Интегральные операторы с ядрами, близкими к разностно-суммарным

I. Ряд задач физики и техники приводит к интегральным уравнениям с разностным ядром. Таковыми являются задачи оптимального синтеза [I], [2], рассеяния света в атмосфере [3] - [5], дифракции на ленте [б], движения крыла под водой [7]-[9]. Причиной этого обычно является определенная однородность рассматриваемых процессов во времени или в пространстве. Такие же уравнения возникают и в важных математических вопросах: в теории игр, массового обслуживания, в обратных задачах и т. д.

Первые глубокие результаты об интегральных уравнениях на полуоси с ядрами, зависящими от разности аргументов, были получены в 1931 г. Н. Винером и Э.Хопфом. После выхода их классической работы [10] такие уравнения получили названия уравнений Винера-Хоп-фа. К настоящему времени теория уравнений Винера-Хопфа развита достаточно полно. В ее разработке принимали участие целый ряд математиков (главным образом, советских). К работе [10] вплотную примыкают работы В. А. Фока [II], [12] и Е. Рейснера [13], посвященные, как и [10], решению неоднородного уравнения Винера-Хопфа с ядрами, убывавшими на бесконечности, как показательная функция. Работы И. М. Рапопорта [14], [15] важны тем, что в них был указан новый метод решения уравнений типа свертки и они послужили исходной точкой для последовавшего затем большого, — продолжающегося до наших дней, — цикла работ, основанных на теории краевых задач аналитических функций. В 1958 г. была опубликована фундаментальная работа М. Г. Крейна [16], начиная с которой в исследованиях подобных уравнений широко применяются идеи и методы функционального анализа.

Результат, полученный М. Г. Крейном в работе [16] относительно условий нормальной разрешимости и числа линейно независимых решений в ряде функциональных пространств и др.) в случае с абсолютно интегрируемым ядром, послужил исходной точкой для серии исследований в этом направлении. Подробный обзор этих работ дан в монографии И. Ц. Гохберга и И. А. Фельдмана [17] (см. также монографию Ф. Д. Гахова, Ю. ЙЛерского [18]).

Продолжая идеи И. М. Рапопорта, М. Г. Крейн в [16] привел уравнение Винера-Хопфа к краевой задаче Римана и с помощью специальных теорем теории аналитических функций показал разрешимость последней в случае, когда коэффициент задачи является преобразованием Фурье абсолютно интегрируемой функции. Работы [14] - [16] показали, что развитие теории уравнений в свертках тесно связано с успехами в изучении краевых задач аналитических функций и эквивалентных им сингулярных интегральных уравнений. Теория сингулярных интегральных уравнений с гёльдеровскими коэффициентами в классе гё-льдеровских функций изложена в известных монографиях Н.И.ВДусхели-швили 0[9] и Ф. Д. Гахова [20] (В этих же монографиях содержатся подробные исторические сведения о развитии названной теории). Подробное изложение теории сингулярных интегральных уравнений в пространствах Ьр с весом с непрерывными коэффициентами, начатое в работах И. Б. Симоненко [21], Б. В. Хведелидзе [22], [23], В. В. Иванова [24], И. Ц. Гохберга [25] можно найти в монографии И. Ц. Гохберга и Н. Я. Крупника (26] .

В ряде работ исследование ведется при допущении разрывных коэффициентов. В статьях И. Б. Симоненко [27] -[31] изучены краевая задача Римана и сингулярные интегральные уравнения с измеримыми коэффициентами &> в предположении, что колебание аг^(>(1]) в точках разрыва остается меньше я-. В работах [32], [33] И.Ц.Гох-бергом и Н. Я. Крупником изучены алгебры сингулярных интегральных операторов в пространствах Ьр с весом, с кусочно-непрерывными коэффициентами (см. § 2 гл.1). Этими же авторами-в работах [34].

37] исследованы алгебры тёплицевых операторов в пространствах кр и 1р .В некоторых работах рассмотрены случаи разрывов другого типа — почти периодического и др. Изложение исследований этого рода дано в [26]. Уравнения типа свертки обобщались в разных направлениях. Количество работ, посвященных этим обобщениям столь велико, что дать хотя бы сколь-нибудь подробный обзор весьма затруднительно. Остановимся на некоторых из них. И. Б. Симоненко в.

