Арифметические свойства рядов некоторых классов в полях с неархимедовыми нормированиями

§ 1.

Введение

Общие теоремы метода Зигеля-Шидловского об арифметических свойствах значений Еи G-функций в алгебраических точках.

В 1873 году Ш. Эрмит создал аналитический метод, используя который ему удалось доказать трансцендентность одной из классических постоянных в математике — числа е. Напомним, что число, а называется алгебраическим, если оно является корнем отличного от нуля многочлена Р (х) = апхп +.+ахх + а0 с рациональными коэффициентами. Комплексное (в частности, действительное) число, а называется трансцендентным, если оно не является алгебраическим.

Развивая метод Эрмита, Ф. Линдеман в 1882 году доказал трансцендентность числа ж, тем самым получив отрицательное решение проблемы квадратуры круга. Линдеман сформулировал, а К. Вейерштрасс доказал теорему, которая полностью решала вопрос о трансцендентности и алгебраической независимости значений показательной функции в алгебраических точках. Комплексные числа аа т называются алгебраически зависимыми, если существует отличный от тождественного нуля многочлен Р (х,., хи) с рациональными коэффициентами, для которогоР (а, а т) =0. В противном случае эти числа называются алгебраически независимыми (в частности, каждое из этих чисел является трансцендентным).Теорему Линдемана-Вейерштрасса можно сформулировать так: если Л — рациональное число, отличное от половины нечётного числа, 0, алгебраическое число, то числа КХ (?), К'Х (?)~ алгебраически независимы.

Кроме того, была установлена теорема об алгебраической независимости множества 2тп чисел{АГ^ (?), К^ (?)} при следующих условиях: рациональные значения параметров 1 р} =1,., т отличны от половины нечётного числа и таковы, что х^ ± при различных ]х,}г не являются целыми числами, а ?" — отличные от нуля алгебраические числа, квадраты которых различны. Аналитическая функция называется Е-функцией, если существует некоторое алгебраическое числовое поле К конечной степени над полем О рациональных чисел такое, что 1К еК, л = 0,1,.,.

2)Для любого ?->0 с&bdquo-| = <�Э (ит),/7-*сс. где для алгебраического числа, а символ |а | обозначает наибольшую из абсолютных величин самого числа, а и всех алгебраически сопряжённых с ним чисел.

3) Существует последовательность натуральных чисел такая, что даск — кольцу целых чисел поля К, к = 0,1,щп- 0,1,2,. и.

Если, а х,., а т — алгебраические числа, линейно независимые над полем рациональных чисел, то е е" «— алгебраически независимые числа.

Метод ЭрмитаЛиндемана основан на двух важных свойствах показательной функции :

1) ех удовлетворяет теореме сложения /(х + .у) = /(*)/(>>) ,.

2) ех является решением дифференциального уравнения У' = У.

После создания метода Эрмита-Линдемана возникла естественная проблема его распространения на другие функции, удовлетворяющие более общим дифференциальным уравнениям.

Развивая и обобщая этот метод, К. Зигель [87]в 1929 году предложил новый метод доказательства трансцендентности и алгебраической независимости значений в алгебраических точках аналитических функций некоторого класса, названных им Е-функциями, содержащего, в частности, е2. Основной результат — полученный К. Зигелем в работе [87] относится к функции.

— 1)" 1п 2 я=0 л!(+1).(Х + п).

2) удовлетворяющей линейному дифференциальному уравнению второго порядка.

2Х + 1 у" +—— У' + У =0.

Функция Кх (г) отличается от известной функции Бесселя гдеГ (г) — функция Эйлера,.

А О) только множителем 1.

Г 2Х г.

Г (Х + 1) иаK0(z)=J0(z). К. Зигель доказал следующую теорему:

Простейшие примеры Е-функций — многочлен с алгебраическими коэффициентами, е2, sin г, cos г.

Нетрудно проверить, что E-функции образуют кольцо функций, замкнутое относительно операций дифференцирования, интегрирования в пределах от 0 до г и замены аргумента z на Л z, где Л — алгебраическое число. E-функции с коэффициентами из поля К называются КЕ-функциями.

В 1949 году К. Зигель [87] изложил свой метод в виде общей теоремы об алгебраической независимости значений в алгебраических точках совокупности E-функций, удовлетворяющей системе линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с коэффициентами ~ рациональными функциями. Эта теорема сводит доказательство утверждения об алгебраической независимости к проверке некоторого достаточного аналитического условия, названного условием нормальности. Самому Зигелю удалось проверить выполнение условия нормальности только для совокупностей E-функций, каждая из которых удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению первого или второго порядка.

В 1954 году А. Б. Шидловским [49]1 была опубликована теорема, аналогичная теореме Зигеля, в которой условие нормальности было заменено менее ограничительным условием неприводимости.

