Экспоненциально малое расщепление сепаратрис в квадратичных сохраняющих площадь отображениях плоскости

Настоящая работа посвящена исследованию экспоненциально малого расщепления сепаратрис. В ней рассматривается квадратичное отображение плоскости, сохраняющее площадь. Исследуются итерации точек плоскости под действием этого отображения, как вперед, так и назад. Например, пусть имеются отображение F: R2 —> М2 и точка плоскости (ж, у) Е R2. Тогда Fn (x, y) — n-ая итерация. Совокупность всех таких точек при п Е Z называется орбитой точки (х, у). Именно, исследованию орбит точек плоскости и посвящается данная работа. Как известно, изучение консервативной динамической системы с двумя степенями свободы сводится к изучению отображения плоскости, сохраняющему площадь [20]. Поэтому все вопросы, рассматриваемые в данной диссертации непосредственно переносятся на теорию динамических систем.

Исторически вопрос берет свое начало от работ А. Пуанкаре [53]. Им было открыто явление расщепления сепаратрис. Все фазовое пространство разбивается сепаратрисами на две компоненты, на ограниченную и неограниченную. При наличии расщепления сепаратрис появляется также стохастический слой. Этот слой образуют устойчивая и неустойчивая сепаратрисы, каждая из которых является одномерной линией на плоскости (в случае двух степеней свободы).

Таким образом, при наличии расщепления сепаратрис фазовое пространство состоит из двух компонент: регулярной и стохастической. Регулярная компонента достаточно хорошо изучена. Она является объектом теории KAM. Ей посвящены работы Колмогорова А. Н. [45], Арнольда В. И. [37], Мозера Ю. [50] и др. Стохастическая же компонента изучена значительно хуже. Именно ей посвящается данная диссертация.

Актуальность темы

диссертации связана осознанием значимости явления расщепления сепаратрис не только для нелинейной физики [43,44,48,10], но и для современного естествознания [52,55]. Дело в том, что рассматриваемые отображения тесно связаны с Гамильтоновыми динамическими системами. Развитие современных компьютерных технологий позволяет воочию видеть явления, связанные с хаосом. Одним из универсальных механизмов возникновения хаоса является расщепление сепаратрис. Если отображение имеет неподвижную точку гиперболического типа, то у него существуют устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия этой точки, называемые сепаратрисами. В двумерном случае — это кривые на плоскости, и для интегрируемой системы они совпадают. Если же они пересекаются в какой-либо точке под ненулевым углом, то появится бесконечно много таких пересечений, так как при итерациях точка пересечения должна перейти в точку пересечения. При этом сепаратриса не может иметь самопересечений. В результате, в фазовом пространстве образуется очень сложная картина, называемая стохастическим слоем. Если в интегрируемую систему ввести малое возмущение, то появляется стохастический слой. Его толщина может быть степенной по параметру возмущения. В этом случае применимы стандартные методы асимптотических теорий. Например, разложение в степенной ряд [53] или метод Мельникова [49]. Стохастический слой может иметь экспоненциально малую по параметру возмущения толщину. В работе М. Нёпоп [23] в качестве примера рассмотрены квадратичные отображения плоскости. В ней показаны некоторые аналитические свойства таких отображений. Однако большинство результатов носит численный характер. Наиболее перспективное аналитическое направление исследования было предложено Лазуткиным В. Ф. в [46]. Продвижение в этом направлении, несомненно, возможно только при сочетании аналитических и численных методов. Настоящая работа является развитием предложенных идей, в первую очередь в аналитическом направлении.

Обзор литературы.

