О напряженном состоянии тонкого диска с учетом зависимости предела текучести от температуры

Математическому моделированию напряженного и деформированного состояния дисков, испытывающих силовое и тепловое воздействия, посвящено значительное количество работ. Практически во всех последних публикациях учитывается зависимость параметров тел от температуры. Отметим работы [1−5], в которых изучаются задачи, близкие к задаче, рассматриваемой в данной статье.

Рассматривается тонкий круговой диск, подверженный полярно-симметричному тепловому и силовому воздействиям. Поле температур центральной части диска является однородным. На внешней границе диска задано давление и температура .

Все величины приводятся к безразмерному виду. В качестве масштаба напряжений выбран предел пластичности при начальной температуре, в качестве масштаба длины — радиус. Для безразмерных величин принято обозначение размерных величин, что не привносит путаницу, поскольку не вводятся безразмерные комплексы.

Для определения напряженного, деформированного и температурного состояния диска выбирается цилиндрическая система координат, ось которой перпендикулярна срединной поверхности диска и является осью симметрии диска. Поле температур определяется по формуле [1].

(1).

Упругое состояние Обозначим через радиусы границ области, в которой диск находится в упругом состоянии, через и — давления на этих границах. В этой области компоненты тензора напряжений определяются по формулам [1]:

(2).

где ,.

— модуль Юнга, — коэффициент линейного теплового расширения.

Упругопластическое состояние диска Задача плоского напряженного состояния идеального упругопластического тела в области пластического состояния является локально статически определимой. Поэтому, если граничные условия не содержат перемещений, то определение напряжений не зависит от деформированного состояния.

Выберем условие пластичности Треска, в котором учитывается зависимость предела пластичности от температуры. Учитывая, что напряжения являются главными, запишем это условие в виде,, где — предел пластичности при , — коэффициент, определяющий зависимость предела пластичности от температуры.

В области реализуется однородное напряженное состояние, поэтому в этой части диска при переходе в пластическое состояние будет выполняться условие; из формул (2) (полагая) следует, что это условие будет выполнено, если.

.(3).

Для диапазона давления на границе может реализоваться только режим. Учитывая (2), находим температуру, при которой на границе будет выполняться этот режим.

.(4).

Приравнивая правые части (3), (4) и учитывая (1), получим уравнение, позволяющее определить радиус диска, для которого одновременно на границах и зарождается пластическая область.

Когда и, или и, диск находится в упругом состоянии; в формулах (2) следует полагать, , .

Внутренняя пластическая область Если и, то в области диска реализуется режим полной пластичности:,. Несложно проверить, что в области из возможных режимов пластичности реализуется режим:, для которого.

.(5).

Для области, где диск находится в упругом состоянии, в формулах (2) следует полагать,. Радиус упругопластической границы определяется, например, из условия непрерывности окружного напряжения на этой границе (квадратные скобки используем для обозначения разрыва величин на границах).

. (6).

Из равенств и (6), учитывая формулы (2) и (5), определяются значения и температура, при которой на границе зарождается пластическая область.

На рис. 1 приведены графики распределения напряжений, эквивалентного напряжения для возможных режимов пластичности и годографа вектора напряжений, для следующих значений параметров: .

Рис. 1

Деформации В рамках теории пластического течения для кусочно-линейных функций пластичности определение деформаций в пластической области обсуждалось в работах [8−10], в которых объясняются разрывы радиальной и осевой компонент пластических деформаций.

Две пластические области Если, и, образуется внешняя пластическая область, в которой реализуется режим пластичности и.

.

. (7).

В области упругого состояния диска напряжения определяются по формулам (2), в которых величины и определяются из условия непрерывности напряжений на упругопластических границах и .

Второй сценарий образования пластических областей В случае, когда, при достижении температуры значения на границе зарождается внешняя пластическая область; при дальнейшем увеличении температуры происходит зарождение и расширение внутренней пластической области. Обозначим через значение температуры, при которой область диска переходит в пластическое состояние. В области напряжения определяются по формулам (7).

Если, температура, радиус упругопластической границы и величины в формулах (2) определяются из условий непрерывности напряжений на границах и .

Если, радиус упругопластической границы. В пластической области напряжения определяются по формулам (5). Радиусы упругопластических границ и определяются из условия непрерывности напряжений на этих границах.

Выводы. В работе показана правомерность использования условия пластичности Треска при решении задачи о тепловом воздействии на диск, когда учитывается зависимость предела пластичности от температуры.

Timoshenko S. R, Goodier J. N. Theory of Elasticity. New York: McGraw-Hill, 1970. 506 p.

Gamer U. Elastic-Plastic Deformation of a Centrally Heated Disk // Journal of Thermal Stresses. 1985. V. 8. pp. 41−51.

Orcan Y., Gamer U. Elastic-Plastic Deformation of a Centrally Heated Cylinder // Acta Mechanica. 1991. V. 90. pp. 61−80.

Dats E., Murashkin E. On Unsteady Heat Effect in Center of the Elastic-Plastic Disk // Lecture Notes in Engineering and Computer Science Сер. «WCE 2016 — World Congress on Engineering 2016». pp. 69−72.

Артемов М. А., Барановский Е. С. Об одном алгоритме решения задач термопластичности // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов XIV Международной научной конференции (с. Цей, 3−8 июля 2017 г.). Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2017. C. 137−138.

Полетаев Ю. В. Механизм локального разрушения зоны термического влияния сварных соединений при малоцикловом нагружении // Инженерный вестник Дона, 2011. № 4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2011/606.

Полетаев Ю.В., Полетаев В. Ю. Методика оценки склонности сварных соединений низколегированных сталей к образованию трещин при термической обработке // Инженерный вестник Дона, 2014 № 4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2014/2583.

Артемов М. А., Барановский Е. С. Математическое моделирование пластического состояния тел. Плоская деформация // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2015. № 2 (24). С. 72−87.

Артемов М. А., Барановский Е. С., Якубенко А. П. Альтернативные формы записи кусочно-линейных условий пластичности и их обобщения // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2015. № 1. С. 71−82.

Переяславская И. И., Артемов М. А., Барановский Е. С. К вопросу математического моделирования осесимметричного плоско-напряженного состояния сжимаемого упругопластического тела // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2017. № 1 (31). С. 22−39.