38] были рассмотрены раздельно интегро-дифференциальные уравнения с п различными ядрами на п интервалах изменения переменной интегрирования s и с п ядрами, изменяющимися на п интервалах изменения переменной t. Эти уравнения являются прямым обобщением уравнений типа парных. Н. К. Карапетянц и С. Г. Самко в работе [39] рассмотрели интегральные операторы второго рода на прямой, с ядром «мозаичного» типа K (t-s) = kij (t, s) при pj (1=1,2,. n?. Щ m-оо) охватыванции случай k у («tб) = k? j (t s). Оказывается, что характеристическая часть этого уравнения зависит только от ядер Кц а, т. (X).

Другим направлением обобщений является исследование случаев, когда наряду с ядрами, зависящими от разности аргументов, входят и ядра, зависящие от их суммы, а также, когда уравнения содержат сопряженные значения искомых функций. Уравнениями указанного типа занималось большое число исследователей. Укажем только на работу И. И. Комяка [40], а также И. А. Парадоксовой, А. А. Говорухиной [41], где рассматриваются ядра вида k (toes) (более подробно см. монографию Ф. Д. Гахова, Ю. И. Черского [18]).

Уравнение с одним чисто суммарным ядром на всей оси принадлежит к числу классических. Решение его в замкнутой форме с помощью преобразования Фурье приводится в монографии Е. Титчмарша [42]. В работах Н. К. Каралетянца [431 и Н. К. Карапетянца, С. Г. Самко [44] рассмотрены дискретные операторы свертки с осциллирующими коэффициентами (см. также гл. 1 § I п.6). Н. К. Карапетянц и С. Г. Самко развивая основную идею своей работы [45], предложили в работах [46] - [50] общую схему построения теории Нётера абстрактных операторов вида К-^ХОРАкб, где (¡-ЬР — обобщенные ин.

К=0 5=0 волвдии, а операторы Акб принадлежат некоторому классу операторов, теория которых уже известна (см. гл. 1 § I п.5). Применяя эту схему, авторы исследовали на нётеровость уравнения типа свертки с отражением и с комплексным сопряжением, дискретные уравнения типа свертки с осцилляцией и с отражением, сингулярные интегральные уравнения на замкнутом или разомкнутом контуре с. конечной группой сдвигов и с разрывными коэффициентами.

В основе исследований указанных общих уравнений типа свертки лежит возможность приведения этих уравнений к тем или иным краевым задачам аналитических функций или к сингулярным интегральным уравнениям со сдвигом и комплексно сопряженными значениями неизвестной функции. Так, например, уравнения с суммарными ядрами на полуоси приводятся к краевым задачам со сдвигом, а уравнения с участием комплексно сопряженных значений искомых функций, приводятся к так называемым краевым задачам с сопряжением. Методы приведения к краевым задачам уравнений типа свертки и их обобщений изложены в монографии Ф. Д. Гахова, Ю. И. Черского [18] .

Теория краевых задач и сингулярных интегральных уравнений со сдвигом с непрерывными коэффициентами на замкнутых ляпуновских контурах изложена в монографии Г. С. Литвинчука [51]. Сингулярное интегральное уравнение с дробно-линейным сдвигом Карлемана на действительной оси изучена Н. К. Карапетянцем и С. Г. Самко в работе.

46], в которой найдено условие нётеровости и вычислен иццекс рассматриваемого уравнения. Более общая ситуация системы уравнений с двумя дробно-линейными сдвигами и кусочно-непрерывными коэффициентами рассмотрена Г. Ю. Виноградовой в работе [52]. Сингулярное интегральное уравнение с прямым сдвигом Карлемана на простой замкнутой кривой Ляпунова также изучена Н. К. Карапетянцем и С. Г. Самко в работах [47], [53]. В работах Й. Ц. Гохберга и Н. Я. Крупника [54], [55] изучается алгебра сингулярных интегральных операторов с обратным сдвигом Карлемана на простой замкнутой линии Ляпунова с кусочно-непрерывными коэффициентами. Достаточно полный обзор работ последних лет, посвященный теории Нётера сингулярных интегральных операторов со сдвигом, обратимости функциональных операторов и родственным им вопросам содержится в обзорной статье Ю. И. Карловича, В. Г. Кравченко, Г. С. Литвинчука [56].

Другим важным направлением в исследовании интегральных операторов с разностным и близким к ним ядрами, является вопрос их обращения. При этом большой интерес вызывает возможность восстановления резольвентного ядра К по его значениям на границе области его определения (или на ее части). Первый результат указанного типа принадлежит, по-видимому, Г. Плачеку, получившему еще в 1945 г. для резольвентного ядра интегрального оператора Фред-гольма на полупрямой, в случае известного в теории переноса излучения ядра К = Ег, I—" Ь|, форь^улу (1.3.3) (см. [57] § 6.7). В случае произвольного ядра К = к (зс-1:) (к € Ь"(К)) эта формула получена М. Г. Крейном в работе [16] (в случае системы см. [58]).

