., Ито К., Као X., Карни Е., Маковского Л., Мандельброта Б., Маркуса С., Муна Ф., Поляка Б., Сигела Д., Фукушиму М., Хо У.

Сформировавшись буквально в последние два десятилетия, финансовая эконометрика является в настоящее время одной из наиболее бурно развивающихся областей эконометрики. Среди российских и зарубежных ученых, разрабатывающих эконометрические методы анализа и прогнозирования в теории и практике финансов, следует отметить Андерсена Т., Боллерслева Т., Диболда Ф., Ингла Р., Кэмпбелла Дж., Тейлора С., Хансена С., Макарова В., Айвазяна С., Эфрона Б.

В то же время, несмотря на большое количество публикаций в области моделирования и анализа финансовых рынков и оптимизации финансового портфеля, многие проблемы далеки от разрешения и находятся в стадии обсуждения. В большинстве известных исследований проблемы оптимального финансового инвестирования задача решается численно (Барберис Н., Брандт М., Бреннан М., Бэлдаззи П., Висейра Л., Ким Т., Кэмпбелл Дж.), что не позволяет выявить вклад составляющих портфеля (спекулятивного спроса на рисковые активы и различных видов спроса на хеджирование) в оптимальное решение и проследить влияние на него параметров инвестиционной среды и функции полезности (предпочтений) агента финансового рынка.

Теоретическая и практическая значимость моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения параметров инвестиционной среды и определили тему и постановку задач диссертационного исследования.

Предмет и объект исследования. Предметом диссертационного исследования является оптимальное размещение капитала в рисковые активы в стохастической инвестиционной среде фондового рынка с учетом промежуточного потребления. Объектом исследования является инвестиционный портфель финансового инвестора.

Цель и задачи исследования

Целью диссертационной работы является построение моделей и решение динамических задач оптимального инвестирования (с учетом промежуточного потребления) на финансовом рынке, характеризующемся стохастичностью инвестиционной среды. Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:

— разработка экономико-математических моделей, позволяющих рассчитывать оптимальные доли капитала, размещаемого в рисковые финансовые инструменты с учетом стохастических изменений их цен, ожидаемые доходностей, вариационно-ковариационной матрицы доходностей, а также стохастической динамики краткосрочной процентной ставки;

— исследование свойств оптимальных стратегий инвестирования и потребления;

— моделирование и анализ оптимальных стратегий потребления инвестора с заданной функцией полезности (соответствующих инвестиционным стратегиям) с учетом того, что инвестор извлекает полезность из конечного капитала и/или промежуточного потребления;

— моделирование и анализ оптимального размещения капитала в рисковые активы при постоянных инвестиционных возможностях;

— построение оптимальных стратегий хеджирования процентного риска в условиях, когда инвестор извлекает полезность как из конечного капитала, так и из промежуточного потребления при общей стохастической динамике краткосрочной процентной ставки и цен рисковых активов;

— анализ оптимального спроса на хеджирование и эффективности хеджирования процентного риска акциями и облигациями. Анализ оптимального инвестирования в спекулятивную и в хеджирующую части портфеля в зависимости от коэффициента относительного неприятия риска инвестора;

— построение облигации с непрерывным купоном, оптимально хеджирующей стохастические изменения краткосрочной процентной ставки для инвестора, извлекающего полезность из промежуточного потребления и конечного капитала.

Теоретическая и эмпирическая база исследования. Диссертационное исследование основано на фундаментальных разработках отечественных и зарубежных ученых-экономистов по проблемам финансовых инвестиций, фондового рынка, экономической теории благосостояния, теории полезности, методам стохастического оптимального управления.

Информационно-документальной базой исследования являются законодательные акты РФрешения и нормативные акты Правительства Российской Федерации, Министерства финансов РФ и Центрального банка России, регулирующие деятельность фондового рынка, статистические данные Центра по исследованию ценных бумаг США (СЯ8Р), а также собственные расчеты автора.

Представленное диссертационное исследование выполнено в рамках п. 1.6 «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие методов финансовой математики и актуарных расчетов» паспорта специальности 08.00.13 — Математические и инструментальные методы экономики.

Методы исследования. В диссертации, в рамках системного подхода, использовались различные методы и приемы экономического исследования: математического моделирования, стохастического оптимального управления, решения и анализа обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений, графический и расчетно-конструктивный.

