Малые абелевы группы

Актуальность темы

Абелевы группы составляют один из важнейших классов групп. Теория абелевых групп тесно переплетается с теориями модулей, колец, множеств, чисел. С одной стороны, теория абелевых групп, являясь частью теории модулей, использует ее идеи и методы, с другой стороны, она — один из основных источников новых исследований в теории модулей. Структурные результаты для важных классов периодических абелевых групп были получены Г. Прюфером, Г. Ульмом, Л. Я. Куликовым. В теории абелевых групп без кручения развиты структурные теории групп без кручения конечого ранга, вполне разложимых и почти вполне разложимых групп, векторных групп, групп Батлера. Для смешанных абелевых групп построена хорошая структурная теория групп с тотально проективными периодическими частями, осуществлено построение групп с заданой последовательностью Ульма, развита теория групп Уорфилда. Серьезное влияние на развитие теории абелевых групп оказали монографии JI. Фукса [18], [19] и И. Капланского [34]. В последнее время теория абелевых групп интенсивно развивается.

При изучении алгебраических систем большую роль играют отображения этих систем, среди которых особое значение имеют гомоморфизмы.

Тот факт, что множество всех гомоморфизмов абелевой группы, А в абелеву группу В образует абелеву группу Нот (Д В), оказался исключительно важным. Алгебраическое строение группы Нот (Л, В) известно только в некоторых частных случаях. Основные результаты здесь были получены Р. Пирсом, который нашел инварианты группы Нот (Д В) как алгебраически компактной группы в случае периодической группы, А ([37]).

В последнее время тематика, связанная с группой Нот (Д В) и вообще с гомоморфизмами абелевых групп, приобретает все большую актуальность. Изучению строения групп гомоморфизмов абелевых групп и исследованию их свойств посвящены работы JI. Фукса [29], [30], Л. И. Власовой [1], С. Я. Гриншпона [2], П. А. Крылова [4], A.M. Себельдина [15], [16], П. Гросса [32], [33], Ф. Шульца [39], А. Мадера [36], Р. Уорфилда [40], JI. Лиувена [35] и других алгебраистов. Важные результаты о группах гомоморфизмов и кольцах эндоморфизмов абелевых групп приведены в [5].

При исследовании групп гомоморфизмов большой интерес представляют гомоморфизмы в прямые суммы и прямые произведения и гомоморфизмы из прямых сумм и прямых произведений. Изучаются различные классы групп, связанные с такими гомоморфизмами.

Д. Лось открыл замечательный класс групп без кручения — класс узких групп. Пусть Р обозначает прямое произведение счетного числа оо бесконечных циклических групп, Р = П (еп): где о (еп) = оо. Группа без кручения, А называется узкой ([19], с. 189), если при любом гомоморфизме г]: Р, А для почти всех п выполняется равенство г/еп = 0. Оказывается, что класс узких групп достаточно широк и обладает рядом интересных свойств (см., например, [19], [28], [38] и [10]-[14]).

Пусть Я — произвольный класс групп. В [7] А. В. Иванов называет группу, А группой Уорфилда относительно класса Я, если для любых групп Bi Е Я и для любого гомоморфизма <р: А —" ф Bi существуют натуральное число iei п, конечное подмножество J множества / и существенная подгруппа.

Н С пА, для которых (рН С ф Bi. ieJ.

В работе С. Ю. Максимова [9] группа, А называется СW-группой, если для любых групп Bi и для любого гомоморфизма ср: А —" фД iel существуют счетное подмножество J множества I и разложение группы, А = А1 ® А2, где А2 — счетная прямая сумма ограниченных групп, и для всякого ненулевого элемента, а? А существует такое целое число п, что p (nai) € ф Bi и па Ф 0. ieJ.

В [18] (проблема 44) поставлена задача исследования абелевых групп А, обладающих свойством: если, А содержится в прямой сумме редуцированных групп, то существует такое натуральное число п, что пА содержится в прямой сумме конечного числа этих групп. Обобщая эту проблему в [б], А. В. Иванов вводит понятие Фукс-44 группы относительно произвольного класса групп Я и исследует введенные группы.