В случае конечного отрезка (0, т) и ядра К = к (|х-" Ь|) В. В. Соболев [59] получил следующую формулу для резольвентного ядра К к + Ш) К = К <1°>х) К ~ К №т-х) Я (0, хЛ).

В работах ТбО] - [63] Л. А. Сахновичем построена теория обращения самых общих (см. формулу (1.3.4)) операторов с разностным ядром (более подробно см. гл. 1 § 3 п.2). Некоторые из результатов Л. А. Сахновича перенесены на случай оператора с разностно-суммар-ным ядром И. И. Кальмушевским [64] (гл. 1 § 3 п, 3). К обращению интегральных операторов с ядрами указанного типа приводят задачи о дифракции электромагнитных волн у кругового отверстия в плоском экране или тонком проводящем диске [65], [66] .

Теория конечномерных теплицевых операторов (матриц) также хорошо разработана (см., например, [77] с библиографией).

В серии работ [67] - [69] Т. Кайлатом и М. Морфом с соавторами были введены интегральные операторы с ядром К, «почти разностным» в том смысле, что.

В работах А. Б. Нерсесяна, Н. А. Чернявской [70] и Б.А.КЬна [71] перенесены некоторые из результатов Л. А. Сахновича на случай операторов с ядрами вида (0.1).

А.Б.Нерсесяном в работе [72] (см. также [73]) предлагается метод обращения для широкого класса интегральных операторов Фред-гольма второго рода, ядра которых удовлетворяют уравнениям с частными производными (см. форцулу (1.3.24)), обобщающими соотношение (0.1) (подробнее см. гл. 1 § 3 п.4).

2. Настоящая работа посвящена изучению интегральных операторов с ядрами, удовлетворявшими (в обобщенном смысле) в скалярном случае соотношению вида n.

0.1).

0.2) а также дискретных аналогов интегральных операторов с ядрами вида (0.1) и (0.2). Ядра, удовлетворяющие соотношению (0.2), естественно считать «почти разностно-суммарными». Таковыми, в частности, являются разностно-суммарные ядра (Рк = (}к-0). Как видно из вышеизложенного, эта тематика является актуальной и активно разрабатываемой.

Целью работы является исследование на нётеровость интегральных операторов парного типа с почти разностно-суммарными ядрами и их дискретных аналогов и обращения наиболее общих интегральных операторов с вышеуказанными ядрами на конечном интервале (системе интервалов).

3. 0 практической и теоретической ценности результатов.

Как уже было упомянуто, интегральные операторы с разностным, разностно-суммарным и близкими к ним по структуре ядрами часто встречаются при решении различных задач физики, механики и техники. Теоретическая ценность исследований, связанных с такими операторами, также очевидна.

В работе вводятся новые классы интегральных и дискретных операторов типа свертки, для которых найдены условия нормальной разрешимости и вычислены индексы. В случае интегральных операторов на конечном интервале проясняются основные вопросы, связанные с построением обратного оператора. Результаты и методы работы могут быть использованы при дальнейшем развитии теории.

4. Основные результаты диссертации.

В главе I приводятся предварительные сведения, используемые в дальнейшем. Так, § I посвящен теории Нётера общих линейных ограниченных операторов, § 2 — теории Нётера сингулярных интегральных операторов со сдвигом. В § 3 приводятся некоторые результаты.

Л.А.Сахновича, Л. Н. Дудко, И. И. Кальмушевского и А. Б. Нерсесяна, относящиеся к вопросам обращения интегральных операторов.

Глава П посвящена исследованию на нётеровость интегральных операторов с почти разностно-суммарными ядрами и их дискретных аналогов. Пусть.

— 1-)+13 («+!-) + ^ |)сЫг, (0.3) о х-Ч+г.

— оо"х>, t.

П±- - проекторы в ь- (К), определенные равенствами у>(х) со>0.

П+£)(«)» |, (0.4).

В § I главы П доказывается (теорема 2.1.1), что в случае,.

L (w*(*>j)/¡-ту. и V- ¦/•-,.. * 1 еку д&tradeнётеровости операторов где (Л^, ^ - постоянные комплекснозначные матрицы) со.

