Вывод уравнения неразрывности

Уравнение неразрывности потока представляет собой закон сохранения массы для элементарного объема пористой среды. Выделим мысленно в пористой среде, в которой происходит движение однородной, сжимаемой жидкости или газа объем в виде параллелепипеда с ребрами x, ?y, ?z (Рис.2). Найдем массу, которая входит в выделенный объем вдоль оси x за время t. Обозначим левую и правую грани индексами 1 и 2. Через левую грань войдет масса (u_{x)1 ?y ?z ?t, а через правую грань войдет масса (ux)2 ?y ?z ?t.}

Рис. 2 Схема элемента пласта

Тогда внутри объема останется масса равная разности этих масс d m_{x. Если расстояние между гранями Дx устремить к нулю, то эта разность преобразуется к виду:}

(1.6).

Аналогично можно найти массы, которые останутся внутри объема при движении вдоль осей y и z. Таким образом общая масса оставшаяся внутри объема равна сумме этих масс.

(1.7).

С другой стороны масса жидкости внутри порового пространства выделенного объема равна произведению плотности, пористости m и объема. Поэтому увеличение массы для бесконечно малого промежутка времени равно:

Прировняв эти массы и преобразовав полученное уравнение, получим дифференциальное уравнение неразрывности потока:

(1.9).

Первое слагаемое в этом уравнении отвечает за нестационарность движения, поэтому если это слагаемое равно нулю, то движение стационарно. Остальные слагаемые отвечают за движение вдоль соответствующих осей.

Отметим, что уравнение неразрывности потока справедливо только в том случае, если поток неразрывен, то есть в потоке нет других жидкостей или газов, а также нет источников или стоков, выделяющих или поглощающих флюид (химических реакций, фазовых превращений и т. д.). В дивергентном виде это уравнение записывается:

(1.10).

Для плоскопараллельного потока (приток к галерее).

(1.11).