К теории задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения

Возникшая в начале XX века теория уравнений смешанного типа получила значительное развитие благодаря многочисленным приложениям в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике и в других областях.

Первыми глубокими исследованиями в этой области явились работы Ф. Трикоми. Для уравнения уихх + иуу = 0 (0.1) он изучил следующую краевую задачу (задачу Т). Пусть область ?) ограничена гладкой кривой Г с концами в точках, А и В оси ОХ, расположенной в верхней полуплоскости, и характеристиками 1 и Ц уравнения (0.1), выходящими из этих точек и пересекающимися в точке нижней полуплоскости. Требуется найти решение и (х, у) уравнения (0.1) в классе регулярных в Б решений (и (х, у)? С {Л) Л С1 [В) ЛС2(0{у = 0})), удовлетворяющее граничным условиям и = <р на Г и и = ф на /1. Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи при условии, что гладкая кривая Г заканчивается в точках, А в. В двумя сколь угодно малой длины дугами «нормальной» кривой уравнения (0.1), а в остальной части отклоняется от этой кривой наружу.

Одно из направлений исследований, связанных с задачей Трикоми, заключается в ослаблении условий геометрического характера на эллиптическую часть границы области. Не претендуя на полноту, проведем обзор работ, касающихся этого вопроса.

В докторской диссертации [62] Геллерстедт решил задачу Трико-ми для уравнения.

Утихх + иууси — F (x, у), где т = 2к — 1, к Е iV, с = const — достаточно малая, при тех же ограничениях на кривую Г, что и у Трикоми.

A.B. Бицадзе [4] в 1950 году впервые установил принцип экстремума задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева ихх + sgnyUyy = 0 (0.2) и в классе регулярных в D решений доказал теорему существования и единственности решения задачи Т для уравнения (0.2) альтернирующим методом типа Шварца при произвольном подходе к оси у — 0 кривой Г из класса Ляпунова, за исключением касания прямой у = 0.

Для уравнения (0.2) Ю. М. Крикунов [16] получил результат, аналогичный результату A.B. Бицадзе, в случае, когда кривая Г оканчивается малыми аналитическими дугами и внутренние по отношению к эллиптической части области углы между Г и осью ОХ отличны от нуля.

А.П. Солдатов [44, 45] методами теории аналитических функций доказал единственность и существование регулярного решения обобщенной задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева — Бицадзе без каких — либо ограничений на подход кривой Г к оси абсцисс, за исключением внутреннего касания этой оси.

Ф.И. Франкль [47] доказал единственность решения задачи Трикоми для уравнения Чаплыгина.

К (у)ихх + иуу = О (ИГ (0) = О, К'(у) > О) без ограничений геометрического характера на гладкую кривую Г, но при условии, что функция.

В работе [65] Проттер обобщил отмеченный выше результат Ф. И. Франкля. Единственность решения задачи Т для уравнения Чаплыгина им доказана в следующих случаях:

1) гладкая кривая Г, лежащая в эллиптической части области Л, произвольна, но гиперболическая часть области О ограничивается тем, что Г (у) > уо, где у0 < 0;

2) на гиперболическую часть области I) нет ограничений и функция Е (у) может принимать любые конечные значения при у < 0, но зато кривая Г не должна простираться слишком далеко в направлении оси х = 0;

3) функция К (у) имеет непрерывную производную третьего порядка, удовлетворяющую неравенству К'" (у) < 0 всякий раз, когда Г (у) < 0 при у < 0.

К.И. Бабенко [2, 3] доказал единственность решения задачи Три-коми для уравнения Чаплыгина, когда ляпуновская кривая Г удовлетворяет условию.

На основании теоремы единственности методом интегральных уравнений К. И. Бабенко доказал существование решения задачи Т предполау) = 2 + 1 > 0 при у < 0. гая, что в окрестности концов кривой Г выполнено условие dx/ds < Cy2(s), C = const > 0. В случае уравнения Трикоми, когда К (у) = у, ему удалось освободиться от этих ограничений на кривую Г, т. е. доказать однозначную разрешимость задачи Трикоми в классе регулярных в D решений при произвольном подходе кривой Г из класса Ляпунова к оси ОХ, за исключением случая, когда в достаточно малых окрестностях концов кривой Г производная dx/ds меняет знак.