Стохастическим явлениям в целом, и расщеплению сепаратрис в частности, посвящено огромное количество публикаций. Здесь мы рассмотрим некоторые из них. Основополагающие разработки принадлежат J. Moser’у, J.M. Greene’y и I.C. Perci-val'io. В качестве примера рассмотрим следующие работы: [31], [22], [34]. В них рассматриваются отображения плоскости в себя. В работе [31] были определены аналитические инварианты сохраняющих площадь отображений вблизи гиперболической неподвижной точки. Это означает, что у каждой канонической системы с двумя степенями свободы, имеющей вещественно аналитический Гамильтониан, в некоторой окрестности неустойчивого периодического решения, существует вещественно аналитический интеграл, не зависящий от Гамильтониана. Частично это уже было доказано Биргоффом [19], который установил формальное разложение в виде степенного ряда, но не доказал его сходимости. Мозером была доказана сходимость ряда.

Статья [22] посвящена изучению стандартного отображения Чирикова. В ней дано общее представление о том, что имеется тесная связь между существованием КАМ-торов и стабильностью вблизи периодических орбит. Поскольку Мозером в [32] было показано, что К AM-поверхности лежат в замыкании множества периодических орбит, резонно полагать, что такая связь может существовать. Грином было установлено, что это действительно так, при надлежащем рассмотрении. В этой работе рассмотрены условия, которые необходимы для связи КАМ-поверхностей и стабильностью вблизи периодических орбит.

В последней из приведенных работ, [34], проиллюстрирован переход от регулярного к хаотическому движению в Гамильтоновых системах. Инвариантные торы, или КАМ-поверхности, содержащие регулярное движение, сужаются до инвариантных замкнутых кривых на плоскости. Для рассмотренных отображений граница между регулярным, упорядоченным движением и нерегулярным, хаотическим задается радиусом сходимости аппроксимирующего ряда. Члены степенного ряда сильно осциллируют из-за присутствия малой величины в делителе. Представлен метод для укрощения подобного поведения ряда. Он основан на преобразовании показателя сходимости С — — In ас в интеграл от непрерывной, но недифференцируемой А-функции, график которой имеет похожую структуру на малых расстояниях. Свойства самоподобия проиллюстрированы для хаотических границ функции olc{v), где v — частота.

Одна из важнейших задач теории расщепления сепаратрис — получение асимптотической формулы для этого самого расщепления. Сначала остановимся на классических асимптотических методах. Открытое А. Пуанкаре в конце XIX века явление расщепления сепаратрис [53], исследовалось для интегрируемой динамической системы с малым параметром возмущения. Сепаратрисы возмущенной системы искались в виде ряда по степеням малого параметра для частного интеграла уравнений Гамильтона-Якоби. Позднее Мельниковым был изобретен метод построения сепаратрис непосредственно [49]. Арнольд В. И. дал свою интерпретацию интеграла Мельникова [38]. В отличие от работ [45] и [37], где было найдено много условно периодических движений в каждой нелинейной динамической системе, близкой к интегрируемой, в [38] было показано, что устойчивость всех движений системы вытекает из этих результатов лишь в случаях, когда размерность фазового пространства меньше 4. То есть в ней указан пример системы с 5-мерным фазовым пространством, удовлетворяющей всем условиям работ [45,37], но неустойчивой. Отклонения в системе имеют скорость ехр (—l/Vs) и поэтому не улавливаются никаким приближением классической теории возмущений.

Во многих примерах функция Мельникова может быть вычислена точно и оказывается экспоненциально малой с очень близким показателем, но все же большим, чем показатель из верхней оценки. Так что она оказывается меньше, чем верхняя оценка, равно как, и ошибка стандартного приближения. Аналогично, функция Мельникова была использована в [14] при изучении расщепления сепаратрис Гамильтоновой системы на плоскости с высокочастотным возмущением. Как известно в этом случае расщепление сепаратрис экспоненциально мало относительно периода возмущения, 27Г£, а постоянная в экспоненте зависит от положения сингулярностей невозмущенной сепаратрисы в комплексной плоскости. В этой работе найден класс Гамильтонианов, для которого функция Мельникова дает настоящую асимптоту для расщепления, при условии, что амплитуда возмущения ц меньше, чем? j, q? p для некоторого р > 0.