В 1955 году А. Б. Шидловский [50],[52] опубликовал критерий алгебраической независимости значений в алгебраических точках.

1 Монография А. Б. Шидловского «Трансцендентные числа» [58] содержит подробное изложение метода Зигеля-Шидловского и обширную библиографию. Поэтому для удобства в ссылках на теоремы, приведённые в этой книге, вместе с данными оригинальной статьи (или вместо них) приводятся соответствующие страницы [58].

Е-функций, удовлетворяющих системе линейных дифференциальных уравнений.

В формулировке критерия участвуют понятия, которые часто используются в дальнейшем. Пусть V-поле, а W — коммутативное кольцо или поле, содержащее поле V.

Элементы а. а я <=W называются алгебраически зависимыми над полем V, если существует отличный от тождественного нуля многочлен /3(х1,., хи) с коэффициентами из поля V такой, что Р (а &bdquo-., а т) =0. В противном случае, а и eW называются алгебраически независимыми над полем У.

Если в этих определениях рассматривать только однородные многочлены, то мы будем говорить об однородно алгебраически зависимых над полем V (соответственно, однородно алгебраически независимых над полем V) элементах, а v., a т eW.

В случае, когда поле V представляет собой поле алгебраических чисел, а поле W — поле комплексных чисел С, говорят просто об алгебраической зависимости (соответственно, алгебраической независимости) чисел, а «., а т е С.

Пусть аналитические функции (z),., (z) составляют решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка y’k = eC (i). (0.1) м.

Пусть Т = T (z) <=C[z]—многочлен, являющийся общим наименьшим знаменателем всех рациональных функций Qk r.

Сформулируем первую основную теорему А. Б. Шидловского (см. [50 ], также [58, с.91]).

Пусть совокупность Е-функций .,/т (г) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (0.1) и однородно алгебраически независима над С («,£—алгебраическое число,) Тогда числа),.,/т (?)однородно алгебраически независимы.

Первая основная теорема имеет ряд важных следствий и мы отметим одно из них, относящееся к решению линейного дифференциального уравнения порядка «г (см. [58,с. 120]): Пусть «^-функция /(г) является решением линейного однородного дифференциального уравнения порядка т Ра (2)у (т)+.+Р^)у + р0{2)у = 0 г, Рк{2) еС (гк = 0,1,., т, м не удовлетворяет никакому однородному алгебраическому дифференциальному уравнению с коэффициентами из С [г] порядка меньшего, чем — алгебраическое число, * 0.

Гс>гда числа /(?),/'(?),¦••>/(и~°Ш однородно алгебраически независимы.

В случае, когда рассматриваемые Е-функции составляют решение неоднородной линейной системы дифференциальных уравнений.

У'* =&-.о еС (г), (0.2) 1 имеет место следующий результат, носящий название второй основной теоремы ([58, с. 127]):

Пусть совокупность Е-функций /,(«,., составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений (0.2) и алгебраически независима над С (г), алгебраическое число,)*0(многочлен Л"представляет собой обгций наименьший знаменатель коэффициентов системы (0.2)). Тогда числа /г (?),.,/м (?) алгебраически независимы.

Вторая основная теорема также имеет много важных следствий. Сформулируем одно из них ([ 58, с. 128]):

Пусть Е-функция f (z) является решением линейного дифференциального уравнения порядка m.

Pa (Z)y (m)+.+P](7)y'+P0(Z)y+Q (z) = 0, m S 2,?(z),/>,(*) e С[z], k = ОД,., ж, и не удовлетворяет никакому алгебраическому дифференциальному уравнению с коэффициентами из С (г)порядка меньшего, чемщ£ — алгебраическое число, CPm{C) * 0.

Тогда числа /(?)"/'(?)>—>/(m~i:>(?) алгебраически независимы.

Из второй основной теоремы совсем просто следует и упомянутая выше теорема ЛиндеманаВейерштрасса (см. [58,с. 128]).

В 1970 г. А. И. Галочкин [4]опубликовал теорему об алгебраической независимости значений Е-функций в трансцендентных точках, допускающих достаточно хорошие приближения алгебраическими числами.

Развивая метод, А. Б. Шидловский (см. 49]-[58]) обобщил его в направлении, позволяющем получать арифметические результаты относительно совокупностей Е-функций, алгебраически зависимых над полем рациональных функций.

Пусть, как и выше, V-поле, a W — коммутативное кольцо или поле, содержащее поле V. Если Uc W и наибольшее количество алгебраически независимых над V (однородно алгебраически независимых над V) элементов U равно /, то число I называется степенью трансцендентности множества U над V {однородной степенью трансцендентности множества и над V) и обозначается <1е§и- Уи (deg /г и). Сформулируем третью основную теорему ([54],[58,с.143]):

Пусть совокупность Е-фунщий/, О),., /т (г),£ 2,{т? 1) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (0.1)(системы линейных дифференциальных уравнений (0.2)) и степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) функций/,(.гг),.,/т (г)над С (г) равна 1, Ъ<, 1 <.т,? ~ алгебраическое число, многочлен Т (г) представляет собой общий наименьший знаменатель коэффициентов системы (0.1)((0.2))у).

