Бифуркационные процессы и хаотические колебания в цепочках связанных осцилляторов

Математическое моделирование процессов, протекающих во времени, как правило, связано с построением некоторой совокупности колебательных систем, каким-либо способом связанных друг с другом. Диссертационная работа посвящена изучению динамики их взаимодействия.

Сами по себе системы взаимодействующих нелинейных осцилляторов могут возникать, во-первых, как результат моделирования реальных объектов, состоящих из нескольких парциальных колебательных систем, и, во-вторых, как математическая модель для приближенного описания динамики пространственно распределенных задач или уравнений с запаздыванием по времени.

Проблема регулярной и хаотической динамики взаимодействующих осцилляторов очень широка и нуждается в некотором сужении. В качестве такого сужения выступает предположение о том, что отдельные взаимодействующие осцилляторы близки.

Общая схема работы такова: сначала изучается система из минимально возможного числа (двух) осцилляторов. Причем для формулировки строгих результатов предполагается, что каждый из осцилляторов находится вблизи бифуркации Андронова — Хопфа, а связь между ними слабая. На основе полученных асимптотических формул делаются выводы о поведении решений нескольких конкретных систем из нейродинамики, а затем численными методами устанавливаются границы применимости этих асимптотик. Затем изучается поведение большего числа осцилляторов. Речь идет о трех однона-правленно связанных в кольцо колебательных системах. Далее рассматривается уже сколь угодно большое число диффузионно связанных осцилляторов, в случае когда их амплитуды близки, а общее поведение описывается системой дифференциальных уравнений для разностей фаз. В этой ситуации обнаруживается явление, составляющее один из главных результатов работы: ляпуновская размерность аттрактора соответствующей системы монотонно растет по почти линейному закону с ростом числа осцилляторов. В последних частях работы рассмотрены в одном случае краевые задачи гиперболического типа, которые при разложении по модам дают счетную систему связанных нелинейных дифференциальных уравнений, а в другом — сингулярно возмущенное уравнение с двумя запаздываниями, также сводящееся, в конечном итоге, к модельной системе из счетного числа осцилляторов. Для того, чтобы показать, что сложность поведения решений динамической системы не обязательно является результатом взаимодействия большого числа осцилляторов, в работе рассмотрены несколько моделей с полутора степенями свободы и показано наличие у них явления мультиста-бильности и буферности.

Коротко остановимся на источниках происхождения задач о связанных осцилляторах и соответственно на актуальности темы исследований. Сразу отметим довольно большое число моделей такого рода, возникающих как результат изучения взаимодействующих механических, электрических, биологических систем (см. [2,3,102,119]). Одним из характерных примеров, особенно активно изучаемых в последнее время, является задача о взаимодействии нервных клеток, на решение которой в значительной мере направлены усилия в области нейродинамики (см., например, [1,134,145,152]). С другой стороны, источником систем диффузионно взаимодействующих осцилляторов являются, очевидно, различные краевые задачи, в частности краевая задача типа «реакция-диффузия» ди vDAu + (Л0 + + F (u), (0.0.1) at ди ди 0, (0.0.2) г которая представляет собой важный объект исследований в проблеме изучения механизмов пространственно-временных флуктуацийв моделях биологических и физических систем [7,21,22]. В системе (0.0.1) вектор-функция u (t, х) 6 Rn определена в области Q с достаточно гладкой границей Г, D — диагональная матрица с положительными элементами, А — оператор Лапласа, v — положительный параметр. Будем считать, что собственные числа матрицы Aq за исключением одной пары лежат в левой комплексной полуплоскости, достаточно гладкая вектор-функция векторного аргумента F (u) имеет в нуле порядок малости выше, чем первый, 0 < е «1 — малый параметр. Вещественную часть первой ляпуновской величины, вычисленной при г = 0, полагаем отрицательной, а матрицу, А такой, что пара собственных чисел матрицы AqjeAi переходит при е > 0 в правую комплексную полуплоскость. Эти условия обеспечивают существование пространственно однородных периодических режимов краевой задачи (0.0.1)-(0.0.2), которые г устойчивы при достаточно большом v. Важной задачей при изучении структуры распределенных устойчивых решений задачи (0.0.1)-(0.0.2) является проблема определения характера потери устойчивости пространственно однородного решения и исследование ветвящихся при этом режимов. Непосредственный анализ краевой задачи (0.0.1)-(0.0.2) приводит к серьезным трудностям, поэтому имеет смысл рассмотреть упрощенную модель, которая бы сохраняла существенные свойства исходной краевой задачи. В этом смысле не до конца исследованными остаются разностные аппроксимации по пространственным переменным, простейшие из которых мы и рассмотрим.