В работе [31, гл. 5] К. Б. Сабитовым получена теорема единственности решения задачи Трикоми для уравнения Чаплыгина без указанных выше ограничений на кривую Г и коэффициент К (у).

A.A. Косовец в работе [15] перенес результаты К. И. Бабенко на случай уравнения sgny • утихх + Щу — 0, т > 0.

В работе [22] Е. И. Моисеевым получены теоремы единственности регулярных решений задачи Трикоми для уравнений смешанного типа со спектральным параметром при произвольном подходе гладкой кривой Г к оси у = 0.

К.Б. Сабитов [33, 32] альтернирующим методом типа Шварца установил существование и единственность обобщенного решения задачи Трикоми для уравнения s9nV ¦ утихх + Щу + А (х, у) их + В (х, у) иу + С (х, у) и = 0, т > 0, при произвольном подходе кривой Г из класса Ляпунова к оси ОХ, за исключением случая, когда в достаточно малых окрестностях концов кривой Г производная dx/ds меняет знак.

Целью данной работы является обоснование однозначной разрешимости задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями изменения типа при произвольном подходе эллиптической границы к линиям изменения типа (вырождения).

Краевыми задачами для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа занимались М. М. Зайнулабидов [11, 12], В. Ф. Волкодавов [6], В. В. Азовский [1], М. М. Смирнов [43], A.M. Ежов [10], Хе Кан Чер [49, 51], И. А. Макаров [18], К. Б. Сабитов [30], М.С. Са-лахитдинов, А. Хасанов, Б. Исломов [37, 38], С. С. Исамухамедов, Ж. Орамов [13], С. И. Макаров [19] и другие. В работах этих математиков теорема существования решения задачи Трикоми получена при ортогональном подходе эллиптической границы области к осям координат.

М.М. Зайнулабидов [11, 12] исследовал краевые задачи для уравнений в области D, ограниченной кривой Жордана Г, лежащей в первой четверти, с концами в точках А (1,0), В (0,1) и характеристиками АС, БС, АС и ВС уравнения (0.3) и (0.4). Были доказаны существование и единственность решений задач Т (с данными на Г и СС) и Т2 (с данными на Г, ВС и BCi), когда дуга Г — ляпуновская и оканчивается сколь угодно малой длины дужками нормального контура. При доказательстве единственности решения задач Т и Зайнулабидов М. М. использовал принцип экстремума A.B. Бицадзе и метод Франкля. Существование решения доказано методом интегральных уравнений. иХх + sgn{xy) -Uyy = 0.

У^хх «Ь XUyy — 0.

0.3) (0.4).

A.M. Ежов [10] для уравнения sgnyутихх + sgnxxmUyyЬ sgn (xy) • xymuzz = 0, m > 0, (0.5) в бесконечной цилиндрической области G, ограниченной при — оо < z < оо поверхностями: So (x2a + у2а = 1, х, у > 0), Si (x + у = 0, х > 0, у < 0), S2(x + у = 0,® < 0, у > 0), S3{x<* + (~yf = 1,® > 0, у < 0), Si (ya + (—х)а = 1, х < 0, у > 0), где 2а = т + 2, исследовал пространственную задачу ТС: найти регулярное решение v (x, y, z) уравнения (0.5), удовлетворяющее краевым условиям: г>|,$ 0 = Ф (ж, г), vsx = Vi (x, z), vs2 = ^2(y, z),)imv (x, y, z) = lim = 0.

Методом преобразования Фурье задача ТС сводится к плоской задаче Т для уравнения.

89пУ • утихх + вдпх • |хтиуу — Х2здп (ху) • хути = 0, (0−6) где Л? Я, в области И = СП {z = 0}: найти регулярное решение уравнения (0.6) по данным: и|г0 = <�р (х, А), иг1 = фг{х, Л), и|г2 = ф2(у, А), где Гг- = б’г П {г = 0}. При доказательстве единственности решения задачи Т используется принцип экстремума. Доказательство существования решения задачи Т проводится методом интегральных уравнений.

В работе [1] В. В. Азовским методом интегральных уравнений доказано существование и единственность обобщенного решения задачи Т для уравнения.

2 д 2д тп вдпх • ихх + здпу • иуу + —-их + у-иу = 0, д = хГ ' уГ 4 2(т + 2) в области G = {(ж, у) х + у > 0}.

