Численное решение нестационарных теплофизических задач с фазовым переходом в интервале температур

Настоящая работа посвящена разработке и применению математических моделей описывающих теплофизические процессы в металлургии и петрологии, связанные с затвердеванием расплавов в интервале температур, а также развитию математического аппарата решения возникающих задач.

Возрастающие требования к современной технологии получения металла выдвигают задачи исследования процессов затвердевания сплавов с помощью построения адекватных математических моделей [1−7,46,47,501. Следует отметить, что методы моделирования с использованием быстродействующих ЭВМ часто оказываются единственным способом определения оптимальных режимов, при которых происходит тот или иной процесс, так как возможности экспериментального изучения этих явлений ограничены методическими и техническими трудностями.

При фундаментальном теоретическом подходе к исследованию затвердевания металла требуется анализ всего комплекса происходящих процессов, т. е. следует учитывать тепловые, диффузионные и гидродинамические явления, протекающие одновременно. Однако при этом математическая модель получается сложной и трудно применимой в численных исследованиях [83. Теплофизические процессы в связанной динамической системе развиваются с неодинаковыми скоростями, т. е. характерные времена их протекания неодинаковы. Это дает возможность оценивать основные особенности изучаемых явлений и тем самым при разработке математической модели и проведении последующих расчетов учитывать только главные «движущие силы». В случае необходимости этот подход может реализовыватся не только для всего рассматриваемого временного интервала, но и для отдельных его этапов. Поэтому на практике нередко используются упрощенные варианты моделей для анализа и исследования тепловых режимов, что вполне оправдано.

При затвердевании расплавов сложного состава, т. е. переходе из жидкого состояния в твердое, ведущая роль принадлежит процессам тепломассообмена. На основе теории теплопроводности решается множество задач, основные из которых — определение динамики нарастания объема твердой фазы, продвижения фазового фронта и продолжительности процессов затвердевания.

Традиционная постановка задачи о затвердевании жидкости, сформулированная австрийским математиком Стефаном более ста лет назад 191, основана на представлении о существовании поверхности фронта кристаллизации, где выполняются следующие условия: а) кристаллизация (плавление) происходит на достаточно гладкой границе раздела фаз, определяемой уравнением)=0, которое можно переписать в виде г=Фи, у>г), <�р (*"у.о)=Ф0и, уь <�х"у, Оеа=аг-на5> где аз — области жидкого и твердого состояний веществаб) фазовый переход происходит при постоянной температуре кристаллизации т = т.

1 z кр* в) скорость движения границы раздела фаз определяется условием отвода скрытой теплоты фазового перехода дТ дТ э^р V = к — - кг —, -У 5 П 5 дп I. дп где А. — коэффициенты теплопроводности вещества в жидком и твердом состояниях, р3 — плотность твердой фазы, э^ - удельная скрытая теплота фазового перехода.

После дополнения математической формулировки задачи уравнениями нестационарной теплопроводности для жидкой и твердой фаз, соответствующими начальными и граничными условиями, можно определить закон затвердевания расплава (движение границы раздела фаз), а также распределение температурных полей в системе с течением времени.

Однако в настоящее время приближение Стефана используется при решении узкого круга задач: затвердевание чистых металлов, рост монокристаллов, кристаллизация с гладкой границей фазового перехода в контролируемых условиях.

Изучение динамики затвердевания сплавов при использовании различных экспериментальных методов позволило сделать вывод о том, что фронт кристаллизации существует в виде пространственно-распределенной двухфазной зоны и лишь в очень редких случаях как совершенно гладкая поверхность раздела фаз. Именно в переходной зоне закладываются многие структурные, химические и механические свойства металла [1,10−173. Влияние каким либо доступным способом на процессы происходящие в переходной зоне, дает возможность получения слитков или готовых изделий с наперед заданными характеристиками [48,491. Поэтому особый интерес представляет определение зависимости изменения температурных полей от типа сплава, начальных условий заливки и внешних условий охлаждения во время процесса затвердевания.

