Орторекурсивные разложения по неортогональным всплескам

Теория ортогональных рядов (рядов Фурье) является одним из классических направлений математических исследований, которое начало развиваться еще в первой половине XIX века. По всей видимости, первыми работами, в которых изучались ортогональные разложения, являются труды Д’Аламбера и Эйлера о колебании струны и работы Фурье о распространении тепла. В настоящее время имеется большое количество публикаций, посвященных как общей теории ортогональных рядов (см. [1], [6], [7]), так и разложениям в ряды Фурье по конкретным системам (см., например, [4], [5]).

В последние десятилетия в результате широкого внедрения компьютерных технологий разложения в ряды Фурье по различным ортогональным системам стали широко использоваться на практике при решении задач хранения, обработки и передачи данных различной природы. При этом рассматриваемый объект (изображение, аудиофрагмент, результаты сделанных спутником измерений и др.) моделируется некоторым элементом / пространства со скалярным произведением Н, в Л выбирается подходящая, учитывающая специфику конкретной задачи полная ортогональная система где ] — или некоторое натуральное число (в случае конечномерных пространств Н), или бесконечность, и работа ведется не с самим элементом /, а с его разложением в ряд Фурье по системе то есть рядом гДе Л = (/> ез)/{ел ез) — Этот ряд сходится к элементу /, и в случае бесконечномерных пространств его заменяют на частичную сумму, приближающую элемент с некоторой допустимой погрешностью.

Причинами, приведшими к широкому внедрению рядов Фурье в решение прикладных задач, являются такие свойства ортогональных разложений, как простота вычисления коэффициентов, наличие тождества Бесселя, обеспечивающего возможность быстрой оценки погрешности, то есть разности между элементом и частичной суммой разложения, а также так называемое свойство оперативности («on-line» свойство). Последнее свойство заключается в том, что если точность, с которой N-ая частичная сумма приближает разлагаемый элемент, не является приемлемой, то для получения следующего приближения — (N + 1)-й частичной суммы — достаточно вычислить еще один коэффициент, не производя пересчет уже вычисленных коэффициентов. Свойство оперативности позволяет, в частности, параллельно осуществлять разложение и передавать уже вычисленные коэффициенты.

Вместе с тем, ортогональные разложения обладают свойствами, которые с точки зрения практических приложений являются отрицательными. Во-первых, условие ортогональности является очень жестким условием на систему, значительно сужающим класс систем, по которым осуществляется разложение. Во-вторых, ортогональные разложения принципиально не позволяют корректировать погрешности, возникающие в вычислении коэффициентов: для любой числовой последовательности {cj}j=1, отличной от последовательности {fj}^ коэффициентов Фурье элемента / по ортогональной системе ряд cj ej либо расходится, либо сходится к элементу, отличному от /.

В связи с вышесказанным, возникает актуальная задача определить процесс разложения, наследующий положительные свойства ортогональных разложений, но не обладающий приведенными выше отрицательными с точки зрения практики свойствами. Такие разложения, получившие название орторекурсивных, изучаются в настоящей работе.

Особенностью разложения в тригонометрический ряд Фурье или преобразования Фурье является отсутствие временной локализации — они позволяют получить частотную характеристику сигнала на всем рассматриваемом (конечном в случае ряда Фурье или бесконечном в случае преобразования Фурье) интервале времени. На практике часто используется преобразование Фурье с окном, но оно также обеспечивает ограниченную локализацию по времени, определяемую шириной окна (см. [5, § 1−2]).

В качестве альтернативы преобразованию Фурье в 80-х гг. XX века появились всплески (другое название — вейвлеты) — системы функций, хорошо локализованных по времени и частоте. Они вызвали новую волну математических исследований (отметим книги [2, 5, 14, 15, 16, 20] и [7, гл. 7]) и, наряду с преобразованием Фурье, стали аппаратом цифровой обработки сигналов. Однако разложениям в счетные ортогональные системы всплесков присущи все недостатки ортогональных разложений. В частности, порождающая функция системы всплесков часто задается достаточно сложными выражениями (например, всплески Добеши, Мейера и др.). В связи с этим естественно рассмотрение систем неортогональных всплесков, где порождающая функция может быть выбрана произвольно из достаточно широкого класса функций.

В настоящей работе рассматриваются орторекурсивные разложения по неортогональным всплескам.

Орторекурсивные разложения.

Орторекурсивные разложения были предложены Т. П. Лукашенко в работах [10, 11]. Этот способ разложения в случае ортогональной системы дает в точности ряд Фурье разлагаемого элемента по этой системе. Приведем определение и некоторые свойства орторекурсивных разложений.

