Процессы рассеяния быстрых цветозаряженных партонов на мягких бозе-и ферми-возбуждениях горячей кварк-глюонной плазмы

Изучение сильно-взаимодействующей материи представляет собой одно из главных направлений исследований в современной ядерной физике и физике элементарных частиц. Особый интерес представляет фазовый переход между адронной материей и кварк-глюонной плазмой (КГП), подобный переходу, который, как предполагается, имел место в ранней Вселенной в пределах временного интервала I ~10-(3 — Ю-5 с после Большого взрыва [1]. В настоящее время такой переход может существовать при сильном гравитационном сжатии в центре нейтронных звёзд, чёрных дыр или при коллапсе обычных звёзд [2]. Несмотря на то, что процессы с участием сильного взаимодействия к настоящему моменту достаточно хорошо описываются в терминах квантовой хромодинамики (КХД), два их основных проявления в окружающем нас мире — конфайнмент кварков и глюонов и иерархия адронных масс — всё ещё остаются объектом усиленных исследований.

Оба явления имеют место на шкале энергии импульса < 1 ГэВ2, где КХД константа взаимодействия весьма большая а3 > 0.3, и поэтому обычная теория возмущений не является надёжным аппаратом для количественных расчётов или, вообще, может быть неприменима. В горячей и плотной ядерной среде при достаточно высокой температуре Т и/или бари-онном химическом потенциале Цв ожидается, что адроны с конечным размером фм) распадаются на 'составные' части, которые образуют кварк-глюониую плазму, или говоря другим языком, конденсаты, ответственные за иерархию адронных масс, «расплавляются» 1. Численные расчёты на решёт.

1Более точно, по мере повышения плотности энергии ядерное вещество претерпевает, вообще говоря, два фазовых перехода [3]: деконфайнмент цвета (разрушение глюонного конденсата) и восстановление киральной симметрии (разрушение кварк-антикваркового конденсата). ках при конечной температуре показывают, что фазовый переход от адрон-ной к кварк-глюонной материи имеет место при «критической» температуре Тс ~ 140 — 200 МэВ [4]. Очевидно, что эта шкала является весьма малой для того, чтобы «пертурбативная» КГП реализовалась как газ (плазма) слабо-взаимодействующих кварков и глюонов, даже несмотря на то, что вычисленная плотность энергии соответствует идеальной (невзаимодействующей и безмассовой) КГП в пределах 20 процентов для Т > 1.2 Тс.

В лабораторных условиях кварк-глюонную плазму надеются получить путём столкновения ультрарелятивистских тяжёлых атомных ядер с энергией в центре масс, на единицу сталкивающейся нуклонной пары, много большей массы покоя нуклона л/s/A М^. Если энергия, запасённая в зоне реакции, является достаточно большой, само понятие сильно-взаимодействующей среды становится оправданным, несмотря на её весьма скоротечную природу (~0.8 фм). Правомерность использования данного понятия убедительно подтвердилась в экспериментах по столкновению ядер на протяжении почти 25 лет на Super-Proton-Synchrotron (SPS, CERN) и Relativistic Heavy-Ion Collider (RHIC, BNL). В настоящее время исследование этого нового состояния материи продолжатся на ещё более мощном ускорителе Large Hadron Collider (LHC, CERN), поэтому актуальность и большой интерес к данной проблематике не вызывают сомнений. Отметим, что возможность проявления субад-ронной (кварковой) степени свободы в релятивистских ядерных столкновениях была предсказана более 30 лет назад академиком A.M. Балдиным [5], который, в частности, также объяснил кумулятивный эффект как проявлению образования в сталкивающихся ядрах многокварковых капель — флукто-нов — фактически, первых прямых указаний на возможность существования КГП [6].

Как уже упоминалось выше, процессы, происходящие в ядерной материи описываются в рамках квантово-статистического подхода к системам многих частиц, взаимодействующих по законам квантовой хромодинамики. Наиболее трудной областью в описании термодинамических, кинетических и других свойств горячей и плотной ядерной материи является область перехода конфайнмент-деконфайнмент, т. е. перехода от адронной материи к собственно кварк-глюонной плазме. В данной переходной области константа взаимодействия д не является малой, что требует использования существенно непер-турбативных методов исследования. Ввиду чрезвычайной сложности данной проблемы здесь был предложен весьма широкий спектр различных подходов к описанию фазового перехода: прямые решёточные вычисления [7]- модели статистического бутстрапа R. Hagedorn [8,9]- модели кластеризованных кварков [10,11]- струнные потенциальные модели [12,13]- подход, основанный на прямом решении уравнений Швингера-Дайсона в КХД при конечных температуре и кварковом химическом потенциале [14]- метод вакуумных корреляторов, предложенный первоначально Ю. А. Симоновым и др. для описания спектров лёгких и тяжёлых кваркониев, глюболов и т. п. [15] и затем использованный для исследования динамики кварк-глюонной плазмы [16], и ряд других подходов.

Практически во всех вышеупомянутых моделях предполагается, что кварк-глюонная плазма и адронная фаза непосредственно соседствуют друг с другом или, другими словами, деконфайнмент цвета и киральный переход происходят одновременно. В работах E.JI. Фейнберга, И. И. Ройзена и О.Д. Чер-навской [17,18] была высказана гипотеза о существовании промежуточной (между КГП и 'обычным' адронным веществом) фазы, в которой определяющую роль играют массивные динамические кварки (валоны [19]). Такой подход является в некотором смысле альтернативным по отношению к 'стандартным' моделям и позволяет более точно объяснить ряд наблюдаемых экспериментальных данных [20,21].

В данной диссертационной работе нас интересует область асимптотически высоких температур, в которой постоянная взаимодействия является малой, т. е. справедлив обычный пертурбативный метод исследования. В этой области, в отличие от переходной, нет такого 'изобилия' моделей и подходов (см. выше). Практически весь анализ укладывается в рамки стандартной теории возмущений [22−24] лишь с известными модификациями-, характерными именно для высокотемпературного случая — так называемого приближения жёстких температурных петель (HTL-приближения). Данная эффективная теория горячей КХД материи была оригинально предложена в статьях R.D. Pisarski, Е. Braaten [25−28], J. Frenkel, J.C. Taylor [29,30] и R. Kobes и др. [31], а затем получила свое дальнейшее развитие в многочисленных работах и приложениях к вычислению конкретных физических процессов (см., например, [32−40]).