Формирование слитка обусловливается совместным протеканием процессов затвердевания и кристаллизации, которые являются двумя неразрывными сторонами сложного процесса перехода расплава из жидкого состяния в твердое. Кристаллизацией называется процесс формирования структуры металла с учетом всех сопровождающих его явлений. Под затвердеванием понимают процессы теплопереноса в условиях фазового превращения. В любой момент затвердевание и кристаллиза-зация характеризуются одщой и той же скорость протекания, но роль их в процессе перехода из жидкого состояния в твердое неодинакова. Процесс кристаллизации связан условиями возникновения и роста кристаллических зародышей, а процесс затвердевания, связанный прежде всего с теплоотводом, определяет окончательное формирование. твердой фазы слитка ?181.

Таким образом, теплоперенос в условиях фазового превращения определяет обе стороны процесса перехода металла из жидкого состояния в твердое. Тепловые условия в слитке (в частности температурное поле) являются главными факторами.

Процесс затвердевания, связанный с теплоотводом, определяется теплофизическими свойствами расплава: теплопроводностью, теплоемкостью и скрытой теплотой кристаллизации. Скрытая теплота кристаллизации физически соответствует энергии, которую необходимо отвести от металла при переходе от неупорядоченной структуры жидкости к упорядоченной структуре твердой фазы. При этом энергия тепловых колебаний атомов не изменяется, что и соответствует постоянству температуры при этом переходе. Затвердевание сплавов происходит в интервале температур ликвидуса и солидуса Эти температуры определяются диаграммой состояния сплавов. Скрытая теплота кристаллизации выделяется в пределах двухфазной зоны в интервале.

В последнее время для решения задач затвердевания металлических сплавов широко и наиболее успешно используется теория «квазиравновесной» двухфазной зоны, предложенная и развитая В. Т. Борисовым ?19−223. Эта теория не учитывает концентрационное (или диффузионное) переохлаждение расплава. Так как его величины в реальных условиях малы (по результатам экспериментов не более 1°), при математическом моделировании этим параметром можно пренебречь. В указанной теории выявлена высокая скорость роста твердой фазы при малых отклонениях от равновесных условий. Это позволяет предполагать, что в каждом элементарном объеме двухфазной области жидкость и твердая фаза находятся в равновесии, а концентрация жидкости связана с температурой условием равновесия, т. е. уравнением линии ликвидуса расплава: где С — концентация растворенного элемента.

В систему уравнений теории квазиравновесной двухфазной зоны входят уравнения теплопроводности и переноса массы в жидкой части двухфазной области. Решение этой системы в соответствии с началь-начальными и граничными условиями позволяет с достаточно высокой точностью определить температурное поле в слитке, поле концентраций и объемной доли жидкой фазы.

Ввиду малой диффузионной подвижности компонентов в твердой фазе, распределение вещества в растущих кристаллах неоднородно и полное равновесие в системе не достигается. Считается, что оно имеет место только на фазовой поверхности. Поэтому кристаллизация завершается не при температуре равновесного солидуса, соответствующей исходной концентрации компонентов в расплаве С) Э> а при более низкой — в связи с обогащением остаточной жидкости примесными компонентами. Считается, что затвердевание полностью завершается при температуре, соответствующей особой точке диаграммы состояния: эвтектике? Е> перитектике? и т. д. Чаще всего используется При этом сечение жидкой фазы меняется скачком от значения до нуля. В практических расчетах при численном моделировании окончание затвердевания определяется заданием величины 0.025−0.05 в конце двухфазной зоны. При исследовании чисто теплового режима кристаллизации диффузией компонентов в жидкости пренебрегают, то есть не учитывают макроскопическую дифференциацию. Из предположения того, что Си? связаны, следует: сечение жидкой и твердой / фаз, а также спектральная теплота кристаллизации эе^р З/^/дУ являются функциями температуры и вполне определяются видом диаграммы состояния.

В пределах двухфазной зоны уравнение теплопереноса имеет следующий вид [223 дТ а/,.

Ре)18 ^ =^СЛ.258гай (?)3-ае)Эр5, (х.у.й,)^.

