Некоторые свойства многообразий полных пар нульмерных подсхем алгебраической поверхности

В данной работе исследована проблема гладкости многообразия Х23 полных пар нульмерных подсхем длины 2 и 3 гладкой алгебраической поверхности, найден метод получения чисел Бетти многообразия Х^^ ПРИ условии, что последнее гладко, а поверхность допускает действие одномерного комплексного тора, и проведены вычисления в случае комплексной проективной плоскости и гладкой квадрики. Также рассмотрено детерминантное разрешение особенностей универсальной подсхемы в 5 х и показано, что оно изоморфно многообразию Хи.

Пусть? — гладкая неприводимая проективная алгебраическая поверхность над алгебраически замкнутым полем к нулевой характеристики, Н^ — ГПИг’б' - схема Гильберта нульмерных подсхем длины <1 (¿—точий) в Б. Длина нульмерной подсхемы определяется стандартным образом как = х{Ог)-Схема Hd параметризует всевозможные подсхемы 2 С 5, I (Я) = т. е. существует взаимно однозначное соответствие между подсхемами Z длины <1в5и точками 2 в Ил-, этот факт позволяет нам обозначать как 2 точку в Нл, если исключена путаница.

Известно [1,2], что схема Гильберта (¿—точий в <5 является гладким неприводимым многообразием размерности 2?.

Теперь, следуя [3], образуем произведение Нd1 х Н (}2 и ограничимся открытым подмножеством в нем вида := приведены, Zdl П Zd2 =0}.

В каждой точке Zd2) € С? определено теоретико-множественное объединение Zd¦L+d2 подсхем Zrl1 и Хг]2. Имеется рациональный морфизм: х #.

Минимальная конструкция, разрешающая морфизм (0.1) — многообразие полных пар Х^ь, — была построена в частном случае = 1, с?2 = <1 Г. Эллингсру-дом [4] и в общем случае А. С. Тихомировым [3]. Гладкость Хи доказана разными авторами различными методами в работах [3−5].

В работе Дж. Чи результат достигается локальными вычислениями. Разработанная ею техника, с некоторыми видоизменениями, использована в настоящей диссертации в комбинации с действиями тора, определенными локально, для доказательства гладкости многообразия Х23.

В [4] использовано действие максимального тора в вЬ (3) на Р2 х где Hd — схема Гильберта с? -точий проективной плоскости.

В [3] доказательство гладкости Хц, основано на изучении рангового отображения Кодаиры-Спенсера в смысле Хиршовица [б]- здесь существенно то, что пучