Асимптотическое поведение решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в пространствах постоянной отрицательной кривизны

Вопросы стабилизации (существования предела при t —> +00) решений u{t, х) уравнений математической физики гиперболического [8, 12] и параболического типов в евклидовом пространстве Еп изучены достаточно полно в работах М. Кжижанского, Ф. О. Порпера, С. Д. Эйдельмана, В. Д. Репникова, В. В. Жикова, В. Н. Денисова, Ю. Н. Валицкого.

Если в первых работах по стабилизации изучалось асимптотическое поведение решений задачи Коши для уравнения теплопроводности и параболических уравнений с коэффициентами, зависящими только от то со временем те же вопросы решаются в классах неограниченных [9, 13, 21, 23, 37] и обобщенных [3−4, 14−15] функций, для решений уравнений порядка выше второго [1], ультрапараболических [14], сингулярных [22] и уравнений с переменными коэффициентами [18, 32, 33, 39]. Изучены вопросы стабилизации решений краевых задач [6−7] и решений квазилинейных уравнений [17]. Наконец, в работе [38] получено необходимое и достаточное условие стабилизации для решения уравнения теплопроводности в самом широком классе функций — тихоновском классе. Обзор некоторых результатов для параболического случая содержится в работах [9, 11].

Исследования по стабилизации в пространствах Больяи-Лобачевского или пространствах постоянной отрицательной кривизны пока не могут сравниться по полноте с результатами, полученными в евклидовом пространстве Еп. Существование предела u (t, х) при t —> +00 в Еп тесно связано с существованием предела усреднений по определенным телам (например, шарам), и отличие геометрии пространства Больяи-Лобачевского от евклидовой геометрии определяет иные подходы к исследованиям вопросов стабилизации.

Работа Репникова В. Д. [40] положила начало исследованиям по стабилизации решения уравнения теплопроводности в пространстве Больяи-Лобачевского. В ней было рассмотрено двумерное пространство постоянной отрицательной кривизны — к2 < 0 и найдены необходимое и достаточное условия стабилизации u (t, х) для ограниченных начальных функций. В предельном случае, когда к = 0, эти условия совпадают с необходимым и достаточным условием стабилизации в евклидовой плоскости, однако в случае —к2< 0 они различны.

Целью данной диссертационной работы является получение необходимого условия, совпадающего с достаточным, для пространства Больяи.

Лобачевского любой размерности.

Диссертация состоит из трех глав. Первая глава носит вводный характер и посвящена определению пространства Больяи-Лобачевского. Здесь возможны два подхода. С одной стороны, пространством Больяи.

Лобачевского мы будем называть такое пространство, в котором реализуется геометрия Больяи-Лобачевского. Набор аксиом, необходимый для построения этой геометрии, состоит из аксиом евклидовой геометрии [5], за одним исключением — аксиома Евклида о параллельных заменяется постулатом Лобачевского: через точку проходит более одной прямой параллельной данной. С другой стороны, пространство Больяи-Лобачевского является частным случаем риманова пространства1 а именно, пространством постоянной отрицательной кривизны —к2< 0 или гиперболическим пространством. Последний подход дает возможность использовать метрику пространства Больяи-Лобачевского, то есть находить длину дуги произвольной кривой в этом пространстве, определяемую метрическим тензором, и объем тела. Разумеется, для этого необходимо соответствующим образом определить координаты метрического тензора.

Явный вид координат метрического тензора позволяет записать среднее значение любой функции на сфере, используемое для нахождения условий стабилизации, но для пространств больших размерностей вопрос нахождения метрического тензора достаточно сложен, и пользоваться формулой дифференциала дуги в явном виде мы будем только при использовании моделей пространства Больяи-Лобачевского в евклидовом полупространстве и в шаре.

