Математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода

Тот, кто, повторяя старое, способен найти новое, может стать наставником Конфуций.

Актуальность исследования. Концепции кибернетики хорошо прослеживаются в процессе формирования педагогической науки, начиная с периода ее зарождения, имея в виду, например, «сократовский» диалог, который по сей день является важнейшим компонентом учебного процесса. Объективно, это обусловлено тем, что в области дидактики педагогика опирается на теорию когнитивных процессов, реализующих преобразование и передачу информации (знаний и опыта) от поколения к поколению, и, поскольку информационная сущность процессов управления была осознана только в середине XX в., то длительное время продвижение кибернетической концепции в педагогике происходило на основе эмпирико-эвристических соображений, без должной систематизации [301].

Уровень общественного развития рубежа ХХ-ХХ1 вв. характеризуется необходимостью реализации нарастающих массивов информации, которой следует распорядиться рационально и в ограниченное время. Наметившаяся тенденция отражает главные проблемы современного образования, которые сводятся к интенсификации учебных процессов, реализующих усвоение больших массивов знаний, приобретение опыта и выработку необходимых компетенций в течение ограниченного периода обучения^ Необходимость эффективного управления учебными процессами определяет актуальность кибернетической концепции в педагогике, поскольку определение параметров управления такими процессами опирается на определенные дидактические закономерности рассматриваемого процесса. По Л. Б. Ительсону [122], определение научной закономерности в педагогике подразумевает построение символической модели, изоморфной определенным инвариантным связям и отношениям, объективно имеющим место в определенных условиях между определенными явлениями или факторами педагогического процесса. Таким образом, концепция кибернетики реализует метод исследования педагогических процессов, проводимый в категории морфизма, и основу моделирования в этом случае составляет метод функциональных аналогий' (МФА), разработанный П. К. Анохиным [13−15] в рамках теории функциональных систем Э. Л. Поста [337−356], и, реализованный в психофизиологии. Важно отметить, что управление в «кибернетике сводится к преобразованию информации, которая представляет основное понятие кибернетики и является измеряемой величиной. Поэтому процессы передачи и преобразования информации в педагогике можно трактовать как изменение количества информации в данных процессах и выразить это в виде соответствующих математических моделей.

Актуальность кибернетической концепции в педагогике обусловлена также тем, что в настоящее время ИКТ, фактически, стали неотъемлемой частью учебных процессов. В^ то же время, вопросы теории обучения в информационно-образовательной среде до конца не урегулированы. Остается проблематика рациональной интеграции ИКТ в образовательное пространство, а также оптимизации факторов человеко-компьютерного интерфейса в учебных процессах, разрешить которую без привлечения кибернетических принципов затруднительно (Н.Д.Никандров [206], B.JI. Матросов [188], Я.А.ВаграменкоИ. В ¿-Роберт [118]). Современные интеллектуальные обучающие системы (ИОС) строятся на основе данных когнитивной и гештальт-психологии [159], моделируя отдельные нейросетевые алгоритмы обучения нейронных ансамблей в человеческом мозге, которые реализуют параллельную обработку информации [372−373]. Трактуя обучение как целенаправленное распознавание образов учебной информации, подобные алгоритмы представляют большой интерес в педагогике. В этом аспекте актуальность кибернетического подхода обусловлена возможностью моделирования поведения и мыслительных процессов человека, проводя на уровне искусственного интеллекта или нейродинамики эффективные алгоритмы обучения (F.Rosenblatt [377], М.М.

Бонгард [45], Я. З. Цыпкин [344], М. Минский [191−192], RJ. Anderson [359], J J. Hopfild [373] и др.).

Проведение кибернетической концепции в сфере образования призвано обеспечить качественное улучшение показателей обучения. Это подразумевает не только повышение уровня знаний обучаемого контингента, но также приобретение им достаточных умений и навыков интерпретации этих знаний в виде математической модели и ее последующей реализации в виде ИКТ, способствуя самоактуализации и формированию необходимых компетенций в процессе образования личности. Выполнение этих требований обеспечивается, если соответствующая кадровая подготовка включает все перечисленные компоненты педагогической деятельности. В этой связи, актуальность данного вопроса обусловлена тем, что стратегическая линия, проводимая в государственных стандартах высшего профессионального образования (ГОС ВПО-2), включая специальность 32 100.00 (50 201) «Математика с дополнительной специальностью», как по версии 2000 г. 83], так и в действующей версии 2005 г. [84], в плане математической подготовки специалистов предусматривает профессионально направленное обучение, однако само содержание профессионально направленного обучения математике при этом не конкретизируется. Такое положение, в принципе, сохраняется в предлагаемых проектах ФГОС ВПО-3 по направлению подготовки «Педагогическое образование», разработанных творческим коллективом РГПУ им. А. И. Герцена, Mill У и МППУ под общим руководством Г. А. Бордовского, B.JI. Матросова и В. В. Рубцова совместно с подразделениями Минобрнауки России в рамках компетентностного образовательного подхода, принятие которых намечено на 2010 г. [244]. Поскольку вопросы общей теории обучения математическому моделированию пока, в полной мере, не разрешены, то, фактически, вузам, кафедрам и преподавателям предложено самим сформировать и развернуть это содержание. Естественно, для многих преподавателей такое обучение становится инновационным, а потому следует предусмотреть возможность повышенияквалификации в данном направлении и, например, представляется оправданным, введение в программы аспирантуры" весомого образовательного компонента с организациейсоответствующих курсов, как это предлагается в материалах Болонского процесса [39−40- 128]. Общие подходы при разработке: У дидактики математическогомоделированияучебных процессов, /как показывает имеющийся опыт педагогики 60−70 гг. XX в., можно формировать, в русле кибернетической концепции.

Очерченная проблематика при своем разрешении выводит на инновационные пути развития педагогической науки, реализуя! положения «Национальной доктрины развития? образования в РФ (на период 2000;2025 гг.)» [203] и, приоритетные направления национальных проектов в области образования1 [146−212−242−269−285−338]. Эти положения требуют выработки адекватного управлениям образованием, которое задается в рамках государственных образовательных стандартов: С 01.01.2010 введен в действие новый ФГОС начального общего образования [289] и в течение 2010 г. планируется! подготовка материалов ФГОС общего. образования. 2-го поколения (под ред. А. М. Кондакова и А.А. Кузнецова) [147], в основу которых положен системно-деятельностный подход, разработанный вотечественной психолого-педагогической науке (Л.С. Выготский [67], А. Н. Леонтьев [?61], П. Я. Гальперин [71] и др.). Деятельностный подход исходит из постулата о том, что психологические способности человека есть результат преобразования внешней предметной деятельности во внутреннюю психическую деятельность путем последовательных преобразований. В рамках ФГОС 2-го поколения такой подход предполагает: переход к стратегий социального проектирования и конструирования^ в системе образования на основе разработки содержания и технологий образованияориентацию на развитие личности на основе усвоения универсальных учебных действийпризнание решающей роли содержания образования, организации образовательной деятельности и взаимодействия участников образовательного процесса в достижении целей образования. Развитие стандартов' ВПО происходит более динамично. Например, в рамках ГОС ВПО-2 по специальности 32 100.00 в редакции В. Д. Шадрикова (2000) уровень подготовки выпускников определялся профессиональной подготовленностью специалиста, включающей: умение осуществлять процесс обучения математике учащихся средней школы с ориентацией на воспитание и развитие личности школьниковумение использовать математический аппарат при изучении и количественном описании реальных процессов и явлений, а также иметь целостное представление о математике и ее месте в современном мире. В ГОС ВПО-2 по той же специальности в редакции А. Г. Свинаренко (2005) уровень подготовки выпускников определяется умением решать определенный перечень типовых задач профессиональной деятельности. Помимо указанных видов деятельности, в этот перечень вошли: планирование и проведение учебных занятий по математике с учетом специфики тем и разделов программыиспользование современных научно обоснованных приемов, методов и средств обучения математике, в том числе ТСО и ИКТприменение современных средств оценивания результатов обученияреализация личностно-ориентированного подхода к образованию и развитию обучающихся для создания мотивации к обучению и др. Наконец, в предлагаемых проектах ФГОС ВПО-3 по направлению «Педагогическое образование» оценка подготовки выпускников выходит на уровень профессиональных компетенций, т. е. способности применять полученные знания, умения и личные качества для эффективной профессиональной деятельности.

Такой вектор управления современным российским образованием обусловлен реалиями XXI в. в связи с переходом к постиндустриальному обществу, который ускорил процессы глобализации, и профессиональная деятельность протекает в постоянно изменяющихся условиях, требуя умения мобильно решать возникающие нестандартные проблемы. Поэтому, как подчеркивается в «Концепции модернизации Российского образования», «развивающемуся обществу нужны современно образованные, нравственные, предприимчивые люди, которые могут самостоятельно принимать решения, прогнозируя их возможные последствияотличаются профессиональной: мобильностью и способны к сотрудничеству, обладая? чувством ответственности за судьбу страны и ее социально-экономическое процветание». В условиях, когда в системе образования принятие обоснованного решенияг по оптимизацииа образовательных траекторий происходит в ограниченное время, естественно, необходимо прибегнуть? к-математическому моделированиюкаксамих педагогических процессов (макроуровень), так и в самом педагогическом процессе (микроуровень). Математическое моделирование является^теоретической основошкйбернетики и, таким образом, представленная аргументация говорит о том, что, разрешение широкого круга вопросов педагогической проблематики в рамках кибернетической: концепции, проведенное в данном диссертационном исследовании, является актуальным и своевременным, способствующим развитию педагогической науки и совершенствованию отечественного образования. — - :

Кибернетическая"концепция вшедагогике: аналитический обзор. В силу, целенаправленности и информационной сущности педагогических процессов, связь между кибернетикой и педагогикой носит объективный характер. Эта связь реализуется на основе теории информации и кибернетики (К.Шеннон [349], Н. Винер [61]- 1948), опираясь на универсальные информационные принципы управления процессами любой природы, включая педагогические. В союзе с кибернетикой педагогическая наука, помимо экспериментального метода исследования, приобретает основательный теоретический метод, переводящий педагогическое знание с уровня феноменологической (описательной) — теории на логико-математический уровень развитой теории (в терминологии В. К. Лукашевича [170]). Дело в том, что в рамках кибернетики в систему педагогических знаний вводятся обобщающие абстрактные конструкты и набор принципов, которые воспроизводят исследуемый объект в виде определенным образом структурированной совокупности элементов и их отношений. Поэтому у педагогию! на уровне развитой теории, кроме функции фиксации знаний, за счет логического вывода появляются функции приращения, объяснения и предсказания знаний об исследуемом объекте. Объективность этого процесса обусловлена тем, что педагогическая наука все больше нуждается в формализованном языке, причем не столько для реализации собственных концепций, сколько для анализа непростой логики дидактических процессов [162].

Ситуация в современной отечественной педагогике напоминает ситуацию, сложившуюся в физике в конце XVII в., когда, на основе обобщения предшествующего опыта, И. Ньютон в трактате «Математические начала натуральной философии» (1687) сформулировал три основных закона механики и, добавив к ним в виде аксиомы правило параллелограмма для сложения сил, на этой основе дал теоретическое обоснование классической механики [51]. Таким образом, в рамках классической механики появилась теоретическая физика, способная развиваться, объяснять факты и делать предсказания «на кончике пера», как это произошло, например, при открытии планеты Нептун Дж.К.Адамсом (1841) и У. Ж. Леверье (1846) [132]. В этом смысле, хотя современная педагогика и представлена, в основном, на уровне феноменологической теории, однако содержит весомый кибернетический контент, который при нарастающей информатизации образовательного пространства объективно увеличивается, и вопросы моделирования, толкования и прогнозирования педагогических процессов приобретают существенное значение.

В отечественной педагогике кибернетические традиции основательно разрабатываются около полувека. Общие вопросы, определяющие смысл и сущность кибернетического моделирования педагогических явлений и процессов, а также анализ структуры и содержания обучения с позиций кибернетики, одним из первых, рассмотрел Л. Б. Ительсон (1964) в своей монографии [122]. После организации в 1966 г. Научно-методического совета по педагогике высшей школы при Министерстве высшего и среднего специального образования СССР на его 2-м пленуме (1967) был заслушан доклад С. И. Архангельского «Научная организация учебного процесса» [110], в котором принципы кибернетики и теории информации активно распространялись в область высшего образования. Если следовать материалам обсуждения программного доклада [110], то направление на сближение педагогики и кибернетики, в целом, не встретило возражений. Критика в основном касалась того, что данное направление должным образом не было конкретизировано и наполнено содержанием. Реакцией на критику явилась серия монографий С. И. Архангельского (1974;1980 гг.), в которых, на уровне высшего образования, представлена кибернетическая концепция по вопросам научной организации учебного процесса и теории обучения [19−21]. '.