Для этого предположим, что область Г2 — [0,1], а размерность вектора u (t, x) равна двум, тогда краевая задача (0.0.1)-(0.0.2) сводится к задаче ди дit vDh*+ (Л)++(0-°'3) ди дх ди а:=0 дх 0, (0.0.4).

Х=1 заменим в краевой задаче (0.0.3)-(0.0.4) оператор дифференцирования по пространственной переменной разностным так, что дщ dt vDN2(uj-1 — 2uj + uj+1) + (A0 + eAx) uj + F (uj), (0.0.5) узлы аппроксимации выберем в точках Xj = (j — ½)/N, (j = 1. N). Краевые условия (0.0.4) заменим на щ = щ, uN = uN+i. (0.0.6).

Таким образом, получена система связанных идентичных друг другу осцилляторов с диффузионной связью. Система обыкновенных дифференциальных уравнений (0.0.5), (0.0.6) является в настоящей работе одним из основных объектов исследования. Важным обобщением данной системы является задача о диффузионном взаимодействии колебательных систем с бесконечномерным фазовым пространством. В этом случае система обыкновенных дифференциальных уравнений для парциального осциллятора из (0.0.5) й = (А0 + ?Аг)и + F{u) (0.0.7) заменяется краевой задачей или уравнением с запаздыванием. В случае когда эта краевая задача имеет единственный аттрактор (например, цикл или тор), ее исследование, как правило, не значительно отличается от исследования задачи (0.0.5), (0.0.6). Однако каждая из таких парциальных задач может иметь большое, даже счетное число аттракторов. Динамические свойства диффузионно связанных колебательных систем, у каждой из которых имеется несколько аттракторов, также являются одним из объектов исследования работы.

Отметим, что для динамических систем с распределенными параметрами ситуация, в которой в ее фазовом пространстве сосуществуют устойчивые режимы с узкими областями притяжения, встречается достаточно часто. Именно с этим связано явление мультистабильности, проявляющееся в том, что траектория динамической системы в зависимости от начальных условий приходит к различным аттракторам, чему предшествует длительный переходный процесс. Одним из проявлений мультистабильности является феномен буферности, о котором принято говорить в случае, когда в фазовом пространстве некоторой динамической системы при подходящем выборе параметров можно гарантировать сосуществование любого фиксированного числа однотипных аттракторов (состояний равновесия, циклов, торов и.

Из результатов известной работы А. А. Витта [17], а также из значительно более поздних работ [84−88,115] следует, что буферность представляет собой универсальное нелинейное явление, возникающее в математических моделях из различных областей естествознания: радиофизики, механики, экологии, нелинейной оптики, теории горения и т. д. Поэтому весьма актуальна проблема изучения типовых сценариев накапливания аттракторов в различных динамических системах. К настоящему времени удалось выявить три таких сценария: в первую очередь это сценарий Витта, являющийся наиболее распространенным, а также тьюрингский и гамильтонов механизмы накапливания аттракторов.

Ситуация, в которой реализуется механизм Витта, заключается в следующем. Предположим, что в задаче об устойчивости нулевого состояния равновесия некоторой динамической системы имеет место критический случай счетного числа чисто мнимых собственных значений, а при изменении каких-либо входящих в эту систему параметров происходит последовательное смещение точек спектра в правую комплексную полуплоскость. Тогда, как установлено в уже упоминавшихся работах [17,84−88,115], чаще всего в такой системе наблюдается феномен буферности в простейшем его варианте: происходит неограниченное накапливание устойчивых циклов, причем каждый отдельно взятый цикл рождается из нулевого состояния равновесия неустойчивым, а затем обретает устойчивость, подрастая по амплитуде.

