Группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями различных групп

Результаты, представленные в диссертации, относятся к традиционному для созданной В. П. Шунковым школы направлению, связанному с исследованием групп с различными условиями конечности и, в частности, с такими, ставшими уже классическими, объектами, как группы Шункова:

Группа называется группой Шункова, если в камсдом ее сечении по конечной подгруппе, включая единичную, любая пара сопряоюенных элементов простого порядка порождает конечную подгруппу.

При этом в этих исследованиях используется понятие насыщенности бесконечной группы заданным множеством групп. Понятие насыщенности группы некоторыми системами групп ввел в 1993 г. А. К. Шлёпкин [19]:

Группа? насыщена группами из множества Ш, если любая конечная подгруппа из С содержится в подгруппе, изоморфной некоторой группе из 9Л. Пусть группа С насыщена группами из некоторого множества ШТ., и для любой группы X &euro-Е Ш1 в С найдется подгруппа Ь, изоморфная X. В этом случае будем говорить, что насыщена множеством групп, а само множество будем называть насыщающим мноэюеетвом групп для С.

Изучение периодических групп, насыщенных множеством, состоящим из конечных простых неабелевых групп, связано с попыткой обобщить известный результат Кегеля, Беляева, Боровика, Хартли и Томаса о локально конечных группах, обладающих локальными покрытиями группами лиева типа на произвольные периодические группы [1]. В терминах насыщенности это обобщение оформлено в виде вопроса 14.101 в Коуровской тетради, который поставил А. К. Шлепкин:

Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, сама является простой группой лиева типа конечного ранга?

Частичным решениям этого вопроса посвящен ряд работ О. В. Васильевой, Д. В. Лыткиной, В. Д. Мазурова, А. Г. Рубашкина, А.И. Со-зутова, JI.P. Тухватуллиной, К. А. Филиппова, А. К. Шлепкина. [7−9,14−17,19−21,23−26].

Понятие насыщенности оказалось востребованным и в том случае, когда насыщающее множество состоит не обязательно из конечных простых неабелевых групп. В частности, Бернсайдовы группы В (т, п) достаточно большого четного периода п не локально конечны и насы-&bdquoщенны прямыми произведениями групп диэдра, взятых в конечном числе.

А.Г. Рубашкиным и К. А. Филипповым изучалась периодическая группа G, насыщенная конечными группами диэдра. Доказана локальная конечность такой группы при условии, что она либо ограниченного периода, либо финитно-аппроксимируема. В случае, если G не локально конечная группа, установлена следующая её факторизация G = ABC = АС В = ВС, А = С В А, где, А — локально конечный диэдр, а, В, Слокально циклические подгруппы. Вопрос о существовании такой группы до с Pix пор открыт. В связи с этим А. К. Шлепкиным был поставлен следующий вопрос:

Локально конечны ли группы конечного периода и конечного 2-ранга, насыщенные прямыми произведениями групп диэдра?

Изучение периодических групп, насыщенных прямыми произведениями различных групп, с одной стороны, продиктовано потребностями характеризации локально конечных простых групп лиева типа в связи с упомянутым выше вопросом 14.101 из Коуровской тетради. С другой стороны, эти исследования оказались интересными и востребованными в связи с указанными выше направлениями комбинаторной теории групп и вопросом А. Ю. Ольшанского:

Существует ли простая периодическая не локально конечная группа, насыщенная прямыми произведениями циклических групп простого порядка?

Продолжению исследований групп, насыщенных прямыми произведениями различных групп, и посвящена данная диссертация.

Основные результаты:

1. Доказана локальная конечность периодических групп Шункова, насыщенных прямыми произведениями циклических 2'-групп на группы ½ (2П) (теорема 1).

2. Доказана локальная конечность периодических групп Шункова, насыщенных прямыми произведениями циклических 2-групп на группу ?2(5) (теорема 2).

3. Доказана локальная конечность периодических групп Шункова, насыщенных прямыми произведениями конечных элементарных абеле-вых 2-групп на группу ?/2(6) (теорема 3).

4. Доказана локальная конечность периодических групп Шункова, насыщенных прямыми произведениями конечных элементарных абеле-вых 2-гругш на группы ?2 (р) (теорема 4).

5. Описано строение нормализатора силовской 3-подгруппы периодической группы Шункова, насыщенной общими линейными группами размерности два над полями характеристики 3 (теорема 5).

Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе собраны вспомогательные факты, используемые в доказательстве основных результатов. Некоторые из них были получены в процессе работы и приведены с доказательствами.

Во второй главе диссертации изучаются периодические группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями циклических групп на группу гДе Я. ~ Получены следующие результаты:

Теорема 1. Бесконечная периодическая группа Шункова С, насыщенная группами из множества К = {½ (г/) х (¿-т) | г/ = 2П- •• п = 2,.- тп = 1, 2, где Ьт) = 1, локально конечна и изоморфна прямому произведению Ь х V, где Ь ~ Ь2{0), для некоторого локально конечного поля (3, а V — локально циклическая группа без инволюций. '.