0=1″") (0.5) необходимо и достаточно выполнение соответственно следующих условий:

Д (1) =.

Ы I, А }*.

Ф 0, (0.6).

М1) = еХ I IФ 0, -оо^^оо. (0.7).

При соответственном выполнении этих условий индексы операто.

Л/ /V ров Ж и вычисляются по формулам.

СЫ % = им!, Д = аг^А (I)] Ц

ЗпАЙ1″ ^А1(|) = 1/^[аг?Д1(|)]|°°00 <0.9).

С помощью этого результата, — из общих соображений, — аналогичные результаты (теоремы 2.1.2 и 2.1.3) доказываются для одностороннего оператора Ж = П+3{ П+ и оператора +, V где 0 — оператор комплексного сопряжения, а ^ , — операторы такого же вида, что и СН^ .

В конце параграфа приводятся некоторые замечания относительно условий, накладываемых на матрицы-функции р^ (ос) (] = 1,2) и относительно возможных обобщений.

Пусть Г — единичная окружность комплексной плоскости и.

КГ' ГГ • РГ ' <?Г < к=1'2 5 ] = 0,±1,±2.) коэффициенты Фурье функций? г (к г (к), £(К), ^(к)бЬов (Г). Относительно к=1,2) дополнительно предполагается, что = 0 при ^<0 и 0 при. Обозначим m, -i a) V Ji] V a), C2) V см V c*>

4V — Ь Pn-irt+j+zi — 4V «ij — n, m = 0,±i,±?. (O.IO).

Определим операторы Щ (j=!,?), П±действунцие в^, следующим образом: оо.

О.И) nJk-M-O.Mi.l".), (0.12) n"0,±i,±2. .

В § 2 главы П изучаются диифвтныв операторы парного типа.

Доказывается (теорема 2.2.1), что при непрерывности функций 1г°°, rfk), (jik), i — t2)'1 р (к) оператор К нётеров в Ьг в том и только в том случае, когда выполнено следующее условие.

A (t) = detl Uo (0.13) г «et ter.

При выполнении этого условия индекс оператора Ж вычисляется по формуле.

Jnd Ж = i, ndA (t) = I^[ar^A (t)](t (=1 (0.14).

Аналогичный результат доказывается (теорема 2.2.1) и для оператора Ж1. Отдельно рассматривается случай, когда функции.

1 г (к), гск), а (К), (1-Ья)р (К) (к=1,2) кусочно-непрерывны. В этом.

• —. ^ I случае исследование на нётеровость операторов ЗС и ЗС сводятся к исследованию на нётеровость сингулярных интегральных операторов с разрывными коэффициентами, заданных на полуокружности (теорема 2.2.2).

В конце параграфа приведены необходимые и достаточные уело""" чу вия нётеровости одностороннего оператора (теорема.

2.2.3) и некоторые замечания относительно возможных обобщений.

В § 3 гл. П рассматриваются дискретные аналоги операторов типа свертки с ядрами, удовлетворяющими соотношению вида (0.1). Приведены несколько результатов (теоремы 2.3.1 — 2.3.4) относительно выявления условий нётеровости и вычисления индекса парных и односторонних операторов данного класса. Вычисление дефектных чисел этих операторов сводится к нахождению частных индексов некоторых матриц-функций. В конце параграфа на случай операторов данного класса перенесены результаты Н. К. Карапетянца [43] и Н.К.Карапетян-ца, С. Г. Самко [44] относительно дискретных операторов Винера-Хоп-фа с осциллирующими коэффициентами.

Глава Ш посвящена обращению оператора, действующего в (0,со) вида о о ос-г+т (0.15).

При этом важную роль играют матрицы-функции К1к (х), Мк (х) (к = = 1,2,3,4,5),, определяемые из следующих соотношений Еп — единичная матрица).

ХЫгЕп, Х*М^Ы* ХЫл~хЕа, ЛМг=Ы*(х), где.

Жъ = М (х), Ж М3=Еа, ~М0(х)у %М4=хЕп М (х) = - [к (X) + г (X)], М0 (X) = к'(х) — г '(X), х сс-г.

К1(х) = к (-х) + г (х) + ^ уст) ^ р (Ь)(Ц (1т,.

0.16).

— г-ас.

0.17) х.

N0 (х) = к'(-х) + г'(х) + ^ ^(1) [р (х-4) -р (1—х)] ?X, о.

X о.

В § I доказывается (теорема 3.1.1), что еоли существует ограниченный оператор Т, обратный к оператору Ж, то имеет место представление с!/2, Г ^.

