Решение задач механики деформирования оболочек методом функционального нормирования

Актуальность проблемы. Современный уровень развития теории оболочек, описывающей широкий класс распространенных на практике тонкостенных конструкций, предъявляет высокие требования к теоретическим методам анализа прочности этих изделий. Противоречие между стремлениями повышения прочности и снижения массы конструкции, а также высокая стоимость экспериментальных исследований, диктуют необходимость в эффективных, то есть более точных и экономичных, расчетных методах. Особенно это актуально для изделий из композиционных материалов, когда возможность выбора наилучшей структуры материала должна быть подкреплена многовариантными расчетами с применением как численных, так и аналитических методов.

Исторически первыми появились аналитические методы решения уравнений теории оболочек. К их несомненным достоинствам относятся возможность глубокого анализа решений и априорной оценки погрешности результатов. Усилиями многих исследователей было получено большое количество аналитических выражений в элементарных и специальных функциях, описывающих напряженно-деформированное состояние оболочек в рамках как полной моментной теории, так и различных приближенных теорий. Однако вычисления, основанные на этих формулах, столкнулись с труднопреодолимой проблемой. С одной стороны, число математических операций так велико, что решение возможно только с применением ЭВМ. С другой стороны, определение произвольных постоянных из граничных условий для длинных и тонких оболочек приводит к неустойчивому счету из-за наличия среди решений быстровозрастающих и быстроубывающих функций. Эта специфическая особенность уравнений теории оболочек привела к возникновению принципиально различных подходов для длинных и для коротких оболочек, что затрудняет создание универсальных методов расчета и, как правило, требует дополнительной оценки погрешности результатов. Итак, обозначились серьезные трудности в приложениях аналитически полученных решений дифференциальных уравнений теории оболочек, и большой накопленный научный потенциал во многом оказался невостребованным.

В то же время бурно развивались численные методы, для которых были разработаны специальные дополнительные математические процедуры (различные варианты метода прогонки и другие), преодолевшие неустойчивость счета ценой существенного снижения эффективности вычислений. Численные методы позволили решить большое количество задач и, подкрепленные постоянным совершенствованием вычислительной техники, стали базой для создания мощных и универсальных средств расчета различных конструкций. Однако потребность в более глубоких, например, многопараметрических исследованиях, вопросы экономичности вычислений и особенно точности результатов до сих пор требуют привлечения аналитических методов, которые в этом смысле остаются эталоном.

Так ставшие привычными в методах прогонки трудоемкие дополнительные процедуры, необходимые для устойчивого счета, зачастую далеки от физического содержания решаемых задач, поэтому при аналитическом подходе, допускающем исследование поведения применяемых элементарных и специальных функций, вполне логичным выглядит стремление отказаться от дополнительных процедур и тем самым существенно повысить эффективность счета. Обоснованием возможности такого шага может служить тот факт, что в задачах, допускающих расчет «вручную», то есть без применения ЭВМ, обычно удается построить такие решения, которые не встречают вычислительных трудностей. Поскольку для одной и той же системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно построить различные фундаментальные системы решений (ФСР), необходимо установить общие подходы к построению удобных для вычисления решений и применить их на ЭВМ при расчете оболочек. Существование подобных ФСР для оболочек вращения может быть обосновано и из физических соображений. Например, при решении краевых задач по линейной теории рассмотрим восемь одинаковых оболочек, у каждой из которых на одном из двух торцов заданы ненулевыми либо изгибающий момент, либо поперечная сила, либо радиальное перемещение, либо угол поворота срединной поверхности. НДС этих оболочек линейно независимы, и соответствующие им восемь потенциальных функций (то есть решений разрешающего уравнения) составляют ФСР, обладающую указанными свойствами.

Таким образом, численные и аналитические методы решения задач теории оболочек призваны дополнять друг друга. На фоне широкого применения численных методов, позволяющих решать сложные задачи, но требующих трудоемких вычислений и дополнительных усилий по оценке погрешности счета, актуальной является проблема совершенствования аналитических методов, особенно при решении на ЭВМ краевых задач.

Целью настоящей работы является построение для обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных методом Фурье разделения переменных, таких фундаментальных систем решений в элементарных и специальных функциях, которые позволили бы методом нормирования получить устойчивый счет при решении на ЭВМ краевых задач механики деформирования оболочек с произвольными геометрическими параметрами.