Естественным образом возникает вопрос: если кварк-глюонная плазма формируется при столкновении релятивистских тяжёлых ядер, то каковы экспериментальные сигналы этого нового состояния материи? Были предложены различные кандидаты на эту роль: немонотонности в импульсном распределении вторичных частиц, отражающие свойства фазового перехода адроны — кварк-глюонная плазма [41]- отношение выходов странных частиц к нестранным (К/тт), различное для адронизации адронного газа и КГП [42]- регистрация жёстких фотонов и лептонов, образованных внутри объёма ядерной материивыход частиц, содержащих тяжёлые (с и Ь) — кварки и, в частности, подавление выхода частиц, содержащих скрытый чарм, -явление, известное как плавление «//-^-резонанса, предсказанное впервые Т. Matsui и Н. Satz [43]- регистрация струй с большими (pj > 2 ГэВ) поперечными импульсами, которые весьма чувствительны к потерям энергии жёстких партонов до своей адронизации при распространении последних через КГПадронная интерферометрияфлуктуации множественностей вторичных частиц и т. п. Краткое описание адронных и жёстких проб можно найти в книге [44]. В данной диссертационной работе нас будет интересовать жёсткий тип пробника, связанный с потерями энергии быстрых кварков и глюонов в горячей КХД среде2.

За последние два десятилетия были изучены несколько возможных механизмов потерь энергии, а именно: (а) потери, обусловленные упругими столкновениями с конституентами КХД среды- (б) поляризационные потери или потери, порождаемые столкновениями на больших расстояниях- (в) радиационные потери. Два первых механизма часто объединяют в один — столкно-вительный механизм потерь энергии. Было показано, что упругие и поляризационные потери энергии [45−50] дают слишком малый вклад в подавление струй (dEei/dx< 0.5ГэВ/Фм) по сравнению с динамическими потерями в вакууме (dEd/dx~ 1 —2ГэВ/Фм), связанными с фрагментацией струи в адроны, в то время, как наведенные радиационные потери энергии оказы.

2 В целях максимального упрощения рассматриваемой проблемы будем считать, что кварк-глюонная плазма занимает бесконечный объём. ваются достаточно большими, чтобы проявить себя в подавлении струй при столкновении тяжёлых ядер. По этой причине теоретические изучения потерь энергии партонов в КГП были сосредоточены в основном на глюоипом тормозном излучении и связанным с ним неабелевым аналогом известного эффекта Ландау-Померанчука-Мигдала (ЛПМ) [51−53]. Однако, как показали экспериментальные данные, эти традиционные подходы имеют определенные трудности в объяснении существенно более сильного, чем ожидалось, подавления струй, что явилось мощным стимулом как для более детального анализа уже изученных механизмов потерь энергии или их альтернативных формулировок, так и для поиска новых.

В первой главе представлен формализм, позволяющий систематическим образом вычислять вероятности тормозного излучения мягких глюонов3 в квазиклассическом приближении с учётом температурных эффектов. Данные эффекты проявляются не только в «одевании» глюонных пропагаторов, но и в «одевании» вершин взаимодействия температурными поправками. В настоящее время общепринятой моделью КХД среды, используемой для описания радиационных процессов, является модель, предложенная M. Gyulassy и X.-N. Wang [54,55]. Она представляет кварк-глюонную плазму как систему дебаевски экранированных статических цветных источников. Дебаевская экранирующая масса (id играет роль естественного параметра инфракрасного обрезания, позволяющего избежать инфракрасной расходимости, которая возникает при интегрировании по импульсу передачи q (см. раздел 1.3). Таким образом, в данном статическом случае практически весь эффект среды сводится к появлению единственного параметра /¿-с> (если забыть на время о влиянии многократного рассеяния на тормозное излучение). Однако, вообще говоря, влияние среды не ограничивается только этим. Быстрый партон может рассеиваться не только на статическом цветном центре, но и на термальных партонах, которые образуют экранирующее 'облако' покоящегося заряда с последующим тормозным излучением мягкого глюона. В.

3 На протяжении всей работы будем придерживаться следующих определений импульсных шкал, принятых в горячей неабелевой теории: жесткая шкала соответствует импульсу порядка Т и выше, мягкая шкала ~ дТ и ультрамягкая ~ д2Т. обычной плазме такой тип тормозного излучения был впервые рассмотрен A.B. Акопяном и В. Н. Цытовичем [56−58] и назван переходным тормозным излучением. Переходное тормозное излучение является чисто коллективным эффектом. В горячей КХД плазме в рамках квазиклассического приближения данный тип излучения порождается в лидирующем порядке по константе взаимодействия синхронной прецессией цветных классических векторов (изотопических спинов) термальных партонов, образующих экранирующее облако. Это явление эффективно описывается HTL-поправкой к голой трёхглюонной вершине Тз9 [194]. Таким образом, представление об «одетых» цветных частицах хорошо работает не только при описании столкновений и рассеяний, но также и в процессах излучения. Поскольку излучают термальные частицы поляризации, можно ожидать, что угловое распределение тормозного излучения данного типа не имеет узкой направленности, как это происходит в обычном тормозном излучении, и поэтому не будет подавляться при многократном рассеянии (эффект Ландау-Померанчука-Мигдала). Одна из целей диссертационной работы состояла в определении области частот и испущенного кванта, где HTL-поправки к вершинам могут дать заметный вклад в радиационные потери энергии. Как оказалось, данная область ограничивается частотами порядка дТ. В области ш дТ вклад в потери энергии, наводимые эффективной вершиной 6Гзд, подавлен по константе взаимодействия.