В 70-е гг. делались попытки систематизации педагогики в рамках развитой логико-математической теории и, таким образом, концепции кибернетики проникли в дидактику, имея в виду работы П. Я. Лернера и В. Г. Болтянского. Под руководством И. Я. Лернера основательно изучался вопрос о построении логики дидактического исследования при разрешении проблематики обучения [162]. В работах В. Г. Болтянского дается математическая трактовка дидактического принципа наглядности посредством идеи изоморфизма и понятия простоты, выраженного в терминах теории информации [44]- в этом же ключе трактуется аналогия — как параллельный алгоритм обучения, в основе которого лежит общность аксиоматики рассматриваемых предметов [42].

Согласно кибернетической концепции эффективное управление педагогическими процессами может проводиться, как по линии совершенствования их системной организации, так и путем воздействия на их содержание, посредством оптимизации структуры семантической сети, представляющей передаваемые знания. Соответственно, придерживаясь концепции академика В. И. Арнольда [17], в первом случае, речь идет о «жестких», а, во втором случае, о «мягких» моделях управления педагогическими процессами. Оба компонента управления позволяют выделить некоторый комплекс математических моделей, которые, в определенной степени, можно считать базисными в педагогике, и на этой основе построить общую теорию математического моделирования педагогических процессов.

Продвигаясь по направлению совершенствования организации процессов обучения, Ю. К. Бабанский, на основе кибернетических принципов, разработал классификацию методов обучения по трем признакам — организации, стимулированию и контролю учебного процесса [28]. По сути, в предложенной классификации организация учебного процесса предполагает выделение управляющей системы (обучающая сторона) и объекта управления (обучаемый контингент), которые связанны положительной (стимулирование) и отрицательной (контроль) обратными связями.

В 70-х гг. XX в. Л. Б. Ительсону удалось показать [123], что в основе всякой системы принципов и методов обучения (модели обучения) лежит определенная психологическая теория научения. В связи с этим, имеющийся педагогический опыт говорит о том, что управление учебным процессом путем эффективного воздействия на содержание обучения может осуществляться в разных формах, в зависимости от психологической модели, лежащей в основе обучения. К примеру, в основе концепции развивающего обучения Л. С. Выготского по системе Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова лежит идея усвоения знаний на теоретическом уровне обобщения и его содержание формируется как система научных понятий, определяющая общие способы действия (способы решения задач) [92]. Если в основу обучения положена концепция поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина, то содержание обучения представляет собой некоторый алгоритм, направленный на выполнение определенной деятельности [70−71]. На уровне высшей школы довольно широкое распространение получило модульное обучение, при котором содержание учебного курса при изучении разбивается на отдельные фрагменты (модули), представляющие относительно самостоятельные логически завершенные части, предполагающие межмодульную интеграцию данного курса [272].

Более сложное воздействие на содержание обучения реализуется в идее укрупнения дидактических единиц П. М. Эрдниева, процедура формирования которых задается аксиоматически и иллюстрируется примерами [354]. Если эту процедуру определить алгебраически, то, фактически, для укрупнения дидактических единиц элементы содержания обучения связываются некоторой системой отношений общности так, что порождается определенный набор классов, каждый из которых представляет целостную систему с известными свойствами и принимается за дидактическую единицу. Сформированный набор классов также образует систему, поскольку между классами сохраняются логические связи, предписанные исходным содержанием обучения, однако обучение в рамках образованной системы дидактических единиц, в силу их укрупнения, сопряжено с усвоением меньшего массива информации, чем обуславливается положительный учебный эффект. По существу, процедура укрупнения дидактических единиц в обучении — это не что иное, как параллельные алгоритмы обработки содержания обучения, которыми объясняется высокая эффективность обработки информации человеческим мозгом [177−221−339] и, вероятно, поэтому идея укрупнения дидактических единиц в обучении, реализованная П. М. Эрдниевым, названа академиком В. И. Журавлевым «идеей века».

В целом, вопросы формирования содержания образования в педагогике пока остаются дискуссионными и, в этой связи, выделяются три концепции [282], трактующие содержание как: педагогически адаптированные основы наук, изучаемых в школе или вузе [270]- совокупность ЗУН, которые должны быть усвоены обучаемым контингентом [31]- педагогически адаптированный социальный опыт человечества, изоморфный сложившимся культурным ценностям во всей их структурной полноте (В.В. Краевский, [282]). В последнем случае в основу положена так называемая тринитарная методология Р. Г. Баранцева (2003), по которой в содержании образования рассматриваются три равноправных компонента: фундаментальность (передача знаний), гуманистическая ориентация (воспитание) и практическая (профессиональная) направленность (развитие умения).

Формирование содержания образования, во многом, отвечает за его качество. Дело в том, что абстрактные количественные меры информации своим происхождением обязаны принципу абстракции, положенному Г. Кантором для описания множественных объектов [275], и, как только эти меры соотносятся с реальными объектами, они приобретают качественные аспекты, связанные с природой данных объектов. В частности, абстрактное количество информации, связанное с образовательным контентом, в учебном процессе приобретает качества, обусловленные дидактическими принципами (смысл, ценность, объективность, наглядность, системность, актуальность, и т. п.), причем, эффективность качественных показателей данного контента определяется его структурой и формой. Вопросы качества образования обозначены в приоритетных направлениях развития системы образования РФ на период до 2010 г. в части разработки Общероссийской системы оценки качества образования (ОСОКО) [41]. Система показателей ОСОКО, естественно, должна строиться на основе некоторой общей теории меры качественного аспекта информации, позволяющей оценивать качество — как меру отклонения фазовой траектории системы от поставленных директив (целей образования). Попытки построения такой теории предпринимались в 60-х гг. XX в. в работах Н. М. Амосова, Р. Карнапа, Й. Бар-Хиллела, Ю. А. Шрейдера, A.A. Харкевича и др. [284]. В последние десятилетия для этих целей задействованы концепции синергетики (Г.Хакен [340]), поскольку самоорганизацию на микроуровне системы можно рассматривать как возникновение некоторых качеств на ее макроуровне. Однако, пока разработка общей теории меры качественной информации конкретных результатов не дала, и нет ясности даже относительно существования неких общих качественных мер. Поэтому, при создании эффективной ОСОКО формирование системы оценочных показателей представляет проблемный фактор [41].

Один из подходов к разрешению проблематики управления качеством содержания образования опирается на исследования, проводимые с 1997 г. в Ярославском педуниверситете им. К. Д. Ушинского в рамках подготовки учителей естественно-научного профиля на основе инновационной концепции фундирования содержания предметных курсов (В.Д. Шадриков, Е. И. Смирнов [231]). В рамках этой концепции фундирование рассматривается как процесс приобретения, освоения и преобразования опыта личности при создании механизмов и условий для актуализации и интеграции базовых учебных элементов школьных и вузовских знаний и видов деятельности с последующим теоретическим обобщением и расширением практического опыта в направлении профессионализации знаний и выработки профессиональных компетентностей будущего педагога. В деятельностном аспекте педагогического процесса реализация принципа фундирования приобретает спиралевидный характер (спираль фундирования), что соответствует диалектическому пониманию развития системы знаний. В русле концепции фундирования разработан и внедряется экспериментальный ГОС высшего педобразования по специальности «Математика» (приказ № 2046 от 14.05.2001 г., МО РФ), на основе которого в ЯГПУ им. К. Д. Ушинского успешно практикуются дидактические модули по теории вероятностей (В.В.Афанасьев, [26]) и математическому анализу (Е.И. Смирнов [200]) для будущих учителей математики. Как представляется, общий подход к управлению качеством образования путем воздействия на его содержание в рамках кибернетической концепции сводится к представлению образовательного контента в виде семантической сети, метрические и топологические характеристики которой являются параметрами управления, реализуя оптимизацию по интересующему показателю качества [299−302].

Проведение кибернетической концепции в отечественном образовательном пространстве отличалось нерегулярностью и период ее интенсивного развития в 60−70 гг. сменился заметным спадом на рубеже 70−80 гг., имевшим объективные предпосылки, среди которых можно назвать следующие. Фактически, на тот момент кибернетическая концепция в практике педагогики была представлена в виде программированного общения (Б.Ф. Скшшер [172], П. Я. Гальперин [70], В. П. Беспалько [31] и др.) и, до некоторой степени, системой обучения на основе укрупнения дидактических единиц (П.М. Эрдниев, Б. П. Эрдниев [354]). В первом случае, алгоритмическая психологическая, модель, лежащая в основе программированного обучения, существенно ограничивает его применение, поскольку реальные механизмы мышления гораздо сложнее. Во втором случае, психологическая модель, лежащая в основе укрупнения дидактических единиц, по сути, воспроизводит параллельные алгоритмы деятельности человеческого мозга, однако сами механизмы «распараллеливания» программ такого рода деятельности пока представляют нерешенную проблему итаким образом, основательная теория формирования укрупненных дидактических единиц в учебном процессе отсутствует. Поэтому в СССР на рубеже 70−80 гг. реальных основ для дальнейшего развития кибернетической концепции в образовании было недостаточно, однако имелись и более веские причины, обусловившие спад в этом направлении. Главная из них! заключалась в том, что в приведенных обоснованиях кибернетической концепции в педагогике Л. Б. Ительсона [122] и С. И. Архангельского [19] вопросы теории математического моделирования педагогических процессов, в основном, рассмотрены только частным образом и не содержится общей концепции по этим вопросам. Тем самым, основной приоритет кибернетики — оптимизация управления педагогическими процессами посредством математического моделирования не получает полного обоснования.

За рубежом в развитых странах (США, Англия, Франция, Япония и др.) такой спад не нaблюдaлcЯj поскольку с появлением компьютеров в 80-е гг. в этих странах началось интенсивное формирование образовательного киберпространства, что в педагогической психологии наметило постепенный переход от концепции бихевиоризма к концепции когнитивной психологии (Дж. Андерсон, 1983 [359]). В этот период в образовании реализуются многочисленные ИКТ-версии систем тестирования [1−201], создаются обучающие экспертные системы (ЭС) [120−272] и автоматизированные обдающие системы (АОС) в виде локальных компьютерных сетей (компьютерных классов) [152]. Дальнейшее развитие АОС представляют так называемые адаптивные обучающие системы (АдОС) [50], позволяющие в широком формате реализацию технологий личностно-ориентированной педагогики [152]. С появлением Интернет-компоненты образовательного пространства происходит активное развитие новых форм открытого образования посредством дистанционного обучения [11].

В России аналогичные процессы инициировались в 1996 г., когда в Москве состоялся Конгресс ЮНЕСКО, который ясно показал, что многие страны связывают дальнейшее развитие национальных систем образования с широкоформатным использованием дистанционных технологий обучения. Это направление получило широкую поддержку вузовской общественности России в рамках Всероссийского эксперимента в области использования ИКТ в дистанционном обучении, который проводился в 1997;2002 гг., и его результаты в июне 2002 г. коллегией Минобразования РФ оценены положительно [257]. В целом, фактор отставания России в этой области не следует расценивать только негативно, поскольку проблематика электронной педагогики далека от полного разрешения и при разработке общей теории обучения в виртуальном образовательном пространстве совершенствование зарубежного опыта оказывается полезным. Это показывает, например, опыт реализации открытого образования в Саратовском государственном университете им. Н. Г. Чернышевского, начиная с 1999 г. [252−297].

Практически, одновременно с появлением ЭВМ в середине прошлого века в кибернетике выделилось отдельное направление, получившее название «искусственный интеллект» (ИИ), которое обозначило в качестве проблематики моделирование процессов человеческого мышления при разрешении поставленных задач. Естественно, это направление было исторически подготовлено и опиралось на формальную логику Аристотеля, алгебру Дж. Буля и представление об алгоритме А. М. Тьюринга [188]. В отечественной науке в русле ИИ-концепции проводилась разработка теории обучающихся систем, как систем способных с течением времени улучшать свои показатели (Я.З. Цыпкин, 1970, [344]). Затем в 80-е гг последовала «эпоха» ЭС и, хотя одна из первых ЭС предназначалась для обучения географии, тем не менее, в образовании данная ИКТ не нашла пока широкого применения, главным образом, из-за высокой трудоемкости и стоимости создания соответствующих программ [272]. Впрочем, этот аргумент представляется дискуссионным и зависит от масштабного фактора, и, например, опыт Ярославского педуниверситета при подготовке студентов демонстрирует успешную (и экономически приемлемую) реализацию лабораторного практикума по численным методам в математике, используя, фактически, в качестве ЭС графический калькулятор CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS (B.B. Боргун, Е. И. Смирнов,[46]).