Хе Кан Чер [50] исследовал задачи Т и для уравнения хихх + уиуу + а (х, у) их + (3(х, у) иу = 0 с кусочно — постоянными коэффициентами, а и (3 в области В, описанной выше. Пусть а (х, у) = а,-, (3(х, у) = Д-, если (ж, у)? Д-, г = 0,1,2, где = В П {х, у >0}, А = В П {у < 0}, Д> =? П {ж < 0}. В случае |</31<1и|<�а2<1 доказана единственность решения задачи Т при, а < 02 < Если аг- + Д- > 1, доказана единственность решения задачи Т2 при, а < (3, (3% < «2, при этом должно быть Г Е С2. В случае, если | < а, — = Д- < 1, г = 0,1,2, а-» > а0, г = 1,2, иГ: х + у = 1, х, у >0, методом интегральных уравнений доказано существование решения задач Т и Т^.

Далее перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав.

В главе 1 диссертации для более общего уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями изменения типа установлены экстремальные свойства решений в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом смешанной области в классе регулярных и обобщенных решений при более слабых условиях на коэффициенты изучаемого уравнения и класс решений [31, гл. 1].

В § 1.1 рассматривается уравнение.

Ьи = К (у)ихх + М (х)иуу + Аих + Виу + Си = Г (х, у), (0.7) где у К (у) > 0 при уф 0, хЫ (х) > 0 при х ф 0, в области Б, ограниченной: 1) кривой Г из класса Ляпунова, лежащей в первой четверти плоскости (х, у) с концами в точках В = (1,0) и = (0,1), I > 0- 2) характеристиками АС и С В уравнения (0.7) при х > 0, у < 0- 3) характеристиками АС и СВ уравнения (0.7) при х < 0, у > 0, где, А = (0,0), С = (½, ус), ус < 0- Сг = (sCl,//2), ^ < .0. Пусть, А = Dn{x > 0, у> 0}, D2 = Dn{x > 0, у< 0}, D3 = Df){x < 0, у > 0}. Для уравнения (0.7) в области D ставятся задачи Трикоми. Задача Ti. Найти и (х, у), удовлетворяющую условиям: и (х, у) е C (D) Л CD) Л C2(Di UD2U ?>3) — (0.8).

Lu (x, у) = F (x, у), (x, y) eD1UD2U D3- (0.9) u (x, y) = Lp (x, y), (x, у) € Г- (0.10) u (x, y)|cCi = Ф (х), xc < x < ½, (0.11) где cp и ф — заданные достаточно гладкие функции.

Задача Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям (0.8) — (0.10) и и (х, у) = ф (х, у), (х, у) е ВС, (0.12) и (х, у) = ф (х, у), (х, у) еВ1Си (0.13) где ср, ф и ф — заданные достаточно гладкие функции, что <�р (В) = ф (В), <�р{В{) = ф^в,).

В § 1.2 для уравнения (0.7) в областях гиперболичности при некоторых ограничениях на его коэффициенты показано, что максимум решения и (х, у) по замкнутым областям D<2 и D3 достигается на отрезках параболического вырождения.

В § 1.3 в эллиптической области доказаны утверждения о знаке нормальной производной в точке максимума и вблизи точки максимума решения уравнения (0.7) на линии вырождения.

Лемма 1.2. Пусть: 1) С (х, у) < 0 в области А- 2) и (х, у)? С (Пх) А С1 (А и АВ и АВ) А С2(А), Ьи = Р > 0 (< 0) в Атяхи (х, у) == и (Я) > 0 щпи = и (0) < 0] - 4) функция и (х, у) име I) 1 / ет изолированный максимум (минимум) и{($) в точке А- 5) в малой окрестности точки А: а) функции и2х и и2у суммируемыб) производные Ах и Ву непрерывны вплоть до границыв) 2С — Ах — Ву < 0, А (0,у) > 0 и В{0,х) > 0. Тогда в любой окрестности V С <9 А точки, А найдется точка? V такая, что < 0 (> 0), где ди пх и пу — компоненты внутренней нормали к границе области А.

В § 1.4 получен принцип экстремума для уравнения (0.7) в классе регулярных решений.

Определение 1.2. Регулярным из класса К (П) решением уравнения (0.7) назовем функцию и (х, у), удовлетворяющую следующим условиям:

1) и{х, у) еСф)/С1{0).