Несмотря на то, что данное рассмотрение ограничено в основном статическим приближением 'рассеивателей' среды, полученные исходные выражения для вероятностей тормозного излучения позволяют, в принципе, распространить результаты работы и на более общий случай движущихся частиц. Впервые такая более реальная с физической точки зрения ситуация была рассмотрена Р. Arnold, G.D. Moore и L.G. Yaffe [59−61], исходя из несколько иных исходных предпосылок. Мотивацией этого был тот факт, что термальные частицы сами движутся почти со скоростью света и поэтому они порождают динамически экранирующие цветные электрическое и магнитное поля. Эти поля формируют флуктуационное фоновое поле, в котором происходит тормозное излучение и проявляется ЛПМ-эффект. Отметим, что вопрос о важности учёта динамического экранирования магнитной части одноглюонного обмена в изучении радиационных потерь энергии поднимался в работе [62]. Формализм, развитый в [59−61] на основе конечно-температурной теории поля, имеет то преимущество, по сравнению с другими подходами (см. ниже), что он позволяет корректно описывать тормозное излучение и ЛПМ-эффект при частотах ш > дТ испущенного глюона (в отличие от стандартного, более жёсткого требования ш ^ Т). Это, в частности, даёт возможность изучать явления глюонного излучения в горячей КХД плазме, порождаемого столкновениями термальных партонов между собой. Оценка радиационных потерь энергии лёгких партонов в рамках подхода работ [59−61] была сделана S. Jeon и G.D. Moore [63].

Кроме того, предложенный в первой главе подход позволяет систематическим образом учесть так называемые двойные борновские амплитуды рассеяния [64−72]. В работах B.G. Zakharov [64−70] в рамках предложенного им подхода к анализу наведённого излучения, основанного на континуальном интегрировании, было показано, что взаимодействие быстрого кварка и излученного глюона с каждым цветным статическим источником будет описываться не только одноглюонным, но и двухглюонным обменом. Учёт интерференции между диаграммами двухглюонного обмена и диаграммой без глюонного обмена является важным для сохранения унитарности. В нашем подходе контактные двойные борновские члены возникают из так называемых 'недиагональных' элементов в корреляционной функции произведения двух эффективных токов (раздел 1.5). Эти члены позволяют в точности сократить расходимости, которые возникают в главных 'диагональных' вкладах в потери энергии, связанных с излучением квантов, не лежащих на массовой поверхности.

В качестве приложения изложенного в главе 1 подхода к тормозному излучению мягких глюонов рассмотрена задача потерь энергии высокоэнергичных цветозаряженных частиц в КГП. Исследование потерь энергии быстрых партонов представляет собой значительный интерес в связи с явлением затухания, или гашения струй (jet quenching), включающим подавление лидирующих адронов от фрагментации жёстких партонов благодаря их сильному взаимодействию с горячей и плотной КХД средой. Как уже говорилось выше, это явление служит в качестве одного из основных жёстких пробников образования КГП. Оно было предсказано почти двадцать лет назад [73−75] и в настоящее время наблюдается на RHIC [76−88].

Отметим, что в реальных столкновениях тяжёлых ионов очень трудно измерить потери энергии отдельного партона, поскольку из-за большой множественности сложно изолировать струю, в которую фрагментирует рассматриваемый партон. Однако потери энергии партонов связаны с потерями энергии лидирующего адрона, в которые они фрагментируют, что даёт возможность их косвенного определения.

В настоящее время имеются несколько хорошо развитых техник вычисления глюонного радиационного спектра и потерь энергии: континуальное интегрирование в терминах светоконусных переменных, оригинально предложенное B.G. Zakharov [64−70]- построение эффективного 2d-мерного уравнения Шредингера (или уравнения диффузии) [89, 90]- Opacity Expansion Framework [91]- разложение по коэффициенту непрозрачности в рамках функционального интегрирования [92,93], дополненное точным Reaction Operator Formalism [94], который является наиболее подходящим для многократного рассеяния в конечной по объёму системе и Twist Expansion Series [95−97]. Подробные обзоры этих техник можно найти в [98−100]. Подходы к приближённой оценке наблюдаемого 'смягчения' инклюзивного спектра частиц включают уменьшение поперечного сечения рассеяния жёстких партонов [101] или эффективное демпфирование функций фрагментации [102−105]. Дальнейшее развитие теории радиационных потерь энергии связано с учётом более тонких эффектов, таких как изменение шкалы обрезания и бегущей константы связи при переходе из вакуума в кварк-глюонную плазму [106,107]- влияние кинематических ограничений на наведённое глюонное излучение [94,108]- влияние модификации цветной диэлектрической проницаемости на глюонное дисперсионное соотношение (КХД-эффект Тер-Микаеляна) [109]- учёт конечности массы высокоэнергичного партона (эффект «мёртвого» конуса) [110]. Рассмотрим более подробно обзоры результатов работ, посвящённых исследованию двух последних вышеупомянутых эффектов, как наиболее близких к теме настоящей работы.

Эффект Тер-Микаеляна (или, как его иногда называют, эффект плотности в тормозном излучении) для конденсированных сред [111,112] или.

КЭД плазмы [56,57,113] связан с уменьшением полной интенсивности тормозного излучения «в области частот ш «С wpi7, где и>р есть плазменная частота, а 7 = Е/М — лоренц-фактор для частицы с энергией Е и массой М. Тем самым, существование данного эффекта подразумевает учёт не только взаимодействия излученного кванта со средой (в частности, приобретение им наведённой средой эффективной массы4), но и учёт конечности массы быстрой частицы, излучающей этот квант. Для горячей КХД среды эффект плотности в тормозном излучении был впервые рассмотрен В. Kampfer и O.P. Pavlenko [109] путём введения эффективной глюонной массы, зависящей от температуры системы. Было показано, что КХД-эффект Тер-Микаеляна приводит к подавлению наведённого излучения в области фазового пространства, отличной от той, в которой проявляется ЛПМ-эффект. Далее M. Djordjevic и M. Gyulassy [116] рассмотрели задачу о влиянии диэлектрических свойств горячей ядерной среды па динамическое излучение в нулевом порядке по непрозрачности и показали, что эффект Тер-Микаеляна редуцирует динамические потери энергии. Вопрос о модификации средой партонного каскада без обмена глюоном между быстрым партоном и термальными партонами также был изучен B.G. Zakharov [106].

