Некоторые распределения случайных величин

Рассмотрим наиболее часто используемые в эконометрике распределения случайных величин.

1. Дискретная случайная величина X имеет биномиальный за— кон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2,…, /я,…, п с вероятностями

где 0

/я = О, 1,…, п.

Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа X = т наступлений события Л в п независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р.

Формула (2.15) называется формулой Бернулли.

Числовые характеристики: ЩХ) = пр, ДА) = npq.

т

В частности, для частости события W в п независимых.

п

испытаниях (где X = т имеет биномиальный закон распределения с параметром р) числовые характеристики:

2. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0,1, 2,…, /я,… (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

где т = 0, 1, 2,….

Числовые характеристики: М (Х) = A, D (X) = X.

3. Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [я, />, если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т. е.

Числовые характеристики: М (Х) =, D (X) = ^ ^ .

4. Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром X, если ее плотность вероятности имеет вид:

Числовые характеристики: М (Х) = —, D{X) = .

X Х~

5. Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами, а и а², если ее плотность вероятности имеет вид :

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой (рис. 2.4). Числовые характеристики:

При изменении только параметра а нормальная кривая персмеща- ^Рис— ²⁴ ется вдоль оси Ох, при изменении только параметра а² меняется форма нормальной кривой.

Нормальный закон распределения с параметрами а = О, а² = 1, т. е. А^(0; 1), называется стандартным или нормированным.

Функция распределения случайной величины X, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф (х) по формуле:

где Ф (х)=, fg 2 dt — функция (интеграл вероятностей) Лап— V2 п

ласа, равная площади под стандартной нормальной кривой jV (0;1) на отрезке [— х, xj.

Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону:

1) Вероятность попадания случайной величины X, распределенной по нормальному закону, в интервал [х, хЦ, равна.

Х — а ха.

где /, =-, = —-.

а а.

2) Вероятность того, что отклонение случайной величины X, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит величину, А > 0 (по абсолютной величине), равна

А где / = —.

СУ Из второго свойства вытекает, в частности, правило трех сигм:

Если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и^, т. е. А'(я;а-), то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (а — За, а + За).

• 6. Непрерывная случайная величина X имеет логарифмически нормальное (сокращенно — логнормальное распределение), если ее логарифм подчинен нормальному закону.
• 7. Распределением у} (хи-квадрат) с к степенями свободы называется распределение суммы квадратов к независимых случайных величин, распределенных по стандартному нормальному закону, т. е.

где Z, (/ = 1, 2,…, к) имеет нормальное распределение N (0;1).

При к > 30 распределение случайной величины Z- ^2х² — yfak -1 близко к стандартному нормальному закону, т. е. УУ (0;1).

8. Распределением Стьюдента (или t-распределением) называется распределение случайной величины

где Z — случайная величина, распределенная по стандартному нормальному закону, т. е. ЛГ (0;1); х² — не зависимая от Z случайная величина, имеющая х²-распределение с? степенями свободы.

При ?-«+оо /-распределение приближается к нормальному. Практически уже при ?>30 можно считать /-распределение приближенно нормальным.

9. Распределением Фишера— Снедекора (или F-распределением)

называется распределение случайной величины

где x²(^i) ^и Х²(^2) ^— случайные величины, имеющие х²-Р^ас_ пределение соответственно с к и &2 степенями свободы.