Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Методы геометрии дифференциальных уравнений в анализе интегрируемых моделей теории поля

Диссертация: Методы геометрии дифференциальных уравнений в анализе интегрируемых моделей теории поля
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Благодарность. Автор выражает благодарность своему научному руководителю, профессору И. С. Красильщику, за постановку задачи, многочисленные обсуждения на всех этапах исследования и конструктивную критику. Кроме того, автор благодарен А. М. Вербовецкому и А. В. Овчинникову за существенные замечания и советы, а также А. А. Белавину, Р. Витоло, В. А. Головко, В. Г. Кацу, П. Керстену, Б. Г… Читать ещё >

Содержание

  • Глава I. Законы сохранения и нётеровы симметрии уравнений
    • 1. Об уравнении Тоды: обзор литературы
    • 2. Нётеровы симметрии уравнений Тоды
    • 3. Операторы рекурсии для уравнений Тоды
  • Глава II. Примеры вычислений
    • 4. Бездисперсионное уравнение Тоды
    • 5. Нелинейное уравнение Шрёдингера
  • Глава III. Иерархии Кортевега-де Фриза и уравнения Тоды
    • 6. Аналоги модифицированного уравнения Кортевега-де
  • Фриза
    • 7. О гамильтоновом формализме для уравнений Эйлера
    • 8. О некоторых свойствах иерархий Кортевега-де Фриза
  • Глава IV. Преобразования Беклунда и представления нулевой кривизны
    • 9. Преобразования Беклунда и их деформации
    • 10. Об интегрировании преобразований Беклунда
    • 11. Представления нулевой кривизны
  • Глава V. Алгебры Шлезингера-Сташефа и определители
  • Вронского
    • 12. Алгебраическая теория
    • 13. Ассоциативные алгебры Шлезингера-Сташефа
    • 14. Построение вронскианов функций многих переменных
  • Выводы

Методы геометрии дифференциальных уравнений в анализе интегрируемых моделей теории поля (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Уравнения Тоды ([41]) и, в частности, уравнения Тоды, ассоциированные с полупростыми алгебрами Ли ([34]), играют существенную роль в построении и анализе моделей современной конформной теории поля. Известны многочисленные приложения уравнений Тоды в теории гравитации ([46, 52]) и теории Янга-Миллса ([85]), в дифференциальной геометрии ([67, 75]), задачах классификации нелинейных уравнений в частных производных ([15]), установлена их связь с интегрируемыми динамическими системами ([11]), фробениусовыми многообразиями и структурами ассоциативных алгебр ([57]). В перечисленных выше областях математической физики непосредственно к уравнениям Тоды сводятся задачи изучения таких систем, как антиавтодуальные вакуумные уравнения Эйнштейна, уравнения Янга-Миллса, структурные уравнения комплексных кривых в кэлеровых многообразиях, динамика инвариантов Лапласа дифференциальных уравнений, уравнение Кортевега-де Фриза, уравнение VDVV (Vit-1еп-БукгааГ-Н. Уег1тс1е-Е. УегНпс1е) и т. д.

Алгебраический подход к изучению гиперболических уравнений Тоды иху = ехр (Я" и) был развит в работах А. Н. Лезнова и М. В. Савельева ([34]), В. Г. Дринфельда и В. В. Соколова ([И]), Б. А. Дубровина ([57]) и др., в которых уравнения Тоды интерпретированы как уравнения плоских связностей на полупростых комплексных алгебрах Ли (или их обобщениях) с матрицей Картана К. Известно, что такие уравнения, называемые уравнениями, ассоциированными с алгебрами Ли, точно интегрируемы ([34]) — в фундаментальной работе [11] им были поставлены в соответствие интегрируемые иерархии Дринфельда-Соколова — аналоги бигамильтоновых уравнений Кортевега-де Фриза. Между тем, алгебраический подход не в полной мере учитывает геометрические свойства самих уравнений Тоды, например, такие как структура алгебры Ли нётеровых симметрий, наличие у этих уравнений операторов рекурсии и взаимосвязь допускаемых уравнениями Тоды законов сохранения с гамильтоновыми структурами для уравнений Кортевега-де Фриза. В частности, до настоящего времени не было известно, что перечисленные свойства уравнений Тоды сохраняются при переходе к значительно более общему случаю уравнений иху = ехр{Ки), ассоциированных с невырожденной симметризуемой матрицей К — не обязательно матрицей Картана.