Тогда степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) чисел также равна I.

В теории трансцендентных чисел кроме качественных понятий иррациональности, трансцендентности и алгебраической независимости существуют важные количественные понятия меры линейной и алгебраической независимости. Дадим точные определения понятий мер линейной и алгебраической независимости.

Пустьа,., о: м, т^.2 — действительные или комплексные числа. Мерой линейной независимости чисел<�х],., ат, т² называется функция.

Ь = Да, ,., ат-Н) = тт|", а, +. ¦ •+атая где Я—натуральное число, ак —целые числа, удовлетворяющие неравенствам? а^ ^ Н, к =1,., т, а:+.+ат> 0, и минимум берётся по всем числам ак, удовлетворяющим указанным неравенствам.

Очевидно, что качественный результат — линейная независимостьозначает, что для любого натурального числа Я справедливо неравенство!, >0.

Мерой алгебраической независимости чисел<�хх,., ат, т>1 называется функция от ¿—и Я:

Ф =Ф (а1,., ая,-5-Я) = пип^Са,.,"^)!, где 5 и Я — натуральные числа, отличный от тождественного нуля многочленР = Р (хг,., хт) степени ^ по совокупности переменных имеет целые коэффициенты, абсолютные величины которых не превосходят числа Я и минимум берётся по всем многочленам Р, удовлетворяющим указанным условиям.

Мера однородной алгебраической независимости Ф° = определяется аналогично, но при условии, что многочлен Р = Р (х1 ,., хт) однороден.

Первая и вторая основные теоремы допускают следующее количественное уточнение (приводится несколько упрощённая формулировка теоремы 1 из [58,с.379]):

Пусть совокупность КЕ-функций /,(?),., О) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (0.1)(системы линейных дифференциальных уравнений (0.2)) и однородно алгебраически независима над С О?) (алгебраически независима над С О)),? — алгебраическое число,)*0.

Тогда существуют постоянная С0 и постоянная Сх, зависящие от функцийчисел такие, что выполняются неравенства и, в неоднородном случае, т.

2ЯН-1—5″ .

Приведём также несколько упрощённую теорему о мере линейной независимости, формулировка которой существенна для дальнейшего. Пусть Ьц, г = 1,., к —алгебраические поля, сопряжённые с полем К, причём Кг=К Эти сопряжённые поля соответствуют возможным продолжениям абсолютной величины | с поля О рациональных чисел на поле К. Для С еК пусть сопряжённые с?. Для совокупности КЕ-функций /(?),.,/и (г) пусть /и (г),.,/и>Д2) обозначают функции, которые получаются из исходных заменой всех коэффициентов их степенных рядов по степеням г на сопряжённые им числа из поля К*. Аналогично, для отличной от тождественного нуля линейной формы 1(2,., гт) с коэффициентами — целыми числами из поля К обозначим /Д^,.,^) линейные формы, получающиеся из формы / = /, после замены всех её коэффициентов на сопряжённые числа из поля Ьц. Пусть в — любое число из интервалаО < е <^{.Теорема} 1 из [58, с.354] гласит:

Пусть совокупность КЕ-функций /(2),.,/т{г)составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (0.1) и линейно независима над С (г), алгебраическое число,) ?0. Тогда существует постоянная Ъ, зависящая от функций/иО), чисел ти % такая, что.

В случае К=1(1 — мнимое квадратичное поле над О) имеет место неравенство цш, Н) >ьн]-т;

Отметим важную для дальнейшего переформулировку этой теоремы.

При условиях теоремы для любого алгебраического числа, такого, что) существует поле К, такое, что.

1 &bdquo-(?,),.,/&bdquo-,(?, фбЯ1−8. (0.3).

В теории трансцендентных чисел принято называть постоянную, входящую в оценку меры эффективной, если её можно вычислить с помощью конечного числа действий (арифметических операций, возведения в степень, логарифмирования, выбора наибольшего и наименьшего из конечного набора чисел), производимых над параметрами, определяющими класс функций, в который входят рассматриваемые функции, над параметрами точки, степенью меры. Оценку меры, в которой все постоянные эффективны, называют эффективной. Для получения эффективных оценок мер алгебраической независимости значений Е-функций требуется более сильное условие, чем их алгебраическая независимость над полем рациональных функций. Таким условием может быть нормальность по Зигелю (определение см. [87] или, например, [64]) или введённое А. Б. Шидловским в работе [49](см.также[58,с.400]) условие неприводимости системы функций. Вопросы эффективности оценок исследовались в работах[14]-[16],[69]. В работе [16] условие неприводимости системы функций заменено более простым в проверке условием о том, что каждое решение системы (0.1) с ненулевыми компонентами состоит из алгебраически независимых над С (г) функций.

