Асимптотика решения начальной задачи для квазилинейного параболического уравнения с малым параметром

Современные асимптотические методы в теории дифференциальных уравнений развивались благодаря работам H.H. Боголюбова и Ю.А. Митро-польского [7], А. Н. Тихонова [77], А. Б. Васильевой [13], JI.C. Понтряги-на [72], Е. Ф. Мищенко и Н. Х. Розова [62], O.A. Олейник [69], М.И. Ви-шика и JI.A. Люстерника [17], [18], O.A. Ладыженской [48], В.П. Масло-ва [57], [58], [59], [60] (и др. [10], [И], [12], [14], [53], [61], [64], [71], [80], [86]), а также работам М. С. Аграновича и М. И. Вишика [1], A.B. Васильевой, В. Ф. Бутузова, A.B. Нестерова [8], [9], [14], [15], [16] по теории экспоненциальных пограничных слоев.

В ряде случаев решения вспомогательных задач пограничного слоя имеют нарастающие степенные особенности. Такие бисингулярные задачи характерны для областей с негладкими границами, а также при наличии малых полостей, тонких щелей и тел и т. п. Их исследование является одним из направлений научной школы A.M. Ильина. В частности, изучаются решения задачи Коши для нелинейных уравнений в частных производных с малым параметром при различных начальных данных.

Основным методом построения равномерных асимптотик бисингуляр-ных задач является метод согласования асимптотических разложений. И, хотя идеи метода высказаны Прандтлем еще 1904 году [91], а процедура согласования использовалась Ван-Дайком [12], Л. Френкелем [89] и В. Экхаузом [88], однако строгое обоснование асимптотических разложений, построенных таким методом, особенно для задач с распределенными параметрами, появился сравнительно недавно в работах В. М. Бабича и B.C. Булдырева [2], [3], [4], A.M. Ильина [34], [35], [36], [37], [38], [40], [41], А. Р. Данилина [24], [25], [26], [27], P.P. Гадылынина [19], [20], [21],.

Л.А. Калякина [43], [44], [45], Е. Ф. Леликовой [52], Т. Н. Нестеровой [65], [GG], [67], В. Ю. Новокшенова [68] и др.

Несколько иными методами исследовались бисингулярные задачи в работах В. Г. Мазьи, С. А. Назарова [55], [56], [63], М. В. Федорюка [81], [82].

Постановка задачи.

В моделях, описывающих движение вещества со скоростью г", зависящей от плотности и, возникает нелинейное уравнение первого порядка щ + (uv (u))x — 0.

Такие модели строятся в задаче о движении автомобильного потока, в задаче о паводковых волнах и в некоторых других.

Простейшая модель, учитывающая взаимодействие частиц, описывается уравнением Бюргерса с малой вязкостью ut + иих — ?UXX, е 0, где и — плотность вещества.

Объектом исследования в диссертации является задача Коши для квазилинейного параболического уравнения: щ + [р (и)]х = еихх, u (x, to, e) =й (х), где е > 0, ip G C°°®, <�р" (и) > 0. Эту задачу с различных точек зрения изучали Е. Хопф [90], Н. С. Бахвалов [5], В. Н. Богаевский и А.Я. По-взнер [6], A.M. Ильин, Т. Н. Нестерова, O.A. Олейник [32], [33], [67], [70], Е. А. Лапшин, В. И. Пряжинский, В. Г. Сушко [73], [75], [76].

Отметим некоторые важные случаи данной задачи, в которых была найдена равномерная асимптотика решения с точностью до произвольной степени малого параметра ?.

В работе A.M. Ильина [33] был исследован случай, когда в полосе {{x, t): to ^ t ^ Т, х G К} предельное (е = 0) решение задачи является функцией, гладкой всюду кроме одной гладкой линии разрыва I = {(ж, t):ti^t^T, x = s (t)}.

Рис. 1. Расположение характеристик.