В настоящее время изучение радиационных потерь энергии тяжёлых пар-тонов (с или Ъ кварков), распространяющихся через горячую КХД среду представляет собой самостоятельный интерес. Впервые на важность учёта эффекта потерь энергии тяжёлых кварков в, А + А столкновениях указал Е. Shuryak [117] в контексте их влияния на рождение дилептонов с большой инвариантной массой при распаде тяжёлого кварка. Эти дилептоны могут выступать в качестве одного из пробников наиболее плотных стадий ядерных столкновений [118−123]. Далее в работе M.G. Mustafa и др. [124] была дана грубая оценка радиационных потерь энергии тяжёлых кварков и показано, что величина этих потерь больше, чем величина столкновительных потерь энергии [47,125−131] для всех энергий практической важности (см. од.

4 Отметим, что в работе В. М. Галицкого и В. В. Якимец [114] (см. также [115]) был доказан следующий важный факт: кроме наведённой средой массы, эффект поглощения квантов той же средой также может приводить к сильному подавлению тормозного излучения в некоторой области частот. нако [132−137]). Эффект конечности массы был принят во внимание в [124] через кинематическое ограничение на максимальное значение импульса испущенного глюона без модификации, однако распределения по множественности испущенного глюона.

Вопрос о качественном отличии радиационных потерь тяжёлого кварка от потерь лёгкого кварка был рассмотрен Yu.L. Dokshitzer pi D.E. Kharzeev [110]. Это отличие связано с подавлением излучения на малые углы в силу, так называемого, явления «мёртвого» конуса [138]. Учёт конечности массы приводит к появлению в факторе гашения (quenching factor) [110,139] дополнительного, характерного именно для тяжёлых кварков, положительного члена, приводящего к уменьшению подавления^{-распределения} тяжёлых ад-ронов по сравнению с распределением для лёгких адронов. Следующий важный шаг в изучении проблемы потерь энергии тяжёлого кварка был сделан в работах М. Djordjevic и других [140−142], где было дано обобщение разложения по непрозрачности (opacity expansion) для безмассовых партонов на случай тяжёлых кварков с массой М. Было показано, что общий результат (учитывающий плазмонный эффект Тер-Микаеляна для глюонов) получается с помощью одного универсального сдвига всех частот на величину Аш = (га2 + х2М2)/(2хЕ) в разложении Gyulassy-Levai-Vitev [91,94], где тд есть эффективная масса тормозного глюона, а х — отношение частоты тормозного кванта к энергии быстрого партона. Важность развитого в [140] подхода определяется возможностью дальнейшего его приложения к томографии тяжёлыми кварками горячей ядерной материи.

Наличие термальных кварков и антикварков в горячей КХД среде приводит к тому, что наряду с мягкими бозе-возбуждениями в системе существуют и мягкие ферми-возбуждения, которые необходимо также учитывать в общей динамике кварк-глюонной плазмы. Исследование плазменных возбуждений в КГП с фермионным квантовым числом было начато в работах [143,144]. На основе температурных функций Грина в технике Мацубара в [143] и в рамках формализма реального времени Келдыша в [144] был впервые вычислен калибровочно-инвариантный спектр фермионных возбуждений в пределе очень горячей плазмы (т.е. когда массы кварков и антикварков в КГП малы по сравнению с температурой). Было показано, что при конечной температуре и нулевом химическом потенциале кварковый пропагатор имеет два полюса, т. е. спектр элементарных кваркоподобных возбуждений состоит из двух ветвей и имеет оптический характер (т.е. в спектре есть массовая щель).

Обе ветви имеют положительную энергию выше светового конуса. Одна из них является стандартной модой с киральностыо, равной спиральности, которую отождествляют с обычными кварками и антикварками. Вторая ветвь, с 'неправильным' отношением киральности к спиральности, представляет собой чисто коллективное возбуждение, специфичное для лёгких фермионов в ультрарелятивистской плазме. Детальный физический анализ данной моды колебаний был сделан в работах [145,146]. Это коллективное возбуждение было названо плазмино [147,148] с целью подчеркнуть, что подобно плазмоп-ной моде, оно обязано своим существованием чисто коллективным эффектам плазмы. Ветвь, описывающая обычные кварковые возбуждения, возрастает монотонно с импульсом. Другая ветвь сначала убывает при малых значениях импульса, достигая абсолютного минимума, а затем возрастает. При нулевом импульсе колебаний эти ветви вырождаются, а при больших импульсах — приближаются к световому конусу.

В силу того, что жёстко-температурные эффекты в КГП имеют классический характер (все НТЬ’б являются ультрафиолетово конечными, а появляющиеся в конкретных вычислениях инфракрасные расходимости, имеющие чисто квантовое происхождение, устраняются введением экранирующей магнитной массы порядка д2Т), возникает принципиальный вопрос: можно ли вычислить спектр (а также декремент затухания) ферми-возбуждений, исходя, например, из квазиклассических представлений, на основе кинетических уравнений? Спектр бозе-возбуждений КГП, также как и декремент затухания, вычисляется, исходя из кинетических уравнений для жёстких и мягких возбуждений, соответственно, [149−151,194]. Одной из возможных причин отсутствия попыток вычисления, по крайней мере, спектра кварковых возбуждений, являлось представление о невозможности (квази)классически описать связную волну с фермионным квантовым числом.

Однако после работы Л.-Р. Blaizot и Е. 1апси [152] такой путь изучения процессов с ферми-возбуждениями был открыт. Они построили собственное описание жёстких температурных эффектов в КГП, основанное на редукции квантовых уравнений Швингера-Дайсона к системе уравнений на функции распределения жёстких частиц — кварков, антикварков и поперечных глюо-нов и уравнений на усреднённые поля, описывающих мягкие моды колебаний. Эта замкнутая система уравнений была получена на основе согласованного разложения по константе взаимодействия и, таким образом, учитывала все эффекты, связанные с НТЬ’я.