Научная новизна диссертации состоит в следующем:

1. Для обыкновенных дифференциальных уравнений теории оболочек построены фундаментальные системы решений в элементарных и специальных функциях с выделением из них доминирующих.

2. Предложен метод функционального нормирования решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Построены алгоритмы решения на ЭВМ краевых задач для слоистых цилиндрических, конических и сферических оболочек с произвольными геометрическими параметрами.

4. Получены результаты решения краевых задач для локально нагруженных слоистых оболочек в широком диапазоне геометрических параметров.

5. Исследовано влияние обобщенных жесткостей слоистого материала на изменяемость решений обыкновенных дифференциальных уравнений теории оболочек.

Достоверность результатов и выводов диссертации обеспечивается строго обоснованными математическими преобразованиями при доказательстве теоретических положений, соответствием контрольных расчетных результатов известным результатам решения краевых задач, совпадением результатов расчета одних и тех же физических объектов в рамках различных моделей механики твердого деформированного тела.

Практическая ценность работы состоит в следующем: — обеспечена возможность применения на ЭВМ многочисленных аналитических решений дифференциальных уравнений при решении краевых задач;

— построены устойчивые алгоритмы аналитического решения на ЭВМ краевых задач для слоистых цилиндрических, конических и сферических оболочек с произвольными параметрами;

— построены гарантированно точные решения задач о локализованных воздействиях на слоистые оболочки, для которых из-за опасности расслоения композиционного материала предъявляются высокие требования к точности результатов.

В настоящее время в области решения краевых задач теории оболочек получены обширные результаты фундаментального и прикладного характера. Трудно перечислить всех исследователей, которые внесли вклад в развитие численных и аналитических методов расчета оболочек и успешно решали многочисленные практические задачи. Вместе с тем современное состояние теории оболочек наряду с достигнутыми результатами ставит и серьезные проблемы. Так для пластин и цилиндрических оболочек уравнения содержат постоянные коэффициенты, и во многих работах (например, [6,15,21,40]) получены характеристические уравнения и решения в экспоненциальных, гиперболических функциях, функциях Крылова и других для оболочек как по классической теории, так и по уточненным теориям. Однако численные результаты приводятся либо только для коротких или бесконечно длинных оболочек, либо получаются иными методами — например, численными или с применением двойных тригонометрических рядов.

Отметим, что в расчетной практике понятие «длинная оболочка» определяется не собственно длиной конструкции, а сочетанием многих ее параметров: длины, толщины, радиусов кривизны, свойств материала, номера гармоники при разложении в ряд Фурье и т. д. Например, одна и та же оболочка и.

СС «-» 51 СС 55 может оказаться одновременно длинном и короткой для различных номеров гармоник. Необходимость для упрощения решения в дополнительной оценке «длины» оболочки и связанных с таким упрощением погрешностей снижает ценность точного решения уравнений теории оболочек. Поэтому даже для относительно простых уравнений с постоянными коэффициентами создание единого подхода к расчету оболочек произвольной длины стало насущной необходимостью.

Для сферических оболочек уравнения содержат переменные коэффициенты и сводятся к гипергеометрическому уравнению, которое имеет второй порядок. Интересный анализ свойств различных решений этого уравнения применительно ко сферической оболочке приведен в работе В. И. Авдеева [2], где подробно рассмотрен вопрос о точности результатов, получаемых при разных формах решения, и даны рекомендации по выбору ФСР разрешающего уравнения. Однако даже после выбора удачной ФСР необходимо нормирование полученных решений, без которого для длинных оболочек невозможно получение хорошо обусловленной матрицы системы алгебраических уравнений для определения постоянных из граничных условий. Поэтому естественным продолжением этих исследований, так же как и для цилиндрических оболочек, должно стать обоснование возможности расчета по единой методике оболочек произвольной длины с помощью не только правильного выбора ФСР, но и нормирования входящих в нее функций.

Аналитический расчет конических оболочек представляет собой еще более сложную задачу, поскольку уравнения с переменными коэффициентами уже не сводятся к хорошо изученному гипергеометрическому уравнению и в общем случае после комплексного преобразования имеют не второй, а четвертый порядок.

Из работ, посвященных этой проблеме, выделим книгу А. Д. Коваленко, Я. М. Григоренко и Л. А. Ильина [60]. В ней получены результаты, послужившие основой для дальнейшего развития аналитического метода расчета конических оболочек.