Последнее слагаемое отлично от нуля только в интервале температур кристаллизации. Индекс 1з характеризует соответствующие теплофизи-ческие параметры.

Функция относительного количества жидкой фазы, кристаллизующейся в двухфазной зоне отливки, определяется по диаграмме состояния, согласно различным методикам. Например, для линейной диаграммы состояния по правилу равновесного рычага [53:

Г тго~т 1п где показатель степени п варьируется для разных сплавов и зависит также от концентрации примесей в материалахлибо по правилу неравновесного рычага для бинарных сплавов [21,233: г.

1/(1−6,) либо, для многокомпонентны! сплавов, выражением ?24} N связывающим температуру в двухфазной зоне с сечением жидкой фазы Здесь Тк — температура плавления основного компонента сплава, ?20 — равновесная температура ликвидуса, — исходная концентрация, коэффициент распределения и модуль углового коэффициента наклона линии ликвидуса для I-того растворенного примесного компонента- 81=р5/рг. Существуют и другие способы определения, см. ?4,6,18,22,25] и цитируемые в них работы. Выбор того или иного приближения сказывается на точности определения ширины двухфазной зоны, времени затвердевания, оценке размеров структурных параметров сплавов ?26,511.

В связи с тем, что определяется как функция температуры, то после использования подстановки щ д^ дт ог дт м * уравнение теплопроводности в двухфазной зоне переписывается в виде дТ где едф называется эффективной удельной теплоемкостью сплава в двухфазном его состоянии и определяется выражением, а для (рс) обычно используются выражения вида рс) г5=(рс)г/г+(рс)5/5.

Таким образом, учет выделения тепла кристаллизации в двухфазной зоне сводится к соответствующему заданию зависимости эффективной удельной теплоемкости сплава от температуры, а уравнение теплопереноса приобретает вид, характерный для квазилинейных параболических уравнений.

На границе жидкой и двухфазных зон т^ выполняется условия.

— о дТ.

Т)г+0> а для фронта конца кристаллизации в двухфазной зоне на границе т)3 справедливо Т дТ.

М?) дТ.

5 дп.

0>

Используя уравнения теплопроводности для области перегретого расплава 0-, Ч дТ ре), — =<�Илг[А.7(Г)згас1(Г)3, (г, у, 3,)^!, ь и с И рс), дТ дг для затвердевшей части 05, и задав начальные и граничные условия Ти, у,2,0)=Т0(х, у, г), (х, у, г)е0=аг+0г5+а5.

Х, у,2)еШ, получаем замкнутую систему для определения закона затвердевания и изменения температурных полей.

После анализа исследуемого физического процесса с целью предварительной оценки возможной скорости движения границ фазового перехода, а также учитывая тот факт, что доля жидкой фазы конца зоны затвердевания обычно не превышает величины 0.05, при численных исследованиях используются иж условия 0дТ дТ.

М*>

V0″ 5.

V3, иж алгоритмы сквозного счета для решения задачи Стефана [27−393. й хотя существуют подходы позволяющие при этом точно фиксировать фазовую границу 1341, наиболее распространенным является жбо сглаживание разрывных коэффициентов задачи ?29,351, жбо введение функции теплосодержания. Последнее позволяет свести искомую задачу к нежнейному уравнению для разрывной функции, описывающему тепло-перенос во всей области включая фазовую границу. Так как функция имеет разрыв первого рода, то при использовании аппроксимации, она вместе с теплофизическими константами подвергается сглаживанию на некотором конечном интервале температур [27,29,323.

Границы фазового превращения в этом случае явно не выделяются. йх положение, когда это необходимо, устанавливается после расчета температурного поля сжтка ?1,333.