В [8] А. В. Иванов доказал, что факторгруппа прямого произведения неизмеримого множества произвольных групп по прямой сумме этих групп является Фукс-44 группой. Для измеримого множества групп это в общем случае уже не так.

В [31] дается обобщение узких групп и рассматривается их связь с Фукс-44 группами.

Д. Арнольд и К. Мерли в [21] рассматривают понятие самомалых групп. Абелева группа, А называется самомалой группой, если для любых групп Ai = А и для любого гомоморфизма (р: А —> iei существует конечное подмножество J множества / такое, что tpA С ф А{. гел.

Для самомалых модулей определение дается аналогично. Исследованию самомалых абелевых групп и самомалых модулей посвящено большое количество работ (см., например, [5], [20], [24]-[27]).

В [18] доказано, что существует естественный изоморфизм.

Нот (Д Д Bt) = П Нот (А Bi)-iei iei.

Если же взять группы гомоморфизмов Нот (Л, ф^) и фНот (у1, iel iel то в общем случае естественного изоморфизма нет. Возникает естественный вопрос: для каких абелевых групп, А существует изоморфизм.

Нот (Д 0 Bi) = 0 Нот (Д Бг). iel iel.

Пусть Я — некоторый класс абелевых групп. Абеелву группу, А назовем.

Я-малой (или малой относится, ьно Л), если для любого гомоморфизма р: А —где Bi Е Я для всякого iel, существует конечное iel подмножество J множества I такое, что (рА С ф В{. ieJ.

Очевидно, что абелева группа, А является Я-малой тогда и только тогда, когда существует естественный изоморфизм.

Нот (Д 0 Bi) = 0 Нот (Л, iel iel где Bi Е Я для всякого i Е I.

Если класс Я совпадает с классом всех абелевых групп, то Я-малую группу, А будем называть малой.

Заметим, что введенное определение малой группы согласуется с определением из [17] малого объекта в категории с копроизведениями.

Цель работы. Целью диссертационной работы является изучение малых групп относительно различных классов групп Я.

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие.

1. Исследованы свойства малых групп относительно произвольного класса групп.

2. Описаны группы, малые относительно класса всех групп, класса всех делимых групп и класса всех нередуцированных групп.

3. Найдены условия, эквивалентные ОЯ-малости произвольной группы, где — класс всех редуцированных групп.

4. Описаны 9^-малые периодические группы и 9^-малые группы без кручения.

5. Исследованы группы, малые относительно класса групп без кручения.

6. Описаны вполне разложимые группы, малые относительно произвольного класса групп без кручения.

7. Исследованы прямые произведения групп, малые относительно класса узких групп.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях по теории абелевых групп и модулей, а также при чтении спецкурсов для студентов старших курсов и аспирантов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Международной конференции по математике и механике (Томск, 2003), на VII Региональной молодежной конференции «Математика: ее содержание, методы и значение» (Томск, 2005), на XLIII.

Международной научной конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2005), па Всероссийских симпозиумах по абелевым группам (Бийск, 2005, 2006), на XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» и на конференции молодых ученых ММФ МГУ (Москва, 2006), на пятой Всероссийской молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2006), на Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В. Е. Воскресенского (Самара, 2007), на Международной конференции «Алгебра и ее приложения», посвященной 75-летию В. П. Шункова (Красноярск, 2007), на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша (Москва, 2008), на Всероссийской конференции по математике и механике, посвященной 130-летию Томского государственного университета и 60-летию механико-математического факультета (Томск, 2008). Основные результаты неоднократно докладывались на семинарах кафедры алгебры Томского государственного университета (руководитель — доктор физико-математических наук, профессор П.А. Крылов). По теме диссертации опубликовано 16 работ ([41]-[56]).

Структура и объем работы. Представляемая диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, трех глав и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 66 страницы. Библиография содержит 56 наименований.

1. Власова Л. И. Об определяемости групп группами гомоморфизмов // Вестник МГУ. Математика, механика. — 1979. — № 5. — С. 52−55.

2. Гриншпон С. Я. О равенстве нулю группы гомоморфизмов абелевых групп // Изв. вузов. Математика. 1998. — № 9. — С. 42−46.

3. Куратовский К. Теория множеств / К. Куратовский, А. Мостовский.- М.: Мир, 1970. 416 с.