В параграфе 2 рассмотрен частный случай модели в полупространстве — интерпретация Пуанкаре двумерного пространства Больяи-Лоба-чевского на евклидовой полуплоскости у > 0. Известно [20], что на ней можно определить геометрические объекты («прямые» и «точки»), а также соотношения между ними («принадлежать», «лежать между» и «быть конгруентными») таким образом, что полученная геометрия окажется геометрией Больяи-Лобачевского. Но для дальнейших исследований потребуется найти дифференциал дуги в плоскости Больяи-Лобачевского. Для этого используется тот факт [25], что псевдосфера является поверхностью постоянной отрицательной кривизны, и на ней локально реализуется геометрия Больяи-Лобачевского. Конформное отображение псевдосферы на евклидову полуплоскость у > 0 позволяет получить фор

1Под римановым пространством понимается многообразие, в каждой точке которого задан два раза ковариантный, симметрический и невырожденный тензор, называемый метрическим. мулу дифференциала длины дуги плоскости Больяи-Лобачевского.

2 dx2 + dy2 ** = —йф~ (1).

При этом, несмотря на то, что образ псевдосферы не охватывает всей полуплоскости2, полученная формула (1) верна для всех х € R и у > О, так как «прямые» и «точки», полученные при отображении, а также соотношения между ними, определяемые выражением (1), те же, что и в интерпретации Пуанкаре. Таким образом, аксиомы геометрии Больяи-Лобачевского выполняются для них на всей полуплоскости.

Заметим, что в трехмерном евклидовом пространстве не существует поверхности, на которой глобально реализуется геометрия Больяи-Лобачевского [41, с. 154]. Тем не менее, возможно обобщение формулы (1) для построения модели n-мерного (п > 2) пространства Больяи-Лобачевского [43, с. 638]: ds2 = dx + - + dx2n^ (2) к хп.

В главе I приводится также модель пространства Б ольяи-Лобачевского в шаре с метрикой [43, с.256] ds2 = TTгЧтг^' ?wa.

4 (1 — к2 х) i=i К.

Основными главами диссертации являются вторая и третья. Целью второй главы является изучение асимптотического поведения решения уравнения теплопроводности для ограниченных начальных функций в пространстве Больяи-Лобачевского. Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности в n-мерном пространстве постоянной отрицательной кривизны —к2 < 0:.

4, ti (0, *) = /(*), (5) где Д2 = Е (jt^gtj— оператор Лапласа-Бельтрами, д — rfet H^jjll, gli — контравариантные координаты метрического тензора,.

2Образом является следующая область: {(х, у): |х| < тг/к, у > 1 /к}, а величина —к2 — это гауссова кривизна псевдосферы, как поверхности в равные алгебраическим дополнениям элементов дц, деленным на величину определителя д, f (x) €.

Предметом исследований является изучение поведения при t —> +00 следующих интегралов u{t, х) = < n-1.

00 ^.

J I oh L* n Лл I n-5 shkpdp n — нечетное-.

00 p2 2ВГ-Т{п/2)у/тП 0 p. aOdp, ji dp shkpdp J.

6) n четное. которые определяют решение задачи Коши (4)-(5) [26, 40]. Здесь prk'(k-1shky)n-1S (y, x) dy ' jj Jchkp — chky ' а через гго) обозначено среднее значение начальной функции f (x) на гиперсфере радиуса р с центром в точке xq..

Представление (6) верно для тг > 1. В одномерном случае геометрия «прямой» Больяи-Лобачевского совпадает с евклидовой. Более подробно этот вопрос мы рассмотрим в § 4 третьей главы..

Под стабилизацией (поточечной) функции u (t, x) — решения задачи Коши (4)-(5), понимается существование предела lim u (t, x) = с{х) в точке х. Для получения условий стабилизации интегралов (6) используются средние по шарам радиуса р с центром в точке х пространства Б ольяи-Лобачевского.

В (р, х) = i^f n = 2m + l, m€tf-.

Дпр) dy°.

1pfsh^kyS (y, x), n — 2m m G N ^ f f*"-n", 1 Jchhp-chky аУ' n-zm, m e iv. q у/chkp-chky.