Простой вид функции Мельникова был получен в [11] для Гамильтониана вида |y2+U (x)+?xG (t/e). В этой работе доказана экспоненциальная малость расщепления сепаратрис для аналитических двумерных систем с быстроменяющейся силой. В ней приведен пример неприменимости метода Мельникова и получены верхние оценки для консервативных и аналитических систем на плоскости с большой амплитудой, возмущенной быстроменяющейся силой. Аналогичные результаты были получены до этого в [8], где в качестве системы использовалась очень популярная модель — маятник. В этом примере U{x) = cos х, а G (t/e) = sin (i/e).

Модель двойного математического маятника исследовалась также Ивановым A.B. [24], [25]. В [24] система изучалась численно в терминах сечений Пуанкаре. Численный метод, примененный в этом исследовании состоит из нескольких шагов. Первый — обнаружение гиперболических периодических точек для отображения Пуанкаре. Визуально находились приблизительные положения некоторых гиперболических периодических точек по фазовому портрету, а их точные координаты были рассчитаны при помощи метода Ньютона. Второй шаг метода — построение устойчивой и неустойчивой сепаратрис. Используя разложение в ряд Тейлора вблизи гиперболических точек, были получены приближения сепаратрис в малой окрестности этих точек. Далее сепаратрисы были продолжены аналитически с помощью отображения Пуанкаре. Последний шаг — доказательство существования трансверсального пересечения сепаратрис. Были проведены сравнения построенных сепаратрис, рассчитаны положения гомоклинических точек и оценен гомоклинический инвариант. Из неравенства последнего нулю следует неинтегрируемость системы. Основное предположение, сделанное в работе — неинтегрируемость системы при некоторых значениях параметров. Частично, это предположение доказано в [25], при условии применимости стандартного метода Мельникова или адиабатической теории, а также и в случае экспоненциально малого расщепления сепаратрис.

В статье [7] приведен обзор нескольких простых моделей, демонстрирующий общий механизм универсальной нестабильности -— диффузии Арнольда. Этот механизм срабатывает в осцилляционных системах с двумя и более степенями свободы. Особенность этой нестабильности проявляется в нерегулярном, или стохастическом, поведении системы, как будто бы на нее действует случайное возмущение, хотя в действительности движение описывается чисто динамическими уравнениями. Нестабильность проявляется только при специальных начальных условиях — внутри, так называемого, стохастического слоя, который, при этом, является всюду плотным в фазовом пространстве системы. Основной моделью являлся математический маятник с внешним периодическим возмущением. Исследования Чирикова Б. В. подарили миру основную модель для изучения экспоненциально малого расщепления сепаратрис — Стандартное отображение Чирикова: отображение плоскости, определенное по формуле БМ: (х, у) —"¦ (х + у + е зт (ж), у + е 8ш (ж)), здесь е играет роль малого параметра возмущения.

В настоящей диссертации исследуется другая модель — квадратичное отображение плоскости, для которого экспоненциально малое расщепление сепаратрис было доказано М. Нёпоп в [23] на численном уровне. Одна из его форм записи, после линейной замены координат, имеет вид НМ: (х, у) —(х + у + ех{ — х), у + ех (1 — ж)). Явления расщепления сепаратрис и сложной гомоклинической структуры составляют причину хаоса. Это было указано Пуанкаре. Интересные особенности динамических систем с дискретным временем для потенциала с двумя корнями показаны в работе [33]. Аналитические результаты демонстрировались на основе экспоненциально малых асимптотических разложениях. При этом использовались различные аналитические методы — преобразование Бореля, явления Стокса и механизм подковы Биргоффа-Смейла. Авторы прекрасно справились с сильно волнообразным поведением неустойчивого многообразия в непосредственной близости от гиперболической неподвижной точки. Также было проведено сравнение результатов для Стандартного отображения Чирикова и квадратичного отображения Нёпоп.

Теперь рассмотрим работы, посвященные аналитическому исследованию расщепления сепаратрис для двух последних указанных моделей, БМ и НМ. Один из подходов к проблеме экспоненциально малого расщепления сепаратрис основывается на преобразовании Бореля. Ему посвящена теория ресургентных функций Экаля [9]. Книга содержит подробное и полное описание теории. Однако изложение материала носит сложный характер, что затрудняет применение теории к практическим задачам. Несмотря на то, что теория является всеобъемлющей, извлечь конкретные асимптотические формулы из нее не представляется возможным. Упрощенное изложение материала о ресургентных функциях можно найти в работе [35]. В ней продемонстрированы методы теории на примере маятника.

Что касается отображения Эно, НМ, то первая подготовительная работа была проведена в [2], где было изучено отображение с параболической неподвижной точкой. Были построены устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия, которые в дальнейшем приобрели вид интегралов Лапласа от аналитической функции на мно-голистной поверхности, универсальной накрывающей С за вычетом счетного числа полюсов. Эта аналитическая функция подходила к обеим сепаратрисам и росла экспоненциально вдоль мнимой оси. Как результат — расстояние между сепаратрисами оценивалось экспоненциально убывающей функцией.

Попытка разложения этой функции в степенной ряд была предпринята в [4]. В результате был получен только первый член ряда при экспоненциальном множителе с оценкой (1 + О (к)), где /г2 ~ е играет роль малого параметра. Однако работа показала, что на этом пути можно получить двойное разложение по степеням ряда и по кратным показателям экспонент.

В следующей работе, [3], для расщепления сепаратрис отображения НМ было получено асимптотическое разложение в виде степенного ряда с экспоненциально малым множителем перед ним. С высокой точностью были вычислены несколько первых коэффициентов этого ряда. К сожалению, несколько предположений остались недоказанными.

Последним достижением в этой области можно считать работу [21]. Здесь изучено два комплексных инвариантных многообразия, связанных с параболической неподвижной точкой сохраняющего площадь отображения Нёпоп. Построено разложение в степенной ряд, которое подходит обеим сепаратрисам. Преобразование Бореля от него — аналитическая функция в некоторой области. Проводились исследования ее аналитического продолжения на Риманову поверхность и изучались сингулярности. В том числе, было доказано, что константа, описывающая расщепление сепаратрис ненулевая. Как итог по данной работе, можно заключить, что данная работа подтверждает сложность рассматриваемого подхода, идущую от работ Экаля [9] и необходимость более детального и тщательного исследования в этом направлении.

В связи со сложностями, возникающими при работе с преобразованием Бореля от сепаратрис, особого внимания заслуживает другой подход к проблеме, метод Лазуткина. Основные идеи этого метода впервые изложены в [46]. В этой работе была получена экспоненциально малая асимптота для величины угла между сепаратрисами Стандартного отображения в некоторой специально выбранной гомоклинической точке. Величина угла существенно зависит от точки пересечения сепаратрис. Поэтому в дальнейшем Лазуткин В. Ф. придумал более удобную величину для исследования расщепления сепаратрис — гомоклинический инвариант, — это площадь параллелограмма, натянутого на векторах, касательных к сепаратрисам в гомоклинической точке, или площадь ограниченной области внутри сепаратрис между двумя гомо-клиническими точками. Строгое определение гомоклинического инварианта дано в настоящей диссертации.

Идеи работы [46] оказались настолько плодотворными, что были целиком перенесены на исследование этого инварианта. Сначала в [41] были получены значения первого коэффициента в асимптотической формуле для гомоклинического инварианта и в некоторых полиномиальных отображений плоскости, в том числе и для отображения Нёпоп, НМ. Затем в [20] доказали следующую асимптотическую формулу, которая для НМ принимает вид: где ш0 — 2.474. х 106 и 5 > 0.

И все же основное внимание уделялось Стандартному отображению Чирикова. Именно оно, использовалось в качестве модели при построении разложения гомоклинического инварианта в асимптотичекий ряд по степеням малого параметра с экспоненциально малым множителем. Промежуточным итогом стала статья [19]. В ней использованы идеи работы [46]. Коэффициенты в асимптотическом разложении искались численно как решение нелинейной рекуррентной системы дифференциальных уравнений в комплексной области. Несколько предположений было оставлено без доказательства.