2) и (х, у)? С2(А) и Ьи (х, у) = Е (х, у) в А;

3) и (х, у) в областях, А и, А является решением уравнения (0.7) в характеристических координатах (?, г}).

4) производная щ в характеристических координатах (?, г]) непрерывна в ?>2 и АС и Пз и АС.

Определение 1.3. Регулярным из класса ^(-О) решением уравнения (0.7) назовем функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям 1) — 3) определения 1.2 и, кроме того, производная щ в характеристических координатах непрерывна б^и ВС и и ВС.

При определенных условиях доказано, что регулярное из класса Лг (-О) решение уравнения (0.7) достигает максимум (минимум) по замкнутой области ?) на эллиптической границе. Из этого утверждения следуют единственность решения Т и при произвольной эллиптической границе.

В § 1.5 определены классы С}{{В) обобщенных решений уравнения (0.7) и в этих классах установлены принципы экстремума.

Определение 1.4. Обобщенным из класса (^{(О), г = 1,2, решением уравнения (0.7) будем называть функцию и{х, у), если существует последовательность регулярных из класса решений {ир (х, у)} уравнения (0.7), равномерно сходящаяся ки (х, у) в замкнутой области.

13.

Утверждения о принципе экстремума, полученные в § 1.4, переносятся в класс обобщенных решений уравнения (0.7), из которых следует единственность обобщенного решения задач Т и без какихлибо ограничений геометрического характера на кривую Г.

В §§ 1.6 и 1. Т рассматривается уравнение (0.7) в области И при К (у) = вдпу • уп, И (х) = вдпх • хт, п, т > 0, Е (х, у) = 0, т. е.

Ьи = вдпу • упихх + вдпх • хтиуу + Аих + Виу + Си — 0. (0.14).

Пусть х — х (в), у = у (в) — параметрические уравнения кривой Г из класса Ляпунова, не касающейся внутренним образом осей координат в точках В и В] 5 — длина дуги, отсчитываемой от точки В- 5 — длина кривой ГГо — нормальная кривая, заданная уравнением хт+2 уп+2 р. — область, ограниченная кривой Го и отрезками АВ и АВ, и, кроме того, предположим, что для уравнения (0.14) выполнен принцип экстремума.

Определение 1.5. Функцию и{х, у) из класса Д^!)), удовлетворяющую условиям (0.10) и (0.11), назовем регулярным решением задачи Т. Равномерный в И предел последовательности регулярных решений задачи Т назовем обобщенным решением задачи Т.

Доказана следующая.

Теорема 1.7. Пусть в области И при условии, когда кривая Г оканчивается в точках В и В сколь угодно малыми дугами кривой Го, существует регулярное решение задачи Т для уравнения (0.14)-Тогда если функция непрерывна на [0, 5] и ф (х) достаточно гладкая (т.е. функцияф (х) такова, что при достаточно гладкой функции (Р (б) выполнено условие теоремы 1.7) на [—½, 1/2], ср (0) = <^(5) = 0, то существует единственное обобщенное решение и (х, у) задачи Т при произвольном подходе кривой Г к осям координат за исключением случаев, когда в достаточно малых окрестностях точек В и соответственно? х/дв и? у/?в меняют знаки.

Определение 1.6. Функцию и (х, у) из класса (.?)), удовлетворяющую условиям (0.10), (0.12), (0.13) назовем регулярным решением задачи Т^. Равномерный в И предел последовательности регулярных решений задачи назовем обобщенным решением задачи.

Теорема 1.8. Пусть в области И при условии, когда кривая Г оканчивается в точках В и В сколь угодно малыми дугами кривой Го, существует регулярное решение задачи Т2 для уравнения (0.14)• Тогда если функция ^(5) непрерывна на [0,5] и ф (х) и ф (у) достаточно гладкие (т.е. функции ф (х), ф (у) таковы, что при достаточно гладкой функции (р (з) выполнено условие теоремы 1.8) на [//2,/], ф{1) = ф (/) = <у?(0) = = 0, то существует единственное обобщенное решение у) задачи Т2 при произвольном подходе кривой Г к осям координат за исключением случаев, когда в достаточно малых окрестностях точек В и В соответственно? х/йв и? у/?б меняют знаки.

