Расчет коэффициентов регрессии и корреляции

Задача 1. По территориям региона приводятся данные за 199X г. (см. таблицу своего варианта).

Требуется:

• 1. Построить линейное уравнение парной регрессии от .
• 2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
• 3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощьюкритерия Фишера икритерия Стьюдента.
• 4. Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума, составляющем 107% от среднего уровня.
• 5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
• 6. На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

корреляция аппроксимайия регрессия интервал.

Номер региона.	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб.,.	Среднедневная заработная плата, руб.,.

Решение.

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу D.2.

Таблица D.2.

						134,746.	— 0,746.	0,01.
						146,194.	7,806.	0,05.
						132,838.	— 4,838.	0,04.
						142,378.	— 4,378.	0,03.
						139,516.	— 6,516.	0,05.
						131,884.	12,116.	0,08.
						139,516.	20,484.	0,13.
						149,056.	— 0,056.	0,00.
						134,746.	— 9,746.	0,08.
						152,872.	10,128.	0,06.
						136,654.	— 16,65.	0,14.
						169,09.	— 7,09.	0,04.
Итого.						1709,49.		71,00.
Среднее значение.	87,08.	142,5.	12 518,58.	7697,917.		;	;	5,92.
10,696.	14,402.	;	;	;	;	;	;
114,41.	207,42.	;	;	;	;	;	;

;

.

Получено уравнение регрессии:

у = 59,37+0,954 х.

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,954 руб.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

; .

Это означает, что 67% вариации заработной платы () объясняется вариацией фактора — среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

%.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8−10%.

3. Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощьюкритерия Фишера. Фактическое значениекритерия:

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы и составляет. Так как F_факт=10,1> F_табл=4,96, то уравнение регрессии признается статистически значимым.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощьюстатистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Табличное значениекритерия для числа степеней свободы и составит .

Определим случайные ошибки, , :

Тогда.

;

;

Фактические значениястатистики превосходят табличное значение:

t_a =2,25> t_табл =2,23; t_в =3,18> t_табл =2,23; t_в =3,15> t_табл =2,23;

поэтому параметры, и не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

;

Доверительные интервалы.

59,37±56,76.

= 59,37 — 56,76 =2,61.

=59,37 + 56,76 =116,13.

=0,954±0,669.

= 0,954−0,669 = 0,285.

=0,954+0,669 = 1,623.

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры и, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т. е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

• 4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит: =87,08*1,07 = 93,18 руб., тогда прогнозное значение заработной платы составит: =59,37+0,954*93,18 =148,26 руб.
• 5. Ошибка прогноза составит:

Предельная ошибка прогноза, которая в случаев не будет превышена, составит:

.=2,23*11,74=26,18.

Доверительный интервал прогноза:

148,26±26,18.

148,26−26,18 = 122,08 руб.;

148,26+26,18 = 174,44 руб.

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным () и находится в пределах от 122,08 руб. до 174,44 руб.

6. В заключение решения задачи построим на одном графике исходные данные и теоретическую прямую (рис. D.1):