Со временем, ИИ-направление приобрело междисциплинарный характер и сейчас в значительной степени опирается на ¦1 данные нейрофизиологии, биохимии, когнитивной и гештальт-психологии, а также нелинейной динамики и теории функциональных систем, так, что сейчас о нем больше говорят как о нейронауке (или нейродинамике). И, хотя природа человеческого мышления как объект исследования рассматривается с античных времен, тем не менее, пока бесспорно одно — процессы мышления генерируются только при наличии соответствующего опыта, а потому одна из главных ролей в них отводится организации информационной памяти. С развитием нейрофизиологии и гештальт-психологии, природа такой организации к середине XX в., более-менее, стала проясняться в работах Д. Хебба [183−372], который показал, что организация долговременной памяти в мозге связана с образованием замкнутых нейронных цепей и при неоднократном возбуждении нейронов этой цепи последняя стабилизируется, принимая устойчивую нейросетевую конфигурацию (гештальт), сохраняющую соответствующую информацию. Воздействие на любой нейрон этой конфигурации приводит ее в возбужденное состояние и, таким образом, необходимая, информация извлекается из памяти.

Машинный вариант механизма памяти по Хеббу связан с реализацией так называемых параллельных алгоритмов обработки информации и, судя по всему, пока представляет весьма сложную задачу [58- 177]. По-видимому, Природе в ходе эволюции удалось найти очень удачное решение этой задачи, которое пока ускользает от исследователей, но ставки достаточно высоки, поскольку обеспечивают выход на исключительно эффективные алгоритмы обучения. Пока на этом пути созданы сравнительно простые нейросетевые алгоритмы обучения, поколение которых начинается с перцептрона Ф. Розенблатта (1958) [377] и его последующих обобщений [241]. В отечественном образовательном пространстве это направление известно пионерскими работами М. М. Бонгарда (60-е гг. XX в.), проводившего в обучении ту линию, которая в ИИ* известна как распознавание образов. По Бонгарду, всякий учебный процесс (будь то традиционное обучение или обучение искусственного интеллекта) сводится к последовательному и целенаправленному распознаванию образов учебной информации. Таким образом, моделируя деятельность мозга в. рамках простейших нейросетевых моделей (вроде перцептрона Ф. Розенблатта), реализованы программы «Арифметика» (распознавание числовых таблиц, построенных по разным арифметическим законам) и «Геометрия» (распознавание геометрических образов в виде биполярных клеток) [45]. Наиболее популярной математической моделью нейросетевого обучения в настоящее время является сеть Хопфилда, элементы которой моделируются нейронами Мак-КаллокаПиттса [58−177−373]. «Обучение» в этом случае представляет нелинейный процесс в толерантном пространстве с аттрактором цели и использует механизмы организации долговременной памяти, установленные Д. Хеббом.

По сути, модель Хопфилда реализует процедуру обучения системы с ассоциативной памятью и важно подчеркнуть, что учебный процесс в такой «нейросетевой педагогике» реализует «обучение» некоторой компьютерной программы. Естественно, при этом рамки традиционной педагогики расширяются, охватывая обучение не только homo sapiens, но также систем с искусственным разумом. В принципе, подобный сценарий уже реализуется, например, в системах экстренного ситуационного управления, банковских операциях, медицинской диагностике [150] и, можно сказать, что первенство в этом вопросе представляется стратегически важным. Отметим, что в зарубежной литературе алгоритмы обучения нейронных сетей иногда именуют «искусственной психикой», а данное научное направление в целом — коннекционизмом [177].

В целом, отечественное образование, имея богатейшие традиции [135]- с конца 50-х гг. XX в. часто подвергалось реформированию и, нередко, происходило так, что в системе образования, говоря языком синергетики, после очередной реформы процессы самоорганизации пройти не успевали, а вновь накатывающаяся реформа попросту смывала значительную часть ранее полученного положительного опыта [247−277]. Понятно, что реформы такого масштаба имеют серьезные экономические и социальные последствия, поскольку затрагивают интересы практически всего населения. Поэтому на передний план выходит проблематика качественного прогноза, позволяющего адекватно оценить возможные последствия на моделях, которыми располагает современная отечественная наука, и, которые прошли достаточную апробацию. Например, такой прогноз, на основе нелинейной 3-параметрической модели, был реализован в 1994 г. специалистами Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН и Ярославского госуниверситета им. П. Г. Демидова при оценке последствий условий кредита Всемирного банка реконструкции и развития в размере 2 миллиардов долларов на «реструктуризацию системы образования» России. По прогнозу, условия кредита в среднесрочной перспективе явно не отвечали интересам.

России и предпочтительнее представлялся инновационный путь развития [179]. Насколько повлияли эти рекомендации на принятие решения сказать трудно, но, так или иначе, от этого кредита Всемирного банка отказались и положения «Национальной доктрины развития образования в РФ (на период 2000;2025 гг.)» [202] явно обозначают инновационную траекторию развития образования России. Оценивая в целом образовательные реформы в России [47], начатые в 90-х гг., среди положительных системных моментов можно выделить принятие необходимой законодательной базы в области образования и государственных образовательных стандартов (ГОС) [107−286], концепцию фундаментальности образования [282] и некоторые другиев отношении интеграции высшей школы, Болонского процесса и ЕГЭ оценки явно неоднозначные.

Касаясь зарубежного опыта кибернетики в педагогике, по имеющимся сведениям можно констатировать, что его первые проявления относятся к началу 60-х гг. прошлого века [370], т. е. примерно в то же время, что и в отечественной педагогической науке. Как показывает анализ, специфика зарубежного опыта кибернетики в педагогике позволяет выделить три основных направления исследований: психологические модели научения и их приложения в учебном процессеИИ-проблематика и когнитологиянейросетевые модели обучения. «Нейросетевая» педагогика, реализующая обучение системы с ассоциативной памятью, берет начало со знаменитой нейросетевой модели перцептрона Ф. Розенблатта (1958) [192−377] за которой потянулся целый «шлейф» многослойных обобщений (неокогнитрон Фукусима-Миякэ, коннектионист и т. п.) [177−241] и, на сегодняшний день, на практике часто используется нейросетевая модель Хопфилда [177−373]. Приложения психологических моделей в обучении рассматриваются в монографии известного американского специалиста по теории вероятности Ф. Мостеллера из Гарвардского университета [52], где убедительно показано, как появляется ассоциативная память у системы, воспроизводящей марковский процесс, что позволило объяснить механизм возникновения так называемых «когнитивных карт» в опытах Э. Толмена с крысами, ищущими выход из лабиринта [172−241]. В продвижении бихевиористической концепции в психологии важную роль сыграли исследования выдающегося австрийского биолога К. Лоренца (1903;1989), удостоенные Нобелевской премии по физиологии и медицине (1973) [199], который показал, что поведение живых организмов, по сути, представляет процесс адаптации с внешней средой по принципу обратной связи. Однако, наиболее важными, представляются успехи в вопросах понимания механизмов человеческого мышления, имея в виду открытие функциональной специализации полушарий головного мозга человека (Р. Сперри, Нобелевская премия, 1981, [346]) и концепцию самоорганизованной критичности [222−374−378]. Эти факты дают основания полагать, что определенные механизмы мышления следуют логике принципа дополнительности: правое полушарие формирует образ интересующей проблемы (самоорганизованная критичность), а левое полушарие идентифицирует появившийся в сознании образ как истинный или ложный (решение проблемы). Подобные механизмы вполне объясняют феномены креативной педагогики [267], а также в области искусства [101]. В педагогическом аспекте это создало прецедент в пользу того, что в 80-е гг. прошлого века достаточно обстоятельно начала обсуждаться проблематика дополнительности методов обучения и на сегодняшний день логика принципа дополнительности присутствует в системе основных дидактических принципов [354].

В области когнитивной психологии заметную роль сыграли работы профессора Гарвардского университета Дж. Андерсона, который, одним из первых, выдвинул тезис о том, что в науке о мышлении центральной является проблема обучения и приобретения знаний. Исходя из этого, Андерсон в книге «Архитектура познания» (1983) выступил с новой теорией обучения, которая известна как теория ACT [359]. В модели ACT обучение разбивается на два этапа — декларативный и процедурный, в зависимости от состояния знаний. Переход с одного этапа на другой происходит с помощью механизма компиляции знанийдальнейший процесс обучения осуществляется за счет механизма координации знаний. Представление о современном состоянии ИИ-области и когнитологии достаточно подробно дается в монографиях японских специалистов, где рассмотрены вопросы обработки знаний [215]- представления и утилизации знаний [239], приобретения знаний в диалоге (экспертные системы), обучения путем распознавания образов, а также теории индуктивных выводов и аналогии (вопросы эвристики) [241].

Приведенные аргументы показывают возможности кибернетики при разрешении педагогической проблематики и свидетельствуют об усилении тенденций в этом направлении. Дело в том, что кибернетика способствует развитию педагогической науки, позволяя разрешать возникающие противоречия между ее содержанием и формой не только посредством опыта, но и в рамках категории морфизма, путем моделирования и оптимизации педагогических процессов. Конечно, кибернетическая модель педагогического процесса представляет его некий аналог, однако такие модели имеют количественную интерпретацию, что дает возможность получения такой информации о педагогических явлениях, какую не дают собственные понятия педагогики, т. е. кибернетическую концепцию в педагогике следует рассматривать в логике принципа дополнительности. Поскольку управление в кибернетике — это преобразование информации в абстрактном смысле, то, следуя логике принципа дополнительности, в педагогике, таким образом, могут разрешаться противоречия самой различной природы и, в этой связи, в современном образовательном пространстве объективно имеют место следующие противоречия:

• между положением действующих ГОС ВПО-2 и проектов ФГОС ВПО-3 по направлению «Педагогическое образование», предусматривающем У при подготовке учителей по специальности 32 100.00 (50 201) профессионально направленное обучение математике, и нерешенными вопросами дидактики математического моделирования на уровне школьного обучения математике;

• между сложившейся практикой интерпретации опыта обучения математике в средней школе на уровне феноменологической теории, как это имеет место в рамках действующих РОС школьного образования 1-го поколения и проектах ФГОС 2-го поколения, и необходимостью адекватного толкования и теоретического предсказания при выборе стратегии управления процессом обучения математике в средней школе;

• между объективным процессом возрастания массивов информации, передаваемой обучаемому контингенту в процессе обучения, и директивным требованием по качеству ее усвоения за ограниченный период времени в системе образования;

• между проведением личностно-ориентированного подхода при обучении математике в школе и недостаточным уровнем проработки вопросов управления креативными процессами при обучении математике;

• между различием логических методов в математике и гуманитарных науках и необходимостью реализации эффективного обучения математике в гуманитарной области образования;

• Предметные элементы исследования. Необходимость отыскания общих путей разрешения указанных противоречий определяет проблему настоящего исследования^ которая носит многомерный характер, и ее решение, в принципе, может происходить только в рамках некоторой универсальной научной парадигмы, каковой: в данном случае выступает кибернетика. Поэтому, в целом, обозначенная проблема. формулируется в следующем виде: «Каким образом и насколько эффективно кибернетическая концепция может использоваться для управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе, обеспечивая современные требования по уровню математических’знаний и компетенций школьников?».

Актуальность, высокая практическая значимость и недостаточная разработанность указанной проблемы обусловили выбор темы настоящего диссертационного исследования: «Математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода».

Объект исследования — процесс обучения математике в полной средней школе.

Предмет исследования — методы управления когнитивными процессами учащихся при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода.

Цель исследования — на основе кибернетической концепции разработать теорию и математические модели управления когнитивными процессами учащихся при обучении математике в средней школе.