Доказательство теорем 1.7 ж 1.8 проводится на основании принципа экстремума для уравнения (0.14) и альтернирующего метода типа Шварца.

В главе 2 рассматривается в области Б уравнение Лаврентьева — Бицадзе с двумя перпендикулярными линиями изменения типа.

Ьи = Бдпу • ихх + вдпх • иуу = 0. (0.15).

Для решений задач Т и Т2 установлен принцип экстремума и на основании альтернирующего метода типа Шварца доказано существование и единственность регулярного решения задач Т и.

Теорема 2.2. Если ф) еС[0,5]- ф (х) е С[—½, 1/2]ДС2(-½, 0) ЛС2(0,½) — ф'(х) е £х[-½, 1/2] и ф (0) = (р (0) = у>(5) = 0, то существует единственное регулярное решение и (х, у) задачи Т при произвольном подходе кривой Г к осям координат за исключением случаев, когда в достаточно малых окрестностях точек В и В соответственно dx/ds и dy/ds меняют знаки.

Теорема 2.4. Если cp (s) Е C[0,S]- ф (х), фг (у)? С[ ½, 1] Л С2(½, 1) — ф'(х), ф[(у) е? i[l/2,l] «^(1) =ⁱ (l) = у (0) =.

Глава 3 посвящена изучению вопросов существования и единственности регулярного в области D решения задачи Ti для уравнения.

Lu = sgny • утихх + sgnx • xmuyy = 0, т > 0. (0.16).

Единственность решения задачи Т в классе регулярных и обобщенных в D решений уравнения (0.16) доказана на основе принципа максимума, изложенного в главе 1, без ограничений на кривую Г.

Для доказательства разрешимости задачи Т для уравнения (0.16) рассмотрены две вспомогательные задачи: задача Хольмгрена в области Д)1 и задача Дарбу в областях Д и А, считая функции v{x) = ди (х и) ди (х и) lim—^— и V2 (у) = lim—^ ' известными. Затем полученные решено ду х^о дх ния склеивая по функции и по нормальной производной на отрезках AB и АВ, доказательство существования решения задачи Трикоми сведено к решению системы сингулярных интегральных уравнений относительно функций v (x) и щ (у). Произведя регуляризацию системы сингулярных интегральных уравнений методом Карлемана — Векуа, получено уравнение Фредгольма второго рода относительно функций v ± ?>2, разрешимость которого следует из теоремы единственности решения задачи Т. Далее доказано, что найденное решение задачи Т является регулярным в случае, когда Dqi U Fq С D.

В § 3.1 на основании результатов главы 1 установлен принцип максимума для уравнения sgny • |упихх + sgnx • |xmuyy = F (x, у) (0−17) при всех значениях m, п > Оига + п > Ои как следствие, получены утверждения о единственности решения задач Т и в классе регулярных и обобщенных решений уравнения (0.17) при произвольной эллиптической границе.

В § 3.2 для уравнения (0.16) в области Dqi исследована Задача Хольмгрена (задача Н). Найти в области Dqi функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и (х, у) G C (Dqi) A C1{Dq U ABU ABi) AC2(D01) — Lu (x, y) = 0 ,(x, y) G Anм|Го = (p (x), 0 < ж < 1- uy (x, 0 + 0) = vi (x), 0 < x < 1- мж (0 + 0, y) = u2(y), 0 < y < 1, где и v2 — заданные достаточно гладкие функции. Теорема 3.8. Если (р (х) G С[0,1], у?(0) = (р (1) = 0, xvi (x), yv2(y) G С{0, l) ALi[0,1], то существует единственное решение задачи H и оно определяется формулой и (х0,у0) = уо ф)68 [<2(ф), у (з) — х0, уо)] ds+ +? xmv1 (x)G (x, 0- ж0, yo) dx +? ymv2(y)G (0, yx0, yo) dy, (0.18) где G (x, yxq, Уо) — функция Грина задачи H [10], которая приведена в диссертации.

В § 3.3 доказаны теоремы существования задач Дарбу для уравнения (0.16).

В области, А в характеристических координатах (?, ту), уравнение (0.16) имеет вид.

Я Я. = +—(^ - v11) -|——+ т^) = 0,.

У I ^ /У «/ «I т.

К, ч) ««Цг («+ >/)])' у, а = 2 ' а область, А отобразится в область Д = {(£,?у)|0<£<?7< 1}.