Т$щ = - ^ ] Ъ- 5) ^.

0.18) где гы+ъ-ъ ц~2и. 1−5.

2Ш-Х+5 Яш-и.

0.19) Х+5 х-З, а /(х) — некоторая матрица-функция, такая, что /(х) = 0 при X ^ со .

В § 2 показано (теорема 3.2.1), что в случае существования матриц-функций Мк, Мк, оператор Т, определенный на п (АУ2(Д — совокупность 3 раза дщф|еренцируемых вектор-дикций ср (х) таких, что ср" '&euro- 1^(0,со)) по формуле из.

Тер = ср (0) М1(х) + 1р'(0) 11£(х) — ^(р" СЬ) СЦх, 1-)<�й +.

О (О 0} (О.

X X XV и и (0−2°).

Уг^ - Уг ср" (0) | Ыг (Щ<1м.

X X ш со+х-1 (О со.

X о х Ь-Х является правым обратным для оператора X, т. е.

Основную роль при доказательстве двух последних утверзвдений играет доказанное в § I соотношение (лемма 3.1.1).

АД—КАо)^= (0.21).

60 [М (х) + N Л) + К10 Й) х+1М0 (х) + Р (х)] 6Х, где х Ь о о.

В § 3 результаты, полученные в § I, распространяются на случай «мозаичного» ядра К (х^). в качестве примера более детально рассмотрен случай, когда гк ?(х-Ц +г1(х+Ц О^х^б.

КСа^Н.

5. Остановимся вкратце на характеристике новизны предлагаемых результатов.

Для класса интегральных операторов Фредгольма второго рода, предложенного А. Б. Нерсесяном (см. [72], [73]), естественным образом обобщаются формулы обращения, ранее известные для интегральных операторов с разностным ядром. В этом смысле ядра этих операторов можно считать «близкими» к разностным. Как известно, интегральные операторы с разностным ядром и их дискретные аналоги хорошо поддаются исследованию на нётеровость, и, естественно, интересны вопросы, связанные с нётеровостыо операторов, «близких» к разностным.

В §§ I, 2 главы П исследованы на нётеровость интегральные операторы с ядрами, удовлетворяющими соотношению (0.2) (последние включаются в вышеуказанный класс) и их дискретные аналоги. Такие операторы ранее не рассматривались и все результаты, полученные относительно них, новые.

Рассмотренные в § 3 главы П дискретные операторы, называемые обычно почти тёшшцевыми, принадлежат алгебре тёплицевых операторов и изучались И. Ц. Гохбергом и Н. Я. Крупником ([35]-[37]). Результаты, полученные в этом параграфе (кроме теоремы 2.3.5), в принципе, вытекают из этих работ и приведены как дополнение к первым двум параграфам. Изучаемые операторы интересны тем, что являются дискретными аналогами интегральных операторов с ядрами, удов летворякщими соотношению (0.1), которые включаются в вышеуказанный класс ядер. В последнем пункте § 3 главы П, на основе результатов работ Н. К. Карапетянца [43] и Н. К. Карапетянца, С. Г. Самко [44] исследуются почти тёплицевы операторы с осциллирующими коэффициентами, которые ранее не рассматривались.

Как уже упоминалось, А. Б. Нерсесяном ([72], [73]) был дан метод обращения интегральных операторов Фредгольма второго рода с ядрами, удовлетворящими, в частности, соотношению (0.2). В главе Ш исследуются вопросы обращения интегральных операторов с такими ядрами, более общего вида, содержащие, в частности, как операторы второго рода, так и первого. Первые и наиболее глубокие результаты относительно обращения таких операторов в случае разностного ядра получены Л. А. Сахновичем в работах [60] - [63]. В этих работах, в частности, содержатся результаты, подобные полученным в §§ I, 2 главы Ш. В случае почти разностных ядер эти результаты получены А. Б. Нерсесяном и Н. А. Чернявской ([70]). Теорема 3.1.1 при разностно-суммарном ядре (скалярный случай) получен И.И.Каль-мушевским [64]. Результат, полученный в § 2 главы Ш (теорема 3.1.2), ранее не был известен даже в случае разностно-суммарного ядра, а операторы такого вида с «мозаичным» ядром (§ 3 гл. Ш) обобщают операторы Л. А. Сахновича ([63]) с разностным ядром на системе отрезков.