Определение 1. Пусть И. — гильбертово пространство над полем К или С, {еЛ^ — система ненулевых элементов Л. Для произвольного элемента / € ТС определим коэффициенты разложения {}]}]=1 следующим образом:

1) положим.

2 (/.еО.

11 1Ы12'.

2) если уже определены /ь ., /п, то положим (гпд), еп+1) /П+1 1к+1||2 ' где гп (/) = / - }3е3. ОО.

Коэффициенты {/,} х будем называть орторекурсивными коэффициентами Фурье элемента / по системе (для ортогональной системы они совпадают с обычными коэффициентами Фурье), а формальный ряд }]ез ~~ орторекурсивным рядом Фурье элемента / по системе {е3}0=1.

Рис. 1: Двухмерная иллюстрация процесса разложения.

Графическая иллюстрация процесса разложения в двухмерном случае приведена на рис. 1.

Теорема ([11]). Для любого элемента / е Л и любой системы С Л {0} справедливы тождество Бесселя.

— ЕЛ<

7=1 и неравенство Бесселя и/н2-Е1Л121М2>

7=1.

1Ыа<

7 = 1.

1).

2).

Орторекурсивный ряд Фурье элемента / по системе {е.,}^ сходится к / тогда и только тогда, когда выполняется равенство Парсеваля.

ЕЙ.

7 = 1.

2 II ||2 = 71 11 7 II.

3).

Таким образом, для орторекурсивных разложений справедливы аналоги свойств разложений по ортогональным системам.

Идея орторекурсивных разложений восходит к заметке Б. С. и С. Б. Стечкиных 1961 г. [17]. В ней для каждого элемента / рекурсивно строилась своя система разложения {eJ (f)}'^=l (в этом случае утверждения теоремы также выполняются). Авторов больше интересовало доказательство равенства Парсеваля, возникающего при таком способе разложения. Именно наличие равенства Парсеваля навело на мысль об обобщении процесса, рассмотренного Стечкиными.

К сожалению, орторекурсивное разложение даже на плоскости может расходиться1 или сходиться к элементу, отличному от разлагаемого. Поэтому сформулируем.

Определение 2. Систему {е,}^ С Н {0} назовем орторекурсивной системой разложения в пространстве Н, если для любого элемента /? Н орторекурсивный ряд Фурье / по системе сходится к / в Н.

Определение 3. Систему {е^}^ сН {0} назовем безусловной орторекурсивной системой разложения в пространстве Л, если для любой перестановки о: N —" N система {e.

Как отмечается, например, в работе [12], схема рекурсивного разложения допускает принципиально различные подходы: можно изначально фиксировать систему, а можно на каждом шаге для данного элемента / (или для данного остатка rn (f)) выбирать из некоторого фиксированного множества очередной разлагающий элемент en+i (/). Второй подход реализуется, в частности, в так называемых жадных алгоритмах (Greedy Algorithmsсм. [21]). Преимуществом орторекурсивных разложений по фиксированным системам перед жадными разложениями является линейность. Орторекурсивные разложения привлекательны также отсутствием усложняющего разложение алгоритма выбора следующего элемента.

Неортогональные всплески.

Пусть (р — действительноили комплекснозначная функция на вещественной прямой, принадлежащая пространству Лебега Ь2(Ш) над полем R или С соответственно. Функции pkti (x) = 2k/2.

1 Примером может служить разложение по системе векторов е0 = (cos Inj, sin Inj), j = 1,2,., вектора / ^ Аеь AgR. будем называть всплесками, порожденными функцией <р. При этом мы, как и в книге [20], вообще говоря, не требуем от семейства функций (4) ортогональности.

Пусть Ь = {Ьк}^0 — последовательность целых неотрицательных чисел. Рассмотрим систему функций.

Ф +{Ь) = {<рк, 1: к>0,1< Ьк). (5).

Семейство Ф +(Ь), имеющее конечные пачки Щ = {<Рк, 1 И < Ь/с}, занумеруем одним натуральным индексом в порядке возрастания номеров пачек, а внутри пачек — произвольным образом. Таким образом, функции <Рк, 1 присвоим натуральный номер ] = з (к, 1) так, чтобы из неравенства ] < / следовало неравенство к < к'. Положим е, — = (рк, 1 ПРИ 3 = з{к, О.

Определение 4. Систему Ф+(Ь) будем называть орторекурсивной системой разложения в пространстве Ь2(Ш), если система {е,}^ является орторекурсивной системой разложения в Ь2(Ш).

Определение 5. Систему Ф+(Ь) будем называть безусловной относительно перестановок пачек орторекурсивной системой разложения в пространстве Ь2(Ш), если для любой перестановки, а множества совокупность Ф+,(т (Ь) = {(ра{к), 1 '¦ к > 0, |/| < Ьа (к)}> занумерованная натуральными числами в порядке возрастания номера к, а в пачках — произвольным образом, является орторекурсивной системой разложения в Ь2{Ш).