Концепция исследования — представляет разработку научных основ решения поставленной проблемы путем построения основательной теории математических моделей управления когнитивными процессами учащихся при обучении математике в средней школе, исходя из информационной сущности педагогических процессов:

1). В этом случае управление проводится путем целевого воздействия на количественный или качественный аспекты информации, реализуемой в процессе обучения математике в средней школе.

2). Модели управления когнитивными процессами учащихся путем воздействия на количественный аспект информации, реализуемой в учебном процессе, формируются на основе метрических функций. Процедура оптимизации в этом случае носит универсальный характер и названа оптимизацией 1-го рода. В ее основе лежат абстрактные количественные меры информации и управление данными процессами проводится по критерию минимума информационной энтропии.

3). Модели управления когнитивными процессами учащихся путем воздействия на качественный (семантический) аспект информации данного образовательного контента, строятся в рамках принятой когнитологической модели, представляющей систему знаний посредством неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети и процедура оптимизации в таких моделях названа оптимизацией 2-го рода: данная сеть метризуется и характеризуется системой покрытий, что позволяет ввести сетевые параметры, управляющие качественными аспектами данной системы знаний. Таким образом, выделяются классы задач сетевого управления, моделирующие формирование и освоение образовательного контента в учебном процессе:

• управление путем совершенствования аксиоматики теории;

• оптимизация дедуктивного вывода на семантических сетях;

• ранжировка значимости элементов семантической сети.

4). Оптимизация в рамках первых двух классов задач наблюдается в развитии отечественного школьного обучения геометрии, начиная со 2-ой половины XVIII в. При этом оптимизация дедуктивного вывода опирается на алгоритмический информационный подход А. Н. Колмогорова (1965), что позволяет реализовать управление качеством содержания обучения.

5). Ранжировка значимости элементов семантической сети формирует управление креативными процессами учащихся, опираясь на закономерности генезиса математикиу. Формально, творческий поиск представляется случайным процессом в информационном пространстве данной аксиоматической теории и его оптимизация по критерию значимости реализует одну из стратегий оптимального управления ветвящимся марковским процессом.

6). Построение теории математических моделей для эффективного управления когнитивными процессами в школьном обучении математике предусматривает разработку базисного комплекса математических моделей. В класс базисных моделей оптимизации 1-го рода входят: «сократовский» диалог, тестирование, классно-урочная система обучения, организация группового сотрудничества учащихся при выполнении учебной работы и процедура тематического планирования учебного процесса. В класс базисных моделей оптимизации 2-го рода, отнесены модели формирования содержания обучения, креативной педагогики и интегрированного обучения математике.

Гипотеза исследования — разработка математических моделей управления когнитивными процессами на основе кибернетической концепции представляет важный компонент повышения эффективности и качества школьного обучения математике, если:

• алгебраические модели обучения (тестирование, ЭС, классно-урочная система, АОС, АдОС и т. п.), разработаны в рамках системных дидактических принципов (целостности, развивающего обучения, наглядности и др.);

• для базисных моделей организации группового сотрудничества, на занятии (коллективно-распределенной учебной деятельности на уроке, проблемного обучения и т. п.), а также процедуры календарно-тематического планирования предметного материала в учебном процессе механизм оптимизации происходит по принципу минимизации информационной энтропии в данных процессах;

• принимается во внимание, что повышение эффективности обучения математике в средней школе путем организации группового сотрудничества на занятиях имеет ограничение сверху, уровень которого определяется онтогенетическими параметрами обучаемого контингента;

• управление качеством школьного обучения математике строится на основе контент-анализа его содержания, представленного неформальной аксиоматической теорией в виде семантической сети, топологические характеристики которой являются параметрами оптимизации качества данного математического контента (за счет выбора совершенной аксиоматики и путем минимизации длины или емкости дедуктивного вывода), при этом процесс управления вписывается в систему дидактических принципов обучения;

• управление креативными процессами при обучении математике в школе строится как оптимальное управление ветвящимся марковским процессом на основе стратегии «больших узловых точек (great main points)» или GMP-стратегии, проводимой по критерию значимости между вершинами предметной области соответствующей семантической сети, и эффективный творческий поиск исходит из достаточно значимых теоретических посылок-:

• при интегрированном обучении математике в средней школе реализация ОМР-стратегии для управления креативнымипроцессами проводится в рамках некоторой общей: методологии — (канона, центризма или морфизма), способствуяразвитию познавательных мотиваций и математическому самообразованию учащихся.

Задачи исследования — ставятся в соответствии с целью, концепцией и гипотезой исследования и сводятся к следующим:

1). На основе психологической концепции развивающего обучения Л. С. Выготского построить алгебраическую модель обучающей экспертной системы (ЭС) общего назначения;

2). Разработать программу спецкурса «Обучающие ЭС» для старших классов профильного уровня средней школы, включающего практические задания на построение и реализацию простейших программных продуктов для изучения элементов школьной программы по математике.

3). Построить базисные теоретико-информационные модели для управления когнитивными процессами, учащихся при обучениипутем воздействия на количественный аспект информации соответствующего образовательного контента в рамках оптимизации 1-го рода: л :

• модель организации эффективного группового сотрудничества, в процессе обучения, в которой оптимизация разбиения обучаемого контингента на группы проводится по принципу минимума информационной энтропии при оптимальном варианте разбиения;

• модель учебного процесса, которая определяет оптимальное распределение образовательного контента по шагам траектории обучения посредством минимизации информационной энтропии, связанной с усвоением структурированного массива знаний- ;

• провести обоснование выявленной закономерности оптимизации управления учебным процессом при организации группового сотрудничества или модульного обучения путем минимизации информационной энтропии процесса разбиения (обучаемого контингента на группы или содержания курса на модули).

4). Разработать и обосновать концепцию представления содержания обучения в рамках неформальной аксиоматической" теории в виде семантической сети, а также определить классы задач и параметры сетевой оптимизации 2-го рода, позволяющие путем воздействия на качество образовательного контента повышать эффективность учебного процесса:

• показать, что при управлении качеством содержания школьной геометрии, ее аксиоматика представляет один из параметров оптимизации;

• показать, что минимизация длины (или емкости) дедуктивного вывода является параметром оптимизации качества содержания школьной геометрии при условии, что эта процедура вписана в систему дидактических принципов процесса обучения.

5). На основе историко-математических исследований (Г.И. Глейзер [78], А. П. Юшкевич [355] и др.), анализа психологии математического творчества (Р.Декарт [92], Г. Лейбниц [117], И. Кант [125] и др.) и современных психологических теорий интеллекта (М.А.Холодная [342]- В^авег. [370] и др.), разработать математическую модель управления креативными процессами при обучении математике в средней школе, для чего следует:

• показать, что управление процессом математического творчества формируется как управление случайным процессом марковского типа, 1 и стратегия такого управления вытекает из характерной закономерности генезиса математики, по которой роль ее отдельных положений в процессе развития неодинакова и управление таким процессом реализуется по критерию значимости элементов семантической сети, представляющей ту область математики, в которой перед обучаемым поставлена проблема;

• дать обоснование критерия значимости как параметра управления креативными процессами при обучении математике в средней школе, заданного в виде отношения доминирования между вершинами предметной.

35 ¦" ¦¦ ¦.-•.: области соответствующей семантической сети, что приводит к концепции.

GMP-стратегии, по которой творческий поиск оказывается результативным, если он исходит из значимых теоретические посылок-: .

• показать, что при междисциплинарном обучении реализация GMP-стратегии управления креативным процессом проводится в рамках некоторой общей методологии (канона, центризма, морфизма и т. п.).

6). Выяснить влияние онтогенеза на управление когнитивными процессами учащихся в рамках разработанного комплекса математических моделей при обучении математике в средней школе. .

Теоретико-методологическими основами исследования являются:

• концепция структурализма в методологии науки (Ф. де Соссюр, К. Леви-Строс, М. Фуко и др.);

• концепции педагогической психологии в «классическом» варианте (К.Д.Ушинский, П. П. Блонский, М. Я. Басов, С. Л. Рубинштейн, Ж. Пиаже, Л. С. Выготский, П. ЯГальперин, А. Н-Леонтьев и др.).

• положения психофизиологии (И.М.Сеченов, В. М. Бехтерев, И. П: Павлов: теория рефлекса), гештальт-психологии (М.Вертгеймер, В. Келер й др.) и нейрофизиологии (Д.Хебб: механизмы памяти);

• функциональная концепция психологии (W. James), теория функциональных систем и метод функциональных аналогий (Э.Л.Пост, П. К. Анохин, В.Д.Шадриков);

• концепции кибернетики (Н.Винер), теории информации (К.Шеннон, Н. Рашевский, АН. Коломогоров) и синергетики (И.Р.ПригожинГ.Хакен);

• принципы образования и дидактики в Законе РФ «Об образовании» (В.П.Беспалько, В. В. Краевский, Г. Л. Луканкин, В. Л. Матросов и др.);

• личностно-ориентированная концепция образования (Б.М.Теплов, В. В. Краевский, В. В. Давьвдов, В. Д. Шадриков, И. Я. Лернер и др.);

• концепции интегрированного (междисциплинарного) образования и педагогических технологий (Ю.А.Самарин, Г. И. Беленький, В.М.Монахов);

• работы ведущих отечественных специалистов в области дидактики школьной математики (В.М.Брадис, Н. Я. Виленкин, Г. В. Дорофеев, Н. Х. Розов,.

B.Г.Болтянский, В. М. Монахов, А. Г. Мордкович, В. А. Гусев, Г. Л. Луканкин, Г. И. Саранцев, В. В. Афанасьев, В. А. Тестов, В. И. Игошин и др.);

• опыт применения кибернетики в педагогике (Л.Б.Ительсон,.

C.И.Архангельский, В. П. Беспалько, A.B. Брушлинский, Ю.К.Бабанский);

• педагогические концепции развивающего (Л.С.Выготский, Л. В. Занков, Д. Б. Эльконин, В.В.Давыдов), проблемного (С.Л.Рубинштейн, М. Н. Скаткин, М. И. Махмутов, И.Я.Лернер) и эвристического (Д. Пойа, A.B. Хуторской) обучения;

• концепции педагогики группового сотрудничества в учебном процессе (Д.Б.Эльконин, В. В. Давыдов, А. В. Петровский, Д.Б.Богоявленская);

• исследования, отражающие генезис современной электронной педагогики: классические работы по программированному обучения и АОС (В.П.Беспалько, А. Н. Леонтьев, П. Я. Гальперин, С. Осуга, В. С. Аванесов, В.А. Хлебников), системы личностно-ориентированного адаптивного обучения и Web-технологии в системах открытого образования (J.R.Anderson, Н. Д. Никандров В.Л.Матросов, Я. А. Ваграменко, И. В. Роберт, A.A. Андреев, П. Л. Брусиловский, D. Suthers, K. Nakabayashi, В. И. Солдаткин, С.А.Щенников);

• концепции фундирования и наглядного моделирования Ярославской педагогической школы в проектировании содержания и технологий обучения математике (В.Д.Шадриков, В. В. Афанасьев, Е.И.Смирнов);

• исследования в области психологии математического творчества (Аристотель, Р. Декарт, Г. Лейбниц, И. Кант, А. Пуанкаре, Ж. Адамар, Д. Пойа, Г. Биркгофф, А. Реньи, Г. И. Рузавин, В. А. Гусев, B.C. Секованов и др.);

• современные концепции интеллекта: гештальт-психологические и когнитологические теории (R.Glaser, J.R.Anderson, Б. М. Величковский, Б. Г. Ананьев, В.М.Сергеев), процессуально-деятельностный подход (Л.А.Венгер А. В .Брушлинский,), информационный подход (Э.Хант, Р. Стернберг), интеллект как форма организации ментального опыта (М.А.Холодная);

• концепция «искусственного интеллекта» (А.М.Тьюринг, Э. Пост, Н. Винер, К. Шеннон, Дж. фон Нейман, А. Н. Колмогоров, В.JI.Матросов, С. К. Клини, М. Минский, Я. З. Цыпкин, В. М. Глушков, Д. А. Поспелов и др.);

• нейронаука и эволюционная биокибернетика как концепции междисциплинарного исследования когнитивных процессов (F.Rosenblatt, М. М. Бонгард, J.J.Hopfild, В. Г. Редько, С. П. Курдюмов, Г. Г. Малинецкий и др.).