Задача Дарбу. Найти функцию ^(?, 77), удовлетворяющую условиям V (€, 4)? С (А) ЛСА), УСг1 е С (Л) — Ь0(у) ее 0 при (?,?/) е Лу (0,Г1) = ф0(т1), 0 <т? <1- Нт (|)29 (77 — £)2<Ч^ = ЫО, 0 <? < 1, где фо и щ — заданные функции.

Теорема 3.3. Если: 1) функция удовлетворяет условию.

Гельдера с показателем ц при 0 <? < 1 и при? —* 1 функция уо (0 может иметь особенность степенного порядка меньше, чем 1 — 2д- 2) Фо (ч])? С2[0,1], то существует единственное решение задачи Дарбу для уравнения (0.19), и оно определяется формулой.

0.19) т + 2.

2 — г2)*(772 — /2). Гвфльч) ф’М + %0″ о (^) = Ф ч 2.

2д.

1/а.

0.20) функция где щф = щ (И1/а Римана ~ Адамара.

Решение задачи Дарбу в области 1>з также определяется формулой (0.20), но в ней следует положить = уч (, =.

• Полученную таким образом формулу решения задачи Дарбу в области обозначим (0.20').

Отметим, что в работе [8] формула решения задачи Дарбу для уравнения (0.19) получена, однако отсутствует теорема существования решения этой задачи с указанием гладкости функций /у о и фо.

В § 3.4 доказано существование регулярного решения задачи Т для уравнения (0.16) с данными и = (р (в) на Г, и = ф{х) на АС и и — Фъ (у) на АС в том случае, когда нормальная кривая Го содержится внутри области И.

Пусть функции (р{Ь) и Тр{^) — <р ((1 — Представимы в виде:

Ф) =^ооои — т=ыт — (0.21) где непрерывны на [0,1], р, р2 > ½, а функции ф^х) удовлетворяют условию.

Фг (х) = Х1+Хфы, ф0{ <= С2[0, (а/2)1/"], у + 1<�Л<�т + 1. (0.22).

Теорема 3.9. Если функции <р (1), ф (Ь) и ф2^) удовлетворяют условиям (0.21) и (0.22), то существует единственное регулярное в £>о решение задачи которое в области определяется формулой решения задачи Хольмгрена (0.18), а в областях ^ «А — соответственно формулами решения задачи Дарбу (0.20) и (0.20').

Единственность решения задачи Т следует из принципа экстремума. Доказательство существования решения задачи равносильно редуцируется к решению системы сингулярных интегральных уравнений относительно функций Р{х) и щ{у). Произведя регуляризацию полученной системы сингулярных интегральных уравнений методом Кар-лемана — Векуа, получено уравнение Фредгольма второго рода относительно функций ± г/2, разрешимость которого следует из теоремы единственности решения задачи Т. Далее доказано, что найденное решение задачи Т является регулярным в 1) о.

Лемма 3.20. Пусть уравнение (0.16) задано в области Если (р (х) непрерывна при 0 < х < 1, ^(0) = <р (1) = 0, и функции фг^) и ф2(^) удовлетворяют условиям (0.22), то существует единственное обобщенное решение задачи Т с граничными данными и|г0 = илс = фг и паСх = которое является регулярным в ?>о-Доказательство леммы проводится на основе теоремы 3.9 и альтернирующего метода типа Шварца.

Пусть кривая Г такова, что Д)1 и Го С.

Теорема 3.10. Если функция ^(в) непрерывна на [0,5], ^(0) = (5) = 0, а функции ф (х) иф2(х) удовлетворяют условиям (0.22), то существует единственное обобщенное решение задачи Т с граничными данными и = <�р (в) на Г, и = ф на АС и и = ф2 на АС, которое является регулярным в I).

Доказательство этой теоремы проводится альтернирующим методом типа Шварца с использованием результатов леммы 3.20.

Основные результаты опубликованы в работах [35, 36], [52] - [60]. Пользуясь возможностью, выражаю искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико — математических наук, профессору Камилю Басировичу Сабитову за предложенную тематику исследований, ценные советы и постоянное внимание к работе.

1. Азовский B.B. Решение обобщенной задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа в полуплоскости / / Волжский математический сборник. — Куйбышев, 1971. — Вып. 9. — С. 3 — 7.

