Исследование дифференциальных уравнений, описывающих колебания плавучести в идеальном стратифицированном газе

Содержание

Стратифицированные среды стали предметом интенсивных исследований, начиная с конца девятнадцатого века. Это связано с тем, что естественными природнымитифицированными средами являются мировой океан и земная атмосфера. Развитие техники сделало возможным проникновение человека в глубины мирового океана и в высокие слои атмосферы, что, в свою очередь, диктовалось многими практическими потребностями, в частности необходимостью расчета волнового сопротивления подводных аппаратов, прогнозов погоды, изучения механизмов образования циклонов и т. д. Особенностьютифицированных сред в поле силы тяжести и сил Кориолиса являются колебания плавучести (внутренние волны), возникающие под воздействием силы тяжести, сил Архимеда и силы Кориолиса. Хотя физическая природа этих колебаний весьма простая, точное математическое исследование возникающих граничных и смешанных задач для соответствующей системы уравнений является делом чрезвычайно трудным. Поэтому в многочисленных научных работах интенсивно развивались разнообразные приближенные и численные методы решения таких задач.

Исторически начало исследованию феномена внутренних волн было положено в работах классиков конца девятнадцатого века: Гельмгольца, Рэ-лея, Стокса, Буссинеска [5, 10,13]. На основании этих работ было объяснено явление мертвой зыби в норвежских фиордах, когда суда при входе в фиорд резко теряли скорость при неизменной мощности двигателя. Как оказалось, причина заключалась в том, что мощность двигателя частично тратилась на возбуждение внутренних волн на границе раздела слоя пресной воды, принесенной рекой, впадающей в фиорд, и слоя соленой морской воды. В работах классиков использовалось линейное приближение для динамических уравнений. Точное исследование удается провести только для весьма ограниченного и не самого интересного с практической точки зрения класса задач. В классической работе Н. Е. Кочина [3] была исследована в точной математической постановке плоская нелинейная задача о периодических волнах установившегося типа малой амплитуды на границе раздела двух слоев различной плотности. Для случая непрерывного распределения плотности по высоте соответствующая теорема существования периодических внутренних волн была доказана в работе Дюбрей-Жакотен [16]. Доказательство существования решений типа солитонов и кноидальных волн (длинных волн, вырождающихся в уединенную волну при длине волны, стремящейся к бесконечности) в произвольно стратифицированной жидкости дано в работе [19]. Глобальные теоремы существования, доказательства которых опираются на сложные математические теории, доказаны Л. В. Овсянниковым и его учениками [15].

Поскольку решение задач о внутренних волнах в точной постановке для представляющих практический интерес проблем при современном состоянии науки представляется нереальным, то огромное количество работ было посвящено исследованию решений задач в линеаризированной постановке. Простейшее линейное уравнение внутренних волн в форме Буссинеска имеет вид д2 (д2и д2и д2иЛ дх2 ду2 дг' д2и д2и дх2 ду' где n — частота Брента-Вяйсяля. Родственное уравнение д2и д2и д2и &bdquo-о д2и дх2 ду2 дг' описывающее малые колебания однородной вращающейся жидкости, подробно исследовалось в работах С. Л. Соболева [10] и его многочисленных последователей. Некоторые исторические сведения и подробную библиографию можно найти в книге [1]. В этой же книге изложены в строгой математической постановке результаты этих авторов по исследованию задачи Коши и некоторых смешанных задач для уравнения (1) и уравнения (2).

Если в системе координат, движущейся с постоянной скоростью С в направлении оси х, движение представляется независящим от времени, то в подвижной системе координат уравнение (1) принимает вид д2 (д2и д2и д дх1 ду1 дг' дх2 ду'

Большое количество работ посвящено исследованию фундаментального решения уравнения (1). Задачи о внутренних волнах от неподвижных или движущихся источников массы или диполей представляют значительный интерес, поскольку в однородной жидкости движущееся твердое тело иногда удается заменить системой источников и диполей. При слабой стратификации подобной же системой особенностей можно заменять движущееся тело и в неоднородной жидкости. Решение задач о внутренних волнах от движущихся и неподвижных источников и диполей просто выражаются через фундаментальное решение уравнения (1) или уравнения (3). Основные трудности связаны с изучением различных асимптотик фундаментального решения при больших временах или на больших расстояниях от источника. Такие задачи решались в работах Лонга (Long R. R), Лайтхилла (Lighthill M J.), Майлса (Miles J.W.), Яновича (Yanovich M.), Ю (Yiu C.-S), Гудимака (Hudimac A.A.), Келлера (Keller J.B.), Манка (Munk W.H.), Вуазена (Voisin В.), Дородницына A.A. Боровикова В. А., Черкесова Л. В., Санникова В. Ф., Букатова А. Е., Владимирова Ю. В., Городцова В. А., Теодоровича Э. В., Доценко С. Ф., Каменко-вича В.М., Чашечкина Ю. Д., Миропольского Ю. З., Нестерова С. А., Стуро-вой, И.В., Степанянца Ю. В., Тер-Крикорова A.M., Бежанова К. А., Онуфриева A.A., Яковлева Г. Н., и многих других авторов. Подробную библиографию можно найти в работе Вуазена [20].

Начало исследованию сравнительно нового класса задач было положено в работах [9], [12]. Известно, что в консервативном поле сил в идеальной несжимаемой жидкости или в идеальном газе сохраняется так называемый «потенциальный вихрь», являющийся проекцией вектора вихря скорости на нормаль к поверхности постоянной плотности (для несжимаемой жидкости) или постоянной энтропии (для идеального газа). При малой стратификации в однородном поле сил тяжести эта проекция мало отличается от проекции вихря на вертикальное направление. Если оставаться в рамках классической линейной теории внутренних волн, когда в уравнениях отбрасываются все инерционные члены, то уравнение вертикальных колебаний может быть изучено отдельно от уравнений движения для горизонтальных компонент вектора скорости. Если в начальный момент вертикальные возмущения были равны нулю, то они в дальнейшем и не будут возбуждаться. В работах [9], [12] было сделано предположение, что в потенциальном вихре квадраты окружных скоростей имеют тот же порядок, что и первые степени вертикальных скоростей. Это позволило свести задачу к решению неоднородного уравнения внутренних волн с правой частью, зависящей от интенсивности потенциального вихря. Изучались внутренние волны от неподвижных и подвижных потенциальных вихрей. В настоящей работе продолжается это направление исследований.