Известно [43, c.178], что площадь сферы радиуса р в п-мерном пространстве Б ольяи-Лобачевского равна пг)" '1' = 2″ ЧГ (п/2)) — и поэтому среднее в шаре для четномерного пространства правильнее называть средним в шаре специального вида, в отличие от нечетномерного случая, когда В (р, х) — обычное среднее значение f (x) в шаре. При этом в § 1 главы III будет показано, что оба этих средних в любом четномерном * пространстве являются эквивалентными, т. е. их пределы при р —" +оо одновременно либо существуют и равны, либо отсутствуют..

Для установления критериев стабилизации во втором и третьем параграфе, для нечетномерного и четномерного пространств соответственно, проводятся предварительные преобразования интегралов (6) с целью получить более простые для исследований сопоставимые с ними интегралы..

Определение. В том случае, когда предел разности каких-либо двух функций, зависящих от tux, равен нулю при t —¦" +оо, будем называть эти функции сопоставимыми, f Во втором параграфе показывается сопоставимость интегралов (6) при п = 2 т + 1, т € N с функцией j ктД.

Um (t, x) = -= j e~y*B (2y/i+2kmt, x) dy, (8) ктуД, а в третьем — сопоставимость интегралов (6) при п = 2m, m € N с функцией k{m-)sft.

Vm (t, x) = -= I e~s2B (2sVi + 2kmt, x) ds, meN. (9) k (m—h)s/t.

Функции (8)-(9) используются в последующих параграфах для изучения поведения u (t, х) при t —> +оо. При этом пределы интегрирования в выражениях (8)-(9) отличаются только постоянным множителем, что позволяет одинаково проводить все доказательства как для четномерного, так и для нечетномерного пространств..

В параграфе 4 устанавливаются необходимые и достаточные условия стабилизации u (t, x) в следующем виде т.

Теорема 2.1. Если u (t, x) t—+ с (ж), mo i^fB (p, x) dp * с{х)..

Теорема 2.2. Если В (р, х) то и (t, х) ^ —>^с{х)..

Данные теоремы являются точными в том смысле, что обратные к ним утверждения не верны, то есть существование предела повторного среднего начальной функции в шаре является необходимым, но не достаточным условием стабилизации u (t, ж), а существование предела среднего начальной функции достаточным, но не необходимым условием. Эти факты подтверждаются ниже следующими теоремами..

Теорема 2.3. Существует ограниченная функция f (x), обладающая следующими свойствами:.

1 Т.

1) lim — J В (р, x) dp = 0- 2) lim u (t, x) не существует..

0° о 00.

Теорема 2.4. Существует ограниченная функция f (x), обладающая следующими свойствами: l) tKm «(*,*) = 0- 2) lim^B{p, x) не существует..

Таким образом, существование предела среднего значения начальной функции в шаре, а также предела повторного усреднения при р —> + оо, которое является одновременно необходимым и достаточным условием стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в евклидовом пространстве [35], перестает быть таковым в пространстве Больяи-Лобачевского. Для того чтобы получить необходимое и одновременно достаточное условие стабилизации решения уравнения теплопроводности в пространстве отрицательной кривизны, используется среднее следующего вида: j t+t" .

— J B (y, x) dy, //6(0, ½). (10).

Основным утверждением главы II является.

Теорема 2.5. Для того, чтобы решение задачи Коши (4)-(5) стабилизировалось к с (х), необходимо и достаточно, чтобы для любого ц € (0, ½) существовал предел.

1 т.

J B (y, x) dy = c (x)..

В заключение пятого параграфа строится пример, показывающий, что теорема 2.5 перестает быть справедливой в сторону необходимости, если начальная функция не ограничена..

В шестом параграфе главы II рассматриваются вопросы равномерной стабилизации в пространстве Больяи-Лобачевского..

Определение. Будем говорить, что предел функции.

Rn, если для любого е > 0, существует такое to, что для всех t > to независимо от х выполняется неравенство ip (x, t) -с (х) < ?..

Записывать будем это так <�р (х, t) t с (х). Имеют место следующие теоремы т.

Теорема 2.6. Если u (t, x) t=> с (х), mo ^ f B (p, x) dp с (х)..