2. Бабенко К. И. К теории уравнений смешанного типа: Дис.. д-ра физ.-мат. наук. М., 1952.

3. Бабенко К. И. О задаче Трикоми //Докл. АН СССР. 1986. -Т.291, т. — С. 14 — 19.

4. Бицадзе A.B. О некоторых задачах смешанного типа // Докл. АН СССР. 1950. — Т.70, Ш. — С. 561 — 564.

5. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. — 448 с.

6. Волкодавов В. Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными: Дис.. д-ра физ.-мат. наук. Казань, 1969.

7. Гахов ФД. Краевые задачи. М., 1977. — 640 с.

8. Гордеев A.M. Некоторые краевые задачи для обобщенного уравнения Эйлера Пуассона — Дарбу // Волжский математический сборник. — Куйбышев, 1968. — Вып. 6. — С. 56−61.

9. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм и произведений. М. 1971. — 1094 с.

10. Ежов A.M. О решении пространственной задачи для уравнения смешанного типа с двумя плоскостями вырождения // Диффе-ренц. уравнения: Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. Рязань, 1973. — Вып. 2. — С. 84 — 102.

11. Зайнулабидов М. М. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения // Дифференц. уравнения. 1969. — Т.5, — Ш. — С. 91 — 99.

12. Зайнулабидов М. М. Краевая задача для уравнений смешанного типа с двумя пересекающимися линиями вырождения // Дифференц. уравнения. 19Т0. — Т.6, — № 1. — С. 99 — 108.

13. Исамухамедов С. С., Орамов Ж. О краевых задачах для уравнения смешанного типа второго рода с негладкой линией вырождения // Дифференц. уравнения. 1982. — Т. 18, — № 2. — С. 324 -334.

14. Камынин Л. И. Теорема о внутренней производной для слабо вырождающегося эллиптического уравнения 2-го порядка // Матем. сб. 1985. — Т.126, — № 3. С. 307 — 326.

15. Косовец A.A. Разрешимость задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа. //Дифференц. уравнения. 1985. — Т.21, -№ 9. — С. 1627 — 1628.

16. Крикунов Ю. М. К задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева Бицадзе // Изв. вузов. Математика. — 1974. — № 2(141). — С. 76 -81.

17. Лернер М. Е. Принципы максимума модуля для гиперболических уравнений и систем уравнений в неклассических областях // Дифференц. уравнения. 1986. — Т. 12, — № 5. — С. 848 — 858.

18. Макаров И. А. Теория потенциала для уравнений с двумя линиями вырождения. // Дифференц. уравнения. Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. 1973. Вып. 2. — С. 124 — 155.

19. Макаров С. И. Применение обобщенных интегродифференциаль-ных операторов произвольного порядка к исследованию краевых задач для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения: Дис.. канд. физ.-мат. наук. Л. ЛГУ. 1987.

20. Маричев О. И. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1970. — № 5. — С.21 — 29.

21. Моисеев Е. И. Об одном интегральном представлении решения задачи Дарбу // Матем. заметки. 1982. — Т. 32, — № 2. — С.175 -186.

22. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд. МГУ, 1988. — 150 с.

23. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения, М., 1968. 511 с.

24. Надирашвили Н. С. Лемма о внутренней производной и единственность решения второй краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка // Докл. АН СССР. 1981. — Т.261. — Ш.- С.804 809.

25. Надирашвили Н. С. К вопросу о единственности решения второй краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка // Матем. сб. 1983. — Т.122. Q.341 — 359.

26. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа: Дис.. д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 1971.

27. Олейник O.A. О свойствах решений некоторых краевых задач для уравнений эллиптического типа // Матем. сб. 1952. — Т. ЗО (72), — № 3. С. 695 — 702.

28. Привалов И. И. Интегральные уравнения. Ленинград, 1935.

29. Пулькин С. П. Некоторые краевые задачи для уравнений ихх ± иуу + = 0 // Ученые записки Куйбышевского пединститута. 1958. Вып. 21. — С. 3 — 55.

30. Сабитов К. Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1988. — Т.24, — № 11. — С. 1967 -1976.

31. Сабитов К. Б. Некоторые вопросы качественной и спектральной теории уравнений смешанного типа: Дис.. д-ра физ.-мат. наук. М., 1991.