Заметим, что для упрощения получения эффективных оценок мер целесообразно немного изменить определение Е-функции, заменив при некотором с > 1 условиесп = 0(пт), п —"=°на условие сл| = 0(с"), п —> °° и условие^ = 0{гГ), п-*<*> на условие дп — 0(сп), и —"°° соответственно. Такие Е-функции часто называют Ефунщиями в узком смысле.

Кроме того, для 1Е-функций показательm-s можно пытаться улучшить, заменив число е> 0 убывающей и стремящейся к нулю функцией от Я.

В работах А. Б. Шидловского (см., например,[49]-[58]), его учеников и ряда других авторов (достаточно полный обзор приведён в [58]) построена стройная теория, описывающая арифметические свойства значений в алгебраических точках Е-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям.

В 1929 г. К. Зигель [87] указал, что его метод можно применять при исследовании некоторых арифметических свойств значений ещё одного класса аналитических функций. Степенные ряды, определяющие эти функции, имеют конечный радиус сходимости. Он назвал эти функции О-функциями.

Функция п=0 называется в-функцией, если коэффициенты сп удовлетворяют тем же условиям, что приведены в определении Е-функции в узком смысле.

Нетрудно проверить, что как и Е-функции, в-функции образуют кольцо функций, замкнутое относительно операций дифференцирования, интегрирования в пределах от 0 до 2 и замены аргумента г на Хг, где я — алгебраическое число.

В статье М. С. Нурмагомедова [21] метод Зигеля — Шидловского был применён к исследованию арифметических свойств значений в-функций в достаточно малых по модулю алгебраических точках. Недостатком полученных им результатов было то, что величина точки, в которой проводятся оценки, зависит от высоты рассматриваемых линейной формы или многочлена.

В 1974 году А. И. Галочкин [5] опубликовал теоремы, свободные от вышеупомянутого недостатка, доказанные им для функций, обладающих так называемым условием сокращения факториалов. В 1984 г. Г. В. Чудновский [74] доказал, что это условие выполнено для всех О-функций:

Пусть О-функции /, (г),., /" (г) составляют решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (0.1) и линейно независимы над С (г) вместе с 1. Тогда для любого е > 0 и любого отличного от нуля числа г = eZ, Ъ eN такого, что о ье*с34т1)(п+е)> числа %А (г),.,/т (г) линейно независимы над О. Более того, для любых /г0,.,/зи е Ъ, удовлетворяющих условию.

Н — шах (|й0 [,., |/ги|) >С4, имеет место неравенство.

2о+А1/1(г)+.+Ли/и (Г)| >н-т-°, где С3 =С3(/Х,.,/",?)>0, С4 = С4(/,.,/и, г,)>0 — эффективно вычисляемые постоянные.

Можно рассматривать не только действительные или комплексные значения О-функций. Имеются исследования (например,[77]) о свойствах радических значений О-функций. Отметим одну из работ Е. М. Матвеева [12], в которых рассмотрение линейных форм от значений О-функций в различных радических полях позволило получить результаты о диофантовых уравнениях с норменной формой. Дадим определение и кратко перечислим основные свойства^-адических чисел (подробнее см. [1],[2]).

Поле Е называется нормированным, если для каждого его элемента, а определена величина ||а|| — норма элемента а, обладающая следующими свойствами:

1) 1М1 е И, если, а * О, то |"|| > 0, ||0|| = 0;

2) ИМ*.

3)|а + 6|ЫММ14.

Поле О рациональных чисел обладает нормой (или абсолютным значением).

И = 14 которую в дальнейшем называем архимедовой. Кроме того, для любого простого числа р определено так называемое радическое нормирование поля рациональных чисел. Оно определяется следующим образом. Для произвольного отличного от нуля целого числа с положим огс1рс равным кратности вхождения числа р в разложение с на простые множители. Для любого рационального с числа, а = - положим огс! ра = оЫрс — огс! рЬ. Это определение, очевидно, корректное. Удобно определить нормализованную р-адическую норму равенствами.

— оп!{а, а* О р ' (0.4).

0, а = 0.

Нетрудно проверить, что определённая равенствами (0.4) величина обладает всеми свойствами нормы. Кроме того, вместо свойства 3) выполняется более сильное неравенство, а + Ър <-тах (Мр,|г>|р).

Отметим, что если ар * |6|р, то =тах (Нр,|6|р).

Нормы, для которых \а + 6|| ^ тах (||сг||, |6||), называются неархимедовыми. Пополнение О по норме |^{называется} полем радических чисел. Известная теорема Островского (доказательство приведено, например, в[1,стр.48]) гласит:

Каждая нетривиальная норма || || на поле О рациональных чисел эквивалентна либо | | для некоторого простого числа р, либо обычной абсолютной величине | |.