6 Относительно методики исследования отметим следующее. В основе первой части работы (гл.П) лежит ставший уже классическим метод приведения к краевым задачам или к сингулярным интегральным операторам. При изучении вопросов нётеровости парных операторов в пространствах С!, ((Я) используется техника и результаты теории сингулярных интегральных операторов со сдвигом. При изучении более сложных операторов или парных операторов в 1^р (р>{) применяются абстрактные подходы, предложенные Н. К. Карапетянцем, С. Г. Самко (148]) и И. Ц. Гохбергом, Н. Я. Крупником ([74]), сводящие изучение сложных операторов к изучению операторов более простой структуры.

В главе Ш применяется метод, предложенный Л. А. Сахновичем и основанный на операторных тождествах.

7. Нумерация формул тройная, причем первая цифра указывает главу, а вторая — параграф.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [75],.

76].

1. Бахрах А. Д., Кремвнецкий С. Д. Синтез излучающих систем. М.: Сов. радио, 1974, 232 с.

2. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. М.: Физматгиз, I960, 655 с.

3. Иванов В. В. Перенос излучения и спектры небесных тел. М.: Наука, 1969, 658 с.

4. Соболев В. В. Рассеяние света в атмосферах планет. М.: Наука, 1972, 335 с.

5. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. М.: ИЛ, 1953, 432 с.

6. Хенл X., Мауэ Л., Вестдфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964, 428 с.

7. Келдыш М. В., Лаврентьев М. А. О движении крыла под поверхностью тяжелой жидкости. Труды конференции по теории волнового сопротивления, ЦАГИ, 1937.

8. Костюков A.A. Теория карабельных волн и волнового сопротивления. Л.: Судпромгиз, 1959.

9. Панченков А. Н. Гидродинамика подводного крыла. Киев: Наукова думка, 1965.

10. Wiener N., Hopf Е. uber ein Klasse singularer Integralgleichungen.- Sitz.Acad. Wiss. Berlin, 1931, p. 696−706.

11. Фок В. А. О некоторых интегральных уравнениях математической физики. Докл. АН СССР, 1942, т. З, & 4−5, с.147−151.

12. Фок В. А. О некоторых интегральных уравнениях математической физики. Матем.сб., 1944, т.14(56), $ 1−2, с.3−50.

13. Reisener Е. On a class of singular integral equations, — Journ. Math. Phyz. Mass. Inst. Techn., 1941, v. 20, p. 219−223.

14. Рапопорт И. М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений. Докл. АН СССР, 1948, т.59, № 8, с.1403−1406.

15. Рапопорт И. М. 0 некоторых «парных» интегральных и интегро-дифференциальных уравнениях. Сб. тр. ин-та матем. АН УССР, 1949, т.12, с.102−118.

16. Крейн М. Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов. Успехи матем. наук, т. 13, № 5(83), 1958, с.3−120.

17. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971, 352 с.

18. Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978, 295 с.

19. Мусхелишвшш Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968, 511 с.

20. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977, 640 с.

21. Симоненко И. Б. Краевая задача Римана с непрерывным коэффициентом. Докл. АН СССР, 1959, т.124, № 2, с.278−281.

22. Хведелидзе Б. В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения. Тр. Тбил. матем. ин-та Груз. ССР, 1957, т. ХХШ, с.123−136.

23. Хведелидзе Б. В. Замечание к моей работе «Линейные граничные задачи». Сообщ. АН Груз. ССР, 1958, т. XXI, № 2, с.129−130.

24. Иванов В. В. Некоторые свойства особых интегралов типа Коши и их приложения. Докл. АН СССР, 1958, т.121, № 5, с.793−794.

25. Гохберг И. Ц. О числе решений однородного сингулярного интегрального уравнения с непрерывными коэффициентами. Докл. АН СССР, 1958, т.122, ^ 3, с.327−330.

26. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я.

Введение

в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев: Штиинца, 1973, 426 с.

27. Симоненко И. Б. Некоторые общие вопросы теории краевой задачи Римана. Изв. АН СССР, сер.матем., 1968, т.32, с.1138−1146.

28. Симоненко И. Б. Краевая задача Римана с непрерывными коэффициентами. Докл. АН СССР, 1960, т.135, № 3, с.538−541.

29. Симоненко И. Б. Краевая задача Римана для пар функций с измеримыми коэффициентами и ее применение к исследованию сингулярных интегралов в пространствах Ьр с весами. Изв. АН СССР, сер.матем., 1964, т.28, № 2, с.277−306.

