Некоторые теоретико-числовые методы приближенного анализа

§ 1. Общая характеристика работы.

Диссертация выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова и затрагивает ряд вопросов аналитической теории чисел, геометрии чисел и их приложения к проблемам численного интегрирования.

Возникновение метода тригонометрических сумм как универсального инструмента при решении многих задач аналитической теории чисел обычно связывают с основополагающей работой Г. Вейля [68], хотя впервые частный случай полных рациональных тригонометрических сумм встречается уже в первой половине XIX века в исследованиях К. Ф. Гаусса по квадратичным вычетам [12]. Он рассматривал суммы второй степени, называемые теперь суммами Гаусса. В указанной работе Г. Вейля, вышедшей в 1916 году, содержался интегральный критерий равномерного распределения последовательности по модулю 1 и были получены первые нетривиальные оценки тригонометрических сумм.

Теория равномерного распределения по модулю 1 и оценки А. Вейля полных рациональных тригонометрических сумм по простому модулю лежали в основе теоретико-числового метода в приближенном анализе, созданного Н. М. Коробовым в 1957 году [38].

Первым классом многомерных теоретико-числовых сеток были предложенные Н. М. Коробовым неравномерные сетки, обеспечивающие детерминированные оценки погрешности приближенного вычисления многомерных интегралов вместо вероятностных оценок того же порядка точности, получающихся по методу Монте-Карло Д. фон Неймана. В отличие от равномерных сеток, качество которых быстро убывало с ростом размерности единичного s-мерного куба, основной области интегрирования, неравномерные сетки имели порядок убывания погрешности приближенного интегрирования в зависимости от числа узлов многомерной квадратурной формулы одинаковый для всех размерностей. С ростом размерности росла только константа в оценке погрешности.

Принципиальный прорыв в теории и практике вычисления кратных интегралов от гладких периодических функций многих переменных связан с методом оптимальных коэффициентов Н. М. Коробова. Важность оптимальных параллелепипедальных сеток обусловлена их простотой и ненасыщаемостью алгоритмов приближенного интегрирования по соответствующим квадратурным формулам, заключающейся в росте точности квадратурных формул с ростом гладкости интегрируемых функций.

К наиболее важным направлениям исследований по методу оптимальных коэффициентов относятся получение алгоритмов вычисления оптимальных коэффициентов высокого качества для параллелепипедальных и комбинированных сеток и изучение гиперболической дзета-функции целочисленных решеток. Именно этим двум направлениям посвящена диссертация.

В процессе диссертационного исследования обнаружилась обратная связь теоретико-числового метода приближенного анализа с тригонометрическими суммами. А именно, этим методом удалось получить новые результаты о тригонометрических суммах, что является третьим направлением исследования.

В соответствии с указанными актуальными направлениями были сформулированы следующие цели работы:

• цель первой главы — построение алгоритмов вычисления оптимальных коэффициентов и оценка их качества;

• цель второй главы — получение функционального уравнения гиперболической дзета-фунции произвольной целочисленной решетки как функции комплексного переменного;

• цель третьей главы — изучение нового класса тригонометрических сумм, квазиполных коротких рациональных тригонометрических сумм, и получение для них нетривиальных ассимптотических формул.

Результаты работы являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами, полученными в диссертации, являются следующие:

• даны новые оценки качества наборов оптимальных коэффициентов для нескольких алгоритмов их вычисления;

• получено функциональное уравнение для гиперболической дзета-фунции произвольной целочисленной решетки;

• найдены ассимптотические формулы для квазиполных коротких кубических рациональных тригонометрических сумм.

В работе используются методы аналитической теории чисел и геометрии чисел.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в исследованиях по приложению методов теории чисел к вопросам приближенного анализа. Предложенные в диссертации алгоритмы могут использоваться для практического применения при составлении таблиц оптимальных коэффициентов и создании программ численного интегрирования функций многих переменных.

Результаты диссертации докладывались автором на: научно-исследовательском семинаре «Арифметика, алгоритмы, теория сложности вычислений» в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова;

Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в Тульском государственном университете. Тула, ноябрь 2002. международной конференции «Аналитические и комбинаторные методы в теории чисел и геометрии» в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова. Москва, май 2006.

Результаты диссертации опубликованы в работах [69]-[74], выполненных по грантам РФФИ 02−01−584, 05−01−672 и 08−01−790.

Диссертация изложена на 119 страницах и состоит из введения, трех глав, списка литературы, включающего 72 наименования, и приложения с таблицей оптимальных коэффициентов.

1. Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 3 — 18.

2. Бахвалов Н. С., Коробов Н. М., Ченцов Н. Н., Применение теоретико-числовых сеток к задачам приближенного анализа // Труды Четвертого Всесоюзного математического съезда. JL: Наука, 1964. Т. II. С. 580 587.

3. Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.

4. Быковский В. А. Дискретное преобразование Фурье и циклическая свертка на целочисленных решетках. // Математический сборник, 136(178), 4(8), 1988. С. 451 467.

5. Быковский В. А. Экстремальные кубатурные формулы для анизотропных классов. Хабаровск, 1995. С. 1 — 13. (Препринт.).

6. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.

7. Воронин С. М. О квадратурных формулах // Изв. РАН. Сер. мат. 1994. Т. 58. № 5. С. 189 194.

8. Воронин С. М. О построении квадратурных формул // Изв. РАН. Сер. мат. 1995. Т. 59. № 4.

9. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. М.: Физ-МатЛит, 1994.

10. Воронин С. М., Темиргалиев Н. О квадратурных формулах, связанных с дивизорами поля гауссовых чисел // Мат. заметки. 1989. Т. 46. № 2. С. 34 41.

11. Вронская Г. Т., Добровольский Н. М., Родионова О. В. Сравнения, суммы и произведения по приведенной системе вычетов //Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 8. Вып. 1. Тула, 2002. С. 10−28.

12. Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. М.: Из-во АН СССР, 1959.

13. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.

14. Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Симонов А. С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник. Т. 9, Вып. 1(25), 2008. С. 185−223.

15. Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решеток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, № 6090−84.

16. Добровольский Н. М. О квадратурных формулах на классах Е?© и Щ{с). Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, № 6091−84.

17. Добровольский Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения. Дис.. канд. физ.-мат. наук. Тула, 1984.

18. Добровольский Н. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решетки и их приложения: Дис.. док. физ.-мат. наук. Тула, 2000.

19. Добровольский Н. М., Бочарова JI. П. Пятьдесят лет теоретико-числовому методу в приближенном анализе / / Наукоемкое образование. Традиции. Инновации. Перспективы. Сборник межвузовских научных статей. Тула, АНОВО «ТИНО» 2006. С. 189−198.

20. Добровольский Н. М., Ванькова В. С. О гиперболической дзета-функции алгебраических решеток. // Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. республик, конф. Ташкент, 1990. С. 22.

21. Добровольский Н. М., Ванькова В. С., Козлова С. JI. Гиперболическая дзета-функция алгебраических решеток. Деп. в ВИНИТИ 12.04.90, N 2327-В90.

22. Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Реброва И. Ю. Об одном рекурсивном алгоритме для решеток // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5 Вып. 3. Тула, 1999. С. 38 — 51.

23. Добровольский Н. М., Клепикова Н. JL Таблица оптимальных коэффициентов для приближенного вычисления кратных интегралов // ИОФАН СССР. 63. Москва, 1990. (Препринт.).

24. Добровольский Н. М., Коробов Н. М. Оптимальные коэффициенты для комбинированных сеток. // Труды IV Международной конференции &bdquo-Современные проблемы теории чисел и ее приложения" Чебышевский сборник Тула. 2001. Т. 2. С. 41 — 53.

25. Добровольский Н. М., Коробов Н. М. Об оценке погрешности квадратурных формул с оптимальными параллелепипедальными сетками // Чебышевский сборник. Научные труды по математике. Т. 3. Вып. 1(3). Тула, 2002. С. 41 48.

26. Добровольский Н. М., Манохин Е. В. Банаховы пространства периодических функций // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Т. 4. Вып. 3. Тула, 1998. С. 56 — 67.

27. Добровольский Н. М., Манохин Е. В., Реброва И. Ю., Аккурато-ва С. В. О некоторых свойствах нормированных пространств и алгебр сеток // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5. Вып. 1. Тула, 1999. С. 100 — 113.

28. Добровольский Н. М., Реброва И. Ю., Рощеня A. JI. Непрерывность гиперболической дзета-функции решеток // Мат. заметки. Т. 63. Вып. 4. 1998. С. 522−526.

29. Добровольский Н. М., Родионова О. В. Квадратурные формулы с обобщенными параллелепипедальными сетками // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Т. 2. Вып. 1. Тула, 1996. С. 71 77.

30. Добровольский Н. М., Родионова О. В. Об одном конечном ряде Фурье и его приложениях // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т. 4. Вып. 3. С. 68 — 79.

31. Добровольский Н. М., Рощеня A. JI. Об аналитическом продолжении гиперболической дзета-функции рациональных решеток // Современные проблемы теории чисел и ее приложения: Сб. тез. докл. III Междунар. конф. Тула, 1996. С. 49.

32. Добровольский Н. М., Рощеня A. JI. О непрерывности гиперболической дзета-функции решеток // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 2. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 1996. С. 77 87.