Тьюрингский механизм отличается от механизма Витта по существу лишь тем, что каждый индивидуальный цикл (или состояние равновесия) при изменении управляющих параметров сначала обретает устойчивость, а затем снова ее теряет. Таким образом, хотя общее число аттракторов и увеличивается, но их состав постоянно обновляется. Как показано в монографии [115], данная ситуация реализуется главным образом в системах типа реакция-диффузия при пропорциональном уменьшении коэффициентов диффузии, но может возникать и в системах с запаздыванием при неограниченном увеличении времени запаздывания. В частности, с ней сталкиваемся при рассмотрении известной модели «брюсселятор», изучавшейся еще А. Тьюрингом [156] (отсюда и название — тьюрингский механизм).

Описанные сценарии накапливания аттракторов характерны, естественно, только для систем с бесконечномерным фазовым пространством. Что же касается конечномерных систем, то в них простейшим механизмом возникновения буферности является, по всей видимости, так называемый гамиль-тонов сценарий, проиллюстрированный в [115] на ряде двумерных отображений из механики. Суть этого сценария состоит в том, что в гамильтоновых или консервативных системах с полутора или больше степенями свободы хаотические движения сосуществуют со счетным числом так называемых островков устойчивости, примыкающих к эллиптическим состояниям равновесия или циклам. При возмущении такой системы малыми диссипатив-ными добавками часть из состояний равновесия или циклов могут стать асимптотически устойчивыми и, что самое главное, количество последних может неограниченно увеличиваться при стремлении возмущений к нулю.

Следует заметить, что гамильтонов механизм, несмотря на его простоту, до сих пор оставался наименее изученным, так как кроме уже упоминавшихся двумерных отображений (см. [115]) он не был подкреплен какими-либо другими содержательными примерами. В четвертой главе данной работы устанавливается ряд результатов о наличии буферности в некоторых классических механических задачах, описывающихся уравнениями маятникового типа с периодическими по времени малыми добавками (именно такого типа уравнения в физической литературе принято называть системами с полутора степенями свободы).

Перейдем теперь к используемым в работе методам исследования. Во всей работе нами предпринималась попытка сочетания аналитических и чис-' ленных методов. Очевидно, что эти методы должны дополнять друг друга. Среди аналитических методов, используемых при работе. с динамическими системами, ведущую роль играет построение различного рода асимптотик. Особо выделим метод нормальных форм в случае конечномерных вырождений и метод квазинормальных форм — в случае бесконечных.

На протяжении всей работы в различных вариациях использовались высокоэффективные асимптотические методы исследования динамики, базирующиеся на аппарате интегральных многообразий и нормальных форм [5,15,106,108,130,131]. Эти методы, восходящие к работам Пуанкаре [122] и методу усреднения Крылова — Боголюбова — Митропольского [13,100,111], применимы лишь в случае, когда при критическом значении параметра в спектре устойчивости исследуемой системы оказывается конечное число точек, лежащих на мнимой оси.

При исследовании распределенных систем и уравнений с запаздыванием оказалось, что для них могут реализовываться такие ситуации, в которых спектральная задача имеет счетное число значений на мнимой оси. В связи с этим в начале 80-х для случая, близкого к бесконечномерному вырождению, Ю. С. Колесовым [16,99] был предложен специальный асимптотический метод, названный впоследствии методом квазинормальных форм. Не останавливаясь подробно на истории вопроса, напомним, что к настоящему времени этот метод обоснован в ряде модельных ситуаций как для параболических [76,114,115], так и для гиперболических [84,91] краевых задач. В случае дифференциально-разностных уравнений второго порядка с большим запаздыванием алгоритмические аспекты метода квазинормальных форм разработаны в статьях [75,79].

Существенным ограничением асимптотических методов является в первую очередь их локальность как по бифуркационному параметру, так и по области фазового пространства. Как правило, не известно, что происходит с решениями динамической системы, не лежащими в окрестности некоторого особого решения, и для параметров не близких к критическим. Численное интегрирование в этой ситуации позволяет отчасти прояснить проблему и продолжить по параметру найденное асимптотическими методами решение, тем самым позволяя оценить границы применимости асимптотических формул.

Особо отметим, что численные методы сами по себе без предварительного асимптотического анализа не могут дать ответ на вопросы качественного поведения исследуемой модели. Выполним обзор некоторых из численных методов, применяемых в работе.

Численный анализ нелинейных динамических систем с неупорядоченным поведением представляет собой достаточно сложную задачу. Одна из основных проблем, возникающих в этом случае, состоит в том, что численные методы, используемые при решении эволюционных’уравнений, дают в определенном смысле гарантированную точность вычислений лишь на конечных промежутках изменения переменной времени. На практике же численные методы часто применяют на больших временных отрезках, когда решение исходной задачи и разностной схемы, ее моделирующей, уже не имеют никакого отношения друг к другу. Более того, в случае исследования систем с хаотической динамикой в силу экспоненциального разбегания траекторий, решения с близкими начальными условиями начинают отличаться друг от друга на величину порядка единицы за относительно короткий промежуток времени. Особенно серьезные проблемы возникают, когда моделируемая динамическая система не является структурно устойчивой (отметим, что хаотические аттракторы для систем с непрерывным временем часто негиперболичны). В этой ситуации для анализа качественных характеристик решений вычисляются различные размерностные показатели, наиболее известные и надежно вычислительно реализуемые из них это ляпуновские показатели и ляпуновская размерность, корреляционный интеграл, энтропия. В условиях, когда динамическая система задается системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно небольшой размерности и удается построить систему в вариациях вдоль траектории, лежащей на аттракторе, наиболее уместно вычисление ляпуновских показателей.

Учитывая, что определению этих показателей отводится в работе значительное место, коротко остановимся на алгоритме их вычисления (подробно см. [23]). Для нахождения старшего ляпуновского показателя хаотического аттрактора нами используется некоторая модификация известного алгоритма Бенеттина [136]. Напомним, что в упомянутом алгоритме при интегрировании системы в вариациях на траектории из аттрактора через равные промежутки времени заданной длины Т > 0 производится перенормировка вектора начальных условий. Основная идея нашего метода состоит в том, чтобы «заставить» систему динамически выбирать моменты перенормировок.

В пространстве Шп, п ^ 3 рассмотрим произвольную систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

X = f{x) (0.0.8) с гладкой правой частью / и будем считать, что она имеет компактный аттрактор, А с хаотическим поведением траекторий. Последнее означает, что, во-первых, для множества, А предполагается существование так называемой поглощающей окрестности, т. е. такого ограниченного открытого множества.

U D А, что замыкание (pl (U) С U при всех t > 0 и (р*(Ы) = Л (здесь г^о р°(хо) = Xq — поток, задаваемый системой (0.0.8)). Во-вторых, предполагаем существование подмножества, А С, А со следующими свойствами: а) А — вероятностный аттрактор [149], т. е. наименьшее замкнутое множество, содержащее о—предельные множества для почти всех точек из Ы б) множество, А является хаотическим в смысле определения Девани [135,137], т. е. в, А плотны периодические траектории системы (0.0.8) и сужение на, А ее фазового потока ipb обладает свойством топологической транзитивности. Как показано в [135], из этих двух требований вытекает неустойчивость по Ляпунову каждой отдельно взятой траектории, принадлежащей множеству А, или, иными словами, существенная зависимость от начальных условий.

Приведенное определение хаотического аттрактора не является единственно возможным. Например, можно считать, что, А — стохастический аттрактор в смысле определения Я. Г. Синая [125], сформулированного в терминах инвариантной меры. Существует также определение хаоса по Ли-Йорке (см., например, [12]) и т. д. В любом случае, однако, важным, на наш взгляд, представляется лишь свойство существенной зависимости от начальных условий, которое, собственно говоря, и служит синонимом самого понятия «хаос». Что же касается практической стороны вопроса, то общепринятый эвристический критерий наличия требуемого свойства состоит в существовании хотя бы одного положительного показателя в ляпуновском спектре аттрактора. Таким образом, естественно возникает проблема разработки различных алгоритмов расчета наибольшего ляпуновского показателя Хтах аттрактора А.

Приступим к описанию нашего варианта алгоритма Бенеттина, который уместно назвать методом динамической перенормировки. С этой целью фиксируем некоторую точку xq из хаотического аттрактора А, выпустим из нее траекторию х = &-о (£), £о (0) = жо системы (0.0.8) и рассмотрим систему в вариациях на данной траектории: h = A (t)h, ht=0 = h0l • (0.0.9) где A (t) = f'{x)x=x0(t)i a^o, Il^o11 = 1 (здесь и ниже || * |l ~ евклидова норма в Rn), — произвольный вектор. Единственное условие, которому должны удовлетворять начальная точка хо? А и начальная вариация ho и которое всюду ниже считаем выполненным, состоит в требовании их «типичности». Последнее означает, что тах — Иш In ||/i (t)НА, (0.0.10) t—>+оо где h (t) — решение задачи Коши (0.0.9), а Атах — старший ляпуновский показатель аттрактора А, который в силу известной мультипликативной эрго-дической теоремы Оселедца [121] не зависит от жо (точнее говоря, одинаков для почти всех жо € А по некоторой инвариантной мере). Кроме того, предположим сначала, что реализуется самый интересный случай Хтах > 0.

На следующем этапе фиксируем произвольно некоторое число итах > 1 и наряду с системой (0.0.9) рассмотрим отвечающую ей релейную систему.

Л* = R (t, h*), h*t=o = ho (0.0.11) с тем же начальным вектором ho, решение h*(t) которой определим конструктивно. А именно, сначала положим /i*(?) = h (t) и будем считать, что это равенство справедливо до тех пор, пока ||/г.(£)|| < итах. Далее заметим, что ||/i (?)|| —> оо при t —^ +оо в силу (0.0.10) и условия тах > 0. Поэтому обязательно найдется такой первый момент времени t > 0, что = итах• В этот момент происходит переключение и при t ^ t функция h*{t) определяется уже как решение задачи Коши.

К = A (t)h*, h*t=tl = - 0)/||/i,(ti — 0)||. (0.0.12).

Закон (0.0.12) изменения h*(t), в свою очередь, справедлив до очередного момента переключения 12, когда первый раз (после момента t) норма ||/г*(£)|| достигнет порогового значения итах (такой момент времени обязательно наступит по тем же причинам, что и выше). При t ^ ?2 снова имеем дело с задачей Коши (0.0.12), в которой, естественно, t 'заменяется на ?2, и т. д.

Таким образом, получаем бесконечную последовательность моментов переключений tm, т ^ 1, где tm — наименьший положительный корень уравнения h (t)\ = {итах)т, (0.0.13) а само решение h*(t) релейной системы (0.0.11) на любом промежутке tm ^ t < tm+1 задается формулой /i*(t) = h (t)/(итах)т. Обозначим, далее, через т = m (t) количество переключений на промежутке времени [0,?].

Сформулируем основной результат, позволяющий построить алгоритм вычисления старшего ляпуновского показателя с автоматическим выбором моментов переключения.

Теорема 0.1. Справедливо предельное равенство lim m (t) ln (umaa-) /t — Хтах • (0.0.14) t—^+00.

He останавливаясь на доказательстве данного факта (оно приведено в [23]) сделаем некоторые замечания.

Во-первых, при численной реализации предложенного алгоритма, как и в алгоритме Бенеттина, здесь не возникает компьютерных проблем, связанных с переполнением. Расчетная же формула для Хтах имеет в данном случае вид.

Хтах = m (i) n{umax)/t. (0.0.15).

Во-вторых, в случае Хтах > 0 вместо (0.0.15) можно пользоваться расчетной формулой.

A max = m (t) In (umax)/tm, (0.0.16) дающей более точный результат.

В-третьих, предельное равенство (0.0.14) остается справедливым и при Хщах — 0, т. е. для регулярного аттрактора.

И наконец, в-четвертых, формула (0.0.16), вообще говоря, не работает при A max = 0. Действительно, в случае конечного числа переключений она выдаст ненулевое значение. В отличие от (0.0.16) первоначальная формула (0.0.15) лишена этого недостатка, но обе они заведомо не пригодны в случае A max < 0, когда аттрактор, А — состояние равновесия. В связи с этим возникает необходимость внесения некоторых поправок в описанный алгоритм.

Для описания исправленного алгоритма фиксируем два пороговых значения итах > 1 и umin 6 (0,1) и будем считать, что переключения в релейной системе (0.0.11) происходят в моменты времени, когда Ц/i*(t) j | принимает любое из значений итах или ит{п. Обозначим, далее, через mi (t) и m2(t) -количества переключений на отрезке [0,?], связанные с достижением итах и Umin соответственно.