Символ используется для обозначения И. со.

Пусть К — алгебраическое поле конечной степени к над О. Пусть V— множество всех нормирований на поле К. Для любого V е V соответствующие пополнения полей К и О обозначаем Ку и <2У. Поле Куявляется конечным расширением поля 0У,[ Ку: причём для любого простого числа р

2, (0.5) V где суммирование в левой части равенства (0.5) производится по всем нормированиям V, продолжающим радическое нормирование поля О. Это же равенство выполняется для продолжений обычной абсолютной величины, поскольку все они соответствуют сопряжённым с полем К полям К®-.

Любое нормирование поля К продолжает некоторое нормирование поля О. Множество архимедовых нормирований поля К обозначаем Ув, множество неархимедовых нормирований — У0. Удобно рассматривать нормализованные нормирования .если V продолжает радическое нормирование^ далее это обозначаем так: ур) то положим.

И= р (°-6) а если у продолжает архимедово нормирование и соответствует полю К®-, то.

0−7) где х (,) е К®-, а ку =1,если^сИ, либо ку =2,если Ка)<�гК .

Имеет место формула произведения: Для любого х е К, х? Ю,.

0.8) уеГ где произведение взято по всем нормированиям V поля К.

Теория трансцендентных чисел в радической области получила меньшее развитие, чем теория трансцендентных чисел в комплексной области. Отметим её фактическое начало — работу Малера [82] и содержащую некоторый обзор этой теории статью Адамса[59].

В 1981 г. Э.Бомбиери в большой работе [66] ввёл понятие глобального соотношения. Дадим это определение .

ПустьР (у1,., ут) — многочлен с коэффициентами из К, степенные ряды/Д^),.,/"(г) имеют коэффициенты из К,? еК Соотношение.

Р (Ш),-,/М)) = 0 (0.9) называется глобальным для рядов /,(«,., /и (г) и точки если оно выполняется во всех полях Ку, где сходятся все ряды /1(|),.,/т (^). Примером глобального соотношения в точке 4 = -2 и ряда / 1 ЧЛ+1 п=1 п является выполняющееся в поле Ку, гдеу|2, равенство.

Действительно, рассматриваемый ряд сходится в поле Ку при ?= -2 только, если у|2. Другой пример: в точке = -3 для ряда у, 1−3-.-(2Й-1)Г zY h п [ 2) соотношение справедливое в полях Ку, где v|3,является глобальным, поскольку ряд 1−3-.<2и-1)|.

НГ п= 0 сходится только в таких полях Ку, где у|3. Вместе с тем, при подстановке в рассмотренный выше ряд вместо сточки -15 в поле Оз выполняется равенство, а в поле 05 — равенство.

21 4 и эти два равенства дают примеры соотношений, не являющихся глобальными.

Сформулируем несколько упрощённый вариант основной теоремы работы [66]:

Пусть О-фунщии /,(г),.,/иО) составляют решение системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с коэффициентами — рациональными функциями от г и линейно независимы над С (г).Тогда существует постоянная С такая, что все алгебраические точки В,, для которых выполняется некоторое линейное глобальное соотношение, удовлетворяют неравенству.

2>(тах (1,| 4))* С, где суммирование производится по всем нормированиям алгебраического поля конечной степени, полученного присоединением к полю рациональных чисел всех коэффициентов рассматриваемых Офункций и числа.

Глобальным соотношениям для О-функций посвящены работы И. Андре [61],[62].

1. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел.-М.:Наука, 1972.

2. Владимиров B.C., Волович И. В., Зеленое Е. И. /7-адический анализ и математическая физика.-М.: Изд. фирма «Физико-математическая литература» ВО" Наука", 1994.

3. Галочкин А. И. Оценки снизу линейных форм от значений некоторых гипергеометрических функций//Мат.заметки.-1970.-Т.8,№ 1.-С. 19−28.

4. Галочкин А. И. Об алгебраической независимости значений Е-функций в некоторых трансцендентных точках//Вестн.МГУ.Сер. 1, Математика, механика.-1970.-№ 5 .-С.58−63.

5. Галочкин А. И. Оценки снизу многочленов от значений аналитических функций одного классаУ/Мат.сб.-1974.-Т.95(137),№ 3 (11).-С.396−417.

6. Галочкин А.И.О критерии принадлежности гипергеометрических функций Зигеля классу Е-функций//Мат.заметки.-1981.-Т.29,№ 1.-С.3−14.

7. Галочкин А.И.0 неулучшаемых по высоте оценках некоторых линейных форм//Мат.сб.-1984. Т.124(166),№ 3 (7).-С.416−430.

8. Иванков П. Л. О линейной независимости значений целых гипергеометрических функций с иррациональными параметрами//Сиб.мат.журн.-1993. Т.34,№ 1 .-С.53−62.

