Частотные преобразования второго рода

Частотное преобразование второго рода представляет собой преобразование, состоящее из двух операций: замены комплексной частоты р для сопротивлений исходной схемы на некоторую функцию cp (s) комплексной частоты s и умножения всех сопротивлений на некоторую функцию W (s), подобранную таким образом, чтобы получить физически осуществимые сопротивления.

Пример 177.

Преобразовать каноническую схему двухполюсника, состоящего из LC-элементов, в каноническую схему двухполюсника, состоящую из RC-элементов.

Решение. Входная проводимость LC-двухполюсника Заменим р на (p (s) = yfs и умножим результат на W (s) = 1 / Vs:

В результате получили входное сопротивление канонической схемы двухполюсника, состоящего из RC-элементов. Следовательно,.

Аналогично входное сопротивление двухполюсника из ЯС-элементов преобразуется во входную проводимость двухполюсника из LC-элементов: Y_lc(s) = VsZ_KC(Vs).

В заключение отметим, что в частном случае преобразования второго рода проводят, умножая сопротивления исходной схемы на некоторую функцию W (p), не заменяя р на cp (s).

Частотные преобразования цепей с распределенными параметрами

По отношению к цепям с распределенными параметрами частотные преобразования применяют:

• 1) для перехода от одного типа цепей к другому (например, от LC-цепей с распределенными параметрами без потерь к RC-цепям с распределенными параметрами, от LC- цепей к безындукционным KGC-цепям и т. д.);
• 2) для перехода от электрических цепей с распределенными параметрами к цепям с сосредоточенными параметрами.

Параметры однородной линии с распределенными параметрами на единицу длины обозначим следующим образом: L₀ — индуктивность; R₀ — продольное сопротивление; С₀— емкость; G₀— поперечная проводимость; I — длина линии; й₂ и /₂ — напряжение и ток в конце линии; й_г и — напряжение и ток в начале линии.

Постоянная распространения у = У (Др + pLo)(G_n + рС_п).

Волновое сопротивление Z_B = V (^o + P^)/(^o+PQ))•.

Запишем уравнение линии в А-форме:

где А = D = chyl; В = Z_Bshyl; С = shyl/Z_B.

Систему (П6.3) представим в Z-форме, имея в виду, что Z_u = Z₂₂ = = А/С = Z_BcthyZ, Z₁₂ = Z₂₁ = 1/С = Zg/shy/. В результате получим.

Обозначим L_n = IL₀; R_n = IR₀; G_n = IG₀; C_n = IC₀. Тогда.

Для LC-линии без потерь (R₀ = G₀ = 0).

Для RC-линии (L₀ = G₀ = 0).

Для безындукционной RGC-линии (L₀ = 0).

Линия LC без потерь переходит в RC-линию, а Z-матрица LC-линии преобразуется в Z-матрицу RC-линии, если в Z-матрице LC-линии положить р = Vs^/Rn / L_n и умножить ее на W (s) = ^Jr^V (L^s).

Линия с распределенными параметрами RC (L₀ = G₀ = 0) переходит в линию с распределенными параметрами LC (R₀ = G₀ = 0), если в Z-матрице LC-линии положить р = (p (s) = s²L_n/R_n и умножить ее на W (s) = sL₀/R₀.

Аналогично осуществляют переход от LC-линии без потерь к безындукционной RGC-линии и обратный переход, а также от RC-линии к RGCL-линии с потерями. Различие при этих переходах только в том, какую функцию р = (p (s) следует взять и каков должен быть множитель W (s).

Определим, как путем частотных преобразований производят переход от цепей с распределенными параметрами к цепям с сосредоточенными параметрами. С этой целью рассмотрим преобразование, которое позволит осуществить переход от безындукционной RC-цепи с распределенными параметрами к цепи с сосредоточенными параметрами, содержащими индуктивные элементы и положительные и отрицательные резисторы. Запишем выражение для Z-матрицы RC-цепи:

Подставив

и умножив полученную матрицу на W (s) = yjpC_nR_u sh^pC_nR_u, полним Z-матрицу преобразованной цепи.

Этой матрице соответствует Т-схема с сосредоточенными параметрами, изображенная на рис. П6.4 (К_п = R).

Рис. П6.4

Таким образом, при частотной подстановке (П6.5) ЯС-цепь с распределенными параметрами (L₀ = G₀ = 0) оказалась приведенной к схеме на рис. П6.4 с сосредоточенными параметрами, которая содержит индуктивные элементы и положительные и отрицательные резисторы.