Анализ цепи во временной области

Составление уравнений состояния цепи для.

Анализ переходных процессов в цепях n-го порядка проще всего проводить по уравнениям состояния.

Уравнениями состояния называют любую систему дифференциальных уравнений, записанных в нормальной форме (форме Коши), которая описывает состояние (режим) данной цепи.

.

где.

матрица источников (воздействий);

матрица переменных состояния;

матрицы коэффициентов.

Для составляем уравнение состояния, используя метод вспомогательных источников. В исходной схеме (Рис. 1) заменяем:

L₃ — элемент источником тока ;

L₄ — элемент источником тока .

Получим схему:

Рис. 3.

Теперь рассматриваем R — цепь.

Запишем уравнения состояния для этой цепи:

С помощью метода узловых потенциалов найдём и .

Для этого преобразуем ИТ и в ИН, сложим два последовательно соединённых резистора, получим один, получим схему:

(Далее, для удобства записи, вместо, будем писать просто).

Для нахождения неизвестных узловых потенциалов, составим систему уравнений:

.

где:

G11 = 1/Rн = 1/1 = 1.

G22 = 1/R12 = 1/3 = 0,3333.

G12 = G21 = 0.

G13 = 0.

G23 = -1/R12 = -1/3 = -0,3333.

Получаем матрицу:

Решаем систему уравнений:

Получаем уравнения состояния:

Найдём характеристическое уравнение из условия:

тогда.

Получим:

Найдём корни полученного характеристического уравнения.

Получившиеся разные отрицательные корни характеристического уравнения означают, что искомая реакция будет иметь форму апериодического затухающего характера.

Общий вид решения уравнений состояния будет иметь вид:

Определим вынужденные составляющие и из уравнений состояния, приняв воздействие, тогда:

Решим полученную систему уравнений.

Домножим второе уравнение на 2 и вычтем его из первого, получим что, следовательно, подставив это значение в первое уравнение, получим что .

Поскольку требуется найти реакцию, найдём постоянные интегрирования и для второго уравнения состояния. Для этого составим систему уравнений при :

Решив данную систему, получим что:

Таким образом, выражение переходной характеристики выходной реакции будет выглядеть следующим образом:

Переходная характеристика цепи.

График переходной характеристики представлен на Рис. 5.

Рис. 5.