Теорема 2. Бесконечная периодическая группа Шункова С?, насыщенная группами из множества = (Ь2(5) х (г-)}, где |г>| = 2к, к = 1,2,.локально конечна и изоморфна Ь х V, где Ь ~ /у2(5) — а V — локально циклическая 2-группа.

В третьей главе диссертации изучаются периодические группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями ½ (#) на конечные элементарные абелевы 2-группы. Ранее К. А. Филипповым доказана локальная конечность периодической группы Шункова, насыщенной группами из множества = {^{я) х ^2}, где ^ — группа порядка 2, д = рп, р — нефиксированное [18]. Попытка обобщить этот результат на ироизвольные периодические группы пока успехом не увенчалась. Как оказалось, для случая, когда = {-?/2(4) х | Ч = 2Пп = 1,2,.}, возник контрпример, противоречивость которого доказать не удается. Поэтому естественно рассмотреть группу, насыщенную похожим множеством групп, в каждой из которых силовская 2−1Юдгруина элементарная абе-лева либо содержит элементарную абелеву 2-группу сколь угодно большого ранга. Доказаны следующие результаты:

Пусть 1п = х ^ х ¦ • ¦ х Z2|. Тогда верны следующие теоремы.

4 V ' п раз.

Теорема 3. Бесконечная периодическая группа Шункова С, насыщенная группами из множества = {?2(6) х1пп = 1, 2, локально конечна и изоморфна ½ (5) х И, где N — бесконечная группа периода 2.

Теорема 4. Бесконечная периодическая группа Шункова С, насыщенная группами из множества = {^(р) х 1пп = 1,2,.}, где р = ±-3(тос18) — фиксированное простое число, локально конечна и изоморфна Ьч (р) х N) где N — бесконечная группа периода 2.

В четвертой главе изучаются группы Шункова, насыщенные группами ОС2(Зп). Хорошо известно, какую роль играет структура централизатора инволюции при характеризации конечных простых неабелевых групп. Аналогичная ситуация складывается и при изучении бесконечных периодических групп, насыщенных конечными простыми иеабеле-выми группами. При изучении периодических групп, насыщенных группами 1/з (Зп), оказалось необходимым установление структуры централизатора инволюции. Как выяснилось, централизатор инволюции насыщен группами С½(3П).

Теорема 5. Пусть бесконечная периодическая группа Шункова G насыщенна группами из множества 9е? = {GL2(q)q = 3Пп— 1,2, S — силовская 3-подгруппа группы G. Тогда:

1. S — счетная элеменарная абелева 3-группа.

2. Cg (S) = S х D, где D — бесконечная локально циклическая группа и тг (£>) П tt (S') = 0.

3. Ng (S) = S X (D x R), где R — бесконечная локально циклическая группа, изоморфная группе D и Nq{S) — Cg{S) X R.

4. S X R — группа Фробениуса с неинвариантным мноэюителем R, действующим регулярно и транзитивно на мноэюеетве неединич-иых элементов группы S.

Основная часть доказательства теоремы 1, за исключением леммы 1, принадлежит автору. Доказательство теоремы 2, за исключением леммы 3, принадлежит автору. Теоремы 3, 4, 5 доказаны автором самостоятельно.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю A.A. Кузнецову за постановку задачи, помощь в работе и внимание с его стороны. Отдельная благодарность сотрудникам кафедры прикладной математики КрасГАУ: Л .Р. Тухватуллиной, К. А. Филиппову и A.A. Дуж, за ценные советы и полезные замечания при обсуждении моей работы, — за доброжелательность и внимательное отношение.

Результаты диссертации докладывались автором на «Мальцев-ских чтениях» (г. Новосибирск, 2009, 2010), на XLV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2009), на Международной конференции «Алгебра, логика и приложения» (г. Красноярск, 2010). Результаты диссертации обсуждались на Красноярском городском алгебраическом семинаре (СФУ) и на семинаре «Математические системы» (КрасГАУ).

1. Беляев В. В. Локально конечные группы Шевалле // Исследования по теории групп. — Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984. — С. 39−50.

2. Бусаркин В. М., Горчаков Ю. М. Конечные расщепляемые группы.- М.: Наука, 1968. 180 с.

3. Горенстейн Д. Конечные простые группы. М.: Мир, 1985. — 560 с.

4. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. В. Основы теории групп.- М.: Наука, 1982. 288 с.

5. Каргаполов М. И. О проблеме О. Ю. Шмидта // Си. матем. журн.- 1963. Т. 4, № 1. — С. 232−235.

6. Лысёпок И. Г. Бесконечные бернсайдовы группы четного периода // Изв. РАН. Сер. матем. 1996. — Т. 60. — С. 4−5.

7. Лыткина Д. В. Строение группы, порядки элементов которой не превосходят числа 4 // Матем. сист. Красноярск: КрасГАУ, 2005. Ш. С. 602−617.

8. Лыткина Д. В. Периодические группы, насыщенные группой £/з (9) // Матем. сист. Красноярск: КрасГАУ, 2006. — № 5. — С. 32−34.

9. Лыткина Д. В., Мазуров В. Д. Периодические группы, насыщенные группами Ь3(2т) // Алгебра и логика. 2007. — Т. 46, № 5. — С. 520−535.

10. Лыткина Д. В., Филиппов К. А. О периодических группах, насыщенных и ее центральными расширениями // Матем. сист.-Красноярск: КрасГАУ. 2006. — № 5. — С. 35−45.

11. Мендельсон Э.

Введение

в математическую логику. М.: Наука, 1976. — 320 с.

12. Рубашкин А. Г., Филиппов К. А. О периодических группах, насыщенных Ь2(рп) // Сиб. матем. журн. 2005. — Т. 46, № 6. — С. 1388−1392.

13. Санов’И. Н. Решения проблем Бернсайда для периода 4 // Учен, записки ЛГУ. Сер. матем. 1940. — № 10. — С. 166−170.

14. Созутов А. И. О некоторых группах, насыщенных конечными простыми подгруппами // Матем. сист.- Красноярск: КрасГАУ. -2004. № 3. С. 101−110.

15. Созутов А. И., Шлепкин А. К. О некоторых группах с конечной инволюцией, насыщенных конечными простыми подгруппами // Матем. заметки. 2002. — Т. 72, № 3. — С. 433−447.

16. Тухватуллина Л. Р. О периодических группах, насыщенных конечным множеством конечных простых групп / Д. В. Лыткина, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов // Сиб. матем. журн. 2008. — Т. 49, № 2. — С. 395−400.

17. Тухватуллина Л. Р. О периодических группах, насыщенных группами ?/з (2п) / Д. В. Лыткина, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов // Алгебра и логика. 2008. — Т.47, № 3. — С. 288−306.

18. Филиппов К. А. Группы, насыщенные конечными неабелевыми группами и их расширениями: дис.. канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2006.

19. Шлёпкин А. К. Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие конечные неразрешимые подгруппы // Сб. тез. III меж-дунар. конф. по алгебре, 23−28 авг. 1993. Красноярск, 1995. -С. 369.

20. Шлёпкин А. К. О сопряженно бипримитивно конечных группах, насыщенных конечными простыми подгруппами // Алгебра и логика. 1998, — Т. 37, № 2. — С. 224−245.

21. Шлёпкин А. К. О сопряженно бипримитивно конечных группах, насыщенных конечными простыми подгруппами и^(2п) // Алгебра и логика. 1998. — Т. 37, № 5. — С. 606−615.

22. Шлёпкин А. К. Группы Шункова с дополнительными ограничениями: дис.. д-ра физ.-мат. наук. Красноярск, 1998. — 163 с.

23. Шлёпкин А. К. О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простыми подгруппами // Матем. труды. 1998. Т. 1, № 1. — С. 129−138.

24. Шлёпкин А. К., Рубашкин А. Г. О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простым группами // Матем. сист. -Красноярск: КрасГАУ, 2004. № 2, — С. 96−100.

25. Шлёпкин А. К., Рубашкин А. Г. О группах, насыщенных конечным множеством групп // Сиб. матем. журн. 2004. — Т. 45, № 6. — С. 1397−1400.

26. Шлёпкин А. К., Рубашкин А. Г. Об одном классе периодических групп // Алгебра и логика. 2005. — Т. 44, № 1. — С. 110−119.

27. Шунков В. П. О периодическх группах с почти регулярной инволюцией // Алгебра и логика. 1972, — Т. 11, № 4. — С. 470−494.

28. Ivanov S.V. The free Burnside groups of sufficiently large exponents // Int. J. of Algebra and Computation. 1994. — V. 4. — P. 2. РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

29. Панюшкин Д. Н., Тухватуллина Л. Р., Филиппов К. А. О периодической группе Шункова, насыщенной центральными расширениями конечных 2-групп посредством группы ?2(5) // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2010. — Т. 10, вып.1. С. 88−92.

30. Панюшкин Д. Н., Тухватуллина Л. Р., Филиппов К. А. О группе Шункова, насыщенной центральными расширениями циклических групп посредством проективных специальных линейных групп // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. — Т. 6, № 2. — С. 177−185.

31. Панюшкин Д. Н. Строение нормализатора силовской З-подгруппы периодической группы Шункова, насыщенной конечными простыми группами <31/2(3П) // Матем. сист. Красноярск: КрасГАУ, 2009. — № 7. — С. 48−51.

32. Панюшкин Д. Н. О периодической группе Шункова, насыщенной центральными расширениями конечных 2-групп посредством группы Ь2(р) // Матем. сист. Красноярск: КрасГАУ, 2009. — № 8. С. 68−73.

33. Панюшкин Д. Н. Строение нормализатора силовской З-подгруппы периодической группы Шункова, насыщенной группами СЬ2(3П) // Сборник тезисов матем. ХЬУП междунар. науч. студ. конф. -НГУ. Новосибирск, 2009. — С. 117.