Мощным средством изучения алгебро-геометрических структур служат гомологические методы, развитые в работах И. С. Красильщика, В. В. Лычагина, А. М. Виноградова ([4, 82, 83, 108]) и их научных школ. В связи со значительными успехами методов геометрии дифференциальных уравнений было естественным применить их к исследованию уравнений Тоды.

Целью диссертационной работы является анализ геометрических свойств уравнений Тоды, построение на их основе новых интегрируемых систем и установление взаимосвязи между уравнениями Тоды и иными уравнениями математической физики.

В диссертации рассмотрены алгебро-геометрические свойства гиперболических уравнений Тоды иху — ехр (Ки), ассоциированных с невырожденной симметризуемой матрицей К, построена иерархия аналогов потенциального модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза щ = иххх + и установлена её связь с иерархией уравнения Кортевега-де Фриза Tt = Тххх + ТТХ, получено описание групповых структур для без дисперсионных (2 + 1)-мерных уравнений Тоды иху = ехр (—uzz) и изучены геометрические свойства многокомпонентных систем = №хх + г/(|Ф|)Ф типа нелинейного уравнения Шрёдингера (мультисолитонных комплексов), также связанных с уравнениями Тоды. Использованный метод исследований состоит в систематическом применении методов геометрии дифференциальных уравнений при изучении перечисленных выше уравнений и структур на них.

Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, содержащих 14 разделов, выводов и списка литературы из 112 наименований. Формулируемые в работе леммы, теоремы, утверждения и следствия имеют сплошную нумерацию от 1 до 70.

127 Выводы.

1. В работе приведено исчерпывающее описание нётеровых симме-трий гиперболических уравнений Тоды, ассоциированных с невырожденной симметризуемой матрицей К общего положениядля матриц К специального вида указан структурный состав симметрий лагранжиана. Построен континуум операторов рекурсии для уравнений Тоды, причем как локальных, так и нелокальных, но генерирующих цепочки локальных симметрий.

2. Построены 5 классов решений бездисперсионных уравнений Тоды, инвариантные относительно некоторых подгрупп группы Ли симметрий, а также реконструированы 4 закона сохранения, соответствующие локальным нётеровым симметриям лагранжиана этого уравнения. Приведены законы сохранения для многокомпонентных аналогов нелинейного уравнения Шрёдингера.

3. Построена коммутативная иерархия 21 нётеровых симметрий уравнений Тоды, ассоциированных с невырожденной симметризуемой матрицей К установлено соответствие между иерархией 21 и схемой Магри для иерархии 95 потенциального уравнения Кортеве-га-де Фриза деформаций тензора энергии-импульса для уравнений Тоды. Исследованы вопросы гамильтонова формализма для лагран-жевых гиперболических уравненийпоказано, что элементы иерархии 21 гамильтоновы и имеют общие с иерархией гамильтонианы уравнения Кортевега-де Фриза.

4. Представления нулевой кривизны и преобразования Беклунда для уравнений Тоды — уравнений плоских связностей на полупростых комплексных алгебрах Ли — изучены с алгебро-геометрической точки зренияисследованы свойства однопараметрических семейств преобразований Беклундареализован метод интегрирования преобразований Беклунда в нелокальных переменных.

5. Изучены свойства ассоциативных алгебр Шлезингера-Сташефа, представимых в дифференциальных операторах высших порядковвычислены структурные константы и конформные размерности генераторов этих алгебртакже получено тождество, которому удовлетворяют определители Вронского. Указаны аналоги классической алгебры Вирасоро голоморфных векторных полей, образованные операторами высших порядков. Построены обобщения определителей Вронского, действующие на алгебре функций многих переменных и удовлетворяющие тождествам Якоби для алгебр Шлезингера-Сташефа.