Следующее утверждение позволяет получить расчетную формулу алгоритма, работающего для значений Хтах любого знака.

Теорема 0.2. Вне зависимости от знака Хтах справедливо предельное равенство lim mi (t) In (Umax) + rn2{t) In (umin)}/t = Xmax • (0.0.17) t-> + OO.

Следует отметить, что аналоги теорем 0.1, 0.2 можно получить и для точечных отображений.

Описанный выше алгоритм реализован программно Глызиным Д. С. в пакете Tracer (см. [24]), который и используется для получения значительной части представленных в работе численных результатов.

Структура диссертационной работы.

Диссертация содержит введение, шесть глав, заключение и приложения. В первой главе рассмотрена система из двух близких осцилляторов.

Заключение

.

В заключение перечислим основные результаты полученные в работе.

1. Построена и проанализирована нормальная форма для двух диффузионно связанных колебательных систем. Определены сценарии фазовых перестроек. Получены условия возникновения и потери устойчивости неоднородных автомодельных циклов и торов данной системы.

2. Найдены условия реализации квазифейгенбаумовского бифуркационного сценария, в котором переход от одного самосимметричного цикла к другому циклу условно двойного периода происходит через каскад бифуркаций потери симметрии, стандартных удвоений периода, возникновений и исчезновений хаотических аттракторов.

3. На примере из нейродинамических приложений выполнен численный эксперимент, позволяющий оценить границы применимости асимптотических методов.

4. В целях повышения точности и надежности вычисления ляпуновских экспонент разработан и обоснован новый вариант алгоритма Беннетина (метод динамических перенормировок) для их определения.

5. Для цепочки диффузионно слабо связанных колебательных систем на устойчивом интегральном многообразии построена и проанализирована система разностей фаз осцилляторов. В случае двух, трех и четырех осцилляторов и цепочек с граничными условиями периодичности и непроницаемости дана полная динамика соответствующей нормальной формы.

6. В случае, когда число осцилляторов в цепочке растет численными методами показано, что ляпуновская размерность аттрактора увеличивается по близкому к линейному закону. Произведен обширный численный эксперимент для разностной модели уравнения Гинзбурга — Ландау, в котором проиллюстрирован данный результат и определены границы его применимости.

8. Для трех однонаправлено связанных в кольцо осцилляторов показан способ построения системы с хаотическим аттрактором. Подобно разобран один радиофизический пример. Установлены границы применимости асимптотически методов.

9. Получено обобщение результатов для трех однонаправлено связанных в кольцо осцилляторов на случай, когда парциальная колебательная система представляет собой краевую задачу гиперболического типа (обобщенное уравнение Шредингера с кубической нелинейностью). Показано, что такая система может иметь сколь угодно большое число хаотических аттракторов.

10. Для цепочки диффузионно слабо связанных систем гиперболического типа обнаружен и обоснован механизм накопления хаотических аттракторов. В частности, установлено, что при изменении управляющего параметра в такой системе могут наблюдаться две принципиально различные ситуации: 1) сосуществует счетное число конечномерных хаотических аттракторов- 2) существует хаотический аттрактор бесконечной размерности.

11. Рассмотрена феноменологическая модель развития турбулентности в соответствии со сценариями Ландау и Ландау — Селла, по первому из которых возникновение турбулентного аттрактора происходит в результате каскада бифуркаций устойчивых инвариантных торов все более высоких размерностей, а во втором происходят фазовые перестройки хаотических аттракторов, ляпуновская размерность которых при изменении некоторого управляющего параметра неограниченно растет.

12. Выяснен и обоснован механизм накопления однотипных аттракторов (устойчивых предельных циклов) у слабо возмущенных динамических систем маятникового типа. С этой целью определены частичные пределы функций Мельникова на резонансных циклах.

13. Для сингулярно возмущенного логистического уравнения с двумя запаздываниями показано, что его квазинормальной формой могут служить краевые задачи параболического типа с кубической нелинейностью и в слу чае дополнительного вырождения — краевая задача типа уравнения Кор-тевега — де Фриза с антипериодическими краевыми условиями. Выполнен численный анализ квазинормальной формы, показано, что число сосуществующих устойчивых режимов растет с ростом числа осцилляторов, учитываемых в разностной модели квазинормальной формы.