4. Крылов П. А. Об абелевых группах без кручения // Абелевы группы и модули. Томск, 1980. С. 91−101.

5. Крылов П. А. Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов / П. А. Крылов, А. В. Михалев, А. А. Туганбаев. Томск: Томский государственный университет, 2002. — 464 с.

6. Иванов А. В. Об одной проблеме абелевых групп // Мат. сб. 1978. -№ 4. — С. 525−542.

7. Иванов А. В. Об одном классе абелевых групп // Мат. заметки. 1981. Т. 29. № 3. — С. 351−358.

8. Иванов А. В. Прямые суммы и полные прямые суммы абелевых групп // Абелевы группы и модули. Томск, 1980. С. 70−90.

9. Максимов С. Ю. CW-группы // Вестник МГУ. Математика. Механика. 1982. — № 1. — С. 27−31.

10. Михалев А. В. Бесконечные абелевы группы: методы и результаты / А. В. Михалев, А. П. Мишина // Фундамент, и прикл. мат. 1995. -Т. 1.-№ 2.-С. 319−375.

11. Мишина А. П. Абелевы группы // Итоги науки и техники. Серия: Алгебра. Топология. Геометрия. 1965. М.: ВИНИТИ, 1967. — С. 944.

12. Мишина А. П. Абелевы группы // Итоги науки и техники. Серия: Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 10. М.: ВИНИТИ, 1972. — С. 5−45.

13. Мишина А. П. Абелевы группы // Итоги науки и техники. Серия: Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 17. М.: ВИНИТИ, 1979. — С. 3−63.

14. Мишина А. П. Абелевы группы // Итоги науки и техники. Серия: Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 23. М.: ВИНИТИ, 1985. — С. 51 118.

15. Себельдин A.M. Группы гомоморфизмов вполне разложимых абелевых групп без кручения // Изв. вузов. Математика. 1973. -№ 7. — С. 77−84.

16. Себельдин A.M. О группах гомоморфизмов абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. Томск, 1976. С. 78−86.

17. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории / К. Фейс. — М.: Мир, 1977. Т. 1. — 686 с.

18. Фукс J1. Бесконечные абелевы группы / JI. Фукс М.: Мир, 1974. -Т. 1. — 335 с.

19. Фукс JI. Бесконечные абелевы группы / JL Фукс М.: Мир, 1977. -Т. 2. — 416 с.

20. Albrecht U. The flat dimension of mixed Abelian groups as E'-Modules / U. Albrecht, P. Goeters, W. Wickless // Rocky Mountain J. Math. 1995. V. 25. № 2. — P. 569−590.

21. Arnold D.M. Abelian group A, such that Horn (.4, —) preserves direct sums of copies of A I D.M. Arnold, C.E. Murley // Pacific J. Math. 1975. -V. 56. — № 1. — P. 7−20.

22. Beaumont R.A. Torsion-free rings / R.A. Beaumont, R.S. Pierce // Illinois J. Math. 1961. — V. 5. — P. 61−98.

23. Baer R. Abelian groups without elements of finite order // Duke Math. J.- 1937. № 3. — P. 68−122.

24. Breaz S. Self-small torsion free Abelian groups // Math. 2000. — V. 42. № 1. P. 3−7.

25. Breaz S. Self-small Abelian groups as modules over their endomorphism rings // Commun. Algebra. 2003. — V. 31. — № 10. — P. 4911−4924.

26. Files S. Direct sums of self-small mixed group / S. Files, W. Wickless // J. Algebra. 1999. — V. 222. — P. 1−16.

27. Fomin A. Quotient divisible Abelian groups / A. Fomin, W. Wickless // Proc. Amer. Math. Soc. 1998. — V. 126. — № 1. — P. 45−52.

28. Fuchs L. Abelian groups / L. Fuchs Budapest: Publ. House of the Hungar. Acad. Sci., 1958.

29. Fuchs L. Note on Abelian groups, I // Ann. Univ. Sci. Budapest. 1959. — V. 2. — P. 5−23.

30. Fuchs L. Note on Abelian groups, II // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. -1960. V. 11. — P. 117−125.

31. Gobel R. A general theory of slender groups and Fuchs-44-groups / R. Go-bel, S.V. Richkov, B. Wold // Lecture Notes Math. 1981. — V. 874. — P. 194−201.