Научная новизна диссертационной работы заключается в комплексном подходе к моделированию и анализу оптимальных стратегий инвестирования и потребления в стохастической инвестиционной среде. Конкретное приращение научного знания характеризуется следующими положениями:

— построена модель финансового инвестирования, позволяющая проанализировать оптимальные стратегии инвестирования и потребления с учетом стохастической динамики цен рисковых активов и стохастической эволюции параметров инвестиционной среды. В явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос инвестора и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, волатильностей цен рисковых активов и характеристик функции полезности инвестора, ' позволяющие агенту финансового рынка непрерывно реструктурировать портфель (максимизируя свою полезность) в соответствии. со стохастически меняющимися инвестиционными возможностямиисследованы свойства оптимальных стратегий инвестирования и потребления;

— при функции полезности инвестора с постоянным относительным неприятием риска разработан метод определения замкнутых оптимальных решений инвестирования и потребления в широком классе стохастических моделей эволюции параметров инвестиционной среды. Проведен анализ целесообразности хеджирования рисков, связанных с меняющимися инвестиционными возможностями, и доказано, что инвестору с аддитивной по времени функцией полезности следует хеджировать только стохастические изменения краткосрочной процентной ставки и квадрата рисковых премий;

— выведены и исследованы оптимальные стратегии инвестирования и потребления при постоянных краткосрочной процентной ставке и ожидаемых доходностях активов. Доказано, что оптимальная инвестиционная стратегия состоит в поддержании части капитала, инвестированного в каждый актив, постоянной во времени (заметим, что это условие требует постоянной корректировки портфеля, поскольку цена активов меняются с течением времени);

— при достаточно общей стохастической динамике краткосрочной процентной ставки (описываемой уравнением Орнштейна-Уленбека) и цен рисковых активов (индекса акций и облигаций) построены оптимальные стратегии хеджирования процентного риска в условиях, когда инвестор извлекает полезность как из конечного капитала, так и из промежуточного потребления. Доказано, что спрос на хеджирование включает только облигацию, .так что облигации являются более подходящим инструментом хеджирования процентного риска, чем акции. С увеличением коэффициента относительного неприятия риска инвестора оптимальное инвестирование в спекулятивную часть портфеля снижается, а в хеджирующую облигациюувеличиваетсяотношение долей капитала, вложенного в облигации и акции, растет с увеличением относительного неприятия риска инвестора;

— доказано, что если инвестор извлекает полезность только из конечного капитала, то наиболее эффективным инструментом хеджирования процентного риска является облигация с нулевым купоном со сроком погашения в конце инвестиционного горизонта инвестора. Инвестор, характеризующийся логарифмической полезностью (нейтрально относящийся к риску), не хеджирует против изменения инвестиционных возможностей. Хеджирующая позиция инвестора с меньшим коэффициентом относительного неприятия риска отрицательна, в то время как более осторожный инвестор занимает длинную позицию по облигации. Инвестор с бесконечным коэффициентом относительного неприятия риска размещает весь свой капитал в облигацию с нулевым купоном со сроком погашения в конце инвестиционного горизонта;

— доказано, что для инвестора, извлекающего полезность из промежуточного потребления, оптимальным инструментом хеджирования стохастических изменений процентной ставки является облигация с непрерывным купоном, динамика которой определена аналитически.

Практическая значимость исследования. Практическая значимость исследования определяется тем, что разработанные в диссертации модели, методы и алгоритмы ориентированы на решение тактических и стратегических задач при осуществлении участниками финансового рынка управления финансовым инвестированием в рисковые активы в стохастической инвестиционной среде. Рассчитанные в диссертации в аналитическом виде составляющие оптимального портфеля позволяют инвесторам реструктурировать портфель при различных инвестиционных горизонтах в соответствиисо стохастически меняющимися рисковыми премиями, волатильностями цен рисковых активов и краткосрочными процентными ставками. Проведенный анализ целесообразности хеджирования рисков, связанных со стохастически меняющимися инвестиционными возможностями, позволил установить, что инвестору с аддитивной по времени функцией полезности следует хеджировать только стохастические изменения краткосрочной процентной ставки и квадрата рисковых премий по рисковым активам. Построенные в диссертации оптимальные стратегии хеджирования процентного риска в условиях, когда инвестор извлекает полезность как из конечного капитала, так и из промежуточного потребления, позволяют инвестору наиболее эффективно занимать хеджирующие позиции по облигации с непрерывным купоном или облигации с нулевым купоном со сроком погашения в конце инвестиционного горизонта.