Теорема 2.7. Если В (р, х) то u (t, x) t=> с (х)..

Теорема 2.8. Для того чтобы решение задачи Коши (4)-(5) равномерно стабилизировалось к с (х) необходимо и достаточно, чтобы для любого ц G (0, ½) существовал предел.

— / B (y, x) dy t.

Доказательство этих утверждений проводится аналогично доказательству теорем 2.1, 2.2, 2.5, так как все предельные соотношения получены там не зависимо от х, а В (р, х) — среднее по шару с центром в точке ж, усредняется только по первой переменной, по радиусу..

1. Багиров Л. А. Стабилизация решений задачи Коши для параболических уравнений с коэффициентами, почти периодическими по пространственным переменным / Л. А. Багиров, М. А. Шубин // Дифференциальные уравнения. -1975. -Т. 2, N12, -С. 2205−2209..

2. Бронштейн И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. М.: Наука, 1986. -465 с..

3. Валицкий Ю. Н. Необходимое и достаточное условие стабилизации положительных решений уравнения теплопроводности / Ю. Н. Валицкий, С. Д. Эйдельман // Сибирск. мат. журнал. -1976. -Т. 17, N4. -С. 744−756..

4. Городецкий В. В. О стабилизации решений задачи Коши для параболических по Петровскому систем в классах обобщенных функций /В. В. Городецкий //ДАН УССР. -Сер. А-1984, N10. -С. 5−7..

5. Гильберт Д. Основания геометрии / Д. Гильберт. -М.: Гостехиздат, 1948..

6. Гущин А. К. О скорости стабилизации решений краевой задачи для параболического уравнения / А. К. Гущин //Сибирск. мат. журнал. -1969. -Т. 10, N1. -С. 151−154..

7. Гущин А. К. Стабилизация решений второй смешанной задачи для параболических уравнений второго порядка / А. К. Гущин // Мат. сб. -1976. -Т. 101, N3. -С. 459−499..

8. Гущин А. К. О равномерной стабилизации решения задачи для гиперболических уравнений второго порядка / А. К. Гущин, В. П. Михайлов // Труды МИАН. -1984. -Т. 166. -С. 76−90..

9. Гущин А. К. О стабилизации решений нестационарных граничных задач для линейных уравнений в частных производных / А. К. Гущин, В. П. Михайлов, Л. Н. Муравей. В кн.: Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1975. -Вып. 3. -С. 57−91..

10. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г. Б. Двайт. М.: Наука, 1978..

11. Денисов В. Н. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений / В. Н. Денисов, В. Д. Репников // Дифференциальные уравнения. -1984. -Т. 20, N1. -С. 20−41..

12. Денисов В. Н. О стабилизации средних по времени от решения задачи Коши для сингулярного гиперболического уравнения / В. Н. Денисов // ДАН СССР. -1985. -Т. 280, N6. -С. 1289−1293..

13. Денисов В. Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений /В. Н. Денисов, В. В. Жиков // Мат. заметки. -1985. -Т. 37, -Вып. 6. -С. 834−850..

14. Дрожжинов Ю. Н. Стабилизация решений обобщенной задачи Коши для ультрапараболического уравнения / Ю. Н. Дрожжинов //Изв. АН СССР. Сер. мат. -1969, -Т. 33, N2. -С. 368−378..

15. Дрожжинов Ю. Н. Кавзитасимптотика обобщенных функций и та-уберовы теоремы в комплексной плоскости/Ю. Н. Дрожжинов, Б. Н. Завьялов//Мат. сб. -1977. —Т. 102, N3. -С. 372−390..

16. Ильин В. А. Основы математического анализа / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. М.: Наука, 1961..

17. Ильин А. М. О поведении решений задачи Коши для некоторых квазилинейных уравнений, при неограниченном возрастании времени / А. М. Ильин, О. А. Олейник //ДАН СССР. -1958. -Т. 120, N1..