30. Симоненко И. Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений. I.-Изв.АН СССР, сер.матем., 1965, т.29, $ 3, с.567−586.

31. Симоненко И. Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений. ПИзв. АН СССР, сер.матем., 1965, т.29, № 4, с.757−782.

32. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Об алгебре, порожденной одномерными сингулярными интегральными операторами с кусочно-непрерывными коэффициентами. Функц. анализ, 1970, т.4, вып. З, с.27−38.

33. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Сингулярные интегральные операторы с кусочно-непрерывными коэффициентами и их символы. Изв. АН СССР, сер.матем., 1971, т.35, № 4, с.940−964.

34. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. О спектре сингулярных интегральных операторов в пространстве Ьр. М^.1ета1-:1са, 1968, у.31, р.347−362.

35. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Об алгебре, порожденной теплицевы-ми матрицами. Функц. анализ, 1969, т. З, вып.2, с.46−56.

36. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Об алгебре, порозденной тёплицевы-ми матрицами в пространствах 1гр. Матем. исследование, 1969, т.4, вып. З, с.54−62. по.

37. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Об одном локальном принципе и алгебрах, порожденных ТёШШЦеВЫМИ матрицами. Аппа1е1е а-ЬИп-tifi.ce а1е ипЗлг. «АЬ.1.Си2а|, 1а83., Звс1-. 1а Макета 1-:1са, 1973, v.1,p. 43−71.

38. Симоненко И. Б. О некоторых интегро-дифференциальных уравнениях типа свертки. Изв. вузов, Математика, 1959, № 2,с.213−226.

39. Каралетянц Н. К., Самко С. Г. Об индексе некоторых классов интегральных операторов. Изв. АН Арм.ССР, сер.матем., 1973, т. УШ, № I, с.24−40.

40. Комяк И. И. Об одном интегральном уравнении на полуоси. Докл. АН БССР, 1969, т.13, А 3, с.197−208.

41. Парадоксова И. А., Говорухина Л. А. О парных интегральных уравнениях типа свертки с ядрами, зависящими от линейной функции. Изв. вузов, Математика, 1969, № I, с.47−52.

42. Титчмарш Е.

Введение

в теорию интегралов Фурье. М.-Л.: Гостех-издат, 1948, 479 с.

43. Карапетянц Н. К. Об одном классе дискретных операторов свертки с осциллирующими коэффициентами. Докл. А7 СССР, 1974, т.216, # I, с.28−31.

44. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. О дискретных операторах Винера-Хопфа с осциллирующими коэффициентами. Докл. АН СССР, 1971, т.200,? I, с.17−20.

45. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. Сингулярные интегральные операторы со сдвигом на разомкнутом контуре. Докл. АН СССР, 1972, т.204, № 3, с.536−539.

46. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. Сингулярные интегральные операторы на оси с дробно-линейным сдвигом и нётеровость операторов с инволюцией. Изв. АН Арм.ССР, сер.матем., 1972, т. УП, № I, с. 68−77.

47. Каралетянц Н. К., Самко С. Г. Сингулярные интегральные уравнения со сдвигом Карлемана в случае разрывных коэффициентов и исследование нётеровости одного класса линейных операторов с инволюцией. Докл. АН СССР, 1973, т.211, № 2, с.281−284.

48. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. Исследование нётеровости линейных уравнений с обобщенными инволютивными операторами и его приложения. Сб. Методы теории функций и функционального анализа, Грозный, Чечено-Ингушский ун-т, 1976, с.14−21.

49. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. О дискретных операторах свертки с почти стабилизирующимися коэффициентами. Матем. заметки, 1977, т.22, вып. З, с.339−344.

50. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. Исследование нётеровости операторов с инволюцией порядка п и его приложения. Изв. вузов, Математика, 1977, № II, с.15−26.

51. Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977, 448 с.

52. Виноградова Г. Ю. Сингулярные интегральные операторы с двумя дробно-линейными сдвигами на вещественной оси. ВИНИТИ, Л 3334−79, Деп., 1979.

53. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. Сингулярные интегральные операторы со сдвигом Карлемана в случае кусочно-непрерывных коэффициентов I, П. Изв. вузов, Математика, 1975, №№ 2−3, с.43−54, 34−42.

54. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Об одномерных сингулярных интегральных операторах со сдвигом. Изв. АН Арм.ССР, сер. матем., 1973, т. УШ, № I, с.3−12.

55. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Об алгебрах интегральных операторов со сдвигом. Матем. исследования, 1973, т.8, № 2 (28), с.170−175.

