Определение устойчивости систем

Вариант № 1

Задание № 1.

Решить дифференциальное уравнение с использованием преобразования Лапласа и построить график решения y (t). Начальные условия нулевые. Дифференциальное уравнение:

Решение:

1) Операторная форма с учетом нулевых начальных условий имеет вид:

;

Или.

;

;

2) Применяю приемы разложения, известные из интегрального исчисления:

;

3) Для определения коэффициентов имеем тождество:

;

Если, , то имеем.

;

;

;

4) Далее строим график решения y (t):

Задание № 2.

Найти передаточную функцию объекта, дифференциальное уравнение которого имеет вид: .

Решение:

1) Операторная форма с учетом нулевых начальных условий уравнения имеет вид:

;

2) Используя определение передаточной функции, будем иметь:

;

Ответ: .

Задание № 3.

Найти передаточную функцию объекта по уравнениям входного и выходного сигнала x (t) и y (t), которые приведены в таблице:

Уравнение входного сигнала x (t).	Уравнение выходного сигнала y (t):
1(t).

Решение:

1) Используя формулы таблицы изображений находим:

;

;

2) По определению придаточной функции будем иметь:

;

;

Ответ: .

Задание № 5.

С помощью критерия устойчивости Гурвица исследовать устойчивость системы, уравнение которой имеет вид: .

Решение:

1) Операторная форма уравнения имеет вид:

);

2) Составим придаточную функцию:

;

3) Характеристическое уравнение будет иметь вид:

;

Все коэффициенты положительные. Проверяем знак минора:

;

;

;

;

Ответ: рассматриваемое САУ неустойчива.

Задание № 6.

С помощью критерия устойчивости Рауса исследовать устойчивость системы, уравнение которой имеет вид: .

Решение:

1) Характеристическое уравнение имеет вид:

;

Таблица Рауса.

№ строки.	№ столбца.
	6,2.	0,2.
	0,8.

Ответ: САУ устойчивый (первый столбец положительный).

Задание № 7.

С помощью критерия устойчивости Михайлова исследовать устойчивость системы, уравнение которой имеет вид: .

лаплас дифференциальный уравнение раус Решение:

1) Так как характеристическое уравнение замкнутой САУ имеет вид: то, представлю левую часть этого уравнения в виде функции от р:

;

2) Заменю р на јщ, где, получу уравнение комплексного вектора:

;

3) Для построения кривой Михайлова необходимо в функции D (p) заменить р на јщ и разделить D (jщ) на действительную U (щ) и мнимую V (щ) части:

;

;

4) Значения координат точек годографа Михайлова:

щ.
U (щ).												+?
V (щ).			— 22.	— 213.	— 956.	— 2995.	— 7554.	— 16 457.	— 32 248.	— 58 311.	— 98 990.	-?

Рисунок 2 Годограф Михайлова

Ответ: САУ неустойчива, т.к. годограф, описываемый концом вектора D (jщ), не начался на вещественной положительной полуоси.

Задание № 8.

Вычислить дискретную передаточную функцию (ДПФ) W (z) звена, имеющего непрерывную передаточную функцию W (p), приведенную в таблице 8, без экстраполятора и с экстраполятором на его входе для такта квантования T₀, указанного также в таблице:

Непрерывная передаточная функция звена, W (p)	Такт квантования, T0, с.
T0 = 1 с.

Решение:

1) Пусть задано апериодическое звено с параметрами:

;

2) По таблице Zпреобразований получим:

;

3) Если экстраполятор нулевого порядка, то получим:

Рисунок 3 Линейная система с экстраполятором нулевого порядка и импульсным входом и выходом: а — блок схема; б — переходные процессы в разных точках системы.

4) Воспользовавшись выражением в пункте 3 и таблицей z-преобразований, получаем:

Ответ: .

Задание № 10.

Определить устойчивость замкнутой импульсной системы регулирования, передаточная функция Ф (z) которой имеет вид: .

Решение:

1) Характеристическое уравнение имеет вид:

;

2) Найдем корни:

;

3) Модуль корней:

;

Корни характеристического уравнения, а значит система устойчива.

Ответ: Импульсная система регулирования устойчива.

Задание № 9.

Вычислить: а) z-преобразование; б) w-преобразование функции времени для такта квантования T₀ = 1с.

Решение:

a) Z — преобразование:

1) Представим 5*sin2*t в виде:

;

или.

;

2) Тогда получим.

.

b) W — преобразование.

1) Исходя из того, что получим следующее выражение:

Ответ: .; .

Список используемой литературы

• 1. Дорф, Р. Современные системы управления [Текст] / Р. Дорф, Р. Бишоп М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. 832 с.: ил.
• 2. Е. В. Лубенцова, Д. В. Болдырев Методические указания разработаны в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта в части содержания и уровня подготовки выпускников по специальности 220 301. «Автоматизация технологических процессов и производств» (химико-технологических производств), 230 201. «Информационные системы и технологии» и 140 604. «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов». 2009.