18. Жиков В. В. О стабилизации решений параболических уравнений / В. В. Жиков //Мат. сб. -1977. -Т. 104, N4. -С. 597−616..

19. Килбас А. А. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / А. А. Килбас, С. Г. Самко, О. И. Маричев. -Минск: Наука и Техника, 1987..

20. Кутузов Б. В. Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии / Б. В. Кутузов. М.: 1955..

21. Михайлов В. П. О стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности / В. П. Михайлов //ДАН СССР. -1970. -Т. 190, N1..

22. Муравник А. В. Асимптотические свойства решений сингулярных параболических уравнений. Кандидатск. диссертация. Воронеж, 1986, -136 с..

23. Муравник А. В. Асимптотические свойства решений сингулярных параболических уравнений / А. В. Муравник. -Воронеж, 1985. -14 с. -Деп. в ВИНИТИ 12.12.1985, N9804-B85..

24. Норден А. П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского /А. П. Норден. -М.: ГИТТЛ, 1953..

25. Норден А. П. Дифференциальная геометрия /А. П. Норден. -М.: 1956..

26. Олевский Ю. В.//ДАН СССР. -1955. -Т. 101, N1. -С. 21−24..

27. Погорелов Ю. В. О стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в трехмерном пространстве Больяи-Лобачевского / Ю. В. Погорелов. -Воронеж, 2001. -19 с. -Деп. в ВИНИТИ 09.07.2001, N1691-B2001..

28. Погорелов Ю. В. О стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в пространстве Больяи-Лобачевского нечетной размерности / Ю. В. Погорелов //Труды мат. фак. Воронеж, гос. унта. 2001. -Вып. 5. -С.131−143..

29. Погорелов Ю. В. Свойства усреднений ограниченных функций по шарам в пространстве Больяи-Лобачевского / Ю. В. Погорелов //Труды мат. фак. Воронеж, гос. ун-та. 2002. -Вып. 7. -С. 89−96..

30. Погорелов Ю. В. Критерий стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в пространстве Больяи-Лобачевского / Ю. В. Погорелов, В. Д. Репников //Диф. уравнения. -2003. -Т. 39, N12. -С. 245−246..

31. Полякова В. М. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с переменными коэффициентами / В. М. Полякова //ДАН СССР. -Т. 129, N6. -С. 1230−1233..

32. Порпер Ф. О. Оценки производных фундаментального решения задачи Коши для параболического уравнения с переменными коэффициентами / Ф. О. Порпер //ДАН СССР. -1963. -Т. 153, N2. -С. 273−275..

33. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ /П. К. Рашевский. -М.: 1967..

34. Репников В. Д. Необходимые и достаточные условия установления решения задачи Коши / В. Д. Репников, С. Д. Эйдельман //ДАН СССР. -1966. -Т. 167, N2. -С. 298−301..

35. Репников В. Д. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений / В. Д. Репников //ДАН СССР. -1964. -Т.157, N3. -С. 532−535..

36. Репников В. Д. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности с полиномиально растущей функцией. В кн.: Операторные методы в дифференциальных уравнениях, Воронеж, 1979. -С. 66−71..

37. Репников В. Д. О связи двух типов предельных интегральных усреднений функций класса TB (Rn) / В. Д. Репников //ДАН СССР. -1983. -Т. 272, N4. -С. 798−801..

38. Репников В. Д. О стабилизации решений параболических уравнений с дивергентной эллиптической частью / В. Д. Репников //Дифференциальные уравнения. -1995. -Т. 31, N1. -С. 102−109..

39. Репников В. Д. О стабилизации решения задачи Коши в пространстве Больаи-Лобачевского / В. Д. Репников //Дифференциальные уравнения. -2002. -Т. 38, N2. -С. 262−270..

40. Смогоржевский О. С. Основи геометрп / О. С. Смогоржевский. -Киев: 1954..

41. Фукс Б. А. Неевклидова геометрия в теории конформных и псевдоконформных отображений/Б. А. Фукс. -М.: 1951..

42. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ / С. Хелгасон. -М.: 1987..