Методы педагогического исследования, используемые для решения поставленной проблемы, представляют комплекс взаимодополняющих методов, проводимых адекватно цели и задачам диссертационного исследования в рамках общелогических методов познания (сравнения, анализа, синтеза, абстракции, обобщения, индукции, дедукции, аналогии и моделирования). Комплекс теоретических методов исследования составляют: метод единства исторического и логического, аксиоматический метод, формализация (математическое моделирование), гипотетико-дедуктивный метод, а также метод восхождения от абстрактного к конкретному, за которым следует апробация теоретических результатов в предметной области исследования традиционными методами педагогической диагностики: наблюдение, экспертные оценки, тестирование и опрос. Для апробации теоретических моделей управления когнитивными процессами школьников при их обучении математике проводились прямые эксперименты в учебном процессе, достоверность результатов которых устанавливалась стандартными средствами проверки статистических гипотез (программа Statistica for Windows, V.6).

Экспериментальная база и этапы исследования. Исследования по теме диссертации проводились в 1997;2010 гг. и затронули период, когда в России проходила интеграция региональной высшей школы [62- 174]. Поэтому начинались исследования на базе физико-математического факультета Саратовского государственного педагогического института им. К. А. Федина, а после интеграции продолжились на механико-математическом факультете Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского.

На уровне школьного образования исследования-проводились в школах № 65 Волжского, № 18 Фрунзенского, № 93 Кировского и на базе МОУ «Гимназия № 5» Заводского районов г. Саратова, а также по линиям ГОУ ДНО «Саратовский институт повышения' квалификации и переподготовки работников— образования (СарИПКиПРО)» Министерства образования Саратовской областиИД1Ю СГУ, филиала Федерального центра тестирования при СГУ и Центра открытого образования СГУ.

На 1-ом этапе (1997;2002гг.) формировалась парадигма исследования, направленного на. повышение эффективности школьного математического образования. В основу был положен генетический принцип обучения математике в оригинальной трактовке, суть которой сводилась к тому, что пути совершенствования данного предмета следует искать среди закономерностей генезиса математики. Для этого проводился широкий историко-математический анализ [59−78−142−355], позволивший выявить характерную закономерность, по которой в процессе развития математики роль отдельных математических положений явно неодинакова. Трудно, например, переоценить значимость для математики таких положений, к! ак теорема Пифагора [332], теория отношений и метод исчерпывания Евдокса [142], алгоритм Евклида [204], концепциябарицентра Архимеда! [22] и, др.- которые остаются достаточно востребованными в современной математике [29−85−93−332]. Поэтому потенциал, идейсвязанных с такого рода значимыми положениями (универсумами), далеко не исчерпан и его реализация ведет к обнаружению оригинальных математических результатов. Таким образом, формируется оригинальная ОМР-стратегия управления процессами математического творчества, которая способствует развитию познавательных мотиваций учащихся в процессе школьного обучения, т.к. результативность творческого поиска в математике оказывается выше, если этот поиск проводится в виде последовательных обобщений некоторого универсума (или их комбинации). Для апробации ОМР-стратегии и выяснения особенностей методики ее реализации строилась цепочка обобщений, исходя из универсума, каковым выступила теорема о делении с остатком [315−317−323]. Результатом явилась теория так называемых реологических чисел (чисел с памятью), которые отражают свойство полугруппы идемпотентов кольца классов вычетов. Это исследование подтвердило концептуальные предпосылки ОМР-стратегии и составило содержание элективного курса «Реологические числа и их свойства» для старших классов средней школы и, в расширенной версии, для студентов — будущих учителей математики [324].

На 2-м этапе (2002;2006гг.) с целью выяснения возможностей вМР-стратегии указанный исследовательский сценарий продолжился в области комбинаторной теории домино [291−293] и, далее, поле исследований было распространено в область геометрии, где творческий поиск проводился путем последовательных обобщений от значимого положения, каковым выступала теорема Пифагора [319−321]. Результаты исследований [319−321] расширены и систематизированы в двух монографиях [312−322], которые выдержаны таким образом, что их материал служит основой для нескольких элективных курсов, как для школьников профильного математического уровня, так и для студентов математических специальностей университетов и педвузов. В монографии [312] обобщается известная задача о пифагоровых тройках, решение которой восходит к Пифагору, Платону и Евклиду [65]. В монографии [322] обобщается известная конфигурация квадратов в виде «пифагоровых штанов», используемая Евклидом при доказательстве теоремы Пифагора [204], которая определенным образом неограниченно продолжена, и в результате образуется связанная сеть квадратов, именуемая обобщенными пифагоровыми построениями (ОПП). Анализ полученных результатов обнаруживает общую характерную закономерность этих исследований, состоящую в том, что они довольно быстро (—10 шагов обобщений) приводят к оригинальным результатам достаточно высокого математического уровня и в некоторых случаях обозначают новые подходы к решению проблем современной математики. При этом, используемый математический аппарат только в отдельных случаях выходит за уровень школьного углубленного изучения математики и, хотя в процессе обобщений уровень абстракции постепенно нарастает, тем не менее, понимание и усвоение нового математического материала, привлекаемого в процессе исследования, в этом случае облегчено, поскольку его применение органично вписано в разрешение конкретной ситуации, в соответствии с постулатами концепции наглядного моделирования.

Данные результаты показали, что в рамках СМР-стратегии посредством определенной педагогической деятельности реализуется эффективное математическое образование и самообразование школьников, и конкретную причину такой эффективности можно установить, исследуя структуру математического знания, что было сделано в авторской монографии [299], где содержание рассматриваемой области математики представлено в рамках неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети. Эта сеть метризуется и характеризуется определенной системой покрытий, что позволяет определить параметры оптимизации, управляющие качественными аспектами рассматриваемой системы знаний. Установлено, что качеством системы знаний в области математики управляют два фактора: рациональный выбор системы аксиом и параметры (длина или емкость) дедуктивного вывода для элементов семантической сети, моделирующей данную систему знаний [326−327]. Как показывает исторический опыт, именно эти факторы управляют развитием школьной геометрии в отечественной дидактике на протяжении последних 250 лет, причем, закономерность такова, что в школьном обучении геометрии принципы наглядности и доступности, как правило, доминировали над принципом математической абстракции [91- 245- 299].

На 3-м этапе (2006;2010гг.) дается толкование закономерностей креативных процессов на основе ОМР-стратегии при обучении математике в школе [299−331]. Для этого между элементами семантической сети, представляющей рассматриваемую систему математических знаний, на основе их сетевых параметров вводится отношение доминирования и, таким образом, элементы сети ранжируются по значимости. Креативный поиск трактуется как случайный процесс освоения данной семантической сети и представляет неоднородный ветвящийся марковский процесс. Его особенность такова, что у элементов с большей значимостью в процессе креативного поиска вероятность перехода к новому состоянию (решение проблемы) оказывается выше, что объясняет причину эффективности GMP-стратегии при формировании математического исследования от универсума.

Обобщение GMP-стратегии на междисциплинарный уровень обучения математике исходит из общей методологии принципа П. Тейяра де Шардена: «Какой-либо феномен, точно установленный хотя бы в одном месте, в силу фундаментального единства мира, имеет повсеместные корни и всеобщее значение» [250]. Конкретно, GMP-стратегия проводилась в русле определенных концепций: канона, центризма и морфизма [313−314]. В обществоведении важнейший демократический принцип управления в рамках GMP-стратегии проводится из канона демократии, который выражает идеал справедливости принятием решения большинством голосов граждан. В рамках GMP-стратегии этот идеал аксиоматизируется и на этой основе строится формальная теория государства, которая составляет предмет современной теории кооперативных игр, а ее элементы представляют основу соответствующего школьного факультатива [218−219]. Концепция центризма в рамках GMP-стратегии реализуется в рамках архимедовой концепции барицентра по трем направлениям. Во-первых, на этой основе проводится интегрированный лабораторный практикум «Определение формул для объемов выпуклых многогранников и круглых тел методом взвешивания» для учащихся 11-х классов средней школы, в котором для определения пространственных мер геометрических объектов используются концепции механики [308]. Во-вторых, концепция барицентра в интерпретации А. Мебиуса представляет оригинальную трактовку законов популяционной генетики (Менделя, Харди-Вайнберга и др.) [29] и на этой основе проводятся интегрированные занятия на уровне школьного профильного обучения биологии. В-третьих, концепция барицентра распространяется в цветовое пространство произведений живописи и посредством современных ИКТ позволяет установить закономерности психологии восприятия живописного искусства [313−365−368] и, таким образом, реализуется один из подходов к обучению математике в гуманитарной области знаний [313−314]. Концепция морфизма в рамках междисциплинарной ОМР-стратегии проводилась в виде универсального подхода к решению текстовых задач на движение, совместно произведенную работу и заполнение резервуаров в рамках школьного факультатива по алгебре в 9-х классах [294−296]- на основе операторной версии комплексных чисел при решении задач планиметрии в 10−11 классах профильного уровня обучения математике [304]- в виде элективного курса «Задачи линейного программирования в экономике и физике» для 10−11 классов соответствующего профиля [306−307].

Полученные результаты приводят к определенной системе взглядов на процессы математического обучения с позиций кибернетики, позволяющей решать вопросы управления такими процессами путем воздействия на целевую информацию — систему математического знания [301]. Таким образом, на основе кибернетической концепции формируется общий подход к построению теории математических моделей учебных процессов, который изложен в итоговой авторской монографии [302]. При таком подходе психологическая концепция развивающего обучения Л. С. Выготского моделируется системой алгебраических автоматов, реализующей алгоритм обучающей экспертной системы (ЭС) общего назначения [298−305−318−335]. На этой основе построено содержание спецкурса «Обучающие ЭС» для старших классов профильного уровня средней школы, включая реализацию простейших программных продуктов для изучения элементов школьного курса математики.

В рамках кибернетической концепции управляющее воздействие направлено на количественный или качественный аспекты информации, реализуемой в процессе обучения, и эти аспекты являются параметрами оптимизации, Управление количественным аспектом информации в учебном процессе (оптимизация 1-го рода) строится по принципу минимизации информационной энтропии в данном процессе. Эта закономерность подтверждается экспериментами по оптимизации процесса обучения математике с помощью эффективного разбиения класса на группы для выполнения определенной коллективно-распределенной учебной деятельности, которые показали повышение показателей эффективности обучения на 27,5% -в 4-м классена 25% -в 9-м классе и на 20−25% -в 1011-х классах, на фоне слабого уменьшения этих показателей в процессе онтогенеза. Методика проведения таких педагогических измерений составила основу оригинальной информационной технологии организации эффективного группового сотрудничества в процессе обучения математике в школе [298]. Установлено, что принцип минимизации информационной энтропии также лежит в основе управления модульным обучением и процессом формирования календарно-тематического планирования содержания обучения математике [303−305−335], причем, в случае модульного обучения наблюдаются эффекты онтогенеза: оно распространено в высшей школе, однако на школьном уровне его применение ограничено.

Управление учебным процессом посредством целевого воздействия на качественный (семантический) аспект информации системы математических знаний (оптимизация 2-го рода) формируется в рамках принятой когнитологической модели (семантической сети) путем минимизации длины или емкости дедуктивного вывода элементов этой сети [299−326−327−364]. Этот критерий, как показало исследование, является необходимымдостаточность обеспечивается, если его реализация вписывается в систему дидактических принципов процесса обучения математике [299]. Управление креативными процессами по критерию значимости при обучении математике в рамках GMP-стратегии отражает психофункциональные закономерности креативного поиска в процессе математического исследования [299- 302−331−364]: значимость элемента сети растет с уменьшением логической дистанции до системы постулатов и с увеличением емкости его области.

44. доминирования (за счет роста вероятностей интуитивного и дискурсивного выводов, соответственно).

Таким образом, в процессе этапов исследования на основе принципов кибернетики, в соответствии с целью, концепцией, гипотезой и задачами диссертационного исследования, построен и апробирован базисный комплекс математических моделей, на основе которого реализуется композиционная алгебраическая структура, представляющая теорию математических моделей эффективного управления дидактическимипроцессами при обучении математике в средней школе.

Научная новизна исследования состоит в том, что с момента появления монографий «первой волны» по кибернетическим методам в педагогике [19- 122] прошло более 30 лет. Сегодня ситуация в этой области стала качественно иной и, фактически, в: данном диссертационномисследований предпринята попытка осмыслить новое положение и новые соотношения между кибернетикой и педагогикой [301 Качественной закономерностью «кибернетизации» образовательного пространства является иерархический характер этого процесса: 1-й уровень «кибернетизации» связан с насыщением образовательного пространства средствами1ИКТна 2-м уровне происходит формализация понятийно-категориального аппарата и закономерностей учебных процессов до состояния развитой теории, способной предсказывать и прогнозировать результаты этих процессовна 3-м уровне, в перспективе, обучающие нейросетевые алгоритмы мозга воплощаются в сфере педагогики.

