Свойства пределов функции

1. Предел постоянной равен самой этой постоянной.

Свойство следует из первого определения предела функции. В самом деле, пусть тогда для любой последовательности значений аргумента, функциональная последовательность, то есть все ее элементы равны c. Очевидно .

2. Предел суммы двух функций равен сумме их пределов, другими словами, если существую пределы, , то.

.

Доказательство. Из леммы следует.

.

где бесконечно малые при. Суммируем два полученных из леммы равенства.

.

но подчеркнутые члены являются бесконечно малой как сумма бесконечно малых. Следовательно, левая часть формулы отличается от на бесконечно малую. Из той же леммы следует.

.

что требовалось доказать.

3. Предел произведения равен произведению пределов, то есть при существовании пределов, имеет место.

.

Доказательство. Из леммы имеем.

.

Перемножаем левые и правые части равенств.

.

Из свойств бесконечно малых следует, что подчеркнутое выражение является бесконечно малой, откуда имеем.

.

.

если пределы числителя и знаменателя существуют и (без доказательства).

5. Постоянную можно выносить из-под знака предела. Это утверждение следует из свойства 3.

6. Если в окрестности предельной точки, то .

Доказательство. Рассмотрим функцию. Она положительна в окрестности предельной точки. Следовательно, ее предел не может быть отрицательной величиной, тогда.

.

7. Если, причем, то .

Доказательство. Переходим к пределу в двойном неравенстве с учетом предыдущего свойства. Очевидно,. С другой стороны,. Выполнение обоих неравенств возможно лишь при. Это правило иногда называют «правилом двух полицейских», суть которого в следующем. Если вас ведут под руки двое полицейских и идут они в участок, то вы окажетесь там же.