Полученные в диссертационной работе результаты опубликованы в работах автора [20]—[30] и [77]—[80]. Результаты работы могут быть полезны исследователям, работающим в МГУ им. М. В. Ломоносова, Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН, Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН и Институте программных систем РАН, специализирующимся в области конформной теории поля и в теории интегрируемых систем.

Благодарность. Автор выражает благодарность своему научному руководителю, профессору И. С. Красильщику, за постановку задачи, многочисленные обсуждения на всех этапах исследования и конструктивную критику. Кроме того, автор благодарен А. М. Вербовецкому и А. В. Овчинникову за существенные замечания и советы, а также А. А. Белавину, Р. Витоло, В. А. Головко, В. Г. Кацу, П. Керстену, Б. Г. Конопельченко, В. Г. Марихину, Ю. Д. Плетнеру, А. К. Погреб-кову, Б. Л. Фейгину, Е. В. Ферапонтову, А. Б. Шабату и всем участникам семинара по геометрии дифференциальных уравнений (НМУ) за полезные обсуждения. Также автор выражает благодарность профессорско-преподавательскому составу кафедры математики физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Диссертационная работа выполнена при финансовой поддержке стипендии Правительства Российской Федерации и гранта ШТАБ УБ 2001/2−33.

Показать весь текст

Список литературы

  1. В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1979. — 432 с.
  2. В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — Ижевск, Ижевская респ. ти-погр., 2000. — 400 с.
  3. Н. И., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М.: Физма-тлит, 1993. — 335 с.
  4. А. В., Вербовецкий А. М., Виноградов А. М. и др. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / Ред. А. М. Виноградов и И. С. Красильщик. — М.: Факториал, 1997. — 464 с.
  5. И. М., Дорфман И. Я. Гамильтоновы операторы и связанные с ними алгебраические структуры // Функц. анализ и его прилож. — 1979. — 13, т. — С. 13−30.
  6. И. М., Фукс Д. Б. Когомологии алгебры Ли векторных полей на окружности // Функц. анализ и его приложения. — 1968. — 2, Ш. — С.92−93.
  7. В. А. О законах сохранения для систем Тоды / X Международная конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «ЛОМОНОСОВ-2003», секция «Физика». Сборник тезисов. — М.: МГУ. — 2003. — С. 53−55.
  8. В. А. О представлениях нулевой кривизны и преобразованиях Беклунда для уравнения Лиувилля / В сб.: Труды XXV Конференции молодых ученых. Механико-математический ф-т МГУ. — М.: МГУ. — 2003. — С. 20−22.
  9. А. С. Целочисленные и mod р-когомологии алгебры Ли W // Функц. анализ и его приложения. — 1988. — 22, т. — С. 226−228.
  10. В. Г., Соколов В. В. Уравнения типа Кортевега-де Фриза и простые алгебры Ли // Докл. АН СССР — 1981. — 258, № 1. — С. 11−16.
  11. В. Г., Соколов В. В. Алгебры Ли и уравнения типа Кортевега-де Фриза / Современные проблемы математики. Новейшие достижения. 24. — М.: ВИНИТИ, 1984. — С. 81−180.
  12. . А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979. — 760 с.
  13. А. В. Уравнения n-волн и система нелинейных уравнений Шредингера с групповой точки зрения // ТМФ. — 1982. — 52, т. — С. 405−413.
  14. А. В., Шабат А. Б. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой // Докл. АН СССР. — 1979. — 247, № 5. — С. 1103−1107.