Это потребовало дальнейшей работы. Поэтому выходят публикации [26], [28], [27] и [36]. Остановимся подробнее на каждой из них. Статья [26] содержит доказательство одного из предположений, а именно, того факта, что в некоторой окрестности инвариантного многообразия для полустандартного отображения SSM: (u, v) н> (и + v + ехр и, v + ехр и) существует аналитический интеграл.

Следующая работа [28] решает некоторые общие проблемы теории конечноразност-ных операторов, необходимые для исследования экспоненциально малого расщепления сепаратрис. Эти же моменты изложены в § 9 статьи [15].

И наконец, [27] содержит доказательство существования сепаратрис полустандартного отображения, из которого следует экспоненциальная оценка расстояния между устойчивой и неустойчивой сепаратрисами и существование аналитического интеграла вдоль неустойчивой сепаратрисы. Эти три факта необходимы, чтобы получить асимптотическое разложение расщепления сепаратрис для Стандартного отображения при малых значениях параметра и определения величин коэффициентов, входящих в это разложение.

В [36] доказано, что первый коэффициент этого разложения ненулевой, так как он может быть получен как предел возрастающей последовательности с положительным первым членом. Причем сделано это как для Стандартного отображения, так и для отображения Нёпоп. Полностью строгое аналитическое обоснование этого факта реализовано в [21] на основе отображения Нёпоп.

Высшая точка разработок в данном направлении — работа Гельфрейха [15]. В ней собраны воедино результаты всех предыдущих исследований по данной теме и приведено полное доказательство разложения экспоненциально малого гомоклинического инварианта в асимптотический ряд. Однако, обратим внимание на то, что все это сделано только на примере Стандартного отображения Чирикова.

В заключение, рассмотрим другие задачи возникающие при появлении хаоса. Во-первых, рассмотрим статьи [12,13], где изучалось семейство диффеоморфизмов, близких к тождественному и имеющих неподвижную точку гиперболического типа, то есть таких отображений, которые переходят в тождественное, когда малый параметр равен нулю. Изучалось асимптотическое поведение инвариантных многообразий. Также были рассмотрены случаи гомо-, гетероклинических точек. Были получены верхние оценки расстояния между сепаратрисами. В результате установлено, что для гомо-клинических точек расщепление сепаратрис экспоненциально мало, показатель экспоненты зависти от положения сингулярностей потока в комплексной плоскости. А в случае гетероклинических точек расщепление имеет степенной порядок, зависящий от гладкости отображения.

В статье [29] можно познакомиться с поведением орбит гомоклинических точек в комплексной плоскости. Здесь рассмотрено Стандартное отображение, сохраняющее площадь, но в комплексной плоскости. Изучалась возможность поиска гомоклинических точек, которые сложно отличить от гомоклинического касания сепаратрис. В этой работе были изобретены многообещающие методы поиска таких точек. Работа являлась, в основном феноменологической и содержала несколько предположений. Развитие предложенных идей можно наблюдать в целом ряде работ Сванидзе Н.В.

Еще одна очень интересная и плодотворная конструкция — ферн (или папоротник). Публикация [18] дает некоторые представления об их структуре. В ней рассмотрены стандартное и полустандарное отображения в С2 и изучено поведение их итераций на инвариантных многообразиях. Была совершена попытка понять сложную вещественную динамику, рассматривая ее сверху, с точки зрения комплексной динамики. Здесь можно найти аналитические продолжения сепаратрис в комплексную плоскость, а также критерии ухода точек на бесконечность и гиперболичности. Имеются некоторые численные исследования pi построены фрактальные структуры, похожие на папоротники.

