Колебания системы с двумя степенями свободы

Амплитуда колебаний такой системы является суммой относительных колебаний каждого из грузов (см. рис. 6.5). В соответствии с уравнениями, полученными выше, изменение перемещения каждого груза можно представить в виде.

Результирующее двух гармоничных колебаний с одинаковой частотой дает суммарное гармоничное колебание (при )

Результирующее двух колебаний с разными частотами дает выражение.

Два полученных сомножителя имеют разные частоты: и b₂ = (cOj — со. Д/2, т. е. колебания не будут гармоничными.

Если со, — со₂ = Дсо и Дсо 2, то частота й, Ь₂. Общую картину колебаний можно представить в виде медленных изменений амплитуды с периодом и гармонических колебаний с частотой со₂. Таким образом, система с двумя степенями свободы дает сложную картину колебаний с наличием биений (рис. 6.6), имеющих в данном примере частоту . Эта частота не зависит от амплитуды.

Рис. 6.6. Биения

Резонанс подобной системы наступает при совпадении частоты возмущающей силы с одной из частот собственных колебаний (со, или со₂). Например, для двух связанных маятников (рис. 6.5, в) зависимость изменения амплитуды любого из маятников от частоты возмущающей силы со₀ имеет два экстремальных значения амплитуды, соответствующих величинам со, и со₂.

Явление резонанса при малом значении сил трения в системе приводит к вредным вибрациям машин. Если в рассмотренной системе длина маятника /, /₉, то при со₀ = со₂ амплитуда колебаний длинного маятника (с частотой со,) близка нулю. Это явление используется в динамических демпферах (гасителях колебаний).

Например, для резкого снижения амплитуды колебаний (вибраций) подшипника вращающегося вала с частотой «П», на подшипнике крепится упругая пластина с грузом на конце. Частота собственных колебаний пластины с грузом подбирается равной величине «П». Тогда при вращении вала груз будет совершать значительные колебания, в то время как колебания подшипника резко снизятся.