56. Карлович Ю. И., Кравченко В. Г., Литвинчук Г. С. Теория Нётера сингулярных интегральных операторов со сдвигом. Изв. вузов, Математика, 1983, № 4, с.3−27.

57. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. М.: Атомиздат, I960.

58. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов. Успехи матем. наук, 1958, т.13, вып.2, с.3−72.

59. Соболев В. В. К теории диффузии излучения. Изв. АН Арм.ССР, сер. физ.-мат.наук, 1958, т. XI, № 5, с.39−50.

60. Сахнович Л. А. Уравнения с разностным ядром на конечном отрезке. Успехи матем. наук, 1980, т.35, вып.4 (214), с.69−129.

61. Сахнович Л. А. 0 подобии операторов. Сиб. матем. журн., 1972, № 4, с.868−883.

62. Сахнович I.A. Об интегральном уравнении с ядром, зависящим от разности аргументов. Матем. исследования, 1973, т.8, № 2, с.138−146.

63. Сахнович Л. А. Системы уравнений с разностными ядрами. Укр. матем. журн., 1980, № I, с.61−68.

64. Кальмушевский И. И. 0 решении некоторых интегральных уравнений с ядрами, зависящими от суммы и разности аргументов. Дифференциальные уравнения, 1980, т.16, № 5, с.941−943.

65. Ахиезер Н. И., Ахиезер А. Н. К задаче о диффузии электромагнитных волн у кругового отверстия в плоском экране. Докл. АН СССР, 1956, т.109, № I, с.53−56.

66. Лебедев H.H., Скальская А. Н. Новый метод решения задачи дифракции электромагнитных волн на тонком проводящем диске. -Журн. техн. физики, 1959, т.29, вып.6, с.700−711.

67. Kailath T. t Ljung L., Morf M. Generalized Krein-Levinson Equations for Efficient Calculation of Fredholm Resolvents of Nondisplacement Kernels.- Topics in Functional Anal. Advances in Math. Suppl. Studies, 1978, v.3,p*169−183.

68. Нерсесян А. Б., Чернявская H.A. Об обращении интегральных операторов с почти разностным ядром. Докл. АН Арм. ССР, 1984, т. XXIX, № I, с.10−14.• Коп В.A. Inverse of Wiener-Hopf-Type Operators.- Journal of1. tegral Equations, 1984, N.27,p.93−101.

69. Нерсесян А. Б. Структура резольвенты некоторых интегральныхоператоров. Изв. АН Арм.ССР, сер.матем., 1982, т. ХУП, № 6, с.442−463.

70. Нерсесян А. Б. 0 структуре резольвент некоторых интегральных операторов с ядрами, определяемыми дифференциальными уравнениями. Докл. АН СССР, 1984, т.279,? 4, с.805−809.

71. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. 0 сложных линейных сингулярных интегральных операторах. Матем. исследования, 1969, т.4, вып. 4, с.20−32.

72. Камалян А. Г., Нерсесян А. Б. Об обращении интегральных операторов с почти разностно-суммарным ядром. Изв. АН Арм. ССР, сер. матем., 1984, т. XIX, № 3, с.187−206.

73. Камалян А. Г. 0 нормальной разрешимости дискретного аналога интегральных уравнений с почти разностно-суммарным ядром. -Изв. АН Арм. ССР, сер.матем., 1984, т. ХП, В 5, с.390−397.

74. Heinig G., Rost К. Algebraic Methods for Toeplitz-like Matrices and operators.- Mathematical Research, Band 19"Academic-Verlag, Berlin, 1984,213р.

75. Бурбаки H. Функции действительного переменного. М.: Наука, 1965, 424 с.

76. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 197I, 103, с.

77. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. 0 функциональном уравнении-ф а,) — 6(х)= %(а>). Изв. АН Арм.ССР, сер.матем., 1970, т. У, № 5, с.441−4448.

78. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. Об oc (t) -факторизации и о функциональном уравнении с вырожденным символом. Изв.Сев.-Кав. научного центра высш. школы, сер.нстест.н., 1973, $ 4, с.41−43.

79. Карапетянц Н. К. .0 факторизации со сдвигом а>+ ои на оси. -Изв. Сев.-Кав. научн. центра высш. школы, сер. естест.н., 1975, № 4, с.98−100.

80. Дудко Л. Н., Кальмушевский И. И. Об условиях подобия оператору в терминах характеристической матрицы-функции. Изв. вузов, Математика, 1976, № 4 (167), с.38−46.