Равномерное асимптотическое разложение решения было получено методом сращивания, основаном на рассмотрении разных масштабов в различных областях. Подробное изложение этого исследования приводится в монографии [42].

В работе Т. Н. Нестеровой [71] задача рассмотрена в случае, когда предельное решение на конечном отрезке времени имеет две гладких линии разрыва х — 51 и х = сливающиеся в момент? = в одну х = бз (^).

Рис. 2. Слияние двух линий разрыва.

Интересно отметить, что если решение имеет разрыв в начальный момент времени, то задача перестает быть по существу бисингулярной [36]. В этом случае разность между различными асимптотическими разложениями имеет характер функций пограничного слоя, экспоненциально быстро стремящихся к нулю.

В работе В. Г. Сушко [79] задача исследована в случае, когда начальная функция и (х, 0, б) является гладкой всюду кроме одной точки, в которой она непрерывна, а разрыв имеет первая производная. Тогда в некоторой полосе ¿-о ^ ^ ^ ?1 предельное решение и (х, 1,0) будет непрерывным, но при этом оно будет иметь разрыв их — слабый разрыв. Было показано, что разложение решения в пограничном слое линии слабого разрыва имеет вид ряда по полуцелым степеням малого параметра с коэффициентами, зависящими от времени и растянутой пространственной переменной:

00 и ^.

Теперь перейдем непосредственно к постановке задачи. Рассмотрим уравнение ди, Ми) д2и с начальным условием и (х, -1) = й (х), яеМ. (2).

Будем предполагать, что (р Е С°°(М.) и <�р" (и) > 0, а и — ограниченная кусочно гладкая функция.

Тогда, как известно (см. [54, гл. V]), при е > 0 данная задача Коши единственным образом разрешима в классе С°°(5) П С (5), где.

5 = {(я: -1 < * < Г}.

Нас будет интересовать случай, когда решение щ{х,?) вырожденной задачи (е = 0) при? < 0 является гладкой функцией всюду за исключением линии.

— = {(х, г): ж = 0, -1^г<0}, в точках которой само решение щ (х, ?) непрерывно, а его производная по х имеет разрыв первого рода, то есть должно выполняться неравенство й'(-О) < й'(+0).

Возьмем в качестве начальных данных, воспроизводящих описанную ситуацию, ограниченную непрерывную функцию общего положения.

Щх) = -(х + ах2) ©-(-ж) (1 + я (х)), где, а > 0, 0 — функция Хевисайда, а носитель гладкой функции q лежит вне некоторой окрестности нуля (для простоты й'(—0) = —1, й'(+0) = 0).

Кроме того, пусть начальная функция такова, что характеристики вырожденного уравнения не пересекаются при? < 0, а для сколь угодно малого? > 0 существуют пересекающиеся характеристики (см. рис. 3). Чтобы это выполнялось, параметр, а должен удовлетворять неравенству.

Ъ = а- <�р" '(0)/2 > 0.

X = s (t).

Рис. 3. Ударная волна, порожденная слабым разрывом.

Отметим, что при? < 0 для решения вырожденной задачи справедлива формула иоОМ) = Чу), где у выражается через х и t с помощью уравнения характеристик х = у + ц/{и (у)) (* + 1) •.

Из выражения для й (х) и уравнения характеристик вытекает, что дщ (х^) 1 lim limouoM = 0 t z->+0 ох i-«—о дх.

Таким образом, на линии I решение uo (x, t) имеет слабый разрыв, за которым при t = 0 следует градиентная катастрофа: du (x, t) lim lim —-—1 = со. f->-01->-0 ox.

При? > 0 решение щ{х, Ь) разрывно на гладкой кривой х = я (£), определяемой из условия Гюгонио.

Цель диссертации — построить и обосновать равномерное асимптотическое разложение решения и (х, е) при е —> +0.

Краткое содержание работы.

В данной задаче асимптотическое поведение решения при малых? имеет значительно более сложный характер, чем в задаче Коши с гладкой начальной функцией [42, гл. VI].