9. Иванков П. Л. О линейной независимости значений некоторых функций//Фундам. и прикл. матем.-1995.-Т.1,№ 2.-С.191−206.

10. Коробов А. Н. Оценки некоторых линейных форм//Вестн.МГУ.Сер.1,Математика, механика.-1983.-№ 6.-С.36−40.

11. Лотоцкий А. В. Sur l’irrationalite d’un produit infini// Мат.сб.-1943.-T. 12(54) .-C.262−272.

12. Матвеев E.M. Линейные формы от значений G-фунщий и диофантовы уравнения//Мат.сб.-1982. Т.117(159),№ 3 .-С.379−396.

13. Нестеренко Ю. В. Об алгебраической независимости значений Е-функций, удовлетворяющих линейным неоднородным дифференциальным уравнениям//Мат.заметки.-1969.-Т.5,№ 5,-С.587−589.

14. Нестеренко Ю. В. Об алгебраической независимости компонент решений системы линейных дифференциальных уравнений//Изв.АН СССР.Сер.мат.-1974.-Т.38,№ 3.-С.492−512.

15. Нестеренко Ю. В. Оценки порядков нулей функций одного класса и их приложение в теории трансцендентных чисел//Изв.АН СССР.Сер.мат.-1977.-Т.41, № 2.-С.253−284.

16. Нестеренко Ю. В. Эффективные оценки мер алгебраической независимости значений Е-функций //Вестн.МГУ.Сер.1, Математика, механика.-1988.-№ 4 .-С.85−88.

17. Нестеренко Ю. В. Приближения Эрмита-Паде обобщённых гипергеометрических функций//Мат.сб.-1994. Т.185,№ 3 .-С.39−72.

18. Нестеренко Ю. В. Modular fonctions and transcendence problems//C.R.Acad.Sci.Paris.-1996.-t.322.-Serie 1 .-p.909−914.

19. Нестеренко Ю. В. Модулярные функции и вопросы трансцендентности. //Мат.сб.-1996. Т. 187,№ 9 .-С.65−96.

20. Нестеренко Ю. В. О мере алгебраической независимости функций Рамануджана// Тр. мат. ин. та им. В. А. Стеклова.-1997.-Т.218.-С.299−334.

21. Нурмагомедов М. С. Об арифметических свойствах значений одного класса аналитических функций//Мат.сб.-1972. Т.85(127), № 3(7) .-С.339−365.

22. Попов А. Ю. Арифметические свойства значений некоторых бесконечных произведений.- Диофантовы приближения, часть II, Изд-во Моск. ун-та.-1986.-С.63−78.

23. Попов А. Ю. Приближения значений некоторых бесконечных произведений//Вестн.МГУ.Сер.1, Математика, механика.-1990.-№ 6. С.3−6.

24. Салихов В.Х.О дифференциальной неприводимости одного класса дифференциальных уравнений//ДАН СССР.-1977.-Т.235,№ 1 .-С.30−33-Изв.АН СССР.Сер.мат.-1980.-Т.44,№ 1.-С.176−202.

25. Салихов В. Х. Алгебраическая неприводимость совокупности линейных дифференциальных уравнений//ДАН СССР.-1980.-Т.254,№ 4.-С.806−808-Изв.АН СССР.Сер.мат.-1985.-Т.49,№ 1.-С. 194−210.

26. Салихов В. Х. Формальные решения линейных дифференциальных уравнений и их применение в теории трансцендентных чисел//Тр.Моск.мат.о-ва.- 1988.-Т.51.-С .223−256.

27. Салихов В. Х. Об алгебраической независимости значений гипергеометрических Е-функций//ДАН СССР.-1989.-Т.307,№ 2.-С.284−286.

28. Салихов В. Х. Неприводимость гипергеометрических уравнений и алгебраическая независимость значений Е-функций//Ас1а АпЛ.-1990.-у.53.-С.453−471.

29. Салихов В. Х. Критерий алгебраической независимости значений одного класса гипергеометрических Е-функций//Мат.сб.-1990.-Т.181,№ 2 .-С.189−211.

30. Чебышев П. Л. Избранные математические труды.- ГИТТИ.-1946.

31. Чирский В.Г.О нетривиальных глобальных соотношениях//Вестн.МГУ. Сер. 1. Математика, механика.-1989,№ 5.-с, 33−36.

32. Чирский В.Г.О глобальных соотношениях// Мат.заметки.-1990.-т.48.-№ 2.-с. 123−127.

33. Чирский В. Г. Об алгебраических соотношениях в локальных полях//Вестн.МГУ.Сер.1 .Математика, механика.- 1990,№ 3.-с.92−95.

34. Чирский В. Г. Глобальные соотношения и гипергеометрические ряды//Успехи матем.наук.-1991.-т.46.-№ 6(282).-с.221−222.

