Моделирование дифференциальной системы с возмущениями в виде ФБД и оценка состояний дифференциальной системы на основе фильтрации Калмана-Бьюси

Рассмотрим следующую дифференциальную систему:

в которой, ,, (такая система описывает процесс Орнштейна-Уленбека). — стандартные процессы фрактального броуновского движения., являются независимыми.

Для решения системы (23) перейдем от дифференциалов к конечным разностям:

Здесь , — фрактальный гауссовский шум.

.

, — независимые.

Рассчитаем получившуюся рекуррентную формулу (24) при следующих данных:, ,, , .

Для получаем:

Для получаем:

Задача фильтрации состоит в определении с.к.-оптимальной оценки процесса по наблюдениям процесса. С.к.-оптимальной оценкой является условное математическое ожидание:

.

естьалгебра, порожденная значениями процесса до текущего момента времени .

Классическая теорема Калмана-Бьюси дает уравнение, описывающее эволюцию математического ожидания в случае, когда в системе (23) вместо фрактального броуновского движения присутствуют обычные винеровские процессы.

Для рассмотренного случая процесса Орнштейна-Уленбека дифференциальное уравнение для математического ожидания имеет вид:

(25).

где .

Исследуем поведение фильтра в случае системы (23) с возмущениями в виде ФБД.

В выражении (25) перейдем от дифференциалов к конечным разностям:

. (26).

Рассчитаем значения фильтра Калмана-Бьюси вместе со значениями состояния системы (24):

:

Синим цветом нарисован график наблюдаемого процесса, черным — оцениваемого процесса, красным — оценка фильтра Калмана .

Ошибка оценки :

:

Ошибка оценки :

:

Ошибка оценки :

:

Ошибка оценки :

:

Ошибка оценки :

:

Ошибка оценки :

Как видно из представленных графиков, в случае при уменьшении фильтр Калмана дает более точные значения. В случае же этого не происходит — фильтр Калмана не дает оценки процесса с приемлемой точностью.