В статье [51] рассматривается гамильтонова система с одной степенью свободы, зависящая от параметра? , который медленно изменяется со временем t: ? = ?(et), 0 < е 1, — и достаточно регулярно стремится к определенным пределам при t —> ±-оо. Адиабатический инвариант действия вдоль траектории такой системы имеет предельные значения 1± при t —У ±-оо. Оценивается их разность А/ = 1+ — .

Задача об оценке АI возникает в классической механике [47,39], квантовой механике [42], теории волноводов [40]. Для случая, когда зависимость? от et финитная (?(et) = const для достаточно больших et) бесконечно дифференцируемая, в [30] показано, что АI убывает при е —" 0 быстрее любой степени е. Для линейных систем с аналитически зависящей от et частотой известна асимптота AI, оказавшаяся экспоненциальной: AI = 0(ехр (—с/е)), с = const, — [42,54]. В [47] дано неверное доказательство экспоненциальной малости AI в случае аналитической? (et) для общих нелинейных систем.

В [51] задача об оценке AI рассмотрена с помощью процедуры возмущений в переменных действие-угол. Для случая, когда зависимость? от et финитная и имеет конечную гладкость, вычислена степенная асимптотика AI, а для случая аналитической? (et) доказана экспоненциальная малость AI по е.

Научная новизна работы. Результаты, полученные автором, существенно развивают идеи, предложенные в [46] и [15], и являются в подавляющем большинстве новыми.

Впервые полностью доказана формула полного разложения гомоклинического инварианта в асимптотический степенной ряд для отображения Henon.

Построено формальное разложение в ряд для устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий и доказана теорема об оценке сепаратрис этим рядом.

При переходе в комплексную плоскость введены определения инвариантных многообразий к бесконечности и доказана экспоненциальная оценка для этих многообразий.

Выполнено сравнение сепаратрис отображения Henon в комплексной специальным образом выбранной области.

Построен аналитический интеграл вдоль неустойчивой сепаратрисы, с помощью которого оценка разности сепаратрис спускается из комплексной плоскости на вещественную ось и преобразуется в формулу для гомоклинического инварианта.

Все результаты, составляющие основу диссертации, получены впервые, что и определяет их научную новизну.

Научная и практическая ценность диссертации обусловлена простотой рассматриваемой модели и ее важностью для теории Гамильтоновых динамических систем и физики нелинейных явлений. Несмотря на всю свою простоту, в рассматриваемой модели присутствуют все явления характерные для динамических систем с экспоненциально малым расщеплением сепаратрис. Результаты работы позволяют выявить некоторые общие моменты, присущие многим другим отображениям плоскости, и указывают на сложность построения асимптотических формул в каждом конкретном случае при наличии экспоненциально малого расщепления сепаратрис. Работа вносит вклад в создание общей теории экспоненциально малого расщепления сепаратрис, по которой уже имеются некоторые результаты [16] и [17].

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на:

1) 2nd International Conference «Control of Oscillation and Chaos», St.-Petersburg, May 29 — June 1, 2000, [5];

2) семинары кафедры математической физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета (1999 — 2001 гг.);

3) International Conference «Progress In Nonlinear Science», Nizhny Novgorod, July 2 — 6, 2001, [6].

Основные результаты отражены в публикациях [2], [3], [4], [5] и [6].

Заключение

.

В работе получена асимптотическая формула (1.7) для гомоклинического инварианта в случае квадратичного отображения плоскости. При этом, в основном, были использованы методы, разработанные Лазуткиным В. Ф. и его учениками. Заслуга их собрания в одну статью [15] и завершение доказательств для стандартного отображения Чирикова принадлежит Гельфрейху В. Г. Дальнейшее развитие данные идеи получили в статьях [16] и [17], где рассмотрены асимптотика расщепления для сильно резонансных периодических траекторий в семействах общего положения и расщепление сепаратрис для аналитического семейства общего положения в окрестности бифуркации типа седло — центр. Частным случаем подобной бифуркации (и важнейшим) является отображение Эно, сохраняющее площадь. Эти работы являются первым шагом к обобщению разработанных теорий.