35. Чирский В. Г. Об алгебраических соотношениях в неархимедовски нормированных полях//Функ.анализ и прилож.-1992.-т.26.-№ 2.-с.41−50.

36. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций// Мат.заметки.-1992.-т.52.-№ 2.-сЛ 25−131.

37. Чирский В.Г.О рядах, алгебраически независимых во всех локальных полях//Вестн.МГУ.Сер. 1. Математика, механика.-1994.-№ 3.-с.93−95.

38. Чирский В. Г. Оценки многочленов и линейных форм в прямых произведениях полей//Вестн.МГУ.Сер. 1. Математика, механика.-1994.-№ 4.-с.35−39.

39. Чирский В. Г. Арифметические свойства значений гипергеометрических рядов//Труды Матем. ин-та РАН.-1994.-т.207.-с.347−352.

40. Чирский В.Г.О глобальных соотношениях для гипергеометрических рядов//Труды семин. им. И. Г. Петровского.-1995,№ 18.-с.204−212.

41. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах некоторых рядов//Вестн.МГУ.Сер.1. Математика, механика.-1997,№ 2.-с.53−55.

42. Чирский В. Г. Об алгебраической независимости значений функций, удовлетворяющих системам функциональных уравнений//Труды Матем. ин-та РАН.-1997.-т.218.-с.433−438.

43. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах значений некоторых функций//Фундам. иприкл. матем.-1998.-т.4,№ 2.-с.725−732.

44. Чирский В.Г.О линейных глобальных соотношениях//Вестн.МГУ. Сер. 1. Математика, механика.-1998,№ 4 .-с.70−72.

45. Чирский В. Г. Линейная независимость р-адических значений некоторых я-базисных гипергеометрических рядов// Фундам. и прикл. матем.-1999.-т.5,№ 2.-с.725−732.

46. Чирский В. Г. Арифметические свойства некоторых р-адических чисел//Вестн.МГУ.Сер. 1. Математика, механика.-1999,№ 6.-с. 16−19.

47. Чирский В. Г. Приближения ЭрмитаПаде для некоторых q-базисных гипергеометрических рядов// Вестн.МГУ.Сер. 1. Математика, механика.-2000,№ 2.-с.7−11.

48. Чирский В. Г. Арифметические свойства рядов в полях с неархимедовыми нормированиями.- М.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ.-200.-120 стр.

49. Шидловский А.Б.О трансцендентности и алгебраической независимости значений целых функций некоторых классов//ДАН СССР.-1954.-Т.96,№ 4.-С.697−700.

50. Шидловский А. Б. О критерии алгебраической независимости значений одного класса целых функций//ДАН СССР.-1955.Т. 100,№ 2.-С.221 -224.

51. Шидловский А. Б. О трансцендентных числах некоторых классов//ДАН СССР.-1955.-Т.103,№ 6.-С.987−990.

52. Шидловский А. Б. О критерии алгебраической независимости значений одного класса целых функций//Изв.АН СССР.Сер.мат.-1959.-Т.23,№ 1 .-С.35−66.

53. Шидловский А. Б. К общей теореме об алгебраической независимости значений Е-функций//ДАН СССР.-1966.-Т.171,№ 4,-С.810−813.

54. Шидловский А. Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций, связанных любым числом алгебраических уравнений в поле рациональных функций//Изв .АН СССР.Сер.мат.-1962.-Т.26,№ 6.-С.877−910.

55. Шидловский А. Б. Об оценках меры трансцендентности значений Е-функций//Мат.заметки.-1967.-Т.2,№ 1.-С.ЗЗ-44.

56. Шидловский А. Б. On the estimates of the algebraic independence measures of the values of E-fonctions//J.Austral.Math.Soc.Ser.A.1979.-V.27.-P.385−407.

57. Шидловский А. Б. Об оценках многочленов от значений Е-функций//Мат.сб.-1981 .-Т. 115(157), № 1 (5).-C.3−39.

58. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа.-М.:Наука, 1987.

59. Adams W. Transcendental numbers in the p-adic domain//Amer.J.Math.-1966.-V.88.-279−307.

60. Adams W. On the algebraic independence of certain Liouville numbers//J.Pure.Appl.Algebra.-l 978.-V. 13 .-P.41 -47.

61. Andre Y. G-Functions and Geometry. Aspects of Math.-1989.-V.E13, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden.

62. Andre Y. G-fonctions et transcendance//J.reine angew.Math.-1996.-V.476.-P.95−125.

63. Andre Y. Series Gevrey de type arithmetique//Inst. Math., Jussieu,.

64. Beukers F., Brc>wnawell W.D., Heckman G. Siegel normality//Ann.Math.-l 988.-Ser. 127.-P.279−308.

65. Bezivin J.-P. Independance lineaire des valeurs des solutions transcendentes de certaines equations fonctionelles//Manuscripta Math.-1988.-V.61.-P.103−129.