32. Сабитов К. Б. К вопросу о существовании решения задачи Трико-ми. // Дифференц. уравнения. 1992. — Т. 28, — № 12. — С. 2092 -2101.

33. Сабитов К. Б. Альтернирующий метод типа Шварца в теории уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1992. — Т.322. — т. — С. 476 — 480.

34. Сабитов К. Б., Мукминов Ф. Х. О знаке производной нормали вблизи точек максимума решений вырождающихся эллиптических уравнений. // Дифференц. уравнения. 2000. — Т.36, № 6. — С. 844 — 847.

35. Сабитов К. Б., Карамова A.A., Шарафутдинова Г. Г. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения // Изв. вузов. Математика. 1999. — № 11(450). — С. 70 — 80.

36. Сабитов К. Б., Шарафутдинова Г. Г. Задачи Дарбу для вырождающегося гиперболического уравнения //Дифференциальные уравнения и их приложения в физике. Сборник науч. трудов Стер-литамакского Филиала АН РБ. Стерлитамак, 1999. — С. 68 -82.

37. Салахитдинов М. С., Хасанов А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой типа линией вырождения // Дифферент уравнения. 1983. — Т. 19. — № 1. — С. 110 — 119.

38. Салахитдинов М. С., Исломов Б. Задача Трикоми для общего линейного уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения // Докл. АН СССР. 1986. — Т.289, — № 3. — С. 549 — 553.

39. Самко С. Г., Килбас A.A., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

40. СМБ, Г. Бейтман, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, М. 1965. 294 с.

41. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. — 292 с.

42. Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск, 1977.

43. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М., 1985.

44. Солдатов А. П. О единственности решения одной задачи A.B. Би-цадзе // Дифференц. уравнения. 1972. — Т. 8, — № 1. — С. 143 -146.

45. Солдатов А. П. Об одной задаче теории функций // Дифференц. уравнения. 1973. — Т. 9, — № 2. — С. 325 — 332.

46. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М Л.: Гостехиздат, 1947.192 с.

47. Франкль Ф. И. О задачах Чаплыгина для смешанных дои сверхзвуковых течений // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1945. — Т.9, -№ 2. — С. 121 — 142.

48. Франкль Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973. — 712 с.

49. Хе Кан Чер. О сингулярной задаче Трикоми для одного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Препринт: ИМ СО АН СССР. 1970. — 16 с.

50. Хе Кан Чер. Сингулярная задача Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения: Дис.. канд. физ. -мат. наук. Новосибирск, 1976.

51. Хе Кан Чер. О единственности решения задачи Трикоми для уравнения с двумя линиями вырождения //В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск. ИМ СО АН СССР. — 1980. — С. 64 — 67.

52. Шарафутдинова Г. Г. Альтернирующий метод Шварца в теории уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения / / Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике: Тезисы докладов. Новосибирск, 1998. — Часть IV. — С. 36.

53. Шарафутдинова Г. Г. Задача Хольмгрена для уравнения эллиптического типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения // Понтрягинские чтения X. Современные методы в теории краевых задач: Тезисы докладов. — Воронеж, 1999. — С. 266.

54. Шарафутдинова Г. Г. Задача Хольмгрена для уравнения эллиптического типа с негладкой линией вырождения //Дифференциальные уравнения и их приложения в физике. Сборник науч. трудов СФ АН РБ. Стерлитамак, 1999. — С.95 — 101.

55. Agmon S., Nirenberg L., Protter M. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptichyperbolic type // Comm. Appl. Math. 1953. — V.6. — № 4. P.455- 470.

56. Gellerstedt S. Sur un proble’me aux limites pour une e’quation line’aire aux de’rive’es partielles du second ordre de tipe mixte, The’sis, Uppsala, 1935.

57. Germain P., Bader R. Sur le probleme de Tricomi // Compt. Rend. Acad. Sei. Paris. 1951. — V.232. — P. 463 — 465.

58. Hopf E.A. A remark on linear elliptic differential equations of second order // Proc. Amer. Math. Soc. 1952. — V.3. — P.791 — 793.

59. Protter M.A. Uniqueness theorems for the Tricomi problem. I, II // Jour. Rational Mech. and Analysis, 1953. — V. 2. — № 1. — P. 107 -114- - 1955. — V. 4. — № 5. — P. 721 — 733.