Метода математического моделирования и алгоритмы численных исследований в металлургии нашж свое применение и в других областях науки. Теория магматических и магматогенных гидротермальных рудных месторождений связана с разработкой динамики дифференциации (перераспределения) магмы в камерах земной коры, которая интенсивно развивается три последних десятилетия [40−453. Магматогенные процессы являются главными генераторами большинства рудных месторождений. Поэтому с момента возникновения петрологии развивается и совершенствуется основанное на модельных исследованиях прогнозирование при поиске руд, пространственно сопряженных с проявлением магм в форме интрузивных массивов и вужанов. Центральное место здесь занимает проблема описания процессов формирования рудоносных флюидов. Толчком к этому послужили исследования в металлургии по теории управления слитком металла. Использование в геохимии и петрологии идей зонной перекристаллизации и направленной кристаллизации металлических расплавов позволило углубить созданные ранее качественные теории. Решение проблемы количественного описания процессов перераспределения компонентов пока продвинулось мало С453, поэтому представляет теоретический и прикладной интерес разработка моделей дифференциации магм и получение соответствующих оценок.

Таким образом, широкий круг проблем, при модельном исследовании которых используются квазилинейные параболические уравнения делают актуальным поиск эффективных численных алгоритмов. Рассмотрению некоторых вопросов, появляющихся при этом, посвящена первая глава.

В настоящее время для решения задач теплопереноса широко используется метод конечных элементов (см. [633 и содержащиеся в ней ссылки), однако конечно-разностные алгоритмы продолжают сохранять свою привлекательность. Это подтверждает и появление публикаций посвященных так называемым методам конечных объемов, или бокс-методам (см. [64−69] и цитируемые там работы), которые способствуют сближению техники конечных разностей и конечных элементов.

В первой главе рассматриваются неявные схемы, применяемые для численного решения задач при модельном исследовании процессов теплопереноса, и методы решения получаемых систем уравнений. Предваряет содержание главы краткий обзор работ по теме исследований.

При практических расчетах используются, как правило, наиболее известные разностные алгоритмы численного решения линейных или нелинейных задач теплопереноса ?27,52−59,119,1201, существенный вклад в развитие которых внесли A.A. Самарский, Г. И. Марчук, H.H. Яненко, J. Douglas. Основными показателями качества разностного уравнения являются устойчивость и сходимость, порядок погрешности, экономичность. Ввиду того, что значительная часть результатов при анализе разностных алгоритмов описывается в терминах матричных или векторных операций, в последние годы все более широкое распространение находит использование свойств монотонных и положительных матриц [73−75,1221, позволяющих находить наиболее значимые на практике равномерные оценки точности. Результаты исследований по теории трехдиагональных матриц ?56,57,733 дают подход к анализу разностных схем при численном решении линейных и нелинейных систем.

В § I.I рассматривается одномерная задача затвердевания металла в изложнице, математическая модель которой сводится к параболическому уравнению с разрывными коэффициентами, включающему основные сильноменяющиеся теплофизические параметры. Для этой задачи с использованием свойств М-матриц определяются условия сходимости итерационного процесса и получена оценка погрешности разностного решения в равномерной норме.

В § 1.2 рассматриваются неявные алгоритмы для решения задач описываемых многомерными уравнениями теплопроводности. В первом разделе параграфа проводится исследование разностной схемы, используемой для решения задачи, описываемой квазилинейным параболическим уравнением с краевыми условиями I-III родов.

Чисто неявные схемы для многомерных линейных уравнений устойчивы при любых соотношениях временного и пространственных шагов. Однако использование их для квазилинейных уравнений наталкивается на необходимость определения условий устойчивости и сходимости разностного решения, что в каждом конкретном случае приводит к громоздким вычислениям при весьма грубых оценках [27,831. Поэтому в данном параграфе на основе свойств трехдиагональных матриц проводится исследование разностной системы и находится погрешность ее решения в равномерной норме.

Дальнейшие части § 1.2 посвящены рассмотрению «компактных» разностных схем повышенного порядка точности (с использованием узлов ближайших к рассматриваемому узлу сетки) для решения много-гомерных уравнений параболического типа. Такого вида аппроксимации имеют длительную историю и исследовались различными авторами (например, [27,123,182,184−1921). Однако многие вопросы их использования остаются открытыми [27,691.

