Интегральные показатели качества переходного процесса

Длительность переходного процесса является не единственным показателем его качества. Применяют другие, в частности интегральные оценки качества переходного процесса. Их легче вычислять, и, кроме того, они позволяют одновременно добиться не только желаемого значения длительности переходного процесса, но и его желаемой формы.

Наиболее распространенными интегральными оценками качества переходного процесса являются интегральная квадратичная оценка (ИКОП).

и обобщенная (улучшенная) интегральная квадратичная оценка (ОБИКОП).

где Т_е — постоянная времени монотонного экстремального переходного процесса.

Подчиняя выбор параметров ИУ условию минимума этих оценок, определяют оптимальные параметры ИУ.

Из формулы (5.67) видно, что ИКОП является неотрицательной функцией тех параметров, которые влияют на относительную переходную функцию ИУ h₀(t). Минимум ИКОП /_min = 0 достигается в случае идеального переходного процесса, при котором h₀(t) = 1(f) (см. рис. 5.10)). Поскольку строгое выполнение этого равенства невозможно, оптимальными считают такие значения параметров ИУ, при которых соответствующее значение ИКОП минимально.

Для вычисления интеграла (5.67) нужно предварительно определить изображение по Лапласу относительной переходной погрешности ИУ (5.62).

Поскольку рассматриваемые ИУ обладают дробно-рациональной передаточной функцией (5.7), изображение (5.70) также является дробно-рациональным, т. е. имеет вид отношения полиномов.

где а₀, оц,…, а"; (3₀, (3),…, (3," — постоянные коэффициенты, зависящие только от параметров ИУ.

ИКОП (5.67) зависит от значений этих коэффициентов и порядка п передаточной функции ИУ. В частности:

1) если п-1 и Е (р) = ———, то.

^аоР + °Ч.

2) если п = 2 и Е (р) =-ЁоР±Р]— _х0

а₀р² + а_]р + а₂

И т.д.

Если п > 3, то подобные формулы становятся громоздкими [20].

Покажем пример расчета ИКОП. Пусть передаточная функция ИУ имеет вид.

Примечание: при вычислении изображения Е (р) по формуле (5.70) нужно обращать внимание на строгое выполнение равенства 1У_о(0) ⁼ которое может нарушаться из-за округлений при расчетах. При правильных вычислениях также должно выполняться условие / > 0.

Применяя эти формулы, можно непосредственно связать значение ИКОП с параметрами ИУ и подчинить выбор этих параметров условию минимума ИКОП. В приложении 2 показаны примеры такого расчета.

Стремление приблизить переходный процесс к идеальному скачку (за счет достижения минимального значения ИКОП) приводит к заметному перерегулированию и нежелательной колебательности оптимального переходного процесса (см. рис. 10 приложения 2). Для устранения этого недостатка применяют другие интегральные оценки качества переходного процесса, в частности обобщенную интегральную квадратичную оценку (5.68).

Функционал (5.68) отличается от обычной ИКОП (5.67) наличием дополнительного слагаемого Т/ f (dh_Q(t)/dt)²dt, величина которого тем о.

больше, чем больше скорость переходного процесса dh^(t)/dt. Поэтому, подчиняя выбор параметров ИУ условию минимума ОБИКОП, снижают эту скорость на начальном участке переходного процесса, благодаря чему устраняется отмеченный недостаток обычной ИКОП.

Глобальный минимум ОБИКОП (7obmm)mm ⁼ Т_е достигается в случае, когда фактический переходный процесс совпадает с экстремальным переходным процессом (5.69)_th₀(t) = h_0e(t). При выборе параметров ИУ по критерию минимума ОБИКОП всегда имеет место отклонение достигнутого минимального значения этой оценки Iо_Бшт^{()Т сс} глобального минимума, т. е. всегда имеет место разность 8 = /₀g_miп ^> 0. Как показал_А. А. Фель;

дбаум, соответствующий оптимальный переходный процесс /?₀(?) отличается от экстремального переходного процесса (5.69) на величину, не превышающую значения ^Ъ/Т_е, т. е.

С ростом собственной частоты ИУ со₀ величина 8 уменьшается. Поэтому, увеличивая со₀, можно сколь угодно близко приблизиться к экстремальному переходному процессу (5.69). Желаемое значение его длительности t_n = ?_пж можно обеспечить, выбирая необходимое значение постоянной времени экстремального переходного процесса Т_е. При этом можно руководствоваться приближенным соотношением f_II>K ~ Т_е 1п (1/А). Чем выше о₀, тем точнее выполняется это соотношение.

Из формулы (5.68) видно, что.

где / — обычная И КОП; 1_Х — интеграл, вычисляемый по формуле.

где go (t) = L~'{W₀(p)} — относительная весовая функция ИУ (см. (5.40)).

Из сравнения этой формулы с формулой (5.67) следует, что ОБИКОП 1_Х можно вычислять так же, как ИКОП /, по формулам (5.72)—(5.74), только вместо изображения переходной погрешности ИУ (5.70) в них нужно использовать операторную часть передаточной функции ИУ W₀(p) = G₀(p).