Для того чтобы допустить коллективные возбуждения с произвольными квантовыми числами, в этой работе были введены в рассмотрение не только бозонные усредненные поля, но и усреднённые фермионные поля. Функции Вигнера, удовлетворяющие кинетическим уравнениям, являются, в общем случае, недиагональными в цветовом пространстве и могут смешивать бозонные и фермионные степени свободы. Уравнения на средние поля — уравнение Янга-Миллса для глюонного поля и уравнение Дирака для кварк-антикваркового поля содержат в правых частях наведенные средними полями цветные токи, определяющиеся с помощью соответствующих функций распределения. Так, например, функция Вигнера, на основе которой вычисляется наведенный ток в правой части уравнения Дирака, определяется с помощью абиормалъного пропагатора (обобщённой одночастичной матрицы плотности), представляющего собой квантово-статистическое усреднение произведения операторов различной статистики: потенциала калибровочного поля Аа и волновойг/'-функции кварка. Такой пропагатор отличен от нуля только в неравновесной системе. В первой главе данной диссертационной работы был использован лишь чисто бозонный сектор (т.е. когда мы пренебрегаем существованием мягких ферми-возбуждений) полученной 3.-Р. Blaizot и Е. 1апси самосогласованной системы уравнений. Во второй, третьей и четвертых главах показано, что фермионный сектор этой системы уравнений, дополненный соответствующими динамическими уравнениями на жесткую составляющую плазмы (см. ниже), содержит богатую информацию о динамике не только ферми-мод, но также и бозе-мод, с которыми они взаимодействуют. Вывод уравнения Больцмана, описывающего эволюцию плотности числа квазичастиц с полуцелым спином, рассматривался независимо А. Niegawa [153]. В рамках формализма Келдыша-Швингера кинетические уравнения для нормальной и абнормальной ферми-мод определяются из требования отсутствия больших вкладов благодаря пинчевым сингуляр-ностям пертурбативной схемы, предложенной в [153]. Формализм, развитый А. Niegawa, является вполне строгим и обладает значительной общностью, по крайней мере, для квазиоднородных систем вблизи равновесия. К сожалению, в этой работе не были приведены какие-либо конкретные выражения для столкновительных членов. В этом смысле подход, предложенный во второй главе данной диссертационной работы, имеющий более феноменологический характер, дополняет работу [153] примерами конкретных вычислений столкновительных членов в рамках эффективной теории Braaten-Pisarski.

В третьей главе мы сосредоточили своё внимание на изучении процессов спонтанного и индуцированного рассеяния мягких кварковых возбуждений па жёсткой термальной (или внешней) частице. Эта задача уже обсуждалась ранее в работе [195] с использованием несколько иной техники вычислений, чем представленная в данной главе. Здесь она рассмотрена более детально в рамках подхода построения эффективных токов и источников.

Предложенный метод основан на полной системе динамических уравнений ВЫгоМапси [152], дополненных уравнением Вонга [155], описывающим изменение классического цветного заряда С} = (фа), а = 1,., N?—1 жёсткой цветозаряженной частицы, и динамическими уравнениями для грассмановых цветных зарядов в = (в1) и ^ = (¿-^г), г = 1,., 7УС, во внешнем неабелевом поле. Последние уравнения были впервые предложены в работах [156,157]. Использование уравнений на грассмановы заряды является новым важным моментом развиваемой в диссертационной работе эффективной теории нелинейного взаимодействия жёстких и мягких фермионных и бозониых мод в горячей кварк-глюонной плазме.

Введение

в рассмотрение на равной основе с обычным цветным зарядом грассмановых цветных зарядов жёсткой цветной частицы позволяет ввести наряду с классическим цветным током также так называемый цветной грассманов ток (или источник, как мы его будем в дальнейшем называть) жёсткой частицы, переносящей полуцелый спин. Данный грассманов источник добавляется в правую часть уравнения Дирака для мягкого кваркового поля, подобно тому, как обычный цветной ток добавляется в правую часть уравнения Янга-Миллса [197]. Это позволяет получить замкнутое самосогласованное описание динамики нелинейного взаимодействия мягких и жёстких возбуждений, подчиняющихся фермии бозе-статистикам.

К сожалению, уравнение Вонга, а также уравнения для грассмановых зарядов в том виде, в каком они были получены в оригинальных работах [155 157], недостаточны для определения полных калибровочно-инвариантных выражений для матричных элементов изучаемых процессов рассеяния. Причиной этого является то, что данные уравнения получены в предположении наличия в системе только (регулярного или стохастического) глюонного поля Аа^{х). В разделе 3.3 предложено минимальное обобщение этих уравнений на случай присутствия в системе также мягкого случайного кварк-антикваркового поля фга (х): гду^, V¿-)(ТьГдс (£) + (0.1) у*)) — (Ш =0, = гду^А^ у*) (*а)+ гд (хаШ у*)) — 0, 0* = 9 €) о ' гд.

СИ '. ~ '4 ' V ' «' ' 4=40.

0.2) — - = 0, 0Ц = вЩ.

И м.- V ¦ «~ ' ——-/ «' ' ?=?0 где Ха — некоторый спинор, не зависящий от времени Последние два уравнения позволяют в рамках квазиклассического приближения с необходимой степенью точности описать динамику жёстких цветозаряженных частиц со спином ½.

Эти обобщённые уравнения порождают новые калибровочно-ковариант-ные цветные токи и источники жёсткой тестовой частицы, которые необходимо добавить в правые части соответствующих полевых уравнений. Только с учётом этих дополнительных токов и источников можно вычислить полные калибровочно-ковариантные эффективные токи и источники, порождающие процессы рассеяния мягких кварковых возбуждений на жёсткой частице. Отметим также, что эффективные токи и источники, полученные в рамках предложенной вычислительной схемы, обладают удивительной симметрией относительно свободных мягких глюонных и кварковых полей, а также обычного и грассмановых зарядов. Данное обстоятельство наводит на мысль о существовании (супер)преобразований, нетривиальным образом затрагивающих как бозонную, так и фермионную степени свободы жёстких и мягких возбуждений рассматриваемой системы, переводящих эффективные токи и источники друг в друга.