В разделах параграфа исследуются способы аппроксимаций повышенной точности для уравнений теплопереноса, а также анализируются условия на соотношения между пространственными и временными шагами, обеспечивающие монотонность разностных схем. Наряду с этим рассматриваются аппроксимации порядка 0(?И) для уравнения теплопроводности в цилиндрической системе координат, которое имеет свои особенности на оси симметрии.

Минусом использования неявных разностных схем при решении многомерных задач является трудоемкость реализации расчетов на каждом временном шаге. Большой объем вычислений, необходимый для каждой итерации при решении алгебраических систем высокого порядка, обуславливает поиск экономичных алгоритмов (см. [85−901 и прилагаемый там список литературы). Среди таких методов решения находятся итерационные алгоритмы неполной факторизации при использовании ускорения с помощью сопряженных градиентов [85−92,1821, которые, в силу своих достоинств, открывают новые возможности решения пяти-и девятиточечных сеточных уравнений, позволяя использовать чисто неявные аппроксимации как наиболее устойчивые. Поэтому § 1.3 посвящен исследованию этого алгоритма, а также сравнению его с другими методами.

В последующих параграфах рассматриваются результаты решения задач, полученные с использованием изложенных в первой главе алгоритмических подходов с соответствующими дополнениями, отражающими их конкретную специфику. Две задачи, связанные с актуальными вопросами, выдвинутыми металлургическим производством, рассматриваются во второй главе.

Получение качественного металла является главным направлением развития современной технологии. Использованием непрерывного литья стаж для получения заготовок дает возможность высокоэффективного производства при экономии энергии и увеличении выхода годного металла 14,7,18,47,76,1811. В связи с повышением требований к скорости разливки, качеству и расширению марочного состава сталей, исследование тепловых условий формирования непрерывного сжтка является актуальной практической задачей. Рассмотрение вопросов теплофизики, теплои массопереноса. в тесной связи с технологией определяет все дальнейшие стороны интенсификации и оптимизации технологических процессов ?4,6−8,18,50,95−1031. Существенный вклад в модельное исследование процессов получения непрерывного сжтка внесж Е. М. Китаев, Ю. А. Самойлович, В. А. Журавлев, В. А. Емельянов.

Авторы наиболее известных публикаций ?4,7,18,95,961 рассмат-риваж установившиеся процессы затвердевания при заданных значениях коэффициентов теплоотдачи в секциях зоны вторичного охлаждения. принимая во внимание потоки тепла только в поперечном сечении слитка. Нестационарная модель, предложенная в § 2.1, лишена этих недостатков, а алгоритм решения позволяет проводить вычислительные эксперименты по отработке рациональных режимов и исследовать переходные процессы всех стадий формирования круглого стального слитка в машинах непрерывного литья заготовок. Это дало возможность на основе численного моделирования и опытных данных решить практическую задачу по определению зависимости, связывающей значения коэффициентов теплоотдачи с удельным расходом воды в зоне вторичного охлаждения для установки Западно-Сибирского металлургического комбината, а также оценить характерные размеры дендритной структуры получаемых слитков.

В металлургии большое внимание уделяется проблемам затвердевания расплавов в изложницах. Ввиду того, что формирование слитка сопровождается протеканием целого ряда физических и химических процессов, основная масса работ посвящена прогнозированию свойств затвердевающего металла, а проблемы изложниц рассматриваются только с точки зрения оценки в них теплового потока и поглощения тепла.

Главные требования к изложницам состоят в обеспечении заданного ресурса работы и требуемой скорости оборачиваемости. Процессы, отвечающие за их эксплуатационные свойства, основываются на законах теплопроводности, термомеханики поверхностных явлений. Температурные условия формируют уровень термоупругих и термопластических напряжений, которые необходимо знать при изучении работы системы слиток-изложница [76,104−107,1831. Поэтому важное значение для увеличения стойкости и срока экслуатации изложницы имеет поиск оптимальных тепловых режимов заливки и охлаждения металла, определение параметров влияющих на эти процессы.

В § 2.2 рассматривается практическая задача, целью решения которой было численное исследование изменения температурного поля изложницы сложной геометрической формы с затвердевающими и остыва-щими в ней пятью слитками для последующей оценки величин возникающих напряжений.