Проще всего построить внешнее разлооюепие решения, то есть разложение в областях, не содержащих особенностей функции щ{х, Ь). В области.

1 Г = {(ж,*): -1 < Ь < 0, х < 0 < (3 < ½}, слева от линии слабого разрыва) асимптотика решения и (х^, е) имеет вид ряда по степеням е с гладкими коэффициентами, зависящими от х и и.

00 п=о.

Главный член этого разложения — это рассмотренная выше функция гг0(М).

В области.

О*" = {(.х, г): -1 <? < 0, х > с*1-«/2} (справа от линии слабого разрыва) решение экспоненциально мало: и (х, Ье) = О (ехр + > е-++0.

В области О, 0 =: -1 < ^ < х2 < ?12/3} асимптотика решения и (ж,?, е) при е —> 4−0 имеет вид ряда по полуцелым степеням е с гладкими коэффициентами, зависящими от внутренней переменной.

С = хе 1!2 и переменной t (см. [79]): оо u{x, t, e) = ^ekl2vk{C, t). к=1.

В первой главе (содержание которой соответствует работе [5*]) детально исследовано поведение коэффициентов Vk{C, t) при t —> —0, то есть при приближении к градиентной катастрофе. Асимптотические ряды, описывающие это поведение, имеют существенно различный вид в следующих трех областях:

D- = {(С, t): С < -1 < t < 0} (0 < р < ½),.

D°s = {(СО = ICI < ts, «I < t < 0} (0 <5<�р), Ц = C>tp, — l.

Основной результат первой главы заключается в доказательстве следующего утверждения.

Теорема 1. Для любого к ^ 1 при t —i —0 справедливы разлоэюеиия.

Vk (Ct) = Vk-(U) + О (ехр {-ЛИ2'" 1}), (с, о е £Г, h > о,.

Щ оо о =? t? ir3fc/2+s+1+m/2^, s, m (0), (С, t) e ni.

S=0 771=0.

OO.

C), m=0 в этих формулах: V^ — это функции из класса С°°(М х (—1,0)), имеющие особенности при t —> —0, порядок которых растет при к —> оо, Rk, s, m — это С™-гладкие функции на оси автомодельной переменной 0 = a Sk, m ~~ это функции из класса С°°(0, +оо), имеющие особенности при (—> +0, порядок которых растет при к + m —> оо.

Во второй главе на основе результатов первой главы построено и обосновано асимптотическое разложение решения задачи (1)-(2) в окрестности точки перехода линии слабого разрыва (решения предельного уравнения) в сильный разрыв с точностью до любой степени е.

Поведение первых двух коэффициентов полученного асимптотического решения исследовано во всей плоскости растянутых переменных = т = е-^Н.

Делая такую замену переменных в разложениях Теоремы 1 и группируя выражения при одинаковых степенях е и Ins, получим следующие формальные ряды:

ОО [р/2]-1 Е р=2 s=0 оо [Р/2]-1 Е р=2 s=0.

00 Ь/2]-1.

Е£" /6 Е р=2 5=0.

Очевидно, что асимптотику решения задачи (1)-(2) в окрестности начала координат следует искать в виде такого же ряда оо [р/2] —1.

И^ = ]>У/6? Ь-е^К.г). р=2 в=0.

Переписывая уравнение (1) в переменных т и подставляя в него ряд получаем рекуррентную систему уравнений дт2, о, дгп2>о д2и)2,о п дш^р д (^2,0³, о) д2и>3,о п () дт + ое ' и дшр, 8 д д2ыр>3 дЕр, 3 дт д? ~ ' где.

1 Р-1 а [p/2]-e+l (9)/q ч.

Ep, s = -^Y^Y, Wm'iwp+2-m>s-i~ Y1 —¡-¡-г ПwM m=3 /=0 <7=3 pi±+p9=p+2 j=l.