Подход, предложенный в главе 3, используется для изучения распространения быстрого партона (глюона или кварка) через горячую КХД среду и потерь энергии, связанных с этим движением. Показано, что учёт мягких возбуждений, подчиняющихся статистики Ферми-Дирака, приводит к появлению новых каналов потерь энергии и, в частности, потерь энергии, связанных со спонтанным рассеянием быстрого партона на мягких фермионных возбуждениях КГП. Частным и наиболее простым случаем последних являются поляризационные потери, порождаемые далёкими 'неупругими' столкновениями, при которых изменяется статистика исходного жёсткого партона. Этот тип потерь энергии дополняет уже известные поляризационные потери, порождаемые далёкими 'упругими' столкновениями [46−50].

Заметим, что приближение, в рамках которого вычислялись поляризационные потери энергии, справедливо лишь при весьма низком уровне возбуждений мягких полей среды. На это обстоятельство было указано в работе [49]. Однако можно ожидать, что при столкновениях ультрарелятивистских тяжелых ионов образовавшаяся КГП будет находиться в далёком от равновесия сильно-возбужденном состоянии, когда взаимодействие с мягкими коллективными возбуждениями может превалировать над эффектами столкновений с термальными частицами. При наличии интенсивного мягкого излучения в среде возникают дополнительные механизмы торможения (или ускорения) энергичной цветной частицы, связанные с процессами спонтанного и индуцированного рассеяния данной частицы на мягких кварк-антикварковых и глюонных возбуждениях. В предельном случае сильных полей ^ Я?3, Ар (х) ~ Т) данный тип потерь энергии становится одного порядка по д с другими механизмами потерь энергии и поэтому может дать заметный вклад в общий баланс потерь. Именно здесь должна проявиться в полной мере неабелева природа взаимодействия жёсткой цветной частицы с мягким кварк-антикварковым и глюонным полями в КГП.

Первой работой, где была сделана попытка учёта взаимодействия энергичной (массивной) цветной частицы со случайным фоновым хромоэлектри-ческим полем на основе квазиклассических уравнений движения, является работа [158]. В ней использовался подход, развитый применительно к проблеме стохастического торможения и ускорения космических лучей в обычной плазме [159]. Однако здесь остался без внимания тот факт, что в случае плотной и горячей среды, какой является КГП, в процессе рассеяния плазма, окружающая энергичный цветной заряд, не остается безучастной. В ней возникают нелинейные поляризационные токи, существенно изменяющие физическую картину. В случае абелевой плазмы это было показано в [160]. Для учёта поляризационных токов необходимо использовать кинетическое уравнение, что в работе [158] сделано не было.

Наиболее близкой, в идейном плане, к теме данного исследования является работа [161]. В ней впервые был поставлен вопрос о влиянии эффектов индуцированного глюонного излучения и термального поглощения на потери энергии быстрого партона, распространяющегося в горячей КХД среде. Данный механизм потерь энергии важен в КГП с большой начальной глю-онной плотностью, что возможно, действительно имеет место ввиду наблюдаемого в экспериментах на RHIC сильного подавления спектра адроиов с большими поперечными импульсами [99]. Однако в [161] рассмотрены лишь излучение и поглощение жёстких термальных глюонов (энергия которых порядка температуры системы) с использованием методов пертурбативной КХД. При большой плотности мягкого глюонного излучения становится важен также учёт вклада в потери энергии излучения и поглощения мягких глюонов энергичным партоном. Данные процессы (пропорциональные плотности числа мягких возбуждений) в силу больших чисел заполнений мягких возбуждений можно адекватно описывать, используя квазиклассические методы, основанные на приближении жёстких температурных петель. Третья глава представляет собой прямое обобщение результатов работ [158,161] на случай, когда в системе кроме мягкого глюонного излучения присутствует также мягкое кварк-антикварковое излучение.

В четвёртой главе рассмотрен вопрос о тормозном излучении мягкого кварка (или антикварка) высокоэнергичной цветной частицей, наведённом столкновениями с термальными партонами неабелевой плазмы. В целях упрощения задачи жёсткие кварк-антикварковые возбуждения считаются безмассовыми. На протяжении всей главы используется понятие тормозного излучения мягких (анти)кварков на равной основе с общепринятым понятием тормозного излучения мягких глюонов (см. главу 1). Это позволяет добиться единой терминологической унификации радиационных процессов в горячей КХД плазме с жёсткими и мягкими возбуждениями различной статистики. Отметим, что само понятие излучения (или поглощения) мягких фермионных возбуждений не является новым. Подобная терминология уже использовалась, например, В. Vanderheyden и J.-Y. Ollitrault [162] при анализе вкладов мягкого сектора возбуждений среды в декремент затухания одночастичных возбуждений в холодных ультрарелятивистских плазмах с КЭДили КХД-взаимодействиями.

Здесь хотелось бы отметить два направления исследований, где может оказаться полезным использование идей и представлений, изложенных в третьей и четвёртой главах. Первое из них связано с приложением к эффективной теории партонов с малым х (долей импульса нуклона, переносимой данным партоном), описываемых классическими уравнениями движения [163−165]. Сильные глюонные поля в этой теории порождаются классической плотностью цветного заряда ра, которая в свою очередь определяется валентными кварками внутри больших ядер-мишеней. В ряде работ [166−168] был развит подход, позволяющий выразить эту плотность в терминах плотности классических цветозаряженных частиц, движущихся в неабелевом фоновом поле. Цветные заряды Qa этих частиц удовлетворяют уравнению Вон-га. Считается, что такой подход справедлив в режиме большой плотности ядерной материи, когда ра является большим.

Далее в работе К. Fukushima [169] была сделана попытка принять во внимание некоммутативность плотности цветного заряда на операторном уровне для учёта квантовых поправок. Эти поправки могут быть уже существенными при низкой плотности. Однако эффекты 'некоммутативности' могут, в принципе, проявиться уже на классическом уровне, если предположить, что в рассматриваемой системе наряду с классическими глюонными полями А^(х) могут генерироваться (псевдо)классические (стохастические) кварк-антикварковые поля фга (х) и фга (х). Для описания этих эффектов необходимо будет ввести-наряду с обычным цветным зарядом Qa также антикоммутиру-ющие грассмановы цветные заряды and вг жёстких частиц. Кроме того, в этом случае уравнение движения для глюонного поля должно быть дополнено уравнением движения для кваркового поля, где в правой части последнего будет стоять цветной грассмановый ток (или источник, в нашей терминологии), выраженный в терминах 0-зарядов. Всё это может дать возможность исследовать более тонкие, например, спиновые эффекты в физике малых х уже на классическом уровне.