33. Карацуба А. А. Тригонометрические суммы специального вида и их приложения // Известия АН СССР. 1964. Т. 28 № 1. С. 237 — 248.

34. Карацуба А. А. Асимптотические формулы для некоторого класса тригонометрических сумм // ДАН СССР. 1966. Т. 169. № 1. С. 9 -11.

35. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука. ФизМатЛит, 1983.

36. Касселс Д.

Введение

в геометрию чисел. М.: Мир, 1965.

37. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

38. Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР. 1957. № 6. С. 1062 — 1065.

39. Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 19 — 25.

40. Коробов Н. М. О некоторых теоретико-числовых методах приближенного вычисления кратных интегралов. Резюме докл. на заседании Моск. мат. об-ва. // УМН. 1959. Т. 14. Вып. 2(86). С. 227 — 230.

41. Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124. № 6. С. 1207 1210.

42. Коробов Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР 132. 1960. № 5. С. 1009 1012.

43. Коробов Н. М. О применении теоретико-числовых сеток // Вычислительные методы и программирование: Сб. Моск. ун-т. 1962. С. 80 102.

44. Коробов Н. М. О теоретико-числовых методах в приближенном анализе / / Вопросы вычислительной математики и вычислительной техники. М.: Машгиз. 1963.

45. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.

46. Коробов Н. М. О некоторых вопросах теории диофантовых приближений // УМН. 1967. Т. 22, 3(135). С. 83 118.

47. Коробов Н. М. О вычислении оптимальных коэффициентов // ДАН СССР. 267. 1982. № 2. С. 289 292.

48. Коробов Н. М. Об одной оценке А. О. Гельфонда // Вестн. МГУ. Сер.1. Математика, механика. 1983. № 3. С. 3 — 7.

49. Коробов Н. М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.

50. Коробов Н. М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Математические заметки. 1994. Т. 55. Вып. 2. С. 83 — 90.

51. Коробов Н. М. О теоретико-числовых методах приближенного интегрирования // Историко-матем. исследования. СПб., 1994. Вып. XXXV. С. 285 301.

52. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание) М.: МЦНМО, 2004.

53. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.

54. Реброва И. Ю. Непрерывность гиперболической дзета-функции решеток Тез. докл. III Междунар. конф. // Современные проблемытеории чисел: Тула: Изд-во ТГПУ, 1996. С. 119.

55. Реброва И. Ю. Непрерывность обобщенной гиперболической дзета-функции решеток и ее аналитическое продолжение // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т.4. Вып.З. С. 99−108.

56. Реброва И. Ю. Пространство решеток и функции на нем. Дис.. канд. физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 1999.

57. Рощеня A. JI. Аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции решеток. Дис.. канд. физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 1998.

58. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. М.: Из-во И.-Л., 1953.

59. Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 231. 1976. N 4. С. 818−821.

60. Чандрасекхаран К.

Введение

в аналитическую теорию чисел. М.: Мир, 1974.

61. Чудаков Н. Г.

Введение

в теорию L-функций Дирихле. М.: ОГИЗ Гостехиздат, 1947.

62. Шарыгин И. Ф. О применении теоретико-числовых методов интегрирования в случае непериодических функций // ДАН СССР. 132. 1960. № 1. С. 71 74.

63. Шарыгин И. Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 7. 1963. № 4. С. 784 802.

64. Шнирельман Л. Г. Простые числа М.-Л.: Гостехиздат, 1940.

65. Gauss С. F. Untersuchungen iiber die Eigenschaften der positiven ternaren quadratischen Formen von Ludvig August Seeber // Got-tingische gelehrte Anzeigen. 1831. Juli 9.

66. Hua Loo Keng. Applications of Number Theory to Numerical Analysis, Springer-Verlag Berlin, 1981.

67. Weyl H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. // Math. Ann. 1916. Bd. 77. S. 313−352 (пер. в кн.: Вейль Г. Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984).

68. Добровольский М. Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9. Вып. 1. С. 82 90.

69. Добровольский М. Н. Об оптимальных коэффициентах комбинированных сеток // Чебышевский сборник 2004. Т. 5. Вып. 1(9). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 95−121.

70. Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решеток. // Доклады АН. Т. 412, № 3, Январь 2007. С. 302−304.

71. Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решеток. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2007. К2 5. С. 18−23.

72. Добровольский М. Н. Ряды Дирихле с периодическими коэффициентами и функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решеток. // Чебышевский сборник 2006 Т. 3. Вып. 2(4). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 43 — 59.

73. Добровольский М. Н. Квазиполные короткие кубические тригонометрические суммы // Чебышевский сборник 2008 Т. 9. Вып. 2(26). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 43 — 59.