S|H——-= i считается, что при б = [р/2] — 1 сумма по д равна нулю).

Основной результат второй главы заключается в доказательстве следующего утверждения.

Теорема 2. В классе С°°(М2) существуют решения гир>3 уравнений (*) такие, что при т —> —оо эти решения разлагаются в асимптотические ряды г), т) и г) в областях, соответственно,.

0 = {(£, т): т< 0}, {К, г): ? < о, < г} и {К, г): г > 0, 1< Зг2 — г"" 1}, {(£, т): е > 0, Ч2-а < т ^ 0}и{(?, т): Г > 0, 166^ > ЗгЧг0″ 1}, где.

0 < 7 < ½, 0 < а < (1 — 27)/(1 — 7) < 1.

Главный член разложения? имеет вид с 2 г) -*(«, г) * '.

Ф (&euro-, г) = / ехр (-|53 + Г52 — <1з, Ь — а — ^ > 0. О.

Таким образом, в первых двух главах диссертации методом согласования построено асимптотическое разложение решения и (х, 1, е) задачи Коши (1)-(2) для квазилинейного параболического уравнения в виде следующих рядов: внешнее разложение II, разложение V в пограничном слое линии слабого разрыва (решения предельного уравнения), разложение? в окрестности точки перехода слабого разрыва в сильный разрыв. Составное асимптотическое разложение полученное из рядов и, V и V/, по принципу максимума [88] приближает решение задачи (1)-(2) с точностью 0{ем) в полосе, включающей точку опрокидывания волны.

При Ь > 0 вышеуказанное (обобщенное) решение невозмущенной задачи имеет разрыв на линии х = определяемой из условия.

Гюгонио ds = (p{uo (s{t) + 0, t)) — ip{u0(s{t) -0, ?)) dt u0(s (t) + 0, t)-u0(s{t)-0,t) Как известно [22], решение и{х, t, е) возмущенной задачи (1)-(2) сходится к функции uo (x, t) при е —> 0. Для ряда задач была обоснована асимптотика решения u (x, t,?) в окрестности линии х = s (i) — она представляет собой разложение по степеням? и Ine с гладкими коэффициентами, зависящими от внутренней переменной, а = (х — s (t))/? и переменной t.

В третьей главе (содержание которой соответствует работе [7*]) исследовано поведение решения уравнения Бюргерса с малым параметром при старшей производной и негладкой начальной функцией вблизи линии разрыва х = s (t) решения предельного уравнения. Показано, что в этом случае в окрестности зарождения ударной волны асимптотика решения носит сложный характер — она представляет собой многомасштабное разложение.

Основной результат третьей главы заключается в доказательстве следующего утверждения. Теорема 3. В области.

Па = {а < t2?4a~ ?l~a < t3 < const, 0 < а < 1} для решения задачи du ди д2и * V, i г~!™ U—= и{х,-1,?) = -(аг + ааГ) в (-ж), xGl, справедлива асимптотическая формула.

N-1 и{х, е) = ?р/Х (е, С, 0 + 0{?% р=о где х — s (t),. (3t + 4)3/2 -91−8. х, а = -г-> s{t)==—ЩГП)—' с =.

N оо при N -" оо. Главный член этого разлоэ! сепия имеет вид.

2 fi (t) h (о-, С,<) =.

Г ~C/(2vT+i) ].

1 + 1 f е л / ** — 00 где.

4 2у/ЗГГ4 <+3 3 г -> о,.

Таким образом, для частного случая уравнения (1) — уравнения Вюр-герса — на основе точного решения построено асимптотическое разложение решения и (х, 1, е) в пограничном слое линии сильного разрыва.

Результаты диссертации опубликованы в работах [1*]-[7*].

Автор выражает свою глубокую признательность научному руководителю академику РАН А. М. Ильину за внимание к работе, поддержку и обсуждение полученных результатов.