Таким образом, «кибернетизация» образовательного пространства, фактически, представляет форму проявления принципа рефлексии, который реализует познание человеческой сути через психологию, В этом плане научная новизна исследования состоит в следующем:

• впервые, исходя из информационной сущности педагогических процессов, на основе кибернетической концепции разработан общий подход к управлению учебными процессами путем математического моделирования, позволяющий выявить, обосновать и эффективно реализовать дидактические закономерности для управления когнитивными процессами при обучении математике в средней школе, обеспечивая современные требования по уровню математических знаний и компетенций школьников;

• построена классификация моделей управления учебным процессом по информационному признаку: модели 1-го рода, если параметр управления в учебном процессе представляет количественная мера информациимодели 2-го рода, если параметр управления представляет качественный аспект информации, связанной с образовательным контентоми их комбинации;

• даны критерии управления учебным процессом по информационным признакам: для моделей 1-го рода критерий сводится к минимизации информационной энтропии данного процессадля моделей 2-го рода критерий качества связан с топологией семантической сети, представляющей данную систему знаний, и зависит от исходной системы постулатов и параметров логического вывода (длины и емкости);

• установлено, что при организации модульного обучения или группового сотрудничества в учебном процессе закономерность, управляющая повышением эффективности процесса обучения, обусловлена минимизацей информационной энтропии процесса разбиения (обучаемого контингента на группы или содержания курса на модули)',.

• впервые, на основе кибернетической концепции разработан общий подход к управлению креативными процессами при обучении математике в школе, по которому творческий поиск моделируется случайным процессом и происходит в рамках семантической сети, представляющей рассматриваемую систему знаний;

• установлено, что стратегии управления креативными процессами при обучении математике в школе опираются на универсальную закономерность математического поиска, который представляет ветвящийся марковский процесс и его оптимизация происходит по критерию значимости исходных посылок на основе СМР-стратегии:

• дано определение критерия значимости в системе математического знания как отношения доминирования между элементами соответствующей семантической сети, которое строится по двум параметрам — логической дистанции от источников (системы постулатов) и информационной емкости области доминирования элемента сети;

• показано, что ОМР-стратегия отражает психофункциональные закономерности креативного поиска в процессе решения математической задачи, поскольку значимость элемента сети растет с уменьшением логической дистанции (за счет увеличения вероятности интуитивного вывода) и с увеличением емкости его области доминирования (растет вероятность дискурсивного вывода), откуда следует дидактическая закономерность, по которой креативный поиск школьника в процессе решения математической задачи оказывается результативным, если формируется на достаточно значимом математическом основании;

• на примерах реализации математических моделей в экономике, обществоведении, искусствознании, биологии и физике показано, что в случае междисциплинарного обучения ОМР-стратегия проводится на основе некоторой общей методологии (канона, центризма, морфизма и т. п.).

Теоретическая значимость исследования определяется его вкладом в арсенал педагогической науки, который представляют следующие результаты:

• разработана теория обучающих экспертных систем, алгоритм которой построен на основе концепции развивающего обучения Л. С. Выготского и реализует режимы консультации, приобретения и контроля знаний в рамках ИКТ в процессе обучения математике в средней школе;

• установлен и построен базисный набор дидактических моделей для управления когнитивными процессами при обучении математике в школе;

• разработана концепция представления предметного содержания школьного обучения математике в виде неформальной аксиоматической теории, интерпретируемой семантической сетью;

• разработана и обоснована система критериев, управляющих повышением эффективности учебного процесса путем воздействия на содержание школьного математического образования;

• установлено, что критерии оптимизации по длине и емкости дедуктивного вывода в системе математических знаний являются компонентами, реализующими принцип наглядности, следуя формуле В. Г. Болтянского: наглядность = изоморфизм + простота;

• в рамках теории марковских процессов дано обоснование СМР-стратегии, которое опирается на представление о значимости элементов в системе математического знания и позволяет оптимизировать управление когнитивными процессами креативного поиска решения проблемы школьником в процессе обучения и самообучения;

Практическая значимость исследования оценивается показателями внедрения полученных результатов в практику отечественной системы образования, о которых конкретно будет сказано ниже. Укажем на некоторые практически значимые направления такого внедрения:

• реализация на основе данной обучающей ЭС контроля знаний школьников, для чего созданы необходимые тестовые батареи [280−333−334] и апробированы специальные алгоритмы тестирования [318] уровня знаний по математике и, таким образом, по заказу Минобразования Саратовской области в 2002 г. проводился мониторинг уровня математической подготовки выпускников начальной школы общеобразовательных учреждений области (охвачено 2262 школьника) [309]- в 2003;2006 гг. подобная технология использовалась в рамках рубежного тестирования уровня математических знаний школьников 5−8 и 10-х классов в г. Саратове, которое проводилось Центром тестирования СГУ имени Н. Г. Чернышевского [297];

• разработана и апробирована инновационная ИКТ для организации группового сотрудничества в учебном процессе [298−303−305], реализующая проведение эффективной коллективно-распределенной учебной деятельности на уроке путем создания оптимальных конфигураций творческих групп, в которых более полно реализуется творческий потенциал учащихся в рамках проблемного или эвристического обучения математике в средней школе;

• на основе авторских монографий [312−322], отражающих этап творческого развития- «новейшей истории теоремы Пифагора» на основе ОМР-стратегии, проецируется определенная учебнаядеятельность в' виде школьных элективных курсов по математике профильного уровня или в рамках личностно-ориентированного подхода (семинарские занятия или индивидуальная исследовательская работа с учащимися);

• проведение ОМР-стратегии в рамках интегрированного обучении математике [302−313−314−364] дает следующие практически значимые результаты:

— в обществоведении, когда ОМР-стратегия проводилась путем аксиоматизаций канона демократии в русле формальной теории государства [218−219], на основе которой построено содержание школьного факультатива, реализующего обучение математике в гуманитарной области знаний;

— в рамках концепции изоморфизма: в процессе обучения решению текстовых задач школьной алгебры (9 класс) [294−296], в видеоператорной версии комплексных чисел в планиметрии [304], а также при моделировании и решении задач* линейного программирования экономического [129- 165- 196] и физико-технического содержания [306−307] в профильных классах;

— на основе концепции центризма: в рамках лабораторного практикума по определению формул объемов многогранников и круглых тел путем взвешивания (11-й класс) [308]- при интерпретации законов генетики при профильном обучении биологии [29] и в психологии восприятия живописи [364−368], где показаны возможности математики в искусствознании и культурологии.

Достоверность и обоснованность получённых результатов обеспечиваются методологической аргументированностью исходных теоретических положенийвнутренней непротиворечивостью логической структуры исследованияадекватностью применяемых методов исследования цели и задачам данного исследованияпродолжительностью опытно-экспериментальной фазы исследования и статистической устойчивостью данных в независимых измерениях и опытахшироким эффективным внедрением результатов исследования в педагогический процесс начальных, средних и высших учебных заведений России.

Личный вклад автора заключается в разработке общей теории математического моделирования дидактических процессов при обучении математике в полной средней школе на основе кибернетической концепции и комплекса моделей, реализующих эффективное управление количественными и качественными аспектами образовательного контента в учебном процессе, включая интегрированное обучение.

Апробаиия и внедрение результатов исследования. Основные положения и результаты исследования представлены на: Международной электронной научной конференции «Новые технологии в образовании» (Воронеж, 2000) — ежегодных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава механико-математического факультета Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского (2001,2002) — Всероссийской научной конференции «54-е Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, 2001) — IV Международной научно-технической конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2001) — весенней математической школе «Понтрягинские чтения-ХШ» (Воронеж, 2002) — Всероссийской научно-методической конференции «Развитие тестовых технологий в России» (Москва, 2002), ПДУ-УП Колмогоровских чтениях (Ярославль, 2004,2006;2009) — VI Международной конференции по алгебре и теории чисел (Саратов, 2004) — семинаре в Институте истории естествознания и техники РАН (секция проф. С.С.ДемидоваМосква, 2005) — Поволжской региональной научно-практической конференции «Актуальные проблемы модернизации непрерывного образования» (Саратов, 2005) — Международном конгрессе по креативности и психологии искусства (Пермь, 2005) — XXIV Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов «Современные проблемы школьного и вузовского математического образования» (Саратов, 2005) — Всероссийской научной конференции «Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: состояние, перспективы» (Саранск, 2005) — XIX Конгрессе Международной ассоциации эмпирической эстетики (Авиньон, Франция, 2006) — XX Конгрессе Международной ассоциации эмпирической эстетики (Чикаго, США, 2008) — Всероссийской научной конференции «Проблемы управления в социально-экономических и технических системах» (Саратов, 2008).

Апробация результатов исследования на уровнях высшего, среднего и начального образования проводилась автором в ходе учебного процесса:

• на механико-математическом факультете СГУ им. Н. Г. Чернышевского при подготовке студентов по специальности 32 100.00 (50 201) «Математика с дополнительной специальностью», где за период 1997;2010 гг. реализовано 10 авторских учебных программ элективных курсов, в рамках которых защищено около 100 курсовых и 60 дипломных работ;

• в ГОУ ДПО «СарИПКиПРО» Министерства образования Саратовской области, где на основе авторских монографий [299−302−312−322] проводится цикл элективных курсов для учителей школ области;

• в 1998;2003 гг. на базе СШ № 65 Волжского р-на г. Саратова при апробации методики решения текстовых задач с применением элементов понятия изоморфизма на факультативных занятиях по алгебре в 9-х классах — на базе школы № 93 Кировского р-на на уроках геометрии в 11-х классах проведен цикл лабораторных работ по определению формул объемов призмы, пирамиды, конуса и шара путем взвешивания, а также практикуется элективный курс «Операторная версия комплексных чисел в планиметрии»;

• в 2001;2003 гг. на базе СШ № 18 Фрунзенского р-на при апробации тестовых батарей и отработке технологий тестирования знаний школьников по математике в 5−6-х классах;

• в 2004;2008 гг. на базе МОУ «Гимназия № 5» Заводского р-на при апробации инновационной ИКТ при организации и оптимизации группового сотрудничества в учебном процессе, которая показала увеличение показателей успеваемости по математике на 20−27,5% в 10−11 и 4-х классах;

В настоящее время результаты диссертационной работы в различных вариантах используются в образовательном процессе в Воронежском государственном педуниверситете, в Борисоглебском государственном пединституте, во Владикавказском Центре непрерывного математического образования при Институте прикладной математики и информатики ВЕД РАН и РСО-А (г. Владикавказ, Республика Северная Осетия-Алания), в Костромском госуниверситете им. Н. А. Некрасова, которые подтверждают эффективность проведения исследовательской работы студентов в рамках ОМР-стратегии и повышение оценочных показателей успеваемости обучаемого контингента на 20% за счет оптимальной организации педагогики сотрудничества в учебном процессе.

Всего по теме диссертации опубликовано 58 работ.

Основные положения. выносимые на защиту:

1). Математическая модель обучающей экспертной системы общего назначения, разработанная на основе психологической концепции развивающего обучения Л. С. Выготского с целью повышения эффективности обучения математике в средних и старших классах полной средней школы в рамках личностно-ориентированной концепции интеграции ИКТ в образовательное пространство для реализации накопленного опыта педагогики в программных продуктах при обучении в электронной среде.

2). Математическая модель организации группового сотрудничества в учебном процессе, путем управления процессом разбиения обучаемого контингента на группы по принципу минимума энтропии информации для оптимального варианта кластеризации, что обеспечивает эффективное построение коллективно-распределенной учебной деятельности на урюке, поскольку при оптимальных конфигурациях творческих групп более полно реализуется личностный потенциал учащихся в рамках проблемного или эвристического обучения математике в полной средней школе.

3). Инновационная ИКТ, созданная на основе математической модели оптимальной организации группового сотрудничества в процессе обучения математике в средней школе, которая, по измерениям времени выполнения тестовых заданий каждым учащимся, формирует интеллектуальный портрет данного контингента, позволяющий определить оптимальную групповую конфигурацию этого контингента по критерию минимума информационной энтропии, для которой наблюдается повышение показателей эффективности обучения на 27,5% -в 4-м классена 25% -в 9-м классе и на 20−25% - в 1011-х классах, на фоне слабого уменьшения показателей в онтогенезе.