Так на важном этапе расчета оболочек — получении разрешающего уравнения — авторы усовершенствовали предложенный В. В. Новожиловым [78] метод комплексного преобразования уравнений теории оболочек и применили его для изотропных оболочек с произвольным значением коэффициента Пуассона. Тем самым с точностью самой теории оболочек осуществлен переход от системы уравнений восьмого порядка к одному уравнению четвертого порядка относительно функции комплексного переменного. В настоящее время бурно развиваются технологии с применением композиционных материалов, и возникает необходимость в применении комплексного преобразования к уравнениям для оболочек из слоистых материалов.

Для нулевой гармоники разложения, то есть при осесимметричном нагружении, и для первой гармоники, то есть при антисимметричном нагружении, разрешающие уравнения имеют не четвертый, а второй порядок, и для оболочек постоянной толщины решения в [60] выражены через хорошо изученные функции Томсона первого и второго рода, применение которых удобно в силу двух обстоятельств. Во-первых, при произвольных параметрах конической оболочки для вычисления функций Томсона достаточно всего двух методов: при малых значениях независимой переменной можно использовать степенные ряды или разложения по ортогональным полиномам, а при больших значениях переменной — асимптотические разложения в окрестности бесконечно удаленной точки. Как правило, область применения этих методов ограничена, но в данном случае их сочетание обеспечивает достаточную точность при произвольных значениях независимой переменной. Во-вторых, ФСР обыкновенных дифференциальных уравнений, построенная с помощью функций Томсона, линейно независима в окрестности бесконечно удаленной точки комплексной плоскости. Однако приведенные в книге результаты расчетов охватывают область лишь достаточно коротких оболочек, то есть достигнутые результаты для нулевой и первой гармоник нуждаются в развитии с точки зрения нормирования ФСР.

Решение задачи для других гармоник, то есть при циклической деформации конической изотропной оболочки постоянной толщины, когда разрешающее уравнение имеет четвертый порядок, в книге [60] выражено через обобщенные гипергеометрические функции. Построенная таким образом ФСР пригодна для вычислений только в окрестности вершины оболочки — при малых значениях независимой переменной. При больших же ее значениях, имеющих место в практических задачах, воспользоваться этой системой решений не удается из-за того, что во все решения входит одна и та же доминирующая функция. Поэтому в задаче о неосесимметричном нагружении слоистой ортотропной конической оболочки, когда номер гармоники больше единицы, возникает проблема построения и нормирования такой ФСР разрешающего уравнения, которая была бы линейно независимой при счете на ЭВМ и позволяла рассчитывать оболочки произвольной длины и толщины.

Рассмотрим еще одну важную для аналитических расчетов проблемувычисление специальных функций, через которые выражаются решения уравнений теории оболочек. Большое количество известных методовразложения в степенной ряд, разложения по ортогональным полиномам, функциям Бесселя, рациональные и полиномиальные приближения, асимптотические разложения и другие — к сожалению, не гарантирует успешности вычисления необходимых функций при произвольных значениях аргумента, поскольку область применимости каждого из методов ограничена. Так для обобщенной гипергеометрической функции и для О-функции Мейера асимптотические методы хорошо работают при больших значениях аргумента и небольших величинах параметров, а другие перечисленные выше методы — при малых значениях аргумента. Как указывает Люк [109], наиболее сложным оказывается случай больших величин параметров, особенно когда и значения аргумента велики. О вычислении специальных функций в этом случае в литературе практически нет никаких упоминаний, за исключением решений уравнений порядка не выше второго, например [112]. В то же время вычисление функций в таком диапазоне переменной и параметров необходимо даже при небольших номерах гармоник для уравнения четвертого порядка, описывающего напряженно-деформированное состояние конической оболочки.

Таким образом, несмотря на большие преимущества, которые предоставляет аналитический подход к исследованию тонкостенных конструкций, многие аналитически полученные ФСР для оболочек и аналитические алгоритмы решения краевых задач перестали использоваться из-за неустойчивого счета на ЭВМ. Поэтому целью настоящей работы стало построение для обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных методом Фурье разделения переменных, таких фундаментальных систем решений в элементарных и специальных функциях, которые позволили бы методом нормирования получить устойчивый счет при решении на ЭВМ краевых задач механики деформирования оболочек с произвольными геометрическими параметрами.