Автор благодарит всех участников научного семинара отдела уравнений математической физики ИММ УрО РАН за конструктивные замечания и внимание, проявленное при обсуждении данной работы.

1. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида. // Успехи матем. наук, 1964, т.19, № 3, с.153−160.

2. Бабич В. М. Об асимптотике функций Грина некоторых волновых задач. II. // Матем. сб., 1972, т.87, вып.1, с.44−51.

3. Бабич В. М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972, 456 с.

4. Бабич В. М., Кирпичникова Н. Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции. Л.: Изд-во ЛГУ, 1974, 125 с.

5. Бахвалов Н. С. Об асимптотике при малых е решения уравнения ut + (tp{u))x = еихх, соответствующего волне разрежения // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1966, т.6, J№ 3, с.521−526.

6. Богаевский В. Н., Повзнер А. Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. М.: Наука, 1987, 254 с.

7. Боголюбов H.H., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974, 501 с.

8. Бутузов В. Ф., Нестеров A.B. О некоторых сингулярно возмущенных задачах гиперболического типа с переходными слоями. // Дифферент уравнения, 1986, т.22, № 10, с. 1739−1744.

9. Бутузов В. Ф., Васильева А. Б. Об асимптотической теории контрастных пространственных структур. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1988, т.28, № 3, с.346−361.

10. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968, 464 с.

11. Вайнберг Б. Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1982, 294 с.

12. Ван-Дайк. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967, 310 с.

13. Васильева A.B. О развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных за период 1966;1976 г. г. // Успехи матем. наук, 1976, т.31, вып.6, с.102−122.

14. Васильева A.B., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973, 272 с.

15. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд-во МГУ, 1978, 106 с.1G. Васильева A.B., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990, 208 с.

16. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. // Успехи матем. наук, 1957, т.12, вып.5, с.3−122.

17. Вишик М. М., Люстерник Л. А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстро меняющимися коэффициентами и граничными условиями. // Успехи матем. наук, 1960, т.15, вып.4, с.3−95.

18. Гадылыпин Р. Р. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной эллиптической задачи с малым параметром в граничном условии. // Дифференц. уравнения, 1986, т.22, № 4, с.640−652.

19. Гадыльшин P.P. Расщепление кратного собственного значения задачи Дирихле для оператора Лапласа при сингулярном возмущении граничного условия. // Матем. заметки, 1992, т.52, № 4, с.42−55.

20. Гадыльшин P.P. Метод сращивания асимптотических разложений в задаче об акустическом резонаторе Гельмгольца. // Прикладная матем. и механ., 1992, т.56, вып. З, с.412−418.

21. Гельфанд И. М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений// Успехи матем. наук, 1959, т.14, вып.2, с.87−158.

22. Данилин А. Р. Асимптотика ограниченных управлений для сингулярной эллиптической задачи в области с малой полостью. // Матем. сб., 1998, т. 189, № 11, с.27−60.

23. Данилии А. Р. Асимптотика управлений для сингулярной эллиптической задачи. // Доклады академии наук, 1999, т.369, № 3, с.305−308.

24. Данилин А. Р., Ильин A.M. Асимптотика решения задачи о быстродействии при возмущении начальных условий. // Изв. РАН. Техн. киберн., 1994, К0- 3, с.96−103.

25. Данилин А. Р., Ильин A.M. Асимптотическое поведение решения задачи быстродействия для линейной системы при возмущении начальных данных. // Доклады академии наук, 1996, т.350, № 2, с. 155 157.

26. Данилин А. Р., Ильин A.M. О структуре решения одной возмущенной задачи быстродействия. // Фундаментальная и прикладная математика, 1998, т.4, № 3, с.905−926.

27. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М: ИЛ, 1962, 895 с.

28. Дмитриев М. Г. Теория сингулярных возмущений и некоторые задачи оптимального управления. // Дифференц. уравнения, 1985, т.21, № 10, с.1693−1698.