В.И. Филиппов и П. Освальд в статье [22] доказали, в частности, что если 1р € £2(К), ч>(х) = 0(|х|1е) (е > 0) при —> оо и /К (р (х)с1х ± 0, то семейство всплесков (4), порожденных функцией (р, является системой представления в пространстве Ь2(Ш), т. е. для любой функции / е Ь2(Ш) найдется ряд вида ^(Я^/мО^) — сходящийся к / в Ь2(Ш).

В настоящей работе мы получим результат, что при некоторых не слишком жестких ограничениях на порождающую функцию <р совокупность Ф+ (Ь) является орторекурсивной системой разложения в пространстве Ь2(Ш), и притом безусловной относительно перестановок пачек.

Цель работы.

В работе рассматриваются орторекурсивные разложения по неортогональным всплескам. Целью работы является изучение сходимости этих разложений, их устойчивости к вычислительной погрешности, а также получение оценок скорости сходимости.

В соответствии с поставленной целью были сформулированы следующие задачи:

• определить различные виды орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам;

• получить достаточные условия сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам для любой разлагаемой функции из пространства Ь2(Ш) к ней самой в метрике Ь2(М);

• построить пример, показывающий, что полученные достаточные условия нельзя существенно ослабить;

• изучить устойчивость орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам к ошибкам в вычислении коэффициентов;

• получить оценки скорости сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам.

Структура и основные результаты работы.

Работа состоит из введения, пяти глав и списка литературы, включающего 31 наименование. Теоремы, леммы, утверждения и следствия имеют номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе — номер теоремы (леммы, утверждения, следствия) в этой главе. Определения и замечания нумеруются сквозным образом.

Во введении дается общий обзор исследуемой области, формулируются решаемые задачи и приводятся основные результаты работы.

1. Лукашенко Т. П., «О свойствах орторекурсивных разложений по неортогональным системам», Вестник МГУ Сер. I. Матем., мех., М., № 1 (2001), 6−10.

2. Лукашенко Т. П., «О новых системах разложения и их свойствах», Чебышевский сборник, Тула, 5, вып. 2 (2004), 66−82.

3. Лукашенко Т. П., Садовничий В. А. «О рекурсивных разложениях по цепочке систем», Доклады РАН, 425:6 (2009), 1−6.

4. Малла С., Вейвлеты в обработке сигналов, Мир, М., 2005.

5. Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А., Теория всплесков, Физматлит, М., 2005.

6. Смоленцев Н. К., Введение в теорию вейвлетов, РХД, Ижевск, 2010.

7. Стечкин Б. С., Стечкин С. В., «Среднее квадратическое и среднее арифметическое», Доклады АН СССР, 137:2 (1961), 287−290.

8. Столниц Э., Де Роуз Т., Салезин Д., Вейвлеты в компьютерной графике. Теория и приложения, РХД, Ижевск, 2002.

9. Фрейзер М., Введение в вэйвлеты в свете линейной алгебры, Бином, М., 2008.

10. Чуй Ч., Введение в вэйвлеты, Мир, М., 2001.

11. DeVore R. A., Temlyakov V. N., «Some remarks on Greedy Algorithms», Advances in Computational Mathematics, 5 (1996), 173−187.

12. Filippov V. I., Oswald P., «Representation in Lp by series of translates and dilates of one function», Journal of Approximation Theory, 82:1 (1995), 15−29.Научные работы автора по теме диссертации.

13. Кудрявцев А. Ю., «О сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам», Математические заметки, 92:5 (2012), 707−720.

14. Кудрявцев А. Ю., «О скорости сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам», Известия РАН. Серия математическая, 76:4 (2012), 49−64.

15. Кудрявцев А. Ю., «Орторекурсивные разложения по системам сжатий и сдвигов фиксированной функции», Современные методы теории функций и смежные проблемы, Тезисы докладов, Воронеж, гос. ун-т, Воронеж, 2001, 161−162.

16. Кудрявцев А. Ю., «Орторекурсивные разложения по системам сжатий и сдвигов», Современные проблемы теории функций и их приложения, Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы, изд-во ГосУНЦ «Колледж», Саратов, 2002, 106−108.

17. Кудрявцев А. Ю., «Орторекурсивные разложения по системам неортогональных всплесков», Современные методы теории функций и смежные проблемы, Материалы конференции, Воронеж, гос. ун-т, Воронеж, 2003, 137−138.

18. Кудрявцев А. Ю., «Орторекурсивные разложения по неортогональным всплескам», Современные методы теории функций и смежные проблемы, Материалы конференции, Воронеж, гос. ун-т, Воронеж, 2011, 189−191.