4). Концепция интерпретации системы знаний в школьном обучении математике на основе неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети, позволяющей выделить классы задач оптимизации при управлении качественными аспектами содержания обучения (наглядностью, доступностью и т. п.) в целях повышения эффективности учебного процесса.

5). Критерии качества содержания системы знаний, реализуемых при обучении математике в средней школе, которые сводятся к оптимальному выбору системы аксиом и минимизации параметров дедуктивного вывода (длины или емкости) для элементов семантической сети, представляющей данную систему знаний, и отражают отечественный опыт школьного обучения геометрии за последние 250 лет в части приоритета принципов наглядности и доступности над принципом математической абстракции.

6). Теория управления креативными процессами при обучении математике в школе, которая опирается на закономерности генезиса математики, позволяя проводить ранжировку значимости элементов семантической сети, представляющей данную систему знаний, по критерию, обоснование которого дается в рамках теории марковских процессов и, таким образом, у элементов с большей значимостью в процессе креативного поиска вероятность перехода к новому состоянию (решение проблемы) оказывается выше. Это объясняет роль значимых положений математики и приводит к стратегии «больших узловых точек» (ОМР-стратегии) при оптимизации управления креативными процессами при обучении математике, которая находит отражение в современных психологических концепциях интеллекта. Проведение ОМР-стратегии в учебном процессе проецируется посредством определенной учебной деятельности, как по линии школьных элективных курсов, так и в рамках личностно-ориентированного подхода (семинарская или индивидуальная работа с учащимися), в ходе которой реализуется управление креативными процессами при обучении математике в школе,.

7). Опыт проведения ОМР-стратегии при управлении креативными процессами школьников профильного уровня обучения математике, который формировался в рамках элективных курсов и семинарских занятий на основе авторских монографий [299−302−312−322], исследований по теории реологических чисел [323−324] и теории магических квадратов из домино [291−293].

8). Опыт проведения ОМР-стратегии в рамках интегрированного обучения математике в средней школе, который опирался на общие методологические концепции (канона, морфизма и центризма), реализуемые посредством математического моделирования:

— в рамках школьного факультатива по обществознанию (профильный уровень), исходя из канона демократии, который аксиоматизируется и на этой основе строится формальная модель государства, которая реализует канал эффективного обучения математике в гуманитарной области знаний;

— в рамках концепции изоморфизма: при решении текстовых задах (9 класс) — операторной версии комплексных чисел в планиметрии, а также на примерах задач линейного программирования экономического и физико-технического содержания в соответствующих профильных классах;

— в рамках концепции центризма, позволяющей: реализовать лабораторный практикум по определению объемов многогранников и круглых тел путем взвешивания (11 класс) — дать интерпретацию законов генетики при профильном обучении биологии и результатам в области психологии живописи, демонстрируя возможности математики в сфере искусствознания и культурологии.

Струкрура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка, включающего 380 наименований источников и 8 приложений. Содержание работы изложено на 457 страницах машинописного текста (включая библиографию и приложения), в котором имеются 56 рисунков и 26 таблиц.

Выводы по главе 4.

1). Опыт собственных исследований показывает (пп.4.3−4.5), что критерий значимости (3.33), на основе которого формируется GMP-стратегия в п. 3.3.2, представляет фактор, позволяющий эффективно управлять процессом математического творчества при организации исследовательской работы в учебном процессе и, таким образом, возникают подходы к решению вопросов дидактики математического творчества. Речь идет об авторских исследованиях в области реологических чисел и их обобщений, выполненных в 1997;2000 гг. [315−317−323]- по комбинаторной теории домино, проведенных в 2001;2003 гг. [291−293]- и двух авторских монографиях (2004;2005гг.), где.

GMP-стратегия апробирована при оптимизации поисковых исследований в области алгебры и евклидовой геометрии, исходя из теоремы Пифагора.

312],[322]. Материал этих исследований в настоящее время представляет тематику спецкурсов, а также исследовательских курсовых и дипломных работ для студентов специальности 32 100.00 механико-математического факультета Саратовского госуниверситета им. Н. Г. Чернышевского [325] и в усеченной версии в виде определенной учебной деятельности проецируется на школьный профильный уровень обучения математике.

2). В рамках данных спецкурсов, следуя сценарию ОМР-стратегии, реализуется креативный процесс формирования некоторого математического исследования. Исходным пунктом такого исследования часто выступают историко-математические или олимпиадные задачи, а также математические головоломки, основу которых составляют значимые математические положения (теорема Пифагора, алгоритм Евклида и т. п.). Затем, поэтапно, формируется цепочка индуктивных обобщений с нарастающим уровнем сложности и широты, что, естественно, требует привлечения дополнительных математических знаний в рамках семинарских занятий или самостоятельной работы обучаемого контингента. Представленный опыт автора показывает, что посредством описанной исследовательской схемы, как правило, обнаруживаются значимые результаты и при этом происходит эффективное математическое обучение.

3). В рамках школьного элективного курса «Реологические числа и их свойства» (п. 4.4) исследование формируется, исходя из олимпиадной задачи, решение которой связано с теоремой о делении с остатком, т. е. с алгоритмом Евклида и, таким образом, происходит последовательное построение реологических чисел произвольной длины (5−6 класс). На более высоком уровне спирали фундирования в рамках теории чисел при подготовке будущих учителей математики реологическое число определяется из сравнения 2-й степени так, что их классы в соответствующем кольце классов вычетов являются идемпотентами. На дальнейших этапах обобщений удается показать алгебраическую конструкцию многочлена, не обладающего однозначным разложением на множители, вследствие свойств кольца, не являющегося областью целостности и, таким образом, аудитория, довольно быстро, подводится к неординарным объектам современной алгебры. К этому добавим, что К. А. Родосский [255], исходя из процедуры алгоритма Евклида, построил общую теорию нормированных колец и, более того, имеет место глубокая связь между алгоритмом Евклида и теоремой Пифагора.

4). ОМР-стратегия при проведении спецкурса «Магические квадраты из домино (МКД) и их построение» (п. 4.5) исходит из канона классических магических квадратов (МК). Однако, по сравнению с МК, комбинаторные проблемы, возникающие при построении МКД, сильно отличаются: если для МК фиксированного размера магическая сумма постоянна, то дляМКДона таковой не является и, кроме того, у МКД появляется эффект изомерии по укладкам фишек домино в виде квадрата. Более тонкие исследованияМКД обнаруживают симметрию по магической сумме и для перечисления всех МКД достаточно построить МКД с магической суммой12 (для 4×4-МКД) и 18 (для бхб-МКД), из которых остальные МКД получаются процедурой сдвига. Отметим, что построение МКД связано с реализацией нестандартных приемов комбинаторной математики, до которых сложно догадаться, но они просты по сути и, поэтому многие элементы комбинаторной теорией МКД доступны на, школьном уровне. Другая особенность связана с тем, что в рамках исследований МКД возникает довольно много алгоритмических задач, которые выносились на уровень курсовых и дипломных работ. В частности, удалось перечислить все 4×4-МКД (их оказалось 957 078) — провести подобное прямое компьютерное моделирование для бхб-МКД в реальное время пока не удается, правда, перечислены все укладки (их оказалось 930).

5). ОМР-стратегия, исходящая из задачи о пифагоровых тройках (п. 4.3.1), путем анализа решений Пифагора, Платона и Евклида приводит к изящной пространственной интерпретации: пифагоровы тройки определяются на поверхности прямого кругового конуса с помощью некоторого семейства параболических сечений, порождающего на поверхности конуса неортогональную сеть, узлы которой определяют координаты, пифагоровых троек. С другой стороны, используя свойства поля комплексных чисел, обнаруживается оригинальный геометрический способ решения задачи Пифагора в виде определенной процедуры построений циркулем и линейкой, отличный от построений древних греков. Отметим, что данные приемы решения задачи Пифагора не выходят за пределы профильного уровня школьной математики, а потому по данной тематике школьниками были сделаны научные сообщения на математических конференциях.

6). Дальнейшие пути обобщения задачи Пифагора исходили из того, что задача о пифагоровых тройках эквивалентна задаче по определению примитивных пар взаимно простых чисел разной четности. Стандартная процедура определения примитивных пар с помощью алгоритма Евклида представляется громоздкой для ее реализации в виде рекурсии, позволяющей эффективное построение множества Р — всех примитивных пар. Поэтому, для указанной цели, построена специальная матричная полугруппа преобразований действующая на множестве Р, реализуя операцию 8ЬхР—>Р, которая позволяет перечислить все интересующие примитивные пары и в рамках вузовского спецкурса на данном этапе предусматривается спецсеминар по теме «Теория полугрупп». Наиболее важным фактом строения полугруппы ?? является то, что в ее структуре выделяются 3 свободные 3-порожденные подполугруппы так, что решение задачи Пифагора представляется в виде определенного трихотомического дерева. Продвижение дальше обнаруживает, что построенная полугруппа ?? имеет изоморфный образ, реализующий воздействие на взаимно простые пары одинаковой четности. Это позволяет иначе смотреть на разрешение проблемы мощности множества простых пар-близнецов [330]-[363].

6). ОМР-стратегия при проведении спецкурса «Обобщенные пифагоровы построения (1 111)» (п. 4.3.2) исходит из конфигурации квадратов в виде «пифагоровых штанов», используемой Евклидом при доказательстве теоремы Пифагора. От этой конфигурации, определенным образом, строится неограниченная взаимосвязанная сеть квадратов, представляющая так называемые «обобщенные пифагоровы построения» (ОПП), с которыми связан бесконечный планарный граф, который одновременно эйлеров и гамильтонов. На следующем этапе исследования, в сети ОПП выделяются 6 неограниченных серий квадратов и выясняется, что в каждой из них соответствующие стороны квадратов связаны линейным рекуррентным уравнением 2-го порядка. Поэтому для дальнейших исследований в рамках спецкурса предусматривается спецсеминар по теме «Линейные рекуррентные (конечно-разностные) уравнения и методы их решения» и, в частности, решение найденного уравнения интерпретируется деревом с переменной ветвистостью, которое задает фрактальную структуру с размерностью 0,9735. Кроме того, выясняется, что соответствующие вершины квадратов каждой отдельной серии располагаются на ветви гиперболы и всего в сети ОПП обнаруживается 12 гипербол, имеющих общий центр.

7). При дальнейшем обобщении ОПП рассматриваются «обощенные наполеоновы построения» (ОНП), при которых, по аналогии с евклидовой конфигурацией квадратов, исходят из конфигурации, когда на сторонах произвольного треугольника во внешнюю сторону строятся правильные треугольники. Выясняется, что при ОНП соответствующие стороны серии треугольников связаны линейным рекуррентным уравнением 2-го порядка, которое обладает вырожденным решением и, как следствие, соответствующие вершины треугольников при ОНП располагаются на прямых, пересекающихся в одной точке. Это наводит на мысль о наличии общей связи между решениями линейных рекуррентных уравнений 2-го порядка и коническими сечениями, включая вырожденные случаи, которая подтверждается и приводит к оригинальному способу рациональной параметризации конических сечений с помощью рекуррентных последовательностей, что устанавливает топологию рациональных точек данных многообразий. Из этих соображений следует еще более глубокое обобщение о наличии связи между решениями линейных рекуррентных уравнений произвольного порядка и определенным классом соответствующих алгебраических многообразий, которая определяет топологию рациональных точек в таких многообразиях.

Заключение

.

Результаты диссертационного исследования, проведенного в русле принятой концепции, позволяют обосновать правомерность гипотезы, выдвинутой для реализации поставленных целей и задач данного исследования. Таким образом, можно утверждать, что разработка математических моделей управления когнитивными процессами на основе кибернетической концепции представляет важный компонент повышения эффективности и качества школьного обучения математике. При этом представляются наиболее важными следующие моменты:

1). Процесс «кибернетизации» отечественного образовательного пространства проходил довольно нерегулярно и с момента «первой волны» исследований по кибернетическим методам в педагогике (60−80гг.) ситуация в этой области изменилась качественно и в данном диссертационном исследовании, фактически, предпринята попытка осмыслить новое положение и новые соотношения между кибернетикой и педагогикой. В частности, установлено, что одной из закономерностей процесса «кибернетизации» образовательного пространства является его иерархический характер:

• на 1-м уровне «кибернетизации» происходит насыщение образовательного пространства средствами ИКТ;

• на 2-м уровне происходит формализация понятийно-категориального аппарата и закономерностей дидактических процессов до состояния развитой теории, способной предсказывать и прогнозировать результаты этих процессов;

• на 3-м уровне, в дальней перспективе, обучающие нейросетевые алгоритмы мозга воплощаются в сфере педагогики.