  15. А. В., Соколов В. В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // УМН. — 56, № 1. — 2001. — С. 63−106.
  16. П.Г., Тахтаджян JI.A. Об уравнении Лиувилля, акцессорных параметрах и геометрии пространства Тейхмюллера для ри-мановых поверхностей рода 0 // Матем. сб. — 1987. — 132(174), №. — С. 147−166.
  17. Н.Х., Шабат A.B. Уравнение Кортевега-де Фриза с групповой точки зрения // Докл. АН СССР. — 1979. — 244, № 1. — С. 57−61.
  18. Н.Х., Шабат A.B. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли-Беклунда // Функц. анализ и его приложения. — 1980. — 14, № 1. — С. 25−36.
  19. Ш. М. Сопряженность подалгебр Картана в п-лиевых алгебрах // Доклады РАН. — 1996. — 345, № 1. — С. 15−18.
  20. А. В. Законы сохранения эллиптических систем Тоды, ассоциированных с алгебрами Ли Л2, В2, С2, Д2, G2 / В сб.: XXII Конференция молодых ученых. Механико-математический ф-т МГУ. — 2000. — М.: МГУ. — С. 70−73.
  21. А. В. Классические законы сохранения для эллиптического уравнения Лиувилля // Вестник Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия.2000. — Вып. 6 (2000). — С. 11 13.
  22. А. В.: Об n-арных обобщениях алгебры Ли з1г (к) / В сб.: Труды XXIV Конференции молодых ученых. Механико-математический ф-т МГУ. — М.: МГУ. — 2002. — С. 78−81.
  23. А. В. Об автопреобразовании Беклунда для уравнения Лиувилля // Вестник Московского университета. Сер. 3. Физика. Астрономия. — Вып. 6 (2002). — С. 22−26.
  24. А. В. О некоторых свойствах оператора рекурсии для уравнения Лиувилля / В сб.: Труды XXV Конференции молодых ученых. Механико-математический ф-т МГУ. — 2003. — М.: МГУ. — С. 74−77.
  25. А. В. Применение методов геометрии дифференциальных уравнений в решении краевых задач // Математика и её приложения. — 2004. — 1, № 1. — С. 59−68.
  26. А. В. О непрерывном аналоге двумерных систем Тоды // Математика и её приложения. — 2004. — 1, № 1. — С. 69−74.
  27. А. В. Об уравнениях Кортевега-де Фриза, ассоциированных с системами Тоды. Деп. в ВИНИТИ 10.03.2004, № 412-В2004, 86 с.
  28. А. В. Об ассоциативных алгебрах Шлезингера-Сташефа и определителях Вронского. Деп. в ВИНИТИ 10.03.2004, № 413-В2004, 30 с.
  29. А. Н. О полной интегрируемости одной нелинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных вдвумерном пространстве // ТМФ. — 1980. — 42, № 3. — С. 343 349.
  30. А. Н., Савельев М. В. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем. — М., 1985. — 278 с.
  31. А. Н., Смирнов В. Г., Шабат А. Б. Группа внутренних симметрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем // ТМФ. — 1982. — 51, № 1. — С. 10−21.
  32. А. Г. Симметрии скалярных полей. III. Двумерные интегрируемые модели // ТМФ. — 1985. — 63, № 3. — С. 323−332.
  33. Джет Неструев Гладкие многообразия и наблюдаемые. — М.: МЦНМО, 2000. — 300 с.
  34. А. В. Системы Тоды, ассоциированные с алгебрами Ли, и W-алгебра в некоторых задачах математической физики. Дисс. к.ф.-м.н. — 1996. — М.: МГУ. — 96 с.
  35. А. М. Калибровочные поля и струны. — Ижевск: Изд. «Удмуртский университет», 1999. — 312 с.
  36. М. В. О проблеме интегрируемости непрерывной системы Тоды // ТМФ. — 1992. — 92, № 3. — С. 457−465.
  37. M. Теория нелинейных решеток. — М., 1984. — 264 с.
  38. В. Т. О лиевых п-алгебрах // Сиб. матем. журн. — 1985. — 24. — С. 126−140.
  39. Н. Г. Законы сохранения и нелокальные симметрии // Матем. заметки. — 1988. — 44, № 1. — С. 134−144.
