Обработка результатов нескольких серий измерений

При многократных измерениях одной и той же величины получены две серии по 12 (n_j) результатов измерений в каждой. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблицах 2 и 3. Вычислить результат многократных измерений. Результат измерения следует получить с достоверностью 0,95.

Таблица 2 Результаты измерений первой серии.

Таблица 3 Результаты измерений второй серии.

Решение.

Обработку экспериментальных данных каждой из серий будем производить как для многократных измерений по пунктам 1−3 задания 2.

• 1 Обработка экспериментальных данных в первой серии.
• 1) Определяем точечные оценки результатов измерения:

и.

2) Обнаружение и исключение ошибок.

.

Задаемся доверительной вероятностью Р = 0,95, тогда: q=1-Р=0,05. По таблице (таблица В.1, /5/) находим соответствующее теоретическое значение:

н_{q =}2,688.

Так как н > н_q, то данный результат измерения Q₁₁ = 493 является ошибочным. Исключаем его из наших измерений. Повторяем вычисления по пунктам 1 и 2 для сокращенной серии результатов измерений: n=11.

и.

Теоретическое значение: н_q = 2,688. Так как н < н_q, то результаты измерения с величиной Q₃ = 487 не являются ошибочными. Все ошибки измерения исключены.

3) Проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов измерений.

Критерий 1.

d = 0,745.

Задаемся доверительной вероятностью P₁ = 0,98, тогда уровень значимости q₁ = 1-Р₁ = 0,02.

По соответствующей таблице для n=11 (/5/, таблица Г.1) определим квантили распределения d_1−0.5ql и d_0.5ql:

d_1−0.5ql = d_0,99 = 0,6675;

d_0.5ql = d_0,01 = 0,9359.

Так как d_1−0,5ql < d < d_0,5ql, гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными.

Применяя критерий 2, задаемся доверительной вероятностью Р₂ = 0,98 и для уровня значимости q₂ = 1 — Р₂ = 0,02 с учетом n = 11 определим по таблицам (приложение Г) значения m и Р*.

m = 1 и Р* = 0,98.

Для вероятности Р* = 0,98 из таблиц для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф (t) (/5/, таблица Б.1) определяем значение: t = 2,326. Рассчитываем доверительный интервал:

Е = t•S_Q

Е = 2,326 •2,212 = 4,906.

Так как ни одна разность не превосходит Е (m_э < m), то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными и закон можно признать нормальным с вероятностью Р₀ (Р₁ + Р₂ — 1). В данном случае с вероятностью Р₀ 0,96.

• 2 Обработка экспериментальных данных во второй серии.
• 1) Определяем точечные оценки результатов измерения:

и.

2) Обнаружение и исключение ошибок.

.

Задаемся доверительной вероятностью Р = 0,95, тогда: q=1-Р=0,05. По таблице (/5/, таблица В.1) находим соответствующее теоретическое значение:

н_{q =}2,387.

Так как н > н_q, то данный результат измерения Q₁₂ = 492 является ошибочным. Исключаем его из наших измерений. Повторяем вычисления по пунктам 1 и 2 для сокращенной серии результатов измерений: n=11.

и.

Теоретическое значение: н_q = 2,688. Так как н < н_q, то результаты измерения с величиной Q = 485 не являются ошибочными. Все ошибки измерения исключены.

3) Проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов измерений.

Критерий 1.

d = 0,848.

Задаемся доверительной вероятностью P₁ = 0,98, тогда уровень значимости q₁ = 1-Р₁ = 0,02. По таблицам (/5/, таблица Г.1) определяем квантили распределения для n = 11 и q₁ = 0,02:

d1−0,5ql = 0,6675 и d0,5ql = 0,9359.

Так как d_1−0,5ql < d < d_0,5ql, гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными.

Применяя критерий 2, задаемся доверительной вероятностью Р₂ = 0,98 и для уровня значимости q₂ = 1 — Р₂ = 0,02 с учетом n = 11 определим по таблицам (/5/, таблица Г.2) значения m и Р*.

m = 1 и Р* = 0,98.

Для вероятности Р* = 0,98 из таблиц для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф (t) (/5/, таблица Б.1) определяем значение: t = 2,326. Рассчитываем доверительный интервал:

Е = t•S_Q

Е = 2,326 •1,779= 4,138.

Так как ни одна разность не превосходит Е (m_э < m), то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными и закон можно признать нормальным с вероятностью Р₀ (Р₁ + Р₂ — 1). В данном случае с вероятностью Р₀ 0,96.

3 Проверка значимости различия средних арифметических серий.

Вычисляем моменты закона распределения разности:

.

G =-0,273.

.

.

Задавшись доверительной вероятностью Р = 0,95, определяем из соответствующих таблиц интегральной функции нормированного нормального распределения Ф (t) значение: t = 1,96.

t S_g = 1,96 0,856 = 1,678.

Так как |G|t· S_{g ,} то различие между средними арифметическими в сериях с доверительной вероятностью Р = 0,95 можно признать незначимым.

4 Проверка равнорассеянности результатов измерений в сериях.

Для проверки равнорассеянности результатов измерений в сериях определим значение отношения оценок дисперсий:

Задавшись доверительной вероятностью Р=0,95, определим из соответствующих таблиц значение аргумента интегральной функции распределения вероятности Фишера. При n₁=n₂=11 и доверительной вероятности Р=0,95 значение .

Т.к., то серии с доверительной вероятностью Р=0,95 считают рассеянными.

5 Совместная обработка результатов измерения обеих серий.

Т.к. серии однородны (равнорассеянны с незначимым различием средних арифметических), то все результаты измерения следует объединить в единый массив и выполнить обработку. Определим оценку результата измерения и среднего квадратического отклонения :

.

;

.

где n₁ и n₂ — числа оставшихся результатов измерений, соответственно, в 1-й и 2-й сериях после исключения ошибок.

Задавшись доверительной вероятностью Р=0,95, определим из таблиц распределения Стьюдента значение t для числа степеней свободы m.

;

.

При m=20 и доверительной вероятности Р=0,95 коэффициент Стьюдента равен:

t=2,086.

Определим доверительный интервал.

;

Таким образом, результат измерения для обеих серий можно представить следующим образом:

= 483,0± 0,9, Р = 0,95, n = 22.

Ответ: = 483,0± 0,9, Р = 0,95, n = 22.