Третья глава посвящена исследованию переходных процессов теплопереноса в петрологии.

Вез решения задачи охлаждения расплава в период заполнения магматических камер затруднительно корректно анализировать динамику дифференциации после завершения процесса интрузии [45,133−137]. Поэтому для общего анализа происходящих процессов динамика дифференциации магмы должна описываться с момента ее генерации в очаге и заканчиваться затвердеванием в интрузиве. При этом информация о распределении температур в объеме расплава, содержании в нем твердой и газовой фаз, ширине зоны контактовых изверженных пород, положении границы жидкотекучести в магматическом теле, является существенной для анализа разделения компонентов.

В настоящее время при количественном исследовании этой задачи в основном ограничиваются заданием простейших условий — «мгновенное» заполнение камеры, однородное распределение в ней температур и фаз, рассмотрение процесса затвердевания в приближении Стефана, стационарный расход жидкости [45,131,134,136,138−143 и др.]. Однако состояния в реальных магматических системах во время и после прекращения напорного течения расплава весьма далеки от такой идеализированной картины. Оценить их можно лишь после численного решения соответствующих моделей неизотермической нестационарной динамики заполнения магматических камер различной формы.

Количественное описание заполнения интрузивной камеры может быть самосогласованно выполнено только в рамках общей модели динамики развития магматической системы. Последовательно замкнутое решение этой задачи излагается в работах Ю. П. Желтова, М.Р. Ryan, d.d. Pollard, А. Н. Черепанова и В. Н. Шарапова. При этом проблема распадается на две взаимосвязанные, но представляющие самостоятельный интерес, задачи: интрудирование магмы в трещинные проводники, которая рассматривается в § 3.1, и заполнение магматических камер различной формы (§ 3.2).

В рамках сформулированной во введении третьей главы модели, в § 3.1 осуществляется математическая постановка задачи, при решении которой на основе численных экспериментов получены оценки высоты подъема магматической колонны по щелевидному проводнику и скорости движения магматического потока в зависимости от значений различных учитываемых параметров.

Алгоритм решения для разработанной нестационарной модели дает возможность проводить вычислительные эксперименты по исследованию переходных процессов всех стадий формирования магмопроводника, от начала его заполнения до выхода на стационарный режим существования, либо оценить условия его «перемораживания» .

Впервые с использованием квазиравновесного приближения [221 для описания развития гетерофазной зоны в § 3.2 получены параметры, характеризующие нестационарный процесс охлаждения расплава в магматической камере в процессе развития системы. Из результатов решения нестационарной задачи динамики интрудирования определяется, что охлаждение базитового расплава как в процессе, так и по завершению заложения камер существенно различается в зависимости от их формы.

Разработанный алгоритм решения нестационарной модеж дает возможность проводить вычисжтельные эксперименты по исследованию переходных процессов всех стадий формирования интрузивов, определять движение расплава в щелевидном проводнике и заполнение магматической камеры, температурные поля, условия формирования и размеры фазовых зон в расплаве магматической системы, а также локальные значения скоростей охлаждения и кристаллизации.

Каждый параграф диссертации имеет независимую нумерацию формул в виде группы из трех чисел: первое число соответствует номеру главы, второе — параграфу, третье — порядковый номер.

Ряд полученных результатов сформулирован в виде выводов в конце каждого параграфа.

Таблицы с исходными параметрами для расчетов и результатами исследований располагаются в тексте параграфов в местах ссылок на них и имеют соотвествующий порядок нумерации.

В конце параграфов помещены рисунки, которые иллюстрируют расматриваемые задачи и полученные результаты. Нумерация рисунков по порядку ссылок на них.

Список цитируемой литературы располагается вслед за заключением, в котором приведены основные результаты диссертации.

Достоверность выполненных теоретических исследований подтверждается результатами численных экспериментов при математическом моделировании процессов теплопереноса и структурообразования. Полученные в диссертации результаты нашли практическое применение в усовершенствовании существующих и разработке новых технологических процессов. Пакеты прикладных программ на основе разработанных алгоритмов решения задач теплопереноса внедрены на АО «ЗападноСибирский металлургический комбинат», АО «Новосибирский завод хим-концентратов», а также используются в Объединенном институте геологии, геофизики и минералогии СО РАН.