2). Кибернетическая концепция способствует развитию педагогической науки, обеспечивая разрешение противоречий между ее содержанием и формой в рамках категории морфизма, путем моделирования и оптимизации педагогических процессов, особенно, когда прямой эксперимент затруднен.

Разработка математических моделей в педагогике обеспечивает ей переход с уровня феноменологической теории на логико-математический уровень развитой теории, на котором, кроме функций фиксации и систематизации знаний, появляются также функции приращения, объяснения и предсказания знаний в сфере образования. В связи с необходимостью реализации нарастающих массивов информации в образовательном пространстве этот фактор приобретает высокую значимость и на современном этапе проведение кибернетической концепции в образовательное пространство способно обеспечить качественное улучшение показателей обучения. Это означает не только повышение уровня знаний обучаемого контингента, но также приобретение им достаточных умений и навыков интерпретации этих знаний в виде математической модели, реализуемой в рамках ИКТ, способствуя развитию соответствующих компетенций в процессе образования личности.

3). Разработанная теория математических моделей для эффективного управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода исходит из информационной сущности учебных процессов, воздействие на которую реализует управление этими процессами в соответствии с поставленными целями. Целевое воздействие может проводиться на количественный или качественный аспекты информации, реализуемой в данном учебном процессе, на основе которых формируются модели и проводится управление соответствующими учебными процессами. Формально, данная теория математических моделей представляет некоторую алгебраическую структуру, порождаемую определенной системой базисных моделей учебного процесса, которая, при необходимости, может пополняться.

4). Количественный аспект информации регулируется посредством метрических функций (1.5)-(1.6), определяющих количество информации и информационную энтропию. В этом случае оптимизация педагогических процессов сводится к совершенствованию их системной организации путем определения эффективной конфигурации информационных сетей и потоков в данных процессах, что равносильно минимизации информационной энтропии.

I «рассматриваемых процессов, и эта процедура условно названа оптимизацией 1-го рода. В этом классе разработан следующий базисный ряд математических моделей и ИТ:

• построены модель и алгоритм развивающего обучения Л. С. Выготского в диалоге в виде композиции абстрактных автоматов, связанных обратной связью, включая случай классно-урочной системы обучения;

• данная диалоговая модель реализована в рамках тестовых процедур контроля знаний школьников по математике на территории Саратовской области (уровень подготовки выпускников начальной школы, 2002 г.) и в рамках рубежного тестирования школьников 5−8 и 10-х классов в г. Саратове в 2003;2006 гг.

• на основе алгоритмов развивающего диалога и эффективной процедуры формирования базы знаний создана модель обучающей экспертной системы (ЭС), которая также реализуется в процессе обучения математике на уровне мини-ЭВМ;

• разработанный вариант алгебраической теории обучающих ЭС представляет основу программы семестрового спецкурса «Обучающие экспертные системы» при подготовке студентов в рамках специальности (см. Приложение 1), включающего практические задания на построение программных продуктов для изучения небольших дидактически законченных фрагментов образовательного контента с помощью мини-ЭС, запускаемых имеющимися средствами ИКТ, и, в усеченной версии, составляет программу элективного курса для учащихся 10−11-х классов физико-математического профиля обучения в средней школе (см. Приложение 2).

• построена теоретико-информационная модель управления процессом организации группового сотрудничества в процессе обучения;

• разработана и экспериментально апробирована ИТ проведения группового сотрудничества в процессе обучения, которая на уровне начального, среднего и высшего профессионального образовагия показывает повышение оценочных показателей успеваемости обучаемого контингента по математике на 27,5% -в 4-м классена 25% -в 9-м классена 20−25% - в 10−11-х классах и 20% на 1-ом курсе подготовки студентов по специальности 32 100.00, показывая слабое уменьшение показателей в процессе онтогенеза (компоненты данной ИТ приведены в Приложениях 3−5);

• построена информационная модель календарно-тематического планирования учебного процесса, в которой определено планомерное продвижение знаний в учебном процессе, реализующее оптимальное распределение и благоприятную подачу знаний по траектории обучения.

5). В ходе экспериментов подтверждена закономерность, управляющая повышением эффективности обучения путем минимизации информационной энтропии процесса разбиения (обучаемого контингента на группы, содержания предметного курса на модули или в рамках календарно-тематического планирования). В рамках данной модели получает объяснение известный факт повышения успеваемости в классе за счет оптимальной рассадки учеников на уроке. Этот метод полезно использовать, например, при организации проблемного или эвристического обучения, когда перед каждой коалицией в оптимальном разбиении ставится конкретная задача креативного характера (см. п. 4.2, рис. 4.1).

6). Семантический (качественный) аспект информации в обучении определяет его содержание и при реализации ИТ управление этим аспектом проводится в рамках принятой модели представления знаний, а процедура оптимизации учебных процессов путем воздействия на качественные характеристики информации, реализуемой в данных процессах, условно названа оптимизацией 2-го рода. Для этого разработана и обоснована модель представления содержания образования (знаний) в рамках неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети.

7). Данная сеть определенным образом метризуется и снабжается системой покрытий, что позволяет ввести необходимые сетевые параметры оптимизации и, таким образом, выделяются следующие классы задач:

• оптимизация путем воздействия на источники семантической сети (совершенствование аксиоматики теории);

• оптимизация дедуктивного вывода на семантических сетях, которая сводится к минимизации его длины или емкости, и, обычно, благоприятствует эффективной реализации дидактических принципов в учебном процессе;

• ранжировка значимости элементов семантической сети, которая исходит из анализа закономерностей генезиса математики, откуда видно, что роль отдельных положений аксиоматической теории при ее развитии явно неодинакова и этот фактор является важным при формировании эффективных стратегий креативного поиска.

8). Эффективность управления содержанием образования путем усовершенствования исходных принципов (аксиоматики теории) продемонстрирована на примерах:

• из обществоведения, рассматривая российское и советское конституционное законодательство в XX в., набор положений (т.е. аксиоматика) которого de jure определяет modus vivendi соответствующего государства, и анализ хронологии и причинно-следственных связей при изменении данного документа обеспечивает системность и объективность оценки происходящих исторических процессов, представляя важный канал интеграции математики при изучении общественных дисциплин;

• из евклидовой геометрии, аксиоматика которой совершенствуется, фактически, с момента появления «Начал» Евклида, и при этом наблюдается эффективное воздействие на изложение и обучение геометрии в целом, что равносильно улучшению условий для реализации соответствующих дидактических принципов.

9). Процедура оптимизации дедуктивного вывода на семантических сетях продемонстрирована на примере анализа доказательств теоремы.

392 4.

Пифагора в отечественном школьном преподавании геометрии за период 1768—2000 гг., откуда видно, что постепенно эти доказательства приняли вид, который лучше отвечает дидактическим принципам наглядности и доступности, что конкретно выразилось в сокращении длины и емкости таких доказательств.

10). Процедура ранжировки значимости вершин семантической сети представляет собой некоторое отношение доминирования по Парето между элементами аксиоматической теории и позволяет реализовать оптимизацию индуктивного вывода в рамках креативных процессов. Обоснование этой процедуры дается на языке теории случайных процессов и, таким образом, вопросы оптимизации креативного поиска сводятся к управлению некоторым случайным процессом, который представляет этот поиск при «освоении» рассматриваемой семантической сети. Установлено, что стратегии управления креативными процессами при обучении математике в школе опираются на универсальную закономерность математического исследования, реализация которого представляет ветвящийся марковский процесс.

11). Из этих соображений удается показать, что более значимые положения теории имеют более высокие вероятности переходов, т. е. вероятность результативного индуктивного вывода в этом случае выше. Отсюда следует эффективная стратегия креативного поиска в математическом исследовании — стратегия «больших узловых точек» (great main points) семантической сети или GMP-стратегия, предполагающая исследование, формируемое из достаточно значимых элементов данной сети. Это находит подтверждение в современных психологических концепциях в области теории интеллекта [342−370] и позволяет разработать математическую модель для управления креативными процессами при обучении математике в средней школе.

12). Критерий значимости в системе математического знания в рамках GMP-стратегии строится по двум сетевым параметрам — логической дистанции от источников сети (системы постулатов) и информационной емкости области доминирования элемента сети, что отражает психофункциональные закономерности креативного поиска в процессе решения математической задачи, поскольку значимость элемента сети растет с уменьшением логической дистанции (за счет увеличения вероятности интуитивного вывода) и с увеличением емкости его области доминирования (растет вероятность дискурсивного вывода). Таким образом, в рамках вМР-стратегии установлена закономерность, по которой креативный поиск школьника в процессе решения поставленной математической задачи оказывается результативным, если строится на достаточно значимом математическом основании.

13). Убедительным независимым свидетельством эффективности ОМР-стратегии в математическом исследовании является успех в разрешении известных математических проблем, поставленных Д. Гильбертом в 1900 г.

14). ОМР-стратегия практикуется в авторских спецкурсах для студентов специальности 32 100.00, которые в усеченной версии в форме определенной учебной деятельности представлены на школьном профильном уровне обучения математике:

• «Реологические числа и их свойства», где ОМР-стратегия исходит из обобщения алгоритма Евклида;

• «Магические квадраты из домино», где ОМР-стратегия представляет обобщение классических магических квадратов.

15). В рамках ОМР-стратегии выдержаны две авторские монографии, ориентированные на школьников, студентов и учителей математики:

• «Нетрадиционные геометрические интерпретации, полугрупповая теория и генеалогия пифагоровых троек», исходя из обобщения задачи Пифагора;

• «Рекуррентные последовательности, фрактальные иерархические структуры и конические сечения при конструктивных обобщениях теоремы Пифагора».

16). Показано, что проведение ОМР-стратегии при междисциплинарном исследовании выражается в рамках некоторой общей научной концепции:

• в теории государства одна из таких концепций связана с каноном демократии, по которому принцип социальной справедливости реализуется процедурой принятия решения большинством голосов, и, сравнительно просто, поддается аксиоматизации так, что на сегодняшний день мы имеем вариант междисциплинарной ОМР-стратегии, известный как теория кооперативных игр;

• продемонстрированы три варианта реализации концепции изоморфизма на междисциплинарном уровне обучения, когда ОМР-стратегия проводится при решении текстовых задач школьной алгебры в рамках факультативных занятий (Приложение 6) — в виде операторной версии комплексных чисел в планиметрии в рамках элективного курса профильного обучения (Приложение 7) — а также в виде задач линейного программирования и его обобщений в рамках дисциплины по выбору для студентов специальности 32 100.00 (Приложение 8).

17). Особенно эффективно междисциплинарные ОМР-стратегии в обучении проводятся посредством концепции центризма, имея в виду архимедово представление о барицентре (центре тяжести), которое реализуется следующим образом:

• при определении объемов школьных многогранников и круглых тел с помощью взвешивания в рамках лабораторного занятия по геометрии;

• при интерпретации законов популяционной генетики в рамках элективного курса школьной биологии профильного уровня ;

• при проведении концепции колориметрического барицентра, когда механическое представление о центре тяжести, определенным образом, распространяется в цветовое пространство живописного образа и, затем, посредством компьютерной программы, исследуются феномены психологии творчества и восприятия живописных произведений, что демонстрирует один из подходов к преподаванию математики в гуманитарной области.

Приведенные результаты диссертационного исследования в рамках принятой концепции демонстрируют решение поставленных задач и подтверждают правомерность принятой гипотезы исследования. Естественно, выполненное исследование не исчерпывает всех аспектов проблемы, сформулированной в данной диссертационной работе. Среди перспективных проблем, по прежнему, остаются проблемы эффективной интеграции ИКТ в образовательное пространство особенно, если учесть, что прогресс в области ИКТ сильно опережает темпы их внедрения в педагогические процессы. Далека от разрешения проблематика параллельных алгоритмов в обучении, начатая в свое время П. М. Эрдниевым в концепции укрупнения дидактических единиц. И, наконец, имеется достаточно незавершенных идей в области междисциплинарного проведения ОМР-стратегии.