Апробация результатов исследования. Основные положения и результаты диссертационного исследования докладывались автором на V и VI Всероссийских симпозиумах «Математическое моделирование и компьютерные технологии», (г. Кисловодск, 2002, 2004), региональных научных семинарах «Методология системных исследований в гуманитарных отраслях науки» (г. Волгоград, г. Кисловодск, г. Нальчик, 2002;2005 г. г.), Всероссийской научно-практической конференции «Механизмы эффективного управления в рыночной экономике» (г. Кисловодск, 2004), Всероссийском симпозиуме «Экономическая психология: проблемы и перспективы» (г. Кисловодск, 2004), Международном симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск, 2005).

Публикации. Основные результаты исследования отражены в опубликованных автором 6 печатных работах общим объемом 3,5 п.л.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы. Текст диссертации изложен на 127 страницах, включает 5 таблиц, 5 рисунков. Список использованной литературы содержит 153 источника.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Финансовые рынки в современных условиях (особенно зарождающиеся рынки, к числу которых относится и российский фондовый рынок) характеризуются нестационарными, стохастическими и кризисными явлениями различной природы. В таких условиях традиционная портфельная теория, созданная Марковичем, Шарпом, Тобином и Миллером, и классические методы финансовой математики, представляющие собой основанный на статистических методах механизм оптимизации формируемого инвестиционного портфеля по задаваемым критериям соотношения уровня его ожидаемой доходности и риска (характеризуемого дисперсией доходности), оказываются неадекватными и неспособными объяснить как поведение финансовых временных рядов, так и несоответствие практических рекомендаций финансовых аналитиков по размещению капитала в рисковые активы теоретическим предсказаниям, полученным в предположении о постоянных инвестиционных возможностях, т. е. постоянных процентных ставках, ожидаемых доходностях активов, волатильностях и корреляциях доходностей.

Кроме того, инвестирование неотделимо от потребления (инвесторы, как правило, извлекают полезность из промежуточного потребления в различные моменты времени, а не только из конечного капитала в конце инвестиционного периода), а инвестиционная стратегия требует динамической реструктуризации портфеля с учетом стохастической эволюции инвестиционной среды, что также не может быть учтено в рамках классической теории. Поэтому возникает необходимость развития методов моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения их доходности с учетом стохастических параметров инвестиционной среды.

Впервые задача оптимизации портфеля в стохастической модели с непрерывным временем поставлена в работах Мертона, однако полученные в явном виде решения соответствуют постоянным инвестиционным возможностям или являются статическими по природе. За редким исключением, в большинстве известных исследований проблемы оптимального финансового инвестирования задача решается численно, что не позволяет выявить вклад составляющих портфеля (спекулятивного спроса на рисковые активы и различных видов спроса на хеджирование) в оптимальное решение. Точные аналитические решения задачи инвестирования получены лишь в наиболее простых частных случаях: при простой динамике цен рисковых активов и в предположении о постоянстве процентных ставок и волатильностей цен активов без учета промежуточного потребленияв предположении о бесконечном временном горизонте в условиях, когда краткосрочные процентные ставки постоянны.

В диссертации построена модель финансового инвестирования в непрерывном времени, на основе которой выведены оптимальные портфельные и потребительские стратегии инвестора с различной степенью неприятия риска при постоянных ожидаемых доходностях рисковых активов и краткосрочной процентной ставке. Финансовый инвестор выбирает непрерывный во времени процесс потребления и непрерывный во времени процесс инвестирования путем инвестирования в несколько рисковых активов и один безрисковый актив (банковский счет). Динамика цен рисковых активов описывается вектором, следующим винеровскому случайному процессу. Целью финансового инвестора является максимизация ожидаемой полезности на инвестиционном горизонте, которая предполагается аддитивно сепарабельной по времени.