Второе направление, о котором хотелось бы здесь упомянуть, связано с изучением процессов взаимодействия струи со средой, при которых меняется тип струи, т. е. тип лидирующего партона. Так, в работах [170,171] было показано, что учёт эффекта конверсии между кварковыми и глюоиными струями при их прохождении через кварк-глюонную плазму является важным для объяснения некоторых экспериментальных данных, наряду с потерями энергии лидирующего партона. В нашем подходе процессы конверсии струй уже фактически заложены a priori в рассматриваемый формализм и являются его органичной частью. Кроме того, в отличие от подхода, развитого в [170, 171], где рассмотрены процессы изменения флейвера струи только через процессы рассеяния два в два типа gq —> qg, qq —> дд, ., которые являются просто дополнением к процессам потерь энергии, предлагаемый в данной работе формализм позволяет рассматривать более сложные процессы, где конверсия струй неразрывным образом связана с радиационными потерями энергии, наведёнными тормозным излучением мягких кварков или антикварков. Возможно, эти типы взаимодействия струи с горячей КХД средой могут дать заметный вклад в такой тонкий эффект как флейверная зависимость наблюдаемого явления гашения струй и в итоге, в её конечный адронный состав (jet hadron chemistry).

Пятая глава посвящена изучению нетривиальной задачи рассеяния быстрых цветных частиц на коллективных возбуждениях горячей глюонной плазмы, определённых на ультрамягкой импульсной шкале (ро ~ 94 Т, |р| ~ д2Т). Как известно, [23,172], в горячих калибровочных неабелевых теориях цветные флуктуации, характеризуемые импульсной шкалой д2Т являются непер-турбативными. Их динамика представляет определённый интерес, так как они ответственны за большую скорость нарушения барионного числа в горячей электрослабой теории благодаря топологическим переходам слабых.

SU (2) калибровочных полей [173−175].

Эффективная теория на ультрамягкой импульсной шкале описывается линеаризованным уравнением Больцмана-Ланжевена в форме, впервые предложенной D. Bodeker [176−178]. Исходя из бесстолкновительного неабелева уравнения Власова0, которое является результатом интегрирования по шкале Т [152], D. Bodeker показал, как можно проинтегрировать далее по шкале дТ в разложении по константе д. В лидирующем порядке по g им было найдено линеаризованное уравнение Власова-Больцмана для жёстких мод, которое кроме столкновительного члена включает также гауссовский шум, возникающий из тепловых флуктуаций начальных условий на мягкие поля. Столкновительный член описывает цветовую релаксацию, в то время как ланжевеновский источник служит для сохранения ультрамягких мод в термальном равновесиии. Это уравнение было затем получено рядом авторов на основе других подходов. Так, в работах D.F. Litim и С. Manuel [179,180] была использована классическая кинетическая теория в духе U. Heinz [149,150]. Предложенный подход обеспечил правильный вид не только столкновительного интеграла, но также и корреляционной функции случайного источника. Данный коррелятор был получен подобно тому, как это сделал D. Bodeker [176,177], непосредственно из микроскопической теории без использования флуктуационно-диссипационной теоремы. Несколько отличный подход, более феноменологического характера, для вычисления коррелятора случайного источника был представлен теми же авторами в работе [181], где использовалась хорошо известная связь между линеаризованным интегралом столкновений и энтропией. Далее J.-P. Blaizot и Е. Iancu [154] предложили свой оригинальный вывод уравнения Власова-Больцмана, исходя из уравнений Kadanoff-Baym. В работе [182] J.-P. Blaizot и Е. Iancu получили корреляционную функцию случайного источника в уравнении Больцмана-Ланжевена, используя флуктуационно-диссипационную теорему вместе с известной структурой столкновительного члена кинетического уравнения.

5 До тех пор, пока мы интересуемся коллективными возбуждениями с длиной волны ~ 1/дТ, можно пренебречь столкновениями между частицами плазмы в лидирующем порядке по g [152]. Однако эти столкновения становятся доминирующими для цветных возбуждений с длиной волны ~ 1 /д2Т.

Метод решения поставленных в пятой главе задач основан на общих идеях, которые были заложены в работе [197], посвящённой аналогичной задаче рассеяния релятивистских частиц на плазменных флуктуациях, определённых на мягкой импульсной шкале ро ~ <?Т, |р| дТ. Следуя идеологии работы [197], уравнение Больцмана-Ланжевена дополняется уравнением Вонга для классического цветного заряда быстрого партона, распространяющегося через горячую КХД среду. Этот процесс рассеяния порождается некоторым эффективным током, вычисление которого является основным моментом рассматриваемого формализма. Однако в отличие от [197] эффективный ток здесь представляет собой разложение не по степеням свободного калибровочного поля (которое на данной импульсной шкале сильно затухает из-за столкновений), а по степеням случайного источника иа (х, р) и начального значения цветного заряда быстрого партона. Здесь мы работаем в низшем порядке по цветному заряду, но во всех порядках по случайному источнику, так как внешний партон является истинно пертурбативным объектом, в то время как тепловые цветные флуктуации на ультрамягкой шкале д2Т являются непертурбативными, как уже говорилось выше.

Данный подход применяется к задаче потерь энергии быстрого партона, наведённых рассеянием на ультрамягких глюонных флуктуациях. Показано, что для малой константы взаимодействия этим вкладом в полный баланс потерь энергии можно пренебречь, хотя здесь существует некоторая неопределённость в точной оценке величины данного типа потерь. Она связана с тем, что обычный пертурбативный подход к вычислению потерь энергии в том виде, как он был определён в [197], 'не работает' на ультрамягкой импульсной шкале. Полное вычисление потерь энергии (с1Е/с1х)п 1. бой требует суммирования вкладов всех порядков по константе взаимодействия, что не может быть выполнено методами, развитыми в данной диссертационной работе.