Причина неустойчивости вычислений в рассматриваемом случае заключается в том, что среди интегралов дифференциальных уравнений есть быстроизменяюгциеся функции. Такой характер решений создает трудности, которые можно условно разбить на три основные задачи, требующие исследования.

Во-первых, на этапе построения ФСР нужно исключить доминирование одних функций над другими внутри каждого решения разрешающего уравнения, потому что если в каждое решение или какую-то часть ФСР войдут одна или несколько быстровозрастающих функций, то они будут доминировать при больших значениях аргумента, и такая ФСР станет практически линейно зависимой, а матрица системы линейных алгебраических уравнений для определения произвольных постоянных из граничных условий — плохо обусловленной. Поскольку для одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений существуют различные ФСР, возникает задача построения такой ФСР, которая при счете остается линейно независимой для произвольных параметров оболочки. В литературе эта задача для тонкостенных конструкций решалась лишь применительно к уравнениям с постоянными коэффициентами или к уравнениям с переменными коэффициентами, имеющим порядок не выше второго.

Во-вторых, необходимо создать метод нормирования построенных ФСР, чтобы элементы матрицы системы линейных алгебраических уравнений стали сравнимыми с единицей величинами. Тем самым возникает возможность использования огромного накопленного научного потенциала, поскольку многие уже известные решения не применяются при расчетах на ЭВМ именно из-за трудностей с нормированием.

В-третьих, нужно обеспечить вычисление полученных специальных функций с гарантированной точностью.

Структурно диссертация состоит из введения и краткого обзора литературы, пяти глав, основных результатов и выводов и списка литературы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Впервые обоснована возможность расчета на ЭВМ оболочек при произвольных геометрических параметрах без разбиения оболочки на участки, без увеличения порядка системы уравнений и без дополнительных вычислительных процедур. Достигнуто существенное повышение эффективности счета.

2. Предложен метод функционального нормирования решений обыкновенных дифференциальных уравнений для краевых задач. Суть метода состоит в следующем:

Строится такая фундаментальная система решений однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и такое частное решение неоднородной системы, в которых выделены доминирующие функции.

Каждая функция-решение из построенной системы делится на максимальное значение своего модуля (нормы). В результате при определении произвольных постоянных из граничных условий получается хорошо обусловленная матрица системы алгебраических уравнений. Обусловленность матрицы остается хорошей практически при произвольных значениях независимого переменного и параметров дифференциальных уравнений.

3. Для обыкновенных дифференциальных уравнений механики деформирования слоистых цилиндрических, конических и сферических оболочек построены фундаментальные системы решений с выделением доминирующих функций. Доминирование одних функций над другими выявлено как типичная причина неустойчивости счета при решении на.

О О 1Л папт тт/ г" п тт г"тт ггал1лттт1 л^чл ттлттатг ч^" 1Т1 ОиДи1 1 Ч^^рШ'! JVJJJ1U1VIV.

4. Построены алгоритмы решения краевых задач для слоистых цилиндрических, конических и сферических оболочек с произвольными геометрическими параметрами. Построенные алгоритмы позволяют исследовать с гарантированной точностью напряженно-деформированное состояние локально нагруженных оболочек из композиционных материалов.

5. Исследовано влияние обобщенных жесткостей слоистого материала на изменяемость решений теории оболочек.

6. Предложенный метод функционального нормирования создает возможность применения на ЭВМ многочисленных аналитических решений дифференциальных уравнений для краевых задач.

7. Теоретические положения, обоснованные в диссертации, подтверждены вычислительными экспериментами:

Оценено влияние дополнительной конструкционной анизотропии, связанной с особенностями технологии изготовления композиционных материалов с перекрестной намоткой, на напряженно-деформированное состояние локально нагруженных цилиндрических оболочек. Относительное изменение компонент тензора напряжений оказывалось, как правило, меньше относительного изменения соответствующих компонент матрицы приведенных жесткостей.

Получены численные результаты при решении краевых задач для слоистых цилиндрических, конических и сферических оболочек в широком диапазоне геометрических параметров — при отношении радиуса оболочки к толщине до 1000, при отношении длины оболочки к радиусу до 150.

Получены численные результаты при решении краевых задач для оболочек столь большой длины, что результаты совпадают с полученными по теории стержней.

Проведена оценка точности используемых методов определения обобщенной гипергеометрической функции и G-функции Мейера и границ их применимости для решения краевых задач теории оболочек.