История возникновения натурального числа

Число, важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие число изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного с ним расширения круга вопросов, требовавшего количественного описания и исследования. На первых ступенях развития понятие число определялось потребностями счёта и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем число становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия число определяется потребностями этой науки.

Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возникло ещё в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального числа протекал в общих чертах следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлечённого числа отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озёр, в которых можно ловить рыбу, и т. д. Но в сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как, например, «три человека», «три озера» и т. д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись различные словесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки» передавалось различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались понятием («много») о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, т. е. выражалось разными словами для предметов разного рода, такими, как «толпа», «стадо», «куча» и. т. д.

Источником возникновения понятия отвлечённого числа является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»), что с несомненностью подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени число становится отвлечённым, не зависящим от качества считаемых объектов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности. Расширяющиеся потребности счёта заставили людей употреблять другие счётные эталоны, такие, как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительно больших число стала использоваться новая идея — обозначение некоторого определённого число (у большинства народов — десяти) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.

С развитием письменности возможности воспроизведения числа значительно расширились. Сначала числа стали обозначаться чёрточками на материале, служащем для записи (папирус, глиняные таблички и т. д.). Затем были введены другие знаки для больших чисел. Вавилонские клинописные обозначения числа, так же, как и сохранившиеся до наших дней «римские цифры», ясно свидетельствуют именно об этом пути формирования обозначения для числа. Шагом вперёд была индийская позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков — цифр. Таким образом, параллельно с развитием письменности понятие натурального числа закрепляется в форме слов (в устной речи) и в форме обозначения специальными знаками (в письменности).

С развитием понятия натурального числа как результата счёта предметов в обиход включаются действия над числами. Действия сложения и вычитания возникают сначала как действия над самими совокупностями в форме объединения двух совокупностей в одну и отделения части совокупности. Умножение, по-видимому, возникло в результате счёта равными частями (по два, по три и т. д.), деление — как деление совокупности на равные части. Лишь в многовековом опыте сложилось представление об отвлечённом характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы предметов, составляющих совокупности, о том, что, например, два предмета и три предмета составят пять предметов независимо от природы этих предметов. Тогда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства, создавать методы для решения задач, т. е. начинается развитие науки о числе — арифметики. В первую очередь арифметика развивается как система знаний, имеющая непосредственно прикладную направленность. Но в самом процессе развития арифметики проявляется потребность в изучении свойств чисел как таковых, в уяснении всё более сложных закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий. Начинается детализация понятия натурального числа, выделяются классы чётных и нечётных чисел, простых и составных и т. д. Изучение глубоких закономерностей в натуральном ряду числу продолжается и составляет раздел математики, носящий название чисел теория.

Натуральные числа, кроме основной функции — характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию — характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового числа (первый, второй и т. д.) тесно переплетается с понятием количественного числа (один, два и т. д.). В частности, расположение в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел является наиболее употребительным с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов).

Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах каких-либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа — с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Отчётливое определение понятия натурального числа на основе понятия множества было дано в 70-х гг. 19 в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется как-то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального числа как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на всех исторических уровнях счёт заключается в сопоставлении по одному считаемых предметов и предметов, составляющих «эталонную» совокупность (на ранних ступенях — пальцы рук и зарубки на палочке и т. д., на современном этапе — слова и знаки, обозначающие числа). Определение, данное Кантором, было отправным пунктом для обобщения понятия количеств. Число в направлении количественной характеристики бесконечных множеств.

Другое обоснование понятия натурального числа базируется на анализе отношения порядка следования, которое, как оказывается, может быть аксиоматизировано. Построенная на этом принципе система аксиом была сформулирована Дж. Пеано.

Введение

отрицательных чисел было с необходимостью вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного числа возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Возможный отрицательный ответ в задачах такого рода может быть истолкован на примерах простейших направленных величин (таких, как противоположно направленные отрезки, передвижение в направлении, противоположном выбранному, и т. д.). В задачах же, приводящихся к многократному применению действий сложения и вычитания, для решения без помощи отрицательного числа необходимо рассмотрение очень многих случаев; это может быть настолько обременительным, что теряется преимущество алгебраического решения задачи перед арифметическим. Таким образом, широкое использование алгебраических методов для решения задач весьма затруднительно без пользования отрицательного числа. В Индии ещё в 6—11 вв. отрицательные числа систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время.

В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь со времени Р. Декарта, давшего геометрическое истолкование отрицательного числа как направленных отрезков. Создание Декартом аналитической геометрии, позволившее рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, их истолкование, оказалось, по существу одинаковым.

Заключительный этап в развитии понятия число — введение комплексных чисел. Источником возникновения понятия комплексного числа явилось развитие алгебры. По-видимому, впервые идея комплексного числа возникла у итальянских математиков 16 в. (Дж. Кардано, Р. Бомбелли) в связи с открытием алгебраического решения уравнений третьей и четвёртой степеней. Известно, что уже решение квадратного уравнения иногда приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного числа, невыполнимому в области действительного числа. Но это происходит только в том случае, если уравнение не имеет действительных корней. Практическая задача, приводящаяся к решению такого квадратного уравнения, оказывается не имеющей решения. С открытием алгебраического решения уравнений третьей степени обнаружилось следующее обстоятельство. Как раз в том случае, когда все три корня уравнения являются действительными числами, по ходу вычисления, оказывается, необходимо выполнить действие извлечения квадратного корня из отрицательных числа. Возникающая при этом «мнимость» исчезает только по выполнении всех последующих действий. Это обстоятельство явилось первым стимулом к рассмотрению комплексных чисел. Однако комплексные числа и действия над ними с трудом прививались в деятельности математиков. Остатки недоверия к закономерности пользования ими отражаются в сохранившемся до наших дней термине «мнимое» число. Это недоверие рассеялось лишь после установления в конце 18 в. геометрического истолкования комплексных чисел в виде точек на плоскости и установления несомненной пользы от введения комплексных чисел в теории алгебраических уравнений, особенно после знаменитых работ К. Гаусса. Ещё до Гаусса, в работах Л. Эйлера, комплексные числа начинают играть существенную роль не только в алгебре, но и в математическом анализе. Эта роль стала исключительно большой в 19 в. в связи с развитием теории функций комплексного переменного.

Наряду с основной линией развития понятия число (натуральные числа; рациональные числа; действительные числа; комплексные числа), специфические потребности некоторых областей математики вызвали различные обобщения понятия число в существенно других направлениях.

Так, в разделах математики, связанных с теорией множеств, важную роль играют упоминавшиеся выше понятия количественных и порядковых трансфинитных чисел. В современной теории числа получили большое значение. В алгебре изучаются различные системы объектов, обладающие свойствами, в большей или меньшей степени близкими к свойствам совокупности целых или рациональных чисел — группы, кольца, поля, алгебры.