Построение дублирующего портфеля в конструкции биномиальной оценки

Конструкцию биномиальной оценки реализуют две модели построения дублирующего портфеля:

• 1) копирующего портфеля (Replicating Portfolio Model) (построение портфеля-копии из акций и облигаций на рынке, денежные потоки которого копируют рассматриваемый финансовый опцион);
• 2) нейтральной к риску вероятности (которая также строится на формировании хедж-портфеля, составленного из одной акции базового рискованного актива и короткой позиции на т акций опциона).

Приведенная стоимость проекта с опционными характеристиками од инакова при использовании любой из двух моделей.

Пример 2

Рассмотрим двухиериодный европейский опцион колл с ценой исполнения 95 долл. (рис. 31.4). Возможные изменения цены — снижение или рост в первом периоде (down, up) с последующим снижением или ростом (down, down; down, up; up, down). Далее используется обозначение для роста — " и" , для снижения — " d" , для ветвей «рост, последующее падение» — " ud" , «рост и последующий рост» — «м2». Используем метод дублирующего (копирующего) портфеля для оценки опциона в узле D. Если стоимость финансового опциона больше, чем стоимость исполненного опциона колл, то принимается решение «держать колл». Выгоды копирующего портфеля на конец периода в верхнем и нижнем состояниях равны.

Рис. 31.4. Оценка опциона с объективными вероятностями.

Решая эти два уравнения для двух неизвестных величин денежных доходов, получаем.

Следовательно, приведенная стоимость копирующего портфеля в узле D равна.

Это больше, чем выгода в размере 25 долл., если мы исполним опцион в узле D. Следовательно, инвестор будет хранить опцион (исполнен будет позже). Похожие вычисления для узлов Е и F дают следующие результаты:

Метод позволяет найти учитывающую риск ставку доходности в каждом узле. Эта ставка уравнивает приведенную стоимость опциона к его ожидаемым денежным потокам, дисконтированным на учитывающую риск ставку доходности (RAR). Например, в узле D

Скорректированная на риск доходность изменяется от узла к узлу, отражая изменяющийся риск получения выгод.

Рисунок 31.5 показывает ту же оценку, но с использованием подхода нейтральной к риску вероятности. Вычисление цены опциона в узле D строится на следующих уравнениях:

Рис. 31.5. Оценка опциона по методу нейтральных к риску вероятностей.

Расхождения в оценках по двум моделям связаны с округлением. Преимущество подхода нейтральной к риску вероятности состоит в том, что нейтральные к риску вероятности остаются постоянными от узла к узлу. Следовательно, нейтральный к риску подход в вычислительном отношении более легок для реализации, чем подход копирующего портфеля. Рассмотрим оценку рискованного базового актива и опциона колл с ценой исполнения X (рис. 31.6).

Обозначения для других параметров модели: движение вверх и вниз — и и d; безрисковая ставка — ; средневзвешенная стоимость капитала — WACC. Объективные вероятности движения вверх и вниз — 0,6 и 0,4 соответственно. Приведенная стоимость (в узле F) может быть получена дисконтированием ожидаемых денежных потоков по средневзвешенной стоимости капитала следующим образом:

Нейтральные к риску вероятности ри (1 — р) получены приравниванием приведенной стоимости с вознаграждениями определенного эквивалента, которые мы дисконтировали по безрисковой ставке, следующим образом:

Рис. 31.6. Рискованный базовый актив и колл.

Затем используем уравнение узла В, чтобы найти число «безрисковых облигаций В»

Заметим, что нейтральная к риску вероятность не зависит от состояния внешней среды (узла). Это функция только безрисковой ставки и движений цены актива вверх и вниз (и и d).

Другой эффективный способ показать тот же результат, когда мы оцениваем опционы, заключается в выборе узла, скажем, узла D, чтобы найти параметры копирующего портфеля (отношение хеджа), В (число не подверженных дефолту облигаций) и стоимость колла в узле D (CD). Можно показать, что результат расчета стоимости опциона, использующий копирующий портфель, равен его нейтральной к риску стоимости.

Сначала найдем т в узле D, используя подход копирующего портфеля:

Следовательно, стоимость копирующего портфеля в узле D

Чтобы доказать, что эта стоимость дает тот же результат, что и нейтральный к риску подход, заменим величины т и В в вышеупомянутом уравнении для стоимости копирующего портфеля следующим образом:

Это доказывает, что мы получаем ту же стоимость для опциона колл, используя или нейтральный к риску подход, или подход копирующего портфеля.