Π”ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, курсовая, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°
ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² написании студСнчСских Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚

РСгуляризованныС слСды ΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптотики ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Π”ΠΈΡΡΠ΅Ρ€Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ситуации, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ систСма Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ уравнСния (1.1) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅ асимптотичСскиС разлоТСния ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ простых ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠžΡ€Ρ€Π°-Π—ΠΎΠΌΠΌΠ΅Ρ€Ρ„Π΅Π»ΡŒΠ΄Π° характСристичСский ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ (1.4) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ = О ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π΄Π²Π° ΠΈ Π΄Π²Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… корня Π°^/2 = Β¦ Однако асимптотичСскоС Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

  • 1. РСгуляризованныС слСды ΠΊΡ€Π°Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ характСристичСского ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°
    • 1. 1. Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π”ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Пюизо
    • 1. 2. Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ Π΄Π²ΡƒΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ характСристичСского ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°
    • 1. 3. АсимптотичСскиС разлоТСния Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
    • 1. 4. Π₯арактСристичСский ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΡ€Π°Π΅Π²ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ
    • 1. 5. Π”Π·Π΅Ρ‚Π°-функция, ассоциированная с Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π” (А)
    • 1. 6. АналитичСскоС ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π·Π΅Ρ‚Π°-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
  • Z (a) Π²ΠΎ Π²ΡΡŽ сг-ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ
    • 1. 7. РСгуляризованныС суммы ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π” (А)
    • 1. 8. РСгуляризованныС слСды для ΠΊΡ€Π°Π΅Π²ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка
    • 1. 9. Π”Π²ΡƒΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ функциям ΠΊΡ€Π°Π΅Π²ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня характСристичСского ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°
  • Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
  • 2. Π‘Π»Π΅Π΄Ρ‹ для ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ класса сингулярных ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎ
    • 2. 1. Π₯арактСристичСский ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π°
    • 2. 2. АсимптотичСскоС Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ характСристичСского опрСдСлитСля ΠΏΡ€ΠΈ Π›-^ΠΎΠΎ
    • 2. 3. АсимптотичСский ряд для собствСнных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ
    • 2. 4. Π”Π·Π΅Ρ‚Π°-функция Z (a)
    • 2. 5. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Лидского-Π‘Π°Π΄ΠΎΠ²Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ аналитичСского продолТСния Π΄Π·Π΅Ρ‚Π°-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Z (a)
    • 2. 6. Π”Π΅Ρ„Π΅ΠΊΡ‚ рСгуляризации Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… ΠΊΡ€Π°Π΅Π²Ρ‹Ρ… условий
  • Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
  • 3. ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ спСктра для ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ сСмСйства сингулярных ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
    • 3. 1. Асимптотика ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€ (А, Π³) ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° L (e) ΠΏΡ€ΠΈ А<
    • 3. 2. Асимптотика //(А, Π³) ΠΏΡ€ΠΈ А>
    • 3. 3. Π”Π΅Π»ΡŒΡ‚Π°ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ сСмСйство Ρ€' (X, Π΅) Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ полуоси
    • 3. 4. ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ спСктра сСмСйства ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² L (e)

РСгуляризованныС слСды ΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптотики ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

Π’ 1953 Π³. Π˜. М. Π“Π΅Π»ΡŒΡ„Π°Π½Π΄ ΠΈ Π‘. М. Π›Π΅Π²ΠΈΡ‚Π°Π½ [17] ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ.

Π• (*" - -2) = 4 ΠΏ=1 Π³Π΄Π΅ {Ап}?(^11 — собствСнныС значСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π¨Ρ‚ΡƒΡ€ΠΌΠ°-Лиувилля:

— Ρƒ" + 9 {Ρ…)Ρƒ =Π£, Ρƒ (0) = Ρƒ (<οΏ½ΠΊ) = 0, Π΄ (Ρ…) — вСщСствСнная диффСрСнцируСмая Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [0,7Π³] функция,.

7 Π“ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ j g (x)dx = 0. ΠΎ.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (1) стала Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ рСгуляризованным слСдом ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° Π¨Ρ‚ΡƒΡ€ΠΌΠ°-Лиувилля ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»ΡƒΠΆΠΈΠ»Π° источником многочислСнных Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚. Π›. А. Π”ΠΈΠΊΠΈΠΉ [22], [23] ΠΈ И. М. Π“Π΅Π»ΡŒΡ„Π°Π½Π΄ [18] для ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° Π¨Ρ‚ΡƒΡ€ΠΌΠ°-Лиувилля вычислили рСгуляризованныС слСды всСх порядков, Ρ‚. Π΅. суммы Π²ΠΈΠ΄Π°.

А™-Π›Ρ‚ (ΠΏ)), (2) ΠΏ—1.

Ат (ΠΏ) — Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ числа, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡŠΡΠ²Π»ΡΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΏΠΎ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡ‚ΠΎΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ собствСнных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏ ΠΏΠΎ ΡΡ‚СпСням ΠΏ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏ —> сю ΠΈ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ рядов.

Π›.Π”. Π€Π°Π΄Π΄Π΅Π΅Π²Ρ‹ΠΌ ΠΈ B.C. БуслаСвым [8], [9], [89] ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слСдов для сингулярных ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² с Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹ΠΌ спСктром.

Π‘. Π₯Π°Π»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Π³, Π’. ΠšΡ€Π°ΠΌΠ΅Ρ€, Π . Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ [19]-[21] ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ.

00 ΠΎΠΎ.

Ап — Π¦ΠΏ) = (ВсРп> <Π ΠΏ), (3) ΠΏ—1 П = 1 ΠΎΠΎ.

ΠŸΡ€ΠΈ условии, ЧВО ряд (Π²<οΏ½Ρ€ΠΏ, </?") Π‘Π₯ΠžΠ”Π˜Π’Π‘Π―. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π¦ < < β€’ β€’ β€’.

— ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ кратности самосопряТСнного ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ снизу ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π°, А, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π² Π³ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΌ пространствС Н, Π° β€’ β€’ β€’ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ этим собствСнным значСниям ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ½ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… собствСнных Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², А2 < А2 <.. — ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ кратности самосопряТСнного ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ снизу ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° Π‘, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹, А ΠΈ Π‘ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния.

Π”4И Π’ = Π‘-А.

Π’Π°ΠΊ, для ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π°, А = ——Π³, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ранствС Π°Ρ…Π³.

β€’?[0,71-] Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΊΡ€Π°Π΅Π²Ρ‹ΠΌ условиям.

2/(0) = Π·/(7Π³) = 0, собствСнныС значСния ¡-Π»ΠΏ = ΠΏ2, Π½ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ собствСнныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (Ρ€ΠΏ (Ρ…) = Ρƒ^этих. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅, Ап — собствСнныС значСния ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° 9, с1Ρ… Ρƒ (0) = «Πœ = 0, Π³Π΄Π΅ Π΄ (Ρ…) — диффСрСнцируСмая Π½Π° [0,7Π³] функция, срСднСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π° ΡΡ‚ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ Π’ ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°ΠΎΠΎ Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ умноТСния Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π΄ (Ρ…). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ряд [Π΄Ρ„ΠΏ, <Ρ€ΠΏ ΠΏ—1 сходится [2−3], ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Ρ‡ ^(0) +^(Ρ‚Π³) {9<Π ΠΏ, 4>ΠΏ) =—^ΠΏ=1 ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (3) пСрСписываСтся Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ (1).

Если, А — рСгулярный ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ ШтурмаЛиувилля Π² Π³ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΌ пространствС Π¬2[0,7Π³], Π° Π’ — ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ умноТСния Π½Π° Π²Π΅Ρ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡƒΡŽ Π½Π° [0, Ρ‚Π³] Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π΄ (Ρ…), ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ.

7 Π“ ΠΎΠΎ Π΄{Ρ…)(1Ρ… = 0, Ρ‚ΠΎ Ρ€ΡΠ΄ ^ (Π’ (Ρ€ΠŸ1 срп) сходится ΠΈ Π½Π°Ρ…одится Π΅Π³ΠΎ ΠΏ= 1 0 сумма [19] [21].

Π .Π€. Π¨Π΅Π²Ρ‡Π΅Π½ΠΊΠΎ [94], [95] вычислил сумму разности собствСнных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ для нСсамосопряТСнных ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², А ΠΈ, А + Π’, Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ выраТСниями Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [0, 1] ΠΏ ¿-ΠΏ.

-,—1- Π΄ (Ρ…) соо твСтствСнно Ρ…ΠΏ Ρ1Ρ…ΠΏ ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ рСгулярными ΠΊΡ€Π°Π΅Π²Ρ‹ΠΌΠΈ условиями [52]. 1.

Ѐункция Π΄ (Ρ…) достаточно гладкая ΠΈ J Π΄[Ρ…)(1Ρ… — 0. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎ.

0(1)+ <7(0.

Π£^ (Ап — дП/ ΠΏ=1.

Для сингулярных ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π¨Ρ‚ΡƒΡ€ΠΌΠ°-Лиувилля сумму разностСй собствСнных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ вычислили М. Π“. Гасымов ΠΈ Π‘. М. Π›Π΅Π²ΠΈΡ‚Π°Π½ [15], [16]. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ, А — ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ самосопряТённый ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ Π² 1Ρƒ2[0,+сю), Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΎΡΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

1(Ρƒ) =-Ρƒ" + Ρ‡{Ρ…)Ρƒ, 9(Ρ…)Π΅Π‘ (И+) (2.3) ΠΈ Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ условиСм ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ дискрСтный спСктр ¡-Π»Π“1, ΠΏ = 1,2,., Π’ — ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ умноТСния Π½Π° Π²Π΅Ρ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π΄ (Ρ…), ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ ΠΎ.

Π‘ΠΎ (М+) — мноТСство Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ…, Ρ„ΠΈΠ½ΠΈΡ‚Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° М+ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.).

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π₯ΠΏ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ‚Ρ€ Π²ΠΎΠ·ΠΌΡƒΡ‰Ρ‘Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π°, А + Π’. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°.

А.Π“. ΠšΠΎΡΡ‚ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΊΠΎ [31] вычислил рСгуляризованныС слСды (2.5) для ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков, ΠΏΡ€ΠΈ этом ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΡƒΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ (Ρ…) удовлСтворяСт условиям (2.4).

Π’ 1967 Π³. Π’. Π‘. Лидский ΠΈ Π’. А. Π‘Π°Π΄ΠΎΠ²Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠΉ [1] ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ вычислСния рСгуляризованных сумм ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, ? = 1,2,3,. Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ¡-(Π³), ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΉ классу К:

2.4).

2.5) П n ΠΎΠΎ Π³-юо, ΠΊ= 1 1/=0.

1/=0.

РСгуляризованныС суммы ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ /(Π³): ΠΎΠΎ ΡΠ²Π½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ асимптотики f (z), Π’Ρ‚{Β£) -ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π² Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡ‚отичСском прСдставлСнии z™ ΠΏΠΎ ΡΡ‚СпСням i ΠΏΡ€ΠΈ t —ΠΎΠΎ, ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ряда.

К ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ класса К ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ‚ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΊΡ€Π°Π΅Π²Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅. А ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, рассмотрим ΠΊΡ€Π°Π΅Π²ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [0, 1], ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅ΠΌΡƒΡŽ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ dnv dn~1v dn~2v Pl (x' + P2{x> +'''+ Pn (x'X)y = 0 (u) ΠΈ ΠΊΡ€Π°Π΅Π²Ρ‹ΠΌΠΈ условиями ΠΏ-1.

Π©Ρƒ, Π›) = £МА)^'>(0) + ΠœΠ›)/?)(1)1 = 0, Π³ = М. (1.2) Π·=ΠΎ.

Π‘ΠΏΠ΅ΠΊΡ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Π›? Π‘ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (1.1) ΠΈ ΠΊΡ€Π°Π΅Π²Ρ‹Π΅ условия (1.2) полиномиально: Π°.

Π Π°{Ρ…, А) = ^Π 0/3(:Π³)А0Π›, Π° = ~Π’/ΠΏ, (1.3) ΠΎ Π°^-(А) , — ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ, А, ΠΏΡ€ΠΈ этом прСдполагаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ фиксированном, А ΠΊΡ€Π°Π΅Π²Ρ‹Π΅ условия (1.2) Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ нСзависимы, Pa?(x) — достаточно Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [0, 1] Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π’ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΡ€Π°Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, Π·Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… Π‘ΠΈΡ€ΠΊΠ³ΠΎΡ„Π° Π“. Π”. [4], [5], Π’Π°ΠΌΠ°Ρ€ΠΊΠΈΠ½Π° Π―. Π”. [72] ΠΈ Π›Π°Π½Π³Π΅Ρ€Π° P.E. [35] ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… ΠšΠ΅Π»Π΄Ρ‹ΡˆΠ° М. Π’. [29], [30], Наймарка М. А. [52], Ильина Π’. А. [25]—[27], Лидского Π’. Π’., Π‘Π°Π΄ΠΎΠ²Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π’. А. [1], [2], Π₯Ρ€ΠΎΠΌΠΎΠ²Π° А. П. [92], [93], МоисССва Π•. И. [48], Π¨ΠΊΠ°Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π° A.A. [96], [97], ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ (Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… случаСв, ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ сказано Π½ΠΈΠΆΠ΅), Ρ‡Ρ‚ΠΎ характСристичСский ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎ Π’Π°ΠΌΠ°Ρ€ΠΊΠΈΠ½Ρƒ [72].

ПИ = + Π 10шп-Π³ + β€’ β€’ β€’ + P*, un-a + β€’ β€’ β€’ + Π ΠΏ0 (1.4) Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° характСристичСский ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π” (А), нулями ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ собствСнныС значСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ (1.1)—(1.2), ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ классу К .

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ рСгуляризованныС слСды (2) ΠΊΡ€Π°Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (1.1)—(1.2), ΠΏΡ€ΠΈ условии простоты ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ характСристичСского ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° (1.4), Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ (4) рСгуляризованных сумм ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ класса К .

ΠœΡ‹ ΡΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ условиС простоты ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ характСристичСского ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° (1.4).

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ., шп ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° (1.4) Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ систСма Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ уравнСния (1.1) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТныС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ простых ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, асимптотичСскиС разлоТСния Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… бСсконСчных областях комплСксной плосткости, А .

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ситуации, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ систСма Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ уравнСния (1.1) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅ асимптотичСскиС разлоТСния ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ простых ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠžΡ€Ρ€Π°-Π—ΠΎΠΌΠΌΠ΅Ρ€Ρ„Π΅Π»ΡŒΠ΄Π° [3] характСристичСский ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ (1.4) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ = О ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π΄Π²Π° ΠΈ Π΄Π²Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… корня Π°^/2 = Β¦ Однако асимптотичСскоС Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΡ‚ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… стСпСнСй ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°, А Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Слях экспонСнт (см. (1.5)). ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ характСристичСский ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, А (А) ΠΊΡ€Π°Π΅Π²ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для уравнСния ΠžΡ€Ρ€Π°-Π—ΠΎΠΌΠΌΠ΅Ρ€Ρ„Π΅Π»ΡŒΠ΄Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ классу К .

Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊΡ€Π°Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (1.1)—(1.2) Π²Π½Π΅ зависимости ΠΎΡ‚ ΠΊΡ€Π°Ρ‚ности ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ характСристичСского ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° (1.4) посвящСна пСрвая Π³Π»Π°Π²Π° настоящСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹.

Π’ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… ВрТитзинского Π’. [77] ΠΈ Π’Π΅Ρ€Ρ€ΠΈΡ‚Ρ‚ΠΈΠ½Π° X. ([79], Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 1) построСны ΠΏ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ уравнСния ΠΈ Π΄Π°Π½ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ нахоТдСния ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² kj? N, ?lji (t), o-Jly (x) разлоТСния (1.7). Для нахоТдСния асимптотики собствСнных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, I = 1, 2,. ΠΊΡ€Π°Π΅Π²ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ (1.1)—(1.2) Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ (1.7) уравнСния (1.1) являлись асимптотичСскими Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ, А —> ос Π² Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… областях, ΠΈ ΡΡ‚ΠΈ области ΠΏΠΎΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°Π»ΠΈ Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° достаточно большого радиуса с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

НалоТим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅.

УсловиС 1. ΠŸΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ > j =, i = kj — 1 Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ прСдставлСнии (1.7) Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ уравнСния (1.1) ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ постоянными.

Π£ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ постоянство ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² uJt Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… коэффициСнтов Π Π°[Π·{Ρ…) уравнСния (1.1) позволяСт ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ построСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (1.7) с ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ Пюизо. Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ссли коэффициСнты Pai, Π° = 1, ΠΏ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ся постоянными ΠΈ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° Π©Π±ΠΎ") Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ Π΄Π²ΡƒΡ…, Ρ‚ΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ 1 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ простому ΠΊΠΎΡ€Π½ΡŽ ш ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° П (ΠΎ-) ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

1.1):

1.7).

ОО Ρƒ (Ρ…, А) = Π΅*А* Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ Π΄Π²ΡƒΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΡŽ с^ΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Π΄Π²Π° нСзависимых Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния (1.1) (ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1.1):

1 ОБ и=0 оо.

Π£2(хА) = ΠΈ=О Π³Π΄Π΅ 2 ½.

ΠŸΡ€ΠΈ условии 1 Π²ΠΎ Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° |А| < Π©, Π”Π΄ — достаточно большоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, сущСствуСт ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ число простых Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΈΡ… ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… (Ρ€ — полярный ΡƒΠ³ΠΎΠ», /Ρ‚ — Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»), ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ш (^) —+00 ΠΏΡ€ΠΈ (Ρ€ —(Ρ€Ρ‚, <Ρ€ € 1 Ρ‚ (Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 1.1).

Π­Ρ‚ΠΈ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ Π€Ρ‚, Ρ‚ = 1, М (см. Π ΠΈΡ. 11) Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° |А| < Π―ΠΎ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ число Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹Ρ… областСй 5 Ρ‚, Ρ‚ = 1, М (см. Π ΠΈΡ. 12). Π’ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ области Π‘Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ (1.7) уравнСния (1.1) ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ асимптотичСскими ΠΈ ΡΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Π°.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 1. 3. Π’ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ области, Ρ‚ = 1, 2, ., М ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ систСма Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡƒΠ¨1(ΠΆ, А). Π£Ρ‚2(Ρ…Ρƒ А). ., Π£Ρ‚ΠΏ (Ρ…1 А) уравнСния (1.1) такая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ.

Π›Π³ / Π› Π³ ΠΎΠΎ ΡƒΡ‚](Ρ…, Π₯}~Π΅ΠΌ:>Ρ‚ (- + Π¦-(А)) (1.13).

Π› —Ρƒ ΠΎΠΎ, A G Sm, i = 1, 2, ., ΠΏ .

Из Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡ‚отичСского разлоТСния Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (1.13) уравнСния (1.1) слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ характСристичСский ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π” (А) Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ (1.1)—(1.2) являСтся Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ асимптотичСскоС прСдставлСниС Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΈ, А —Ρƒ ΠΎΠΎ:

Н h-]0 xh-l.

A (A)~^V=o ^ (3Ik), (1.14) ΠΊ—1 v=0 Π³Π΄Π΅ h — наимСньшСС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ чисСл ΠΊ^,. ., ΠΊΠΏ, ? Z, fe? ^ ^? Аз^ 0 ~ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ асимптотики Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ А (А), опрСдСляСмыС Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· коэффициСнты Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния (1.1) ΠΈ ΠΊΡ€Π°Π΅Π²Ρ‹Ρ… условий (1.2).

Π₯арактСристичСский ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π” (А) Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ классу К. Однако ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Лидского-Π‘Π°Π΄ΠΎΠ²Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ [1] ввСдСния Π΄Π·Π΅Ρ‚Π°-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ассоциированной с ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠΌ К, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Π½Π° Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π” (А), ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ асимптотичСскиС прСдставлСния (1.14). Π”Π·Π΅Ρ‚Π°-функция, ассоциированная с Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π” (А), вводится с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡˆΡŒΡŽ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π°.

Z (a) = — [ Rea > 1, (1.17) v 7 2Ρ‚TiJ Π” (А), v — Π³ Π³Π΄Π΅ Π“ — Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€ Π½Π° Ρ€ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности Π»/А, ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Π°Ρ функция А~Π° опрСдСляСтся фиксированной Π²Π΅Ρ‚Π²ΡŒΡŽ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, рСгулярной Π²ΠΎ Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€Π° Π“. Π”Π·Π΅Ρ‚Π°-функция Z (a) аналитичСски продолТаСтся Π²ΠΎ Π²ΡΡŽ a-ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ цСлая функция, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ.

Z (-h)=kw"h' Π  = Β°' 2' β€’β€’β€’ ' коэффициСнт асимптотичСского разлоТСния.

А € Π“, А -> ΠΎΠΎ, (1.16).

Π”'(А).

Π” (А) m Π» h — v.

4 } = v = 0,. h- 1. h.

Нули Π›^,? = 1, 2, 3,. Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π” (А) асимптотичСски ΠΏΡ€ΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… I Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ся Π² ΡΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… ES1 s = 1, ., М Ρ€Π°ΡΡ‚Π²ΠΎΡ€Π° 2Ρ‘ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ, Π΅ > 0 — достаточно ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ΅, биссСктрисами ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ критичСскиС направлСния arg, А = Ρ„3 (слСдствиС 1.3). Для установлСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» (4) рСгуляризованных сумм ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π” (А) Π½ΡƒΠΆΠ½Π° Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ информация ΠΎΠ± Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡ‚ΠΎΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ А^, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ явныС выраТСния Π’Ρ‚{Β£), ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ряда (4). Для Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ класса К Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ситуация [63], ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ асимптотичСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» для Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ А^ ΠΏΠΎ ΡΡ‚СпСням? ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…одимости получСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Ρ€Π΅-гуляризованных слСдов с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π²ΠΎΠ·ΠΌΡƒΡ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, распространяя Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ Лидского Π’. Π‘. ΠΈ Π‘Π°Π΄ΠΎΠ²Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π’. А. [1] Π½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΈΠΉ класс Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ‡Π΅ΠΌ класс К, Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅.

УсловиС 3. Для ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ А£ = 1, 2, 3,. Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π” (А), Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… Π² ΡΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π΅ ES1 s = 1, ., М, справСдливо асимптотичСскоС прСдставлСниС Π³Π΄Π΅ Π°3 — Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π½ΡƒΠ»ΡŽ комплСксноС число, ms.

Xns ~ asnms ΠΏ —ΠΎΠΎ.

1.19) k=1 nms Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ‹ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŠΠ½ΠΎ InΠΏ стСпСни k — h + 1 ΠΏΡ€ΠΈ k>h ΠΈ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ стСпСни ΠΏΡ€ΠΈ 1 < ΠΊ < h — 1 .

Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Π°.

Π›Π΅ΠΌΠΌΠ° 1. 4. ΠŸΡ€ΠΈ Reer > 1 I Π³Π΄Π΅ h, <Ρ‚ = 0, ±1, ±2, .

Π› (Π‘Π“) = < Π΅-2Ρ‚Π³/Π³^ 2.

I —-—:-. Π² ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ….

К Π΅~2&trade-1 — 1 '.

Π’ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ асимптотичСскоС ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (1.19) Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ —Π°, ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ (1.20.

V k=i nms J Π³Π΄Π΅ k-h+l.

Q{s](oMn)= e 4tV) b n ΠΈ Ρ‰?1(сг) — ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ‹ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π° ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΊ .

Для фиксированного Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция.

00 ΠΌ / Π• Π• ΠΏ=1 S=1 i-a I, , V^ <3tS)(o, lnn).

А"Ρ‚ — 1 + E k=1 nms.

1.21) допускаСт аналитичСскоС ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ + 1.

Rea >—-— + i. h.

Π’ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡ‚отичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (1.19) ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ число Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π” (А) ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΠ½ΡƒΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅, Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΊ цСлочислСнных индСксов Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌ числС. Π’ ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΠ½ΡƒΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΎΠ½ΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΡΡƒΠΌΠΌΡƒ (1.21). Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ Π²Π»ΠΈΡΡŽΡ‚ Π½Π° ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ аналитичСского продолТСния Π€Ρ‚ (Π°). Если имССтся ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΊ цСлочислСнных индСксов Π² (1.19), Ρ‚ΠΎ Π² ΡΡƒΠΌΠΌΠ΅ (1.21) A~SCT, снабТСнныС ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ индСксами, ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ нулями. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π² (1.21) поставлСн ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ… Π½Π°Π΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ суммы. Рассмотрим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ +, (1−22) ΠΏ = S = l V ΠΊ= 1 nms ! Ρ€Π΅Π³ΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΈ Re, Π° > 1 .

Из ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ (1.21) ΠΈ Π»Π΅ΠΌΠΌΡ‹ 1.4 ΠΏΡ€ΠΈ Rea > 1 ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ.

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция Π€Ρ‚ (сг) аналитичСски продолТаСтся ΠΊΠ°ΠΊ мСроморфная функция Π² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ + 1.

Rea >——-Π¬ 1, h ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡ Π€Π³ (ΠΎ") Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· (-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π° ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅. Вычисляя значСния Π€Ρ‚ (ΠΎ") ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (1.23) ΠΏΡ€ΠΈ сг = 0, —1, —2,. , ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Ρ‹ Ρ‚ + 1.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 1. 5. ΠŸΡ€ΠΈ любом Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ Ρ‚ < ——-1 справСдливы равСнства ΠΎΠΎ ΠΌ.

Π•’Π• n = 1 5=1 Ρ‚.

Π›ΠΏΠ· hm a™nms Π°, Ρ‚. Π• ΠΊ=1 ΠΊ—hm.

П ms J.

1) ш+1)/г.

Π€Ρ‚ (-Π³Π³1 Π³Π΄Π΅ ^(^+1)/?. ~~ К0Π­Π€Π€ΠΈΠΈΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ разлоТСния Π² (1.16), Π€Ρ‚ (—ш ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· (-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π° ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅, as — коэффициСнт ΠΏΡ€ΠΈ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½Π΅ Π² Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡ‚ΠΎΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ (1.19), Qk—Ρ‚, Inn) — ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ InΠΏ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ 1.20.

Π˜Π»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ 1.5 слуТит краСвая Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎ Ρ€ΡΠ΄ΠΊΠ° с ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ характСристичСского ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° (1.4):

0 — 2А^ + {Ρ„) — А + А2) Ρƒ = 0, (1.25 dx.

3/(0) = 2/(1), 2/(0) = 2/(1),.

Π  (Π–) Сс°°[ΠΎ, 1].

Π₯арактСристичСский ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ (1.4).

П (ΠΈ) = ш2−2ΠΈ + 1.

1.26 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ = 1 кратности 2 .

БобствСнныС значСния ΠΊΡ€Π°Π΅Π²ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, начиная с Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ, простыС, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ сСрии, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ для этих сСрий справСдливы асимптотичСскиС разлоТСния ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊ —> +ΠΎΠΎ 1.

00 J1].

Π₯ΠΊ1 ~ 2Ρ‚iik + Vbrik + - + }.

U=1 l 00 k2 ~ 2nik — Ρƒ/ΠͺНк + - + > u=1 Π» Ρ‚.

— 27Ρ‚Π³ΠΊ + Ρƒ/-21ък + - + Π£^ ос [Π·] V.

1/=1.

Чь ΠΊΠΈ/2 Π». 1 ΠΎΠΎ [4] ΠΌ ~- + ^ +?, ΠΈ=1 коэффициСнты Π³/1., Ρƒ — 1, 2,. ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ Ρ€Π΅ΠΊΡƒΡ€Ρ€Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ 1.

I Ρ‚>1 1) I / Ρ‡ — 1.

2Π»/2 Π© Π˜ 1 ΠΈΠ³.

5−1.

Π β„–-~ I, Π³ = 1,2, Π“]11] = '??1, =.

87Π³Π³.

V1 Ρ€{Π³) IΡ‰ΠΌ — ^ 1.

2 5 = 1,4.

0 0 Π”Π΅Ρ„Π΅ΠΊΡ‚ рСгуляризации Π½, Ρ‚. Π΅. Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ нСдостатку ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΊΡƒ собствСнных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΡ€Π°Π΅Π²ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, ΠΏΡ€ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ способС Π½ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π΄Π²Π° собствСнных числа окаТутся Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΠ½ΡƒΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° рСгуляризованного слСда ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄: ΠΎΠΎ 4 ΠΊ/.

Π•Π•.

1 2 Ρ‚ ΠΈ ΠΊ1/' 1 ΠΊ=1 Π·=1 Π³Π΄Π΅, Π° = Π°<2 — 27Π³Π³, Π°Π· = ΠΎΡ† = — 27Π³Π³.

АсимптотичСскоС Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (1.13) уравнСния (1.1), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ 1.3, позволяСт ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ базисныС свойства систСмы собствСнных ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ (1.1)-(1.2). Если характСристичСский ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ П (Ρ‹) Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½Ρ‹Π΅ свойства систСмы собствСнных ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ Π².

G (x,?, Π»)| < a g Π³Π΄Π³ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… [4], [5], [И], [29], [30], [45], [54], [83]—[85] [92], [93], [96], ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠΌΡΡ ΠΊ ΠΊΡ€Π°Π΅Π²ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ (1.25)—(1.26).

Π’ Π-плоскости построСна Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ систСма ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€ΠΎΠ²^ Π“]Ρƒ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция Π“Ρ€ΠΈΠ½Π° А) Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ (1.25)—(1.26) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎ Ρ… ΠΈ? , 0 < Ρ… < 1, 0 <? < 1 ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΡƒ: Π‘ Π³Π΄Π΅ Π‘ — нСкоторая ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ постоянная. Из ΡΡ‚ΠΎΠΉ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π“Ρ€ΠΈΠ½Π° ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ интСгрирования получаСтся двукратная Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ сходящийся Π½Π° [0, 1] ряд ΠΏΠΎ ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ функциям Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ (1.25)—(1.26).

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 1. 6. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x), Π΄ (Ρ…) ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ условиям:

1) f (x) Π΅ Π‘4[0, 1], g (x) g Π‘3[0, 1].

2) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ }{Ρ…), }'(Ρ…), }" (Ρ…), Π΄ (Ρ…), Π΄'{Ρ…), cp (x)f (x) ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ ΠΊΡ€Π°Π΅Π²Ρ‹ΠΌ условиям (1.26).

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° справСдливо Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ f (x) ΠΈ Π΄ (Ρ…) Π² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ сходящийся Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [0, 1] ряд.

00 cy, ΠΈ= 1 Π³Π΄Π΅.

1 /" ΠΏ.

9{X)JΡƒ Π›"Π£Π›Ρ…), ΠΊ} β„–)ш.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