29. Ильин A.M., Нестерова Т. Н. Асимптотика решения задачи Коши для одного квазилинейного уравнения с малым параметром // Докл. АН СССР. 1978. т. 240. № 1. С. 11−13.

30. Ильин A.M. Задача Коши для одного квазилинейного параболического уравнения с малым параметром // Докл. АН СССР. 1985.• т. 283. № 3. С. 530−534.

31. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелыо. I. Двумерный случай. // Матем. сб., 1976, т.99, № 4, с.514−537.

32. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелыо. II. Область с малым отверстием. // Матем. сб., 1977, т. 103, № 3, с.265−284.

33. Ильин A.M. Исследование асимптотики решения эллиптической краевой задачи в области с малым отверстием. // Труды семинара им. И. Г. Петровского, 1981, вып.6, с.57−82.

34. Ильин A.M. Пограничный слой. // В кн.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т.34 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). М.: ВИНИТИ, 1988, с.175−214.

35. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989, 334 с.

36. Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. // Успехи матем. наук, 1962, т.17, вып. З, с.3−146.

37. Ильин A.M., Насиров К. Х. Метод согласования асимптотических разложений для одной эллиптической краевой задачи с малым параметром. //В кн.: Дифференциальные уравнения с малым параметром. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1980, с.8−15.

38. Ильин A.M., Сулейманов Б. И. Асимптотика функции Грина для эллиптического уравнения второго порядка вблизи границы области. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1983, т.47, № 6, с.149−165.

39. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967, 624 с.

40. Калякин Л. А. Построение асимптотики решения одной задачи МГД с малым параметром. I. Прямолинейное течение в прямоугольном канале. Сверхпроводящая стенка, перпендикулярная магнитному полю. // Дифференц. уравнения, 1979, т.15, № 4, с.668−680.

41. Калякин Л. А. Метод сращиваемых асимптотических разложений в эекоторых линейных задачах МГД с сингулярным возмущением. //В кн.: Уравнения с малым параметром. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1980, с.16−43.

42. Калякин Л. А. Асимптотика решения системы двух линейных уравнений МГД с сингулярным возмущением. I. Стандартная задача в эллиптическом слое. // Дифференц. уравнения, 1982, т. 18, № 10, с.1724−1738.

43. Карлсроу Г. С. Теория теплопроводности. М.-Л.: ГИТТЛ, 1947, 288 с.

44. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972, 274 с.

45. Ладыженская O.A. Об уравнениях с малым параметром при старших производных в линейных дифференциальных уравнениях с частными производными. // Вестник ЛГУ, 1957, т.7, № 2, с.104−120.

46. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964, 538 с.

47. Ладыженская O.A., Солонников В. А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967, 736 с.

48. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. М.: ГИФМЛ, 19G3. 358 с.

49. Леликова Е. Ф. Об асимптотике решения эллиптического уравнения второго порядка с малым параметром при старших производных. // Диффереиц. уравнения, 1976, т.12, № 10, с.1852−1865.

50. Ломов С. А.

Введение

в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981, 400 с.

51. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965, 520 с.

52. Мазья В. Г., Назаров O.A. Пламеневский Б. А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярном возмущении области. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1981, 206 с.

53. Мазья В. Г., Назаров O.A. Пламеневский Б. А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1984, т.48, № 2, с.347−371.

54. Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Из-во МГУ, 1965, 549 с.

55. Маслов В. П. Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1987, 406 с.

56. Маслов В. П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988, 309 с.

57. Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение дляФ уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976, 296 с.

58. Митропольский Ю. А., Хома Г. П., Громяк М. И. Асимптотические методы исследования квазиволновых уравнений гиперболического типа. Киев: Наукова думка, 1991, 232 с.

59. Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Дифференциальные уравнения и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975, 247 с.

60. Назаров С. А. Асимптотика решения задачи Дирихле для уравне• ния с быстро осцилирующими коэффициентами в прямоугольнике. // Матем. сб., 1991, т. 182, № 5, с.672−722.