32. Grosse P. Maximale periodische Klassen abelscher Gruppen // Math. Z. -1966. V. 94. — № 4. — P. 235−255.

33. Grosse P. Homoinorphismen endlicher Ordnung // Ann. Univ. Sci. Budapest. 1967. — V. 10. — P. 31−35.

34. Kaplansky I. Infinite Abelian groups / I. Kaplansky Ann Arbor: University of Michigan Press, 1954.

35. Leeuwen L.C.A. van. On torsion-free cotorsion groups // Indag. Math. -1969. V. 31. — № 4. — P. 388−393.

36. Mader A. A Galois correspondence in Abelian groups // Lecture Notes Math. 1977. — V. 616. — P. 384−391.

37. Pierce R. Homomorphisms of primary Abelian groups // Topics in Abelian Groups, Chicago, Illinois. 1963. — P. 215−310.

38. Sasiada E. Proof that every countable and reduced torsion-free Abelian group is slender // Bull. Acad. Polon. Sci. 1959. — V. 7 — P. 143−144.

39. Schultz P. Torsion-free extensions of torsion-free Abelian groups // J. Algebra. 1974. — V. 30. — № 1−3. — P. 75−91.

40. Warfield R.B. Homomorphisms and duality for torsion-free groups // Math. Z. 1968. — V. 107. — № 3. — P. 189−200.

41. Гердт И. В. Малые абелевы группы // Международная конференция по математике и механике. Тезисы докладов. 16−18 сентября 2003. -Томск: Изд-во Томского университета, 2003. С. 38.

42. Гердт И. В. Л-малые абелевы группы // Материалы XLIII Международной научной студенческой конференции «Студент инаучно-технический прогресс»: Математика. Новосибирск: Изд-воIНовосибирского университета, 2005. — С. 5.

43. Гердт И. В. Малые абелевы группы // Абелевы группы. Труды Всероссийского симпозиума (Бийск, 22−25 августа 2005) Бийск: Изд-во РИО БПГУ, 2005. — С. 9−11.

44. Гердт И. В. Я-малые абелевы группы // Материалы XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов». Том IV. — М.: Изд-во Московского университета, 2006. С. 63−64.

45. Гердт И. В. 9Я-малые абелевы группы // Абелевы группы. Материалы Всероссийского симпозиума (Бийск, 19−25 августа 2006) Бийск: Изд-во РИО БПГУ, 2006. — С. 10−12.

46. Гердт И. В. *И-малые абелевы группы // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации Томск: Изд-во Томского университета, 2005. — № 54. -С. 31−37.

47. Гердт И. В. Малые абелевы группы // Вестник Томского государственного университета. Серия «Математика. Кибернетика. Информатика». — Томск: Изд-во Томского университета, 2006. -№ 290. С. 14−18.

48. Гердт И. В. ?Н-малые абелевы группы // Труды XXVIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (9−21 апреля 2006). М.: Изд-во Московского университета, 2006. — С. 15−18.

49. Гердт И. В. Абелевы группы, малые относительно групп без кручения // Международная конференция по алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В. Е. Воскресенского, Самара (21−25 мая 2007).- Самара: Изд-во Универс групп, 2007. С. 11−12.

50. Гердт И. В. Малые абелевы группы // Фундамент, и прикл. мат. 2007. Том 13. № 3. — С. 3−8.

51. Гриншпон С. Я. Малые абелевы группы / С. Я. Гриншпон, И. В. Гердт // Международная конференция «Алгебра и ее приложения», посвященная 75-летию В. П. Шункова: Тезисы докладов. Красноярск, 2007. — С. 43−44.

52. Гриншпон С. Я. Малость векторных групп / С. Я. Гриншпон, И. В. Гердт // Всероссийская конференция по математике и механике. Тезисы докладов. 22−25 сентября 2008. Томск: Изд-во Томского университета, 2008. — С. 40−41.

53. Gerdt I.V. Small Abelian groups // J. Math. Sci. 2008. — V. 154. — № 3. — P. 279−283.

54. Гердт И. В. Абелевы группы, малые относительно редуцированных групп // Изв. вузов. Математика. 2009. — № 4. — С. 20−24.