66. Bombieri E. On G-functions// Recent Progress in Analytic Number Theory. V.2.London:Academic Press, 1981 .-P.l-68.

67. Borwein P. On the irrationality of 2 (1 / (qn + r))//J.Number Theory.-1991.-V.37.-P.253−259.

68. Borwein P., Ping Zhou. On the irrationality of a certain q series//Proc. Amer.Math.Soc.-1999.-V. 127,№ 6,P. 1605−1613.

69. Brownawell W.D.Effectivity in independence measures for values of E-functions//J.Aust.Math.Soc.-1985.-V.39.-P.227−240.

70. Bundschuh P. Arithmetische Untersuchungen unendlicher Produkte//Invent.Math.-l969.-V.6.-275−295.

71. Bundschuh P. Ein Satz uber ganze Funktionen und Irrationalitatsaussagen//Invent.Math.-1970.-V.9.-175−184.

72. Bundschuh P., Waldschmidt M. Irrationality results for theta functions by Gel’fond-Schneider's method//Acta Arithm.-1989.-V.53.-289−307.

73. Bundschuh P., Vaananen K. Arithmetical investigations of a certain infinite product//Compos. Math.-1994.-V.91.-P.175−199.

74. Chudnovsky G.V. On applications of Diophantine approximations //Proc.Natl.Acad.Sci.USA.-l 985 .-V.81 .-P.7261−7265.

75. Duvemey D. Irrationalite d’un q-analogue de g (2)//C.R.Acad.Sci. Paris.-1995.-V.321.-ser.l.-P.1287−1289.

76. Duverney D. Proprietes arithmetiques des solutions de certaines equations fonctionelles de Poincare//J.Theor.Nomb.Bordeaux.-1996.-V.8.-443−447.

77. Flicker Yu. On p-adic G-functions//J.London Math.Soc.-1977.-V.15,№ 3.-P.395−402.

78. Gasper G., Rahman M. Basic hypergeometric series.Encycl.Math.Appl.35 .-Cambridge Univ. Press, 1990(Имеется русский перевод: Гаспер Дж., Рахман.М. Базисные гипергеометрические ряды.-М. :Мир, 1993).

79. Heine Е. Uber die Reihe.// J.reine.angew.Math.-1846.-V.32.-P.210 212. f.

80. Icen O.C.Eine Verallgemeinerung und Ubertragung der Schneiderschen Algebraizitatskriterien ins p-adische mit Anwendung auf einen Transzendenzbeweis im p-adischen//J.reine.angew.Math.-1957.-V.198.-P .28−55.

81. Koblitz N. p-adic numbers, p-adic analysis and zeta-functions.Grad. texts Math.58.-Berlin:Springer, 1977.(Имеется русский перевод: Коблиц H. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции.-М.:Мир, 1982).

82. Mahler К. Uber transzendente p-adische Zahlen//Compos.Math.-1935.-V.2.-P.259−275.

83. Matala-Aho T. Remarks on the arithmetic properties of certain hypergeometric series of Gauss and Heine// Acta Univ.Oulu.-1991.-Ser.A Sci.Rer.Natur.219.

84. Matala-Aho Т., Vaananen K. Independence measures for two q-exponentials and related series//Math.Univ.Oulu.-1997.-Preprint.

85. Matala-Aho Т., Vaananen К. On approximation measures of q-logarithms//Bull.Austral.Math.Soc.-1998.-V.58,№ 1 .-P. 15−31.

86. Osgood C.F. On the Diophantine approximation of values of functions satisfying certain linear differential equations//J.Number theory.-1971.-V.3.-159−177.

87. Siegel C.L.Uber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen//Abh.Preuss Acad.Wiss., Phys.-Math.Kl.-l 929−1930.-№ 1. P. l-70.

88. Siegel C.L. Transcendental numbers.-Princeton:Princeton Univ.Press.-1949.

89. Stihl Th. Irrationalitatsma? e fur Werte der Losungen einer Funktionalgleichung von Poincare//Arch.Math.-1985.-V.44.-P.59−64.

90. Stihl Th. Arithmetische Eigensatzen spezieller Heinescher Reihen//Math. Ann.-l 984.-V.268.-P.21−41.

91. Titchmarsh E.C. The theory of fimctions.-Oxford Univ.Press.-1939(Имеется русский перевод: Титчмарш Е. Теория функций.-М.:Наука.-1980).

92. Tschakaloff L. Arithmetische Eigenschaften der unendlichenReihe2-a-,'(v-, y2x,'//Math.Ann.-1921.-V.80.-P.62−74-V.84.-P.100−114.v=0.

93. Vaananen K. On the approximation of certain infinite products//Math. Scand. -1993 .-V. 73 .-P. 197−208.

94. Wallisser R. Rationale Approximation des q-Analogons der Exponentialfunktion und Irrationalitatsaussagen fur diese Funktion//Arch.Math.-1985.-V.44.-59−64.