Анализ показывает, что оптимальная инвестиционная стратегия в рассматриваемом случае состоит в поддержании части капитала, инвестированного в каждый актив, постоянной во времени. Заметим, что это условие требует постоянной корректировки портфеля, поскольку цена активов меняются с течением времени. Рассмотрим актив, входящий в оптимальный профиль с положительным весом. Если цена этого актива увеличивается больше, чем цены других активов в портфеле, то доля капитала, соответствующая этому активу, будет увеличиваться. Поэтому инвестор должен сократить количество единиц этого актива в своем портфеле. Поэтому оптимальная стратегия состоит в продаже активов, цена которых растет быстрее остальных, и покупке более медленно растущих активов. Чем выше коэффициент относительного неприятия риска у, тем ниже инвестирование в рисковые активы и тем выше инвестирование в безрисковый актив. Инвестиционная стратегия при постоянных инвестиционных условиях не зависит от инвестиционного горизонта.

В диссертации выведены оптимальные стратегии инвестирования и потребления с учетом стохастической динамики цен рисковых активов и стохастической эволюции параметров инвестиционной среды. При выборе стратегий потребления и инвестирования экономический агент имеет дело с рядом переменных, стохастически эволюционирующих с течением времени:

• краткосрочная процентная ставка г (;

• цены, ожидаемые ставки доходности, вариационно-ковариационная матрица ставок доходности по рисковым активам;

• ожидаемая скорость изменения дохода инвестора вне финансового рынка;

• ковариации или корреляции между перечисленными переменными.

Предполагается, что все экзогенные возмущения указанных переменных могут быть представлены стандартным броуновским движением. Прямым следствием этого предположения является отсутствие скачков цен активов.

Эволюция капитала инвестора описывается стохастическим дифференциальным уравнением. На основе уравнения Беллмана, соответствующего этой задаче, в диссертации выведено выражение, определяющее оптимальную инвестиционную стратегию. Оптимальный портфель включает (кроме безрискового актива) (1) спекулятивный спрос и (2) спрос на хеджирование.

Доказано, что стохастичность инвестиционной среды приводит к появлению дополнительного спроса инвестора в оптимальном портфеле (спроса на хеджирование) по сравнению со случаем постоянных инвестиционных возможностей. В явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос инвестора и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, волатильностей цен рисковых активов и характеристик функции полезности инвестора, позволяющие агенту финансового рынка непрерывно реструктурировать портфель (максимизируя свою полезность) в соответствии со стохастически меняющимися инвестиционными возможностями. Исследованы свойства оптимальных стратегий. Так, в диссертации доказано, что абсолютное значение мгновенной корреляции между изменением инвестиционной стратегии и изменением переменной состояния максимально для инвестиционной стратегии хеджирования. Рассмотрена процедура решения уравнения Беллмана для широкого класса функций полезности с постоянным относительным неприятием риска. В диссертации доказано, что инвесторам, характеризующимся аддитивной по времени функцией полезности, имеет смысл хеджировать только стохастические изменения, влияющие на краткосрочную процентную ставку и на квадрат рисковых премий.

В диссертации при достаточно общей стохастической динамике процентных ставок и цен рисковых активов определены оптимальные стратегии инвестирования в акции (или индекс акций) и облигации в условиях, когда инвестор извлекает полезность как из конечного капитала, так и из промежуточного потребления.

Установлено, что спрос на хеджирование включает только облигацию, так что облигации являются более подходящим инструментом хеджирования процентного риска, чем акции. С увеличением коэффициента относительного неприятия риска оптимальное инвестирование в спекулятивную часть портфеля снижается, а в хеджирующую облигацию — увеличивается. Если облигация в портфеле представляет собой облигацию с нулевым купоном со сроком погашения в конце инвестиционного горизонта инвестора, то в этом случае хеджирующая часть портфеля заключается во вложении части капитала 1−1// в облигацию с нулевым купоном. Хеджирующая позиция инвестора с меньшим коэффициентом относительного неприятия риска (у <1) отрицательна, в то время как более осторожный инвестор (/>1) занимает длинную позицию по облигации для хеджирования процентного риска. Инвестор с бесконечным коэффициентом относительного неприятия риска (у —"со) размещает весь свой капитал в облигацию с нулевым купоном со сроком погашения в момент Т. Инвестиционная стратегия является простой комбинацией портфеля инвестора с логарифмической полезностью и облигации с нулевым купоном со сроком погашения на инвестиционном горизонте. С ростом коэффициента относительного неприятия риска инвестора позиция, занимаемая по акциям, сокращается, в то время как позиция по облигациям растет. Следовательно, отношение долей капитала, вложенного в облигации и акции, растет с увеличением относительного неприятия риска инвестора.