Результаты третьей главы получены в ходе работы, поддержаной Российским фондом фундаментальных исследований (проекты ,№ 95−05.

9646, #95−05−15 586а).

По материалам, используемым в диссертации, делались доклады на Международных конференциях «Численные методы и приложения» (София, 1989), «Высокоазотистые стаж — 89» (Варна, 1989), «Применение компьютеров в штейном производстве» (София, 1990), «Кристаллизация и компьютерные модели» (Ижевск, 1991, 1992, 1994), на Х1П-ом Российском совещании по экспериментальной минералогии (Черноголовка, 1995). Полученные результаты обсуждались на семинарах Института вычислительной математики и математической геофизики и Института теоретической и прикладной механики СО РАН.

Настоящая работа написана по публикациям 126,34,48,50,51,76, 105−108,121,170−175,1813, результаты в которых бы ж получены на основе моделей, разработанных авторским коллективом, и алгоритмов решения, предложенных и обоснованных автором диссертации. Исследования [47,109,1823 выполнены соискателем самостоятельно.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность профессору Валерию Павловичу Ильину, д.ф.-м.н. Анатолию Николаевичу Черепанову и профессору Виктору Николаевичу Шарапову за совместную плодотворную работу, определившую его научную судьбу, а также академику РАН Михаилу Федоровичу Жукову, чей доброжелательный интерес во многом содействовал скорейшему написанию диссертации.

Основные результаты диссертации заключаться в следущем:

1. На основе свойств монотонных матриц исследованы неявные разностные алгоритмы численного решения одномерных и двухмерных задач затвердевания сплавов с фазовым переходом в интервале температур, описываемых квазилинейными параболическими уравнениями с краевыми условиями 1-Ш родов, и получены оценки погрешности в равномерной норме.

2. Построены «компактные» разностные схемы повышенного порядка точности для многомерных уравнений теплопроводности и определены соотношения между пространственными и временными шагами, при которых они являются монотонными. Показано, что схема Кранка-Николсона с погрешностью порядка 0(%г+ПА) для решения задачи, описываемой трехмерным уравнением, абсолютно немонотонна.

3. Исследована возможность применения итерационного метода неполной факторизации с ускорением по методу сопряженных градиентов для решения линейных и нелинейных систем, получаемых при неявной аппроксимации многомерных задач теплопереноса, и показана высокая эффективность такого алгоритмического подхода.

4. Предложена нестационарная модель, описывающая получение круглого стального слитка в машине непрерывного литья, и численно исследованы температурные режимы переходах процессов формирования заготовки: от момента запуска установки до выхода процесса затвердевания металла на установившийся режим. По результатам расчетов и опытных данных определены зависимости, связывающие значения коэффициентов теплоотдачи с удельным расходом воды в секциях зоны вторичного охлаждения.

5. На основе численного моделирования проведено исследование нестационарных теплофизических процессов в многоканальной чугунной изложнице при затвердевании в ней пяти цилиндрических слитков. Согласно полученному решению задачи рассмотрен характер изменения температурных полей системы и проведена оценка возникающих термонапряжений в изложнице.

6. С помощью численного решения нестационарной задачи динамики интрудирования базитовых расплавов по щелевидному проводнику, получены оценки средних скоростей движения магмы и высоты ее подъема, определены зависимости критических скоростей от размеров проводника. Эти результаты, с учетом размеров дайковых проводников и базитовых плутонов, дают возможность очертить диапазон расходов расплава при формировании магматических камер и вероятные времена заполнения.

7. Решение нестационарной модели, описывающей динамику формирование интрузивов, показывает существование различных режимов затвердевания магмы, определяемых ее движением и геометрической формой заполняемых камер. Из этого можно сделать вывод, что и последующая солидификация, а также разделение компонентов в процессе фазовых переходов могут протекать различным образом как в локальных частях, так и во всем объеме интрузивного массива. I.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.