61. Найфэ А. X. Методы возмущений. М.: Мир, 1976, 455 с.

62. Нестерова Т. Н. О решении параболического уравнения с малым па-рараметром в прямоугольнике. //В кн.: Дифференциальные уравнения с малым параметром. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1980, с.66−86.

63. Нестерова Т. Н. Метод сращиваемых асимптотических разложений для решения гиперболического уравнения с малым параметром.• // Матем. сб, 1983, т.120(162), № 4, с.546−555.

64. Нестерова Т. Н. Об асимптотике решения уравнения Бюргерса в окрестности слияния двух линий разрыва // Дифференциальные уравнения с малым параметром. Свердловск, УНЦ АН СССР, 1980. с.66−86.

65. Новокшенов В. Ю. Асимптотика решения одного эллиптического уравнения с разрывными граничными условиями. // Дифференц. уравнения, 1976, т.12, № 10, с.1625−1637.

66. Олейник O.A. Об уравнениях эллиптического типа с малым параметром при старших производных. // Матем. сб., 1952, т.31, вып.1, с.104−117.

67. Олейник O.A. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений. // Успехи матем. наук, 1957, т.12, вып. З, с.3−73.

68. Олвер Ф.

Введение

в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука, 1987, 375 с.

69. Понтрягин JI.C. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1957, т.21, с.605−626.

70. Пряжинский В. И., Сушко В. Г. Асимптотика по малому параметру некоторых решений задачи Коши систем для одного квазилинейного параболического уравнения // ДАН СССР, 1979, т.247, № 2, с.283−285.

71. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. JI.: Изд-во ЛГУ, 1950, 255 с.

72. Сушко В. Г. Об асимптотических разложениях решений одного параболического уравнения с малым параметром // Дифференц. уравнения. 1985. т. 21. 10. с.1794−1798.

73. Сушко В. Г., Лапшин Б. А. Асимптотические разложения решений некоторых задач, связанных с нелинейной акустикой. // Взаимодействие нелинейных волн в средах без дисперсии. М.: Изд-во МГУ, 1983, с. 118−151.

74. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных. // Матем. сб., 1952, т. 31(73), № 3, с.575−586.

75. Тихонов А.H., Самарский A.A. Асимтотическое разложение интегралов с медленно убывающим ядром. // ДАН СССР, 1959, т.12, № 1, с.26−29.

76. Тихонов А. Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966, 724 с.

77. Треногии В. А. Развитие и приложение асимптотического метода Люстерника-Вишика. // Успехи матем. наук, 1970, т.25, вып.4, с.123−156.

78. Федорюк М. В. Асимптотика решения задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Гельмголъца во внешности тонкого цилиндра. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1981, т.45, № 1, с.167−186.

79. Федорюк М. В. Уравнения с быстро осцилирующими решениями. //В кн.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. т.34 (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ, 1988, с.5−56.

80. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983.

81. Фридман А. Уравнения в частных производных параболического типа. М: Мир, 1968, 427 с.

82. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970, 720 с.

83. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. М.: Мир, 1988, 247 с.

84. Эрдейи А. Асимптотические разложения. М.: Физматгиз, 1962,127 с.

85. Eckhaus W. Boundary layers in linear elliptic singular perturbation problem. // SIAM Review, 1972, v.14, № 2, p.226−270.

86. Fraenkel L.E. On the method of matched asymptotic expansion. Parts I-III. // Proc. Cambridge Phil. Soc., 1969, v.65, p.209−231, 233−251, 263 284.

87. Hopf E. The partial differential equation ut + uux = ?iuxx // Comm. Pure and Appl. Math. 1950. V. 3. N 3. P. 201−230.

88. Prandtl L. Uber Flussingkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung. // Verhandlungen des dritten internationalen Mathematiker Kongresses, Heidelberg, 1904, Leipzig, 1905, s.484−491.