В последнем разделе данной главы рассмотрен вывод наиболее общего выражения для корреляционной функции случайного источника ультрамягких бозонных флуктуаций. Здесь были использованы результаты известной работы Б. В. Кадомцева по кинетической флуктуационной теории [183] с минимальным обобщением на цветовую степень свободы. В частности, показано, что уравнение Больцмана-Ланжевена в той форме, как оно получено Х-Р.

ВЫгоЬ и Е. 1апси [154], является более общим, чем уравнение, полученное Б. Вбс1екег [176−178], если использовать корреляционную функцию ланжеве-новского источника, выписанную в разделе 5.2, и определены условия, при которых эти два подхода к описанию динамики ультрамягких полей становятся полностью эквивалентными.

В третьей и четвёртой главах был предложен подход к построению обобщённой (псевдо) классической модели для единого описания широкого спектра процессов взаимодействия мягких и жёстких возбуждений кварк-глюон-ной плазмы, подчиняющихся как Ферми, так и Бозе статистикам. Напомним, что одним из ключевых моментов в построении этой расширенной модели оказалось введение в рассмотрение, наряду с обычным (коммутирующим) цветным зарядом О1 жёсткой частицы, также грассмановых (антикоммути-рующих) цветных зарядов вг и Было приведено множество примеров конкретного вычисления вероятностей различных процессов рассеяния, включающих бозонные и фермионные жёсткие и мягкие моды, а также рассмотрены возможные приложения к задаче вычисления потерь энергии быстрых частиц, проходящих через горячую КХД материю.

Тем не менее, несмотря на разумность исходных предпосылок в построении упомянутой выше общей модели и также получение на их основе достаточно нетривиальных результатов, хотелось бы иметь некий независимый, физически прозрачный и одновременно простой способ проверки предложенного в этих главах подхода. Этот независимый взгляд должен быть основан на каком-либо фундаментальном, т. е. модельно-независимом физическом принципе. В качестве такого в шестой главе был выбран принцип, основанный на флуктуационно-диссипациопной теорелье (ФДТ), которая, как известно [184], допускает абстрактную формулировку, удобную для приложений этой теоремы к полям равновесных тепловых флуктуаций любой физической природы: электромагнитной, механической, температурной, энтропийной и т. п. ФДТ давно уже стала неотъемлемой стандартной частью в курсах по статистической механике [185−190] (см. также недавний обзор [191]).

Принципиальной особенностью рассматриваемой здесь задачи является тот факт, что внешнее возмущение, описываемое гамильтонианом Й}, меняет число частиц и античастиц в рассматриваемой системе, т. е., другими словами, оператор полного числа частиц N (более точно, разность между числом частиц и античастиц) не коммутирует с Щ (но коммутирует с гамильтониач ном самой многочастичной системы Щ). И хотя такой случай обсуждался в общей абстрактной постановке в ряде монографий (см., например, [187,190]), тем не менее, насколько нам известно, не было рассмотрено ни одной конкретной физической ситуации, где бы это обстоятельство играло существенную роль. Как следствие этого факта, нигде не было приведено конкретного выражения для флуктуационно-диссипационной теоремы, где бы эта некоммутативность проявилась бы явным образом. По этой причине мы сочли уместным провести детальный вывод флуктуационно-диссипационных соотношений в разделах 6.3 и 6.4 для рассматриваемой физической проблемы.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Подход к исследованию процессов тормозного излучения произвольного числа мягких глюонных возбуждений (продольных и поперечных) при рассеянии быстрых цветозаряженных частиц на термальных парто-нах горячей кварк-глюонной плазмы. Выражение для радиационных по-" терь энергии в лидирующем приближении по константе взаимодействия, учитывающее эффективную температурно-наведённую массу тормозного глюона, конечность массы быстрой частицы (тяжёлый кварк) и эффективную трёх-глюонную вершину взаимодействия, наведённую КХД средой.

2. Метод вывода системы кинетических уравнений типа Больцмана, учи- -тывающих наиболее простые процессы нелинейного взаимодействия мягких фермии бозе-возбуждений: упругое рассеяние мягких (анти)квар-ковых возбуждений на мягких глюонных и кварковых возбуждениях и аннигиляция мягкой кварк-антикварковой пары в два мягких глюонных возбуждения. При этом предложена итерационная процедура вычисления калибровочно-иивариантных матричных элементов для высших процессов взаимодействия мягких мод КГП.

3. Подход к построению общей теории процессов рассеяния мягких (ан-ти)кварковых возбуждений на жёстких термальных или внешних частицах. Основой подхода является предложенная нелинейная система динамических уравнений, описывающих эволюцию обычного (коммутирующего) классического цветного заряда, а также цветных зарядов грассмановой природы во внешних случайных калибровочном и фер-мионном полях. Данный подход позволил предсказать и аналитически проанализировать качественно новые механизмы потерь энергии быстрого цветного партона в неабелевой среде.

4. Метод построения матричных элементов для процессов тормозного излучения произвольного числа мягких кварковых (антикварковых) возбуждений при столкновении ультрарелятивистской цветозаряженной частицы с частицами КГП. Вывод замкнутого выражения для радиационных потерь энергии быстрой частицы в лидирующем приближении по константе взаимодействия, обусловленных тормозным излучением мягкого кварка.

5. Подход к исследованию процессов рассеяния и связанных с-ними потерь энергии быстрой цветной частицы на ультрамягких флуктуациях в горячей чисто глюонной плазме. Основой подхода является предложенный метод построения калибровочно-ковариантного эффективного тока, порождающего данные процессы взаимодействия.

6. Точное выражение для корреляционной функции случайного источника в эффективной теории ультрамягких неабелевых калибровочных полей.

7. Выражение для флуктуационно-диссипационной теоремы для мягких ферми-возбуждений кварк-глюонной плазмы.

Содержание работы.

Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, приложения, списка литературы и содержит 355 страниц и 42 рисунка.

Список литературы

включает 255 наименований.