  40. А. В., Ямилов Р. И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана. — Препринт. Уфа, Башкир, филиал АН СССР. 1981. — 22 с.
  41. Akhmediev N., Ankiewicz A. Multi-soliton complexes // Chaos. — 2000. — 10, т. — С. 600−612.
  42. Barnich G., Brandt F., Henneaux M. Local BRST cohomology in the antifield formalism: I. General theorems. Commun. Math. Phys. — 1995. — 174. — C. 57−92.
  43. Barnich G., Fulp R., Lada T., Stasheff J. The sh Lie structure of Poisson brackets in Field Theory // Commun. Math. Phys. — 1998. — 191. — C. 585−601.
  44. Bilal A., Gervais J.-L. Extended C = oo conformal systems from classical Toda field theories // Nucl. Phys. B. — 1989. — 314, № 3. — C. 646−686.
  45. Bilal A., Gervais J.-L. Systematic construction of conformal theories with higher-spin Virasoro symmetries // Nucl. Phys. B. — 1989. — 318, №. — C. 579−630.
  46. Boyer C. P., Finley J. D. Killing vectors in self-dual Euclidean Einstein spaces // J. Math. Phys. — 1982. — 23. — C. 1126−1130.
  47. Boyer C. P, Plebanski J. F. An infinite hierarchy of conservation laws and nonlinear superposition principles for self-dual Einstein spaces // J. Math. Phys. — 1985. — 26, № 2. — C. 229−234.
  48. Brandt F. Backlund transformations and zero curvature representations of systems of partial differential equations //J. Math. Phys. — 1994. — 35. — C. 2463−2484.
  49. Bullough R. K., Dodd R. K. Backlund transformations for the sine-Gordon equations // Proc. Roy. Soc., London. — 1076. — A351, № 1667. — C. 499−523.
  50. Bullough R. K., Dodd, R. K. Polynomial conserved densities for the sine-Gordon equations // Proc. Roy. Soc. London. — 1977. — A352. — C. 481−503.
  51. Carlet G., Dubrovin B., Zhang Y. The extended Toda hierarchy. arXiv: nlin. SI/306 060.
  52. Case K. M., Roos A. M Sine-Gordon and modified Korteweg-de Vries charges //J. Math. Phys. — 1982. — 23, № 3. — C. 392−395.
  53. Cieslinski J. A generalized formula for integrable classes of surfaces in Lie algebras // J. Math. Phys. — 1997. — 38, № 8. — C. 4255−4272.
  54. Dorfman I. Dirac structures and integrability of nonlinear evolution equations. Nonlinear Science: Theory and Applications. — John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, 1993. — 176 c.
  55. Dunajski M., Mason L. J. Hyper-Kahler hierarchies and their twistor theory // Commun. Math. Phys. — 2000. — 213. — C. 641−672.
  56. Dzhumadil’daev A. S. Wronskians as n-Lie multiplications. Preprint arXiv: math. RA/202 043, 5 Feb 2002.
  57. Dzhumadil’daev A. S. iV-commutators of vector fields. Preprint arXiv: math. RA/203 036, 18 Mar 2002.
  58. Feher L., O’Raifeartaigh L., Ruelle P., Tsutsui I., Wipf A. On Hamiltonian reductions of the Wess-Zumino-Novikov-Witten theories //Phys. Rep. — 1992. — 222, № 1. — C. 1−64.
  59. Gervais J.-L., Matsuo Y. W-geometries // Phys. Letters. — 1992. — B274. — C. 309−316.
  60. Gervais J.-L., Matsuo Y. Classical W-geometries // Commun. Math. Phys. — 1993. — 152. — C. 317−368.
  61. Gervais J.-L., Saveliev M. V. W-geometry of the Toda systems associated with non-exceptional Lie algebras // Commun. Math. Phys. — 1996. — 180, № 2. — C. 265−296.
  62. Geurts M. L., Martini R., Post G. F. Symmetries of the WDVV equation // Acta Appl. Math. — 2002. — 72, № 1−2. — C. 67−75.
  63. Gusyatnikova V. N., Samokhin A. V., Titov V. S. et al. Symmetries and conservation laws of Kadomtsev-Pogutse equations // Acta Appl. Math. — 1989. — 15, № 1. — C. 23−64.
  64. Hanlon P., Wachs M. L. On Lie A--algebras // Adv. in Math. — 1995. — 113. — C. 206−236.
  65. Igonin S., Krasil’shchik /. S. On one-parametric families of Backlund transformations // Advanced Studies in Pure Mathematics. — 2003. — 37. — C. 99−114.
  66. Kac V. G., Raina A. K. Bombai lectures on highest wieght representation of infinite dimensional Lie algebras. — Singapore etc.: World Scientific, 1987. — ix, 145 c.
  67. Kaliappan P., Lakshmanan M. Connection between the infinite sequence of Lie-Backlund symmetries of the Korteweg-de Vries and sine-Gordon equations // J. Math. Phys. — 1982. — 23, № 3. C. 456−459.
  68. Kassel Ch. Quantum groups. — Springer-Verlag, 1995.
  69. Kazdan J. L., Warner F. W. Curvature functions for open 2-manifolds // Ann. Math., (2). — 1974. — 99, № 2. — C. 203−219.
  70. Kersten P., Krasil’shchik I., Verbovetsky A. Hamiltonian operators and ?'-coverings. — 2002. — Preprint DIPS-6/2002. — 25 c.
  71. Kiselev A. V. On n-ary generalizations of the Lie algebra sl^Ik). —2002. — Preprint DIPS-2/2002. — 14 c.
  72. Kiselev A. V Backlund transformations for the Liouville equation provide nonlocal variables and nonlocal structures. — 2002. Preprint DIPS-5/2002. — 9 c.
  73. Kiselev A. V. On the geometry of Liouville equation: symmetries, conservation laws, and Backlund transformations // Acta Appl. Math. — 2002. — 72, № 1−2. — C. 33−49.
  74. Kiselev A. V. On the conservation laws for the Toda equations. —2003. — Preprint № 8/2003, Dipartimento di Matematica 'Ennio De Giorgi', Universita degli Studi di Lecce, Italy. — 9 c.
  75. Krasil’shchik I. A simple method to prove locality of symmetry hierarchies. — 2002. — Preprint DIPS-9/2002. — 4 c.
  76. Krasil’shchik I. S. f Kersten P. H. M. Symmetries and recursion operators for classical and supersymmetric differential equations. — Kluwer Acad. Publ., Dordrecht etc., 2000. — 380 c.
  77. Krasil’shchik J., Verbovetsky A. Homological methods in equations of mathematical physics, Advanced Texts in Mathematics. — Open Education and Sciences, Opava, 1998. — 150 c.
  78. Lada T., Stasheff J. D. Introduction to sh Lie algebras for physicists // Int. J. Theor. Phys. — 1993. — 32. — C. 1087−1103.
  79. Leznov A. N., Saveliev M. V. Spherically symmetric equations in gauge theories for an arbitrary semisimple compact Lie group // Phys. Lett. B. — 1978. — 79, № 3. — C. 294−296.
  80. Liouville J. Sur l’equation aux differences partielles d2 log X/du dv ± A/(2a2) = 0 // J. de math, pure et appliquee. — 1853. — 18, № 1. — C. 71−72.
  81. Magri F. A simple model of the integrable equation //J. Math. Phys. — 1978. — 19, № 5. — C. 1156−1162.
  82. Martina L., Sheftel M. B., Winternitz P. Group foliation and noninvariant solutions of the heavenly equation // J. Phys. A: Math. Gen. — 2001. — 34. — C. 9243−9263.
  83. Marvan M. Jets. A software for diferential calculus on jet spaces and diffieties, ver. 4.9 (December 2003) for Maple V Release 4. — Opa-va. — 1997. Internet: http://diffiety.ac.ru/soft/soft.htm.
  84. Marvan M. On the horizontal gauge cohomology and nonremovability of the spectral parameter // Acta Appl. Math. — 2002. — 72, № 12. — C.51−65.
  85. Marvan M. Another look on recursion operators / Proc. Conf. Differential Geometry and Applications. — 1995. — Masaryk Univ., Brno, Czech Republic. — C. 393−402.
  86. Michor P., Vinogradov A. M. n-ary Lie and associative algebras // Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino. —1996. — 53, № 4. — C. 373−392.
  87. Miura R. M. Korteweg-de Vries equation and generalizations. I. // J. Math. Phys. — 1968. — 9, № 8. — C. 1202−1204.
  88. Nambu Y. Generalized Hamiltonian dynamics // Phys. Rev. D. — 1973. — 7. — C. 2405−2412.
  89. Ovchinnikov A. Toda systems and W-algebras / Proc. 1st Nonorthodox School on Nonlinearity and Geometry. Ed. D. Wojcik, J. Cieslinski. — Polish Sc. Publ. PWN, Warsawa, 1998. — C. 348−358.
  90. Poincare H. Les fonctions fuchsiennes et l’equation Au = exp (u) // J. math, pures et appl., 5e ser. — 1898. — № 4. — C. 157−230.
  91. Razumov A. V., Saveliev M. V. Lie algebras, geometry, and Toda-type systems. Cambridge Lecture Notes in Physics 8. — Cambridge Univ. Press, 1997. — 327 c.
  92. Rogers C., Shadwick W. F. Backlund transformations and their applications. — NY etc.: Academic press, 1982. — 334 c.
  93. Sahoo D., Valsakumar M. C. Nambu mechanics and its quantization // Phys. Rev. A. — 1992. — 46. — C. 4410−4412.
  94. Schlessinger M., Stasheff J. D. The Lie algebra structure of tangent cohomology and deformation theory //J. Pure Appl. Algebra. — 1985. — 38, № 2−3. — C. 313−322.
  95. Sakovich S. Yu. On special Backlund autotransformations // J. Phys. A: Math. Gen. — 1991. — 24. — C. 401−405.
  96. Sakovich S. Yu. On conservation laws and zero-curvature representations of the Liouville equation //J. Phys. A: Math. Gen. — 1994. — 27. — C. L125-L129.
  97. Saveliev M. V., Vershik A. M. On the continuous Lie algebras and the Cartan operators // Commun. Math. Phys. — 1989. — 126. — C. 367−381.
  98. Shabat A. B. Higher symmetries of two-dimensional lattices // Phys. Lett. A. — 1995. — 200. — C. 121−133.
  99. Shadwick W. F. The Backlund problem for the equation d2z/dx1dx2 = f (z) U J. Math. Phys. — 1978. — 19, № 11. — C. 2312−2317.
  100. Sukhorukov A. A., Akhmediev N. N. Intensity limits for stationary and interacting multi-soliton complexes. — 2001. — Preprint arXiv: nlin. PS/103 026.
  101. Takhtajan L. On foundations of generalized Nambu mechanics // Commun. Math. Phys. — 1994. — 160. — C. 295−315.
  102. Vinogradov A. M. The C-spectral sequence, Lagrangian formalism, and conservation laws. I. The linear theory. II. The nonlinear theory // J. Math. Anal. Appl. — 1984. — 100, № 1. — C. 1−129.
  103. Vinogradov A., Vinogradov M. On multiple generalizations of Lie algebras and Poisson manifolds // Contemporary Mathematics Amer. Math. Soc. — 1998. — 219. — C. 273−287.
  104. Wahlquist H. D., Estabrook F. B. Backlund transformation for solutions of the Korteweg-de Vries equation 11 Phys. Rev. Lett. — 1973. — 31, № 23. — C. 1386−1390.
  105. Wang J. P. Symmetries and conservation laws of evolution equations. — PhD thesis, Vrije Universiteit, Amsterdam, 1998. — 166 c.
  106. Witten E. Some exact multipseudoparticle solutions of classical Yang-Mills theory // Phys. Rev. Lett. — 1977. — 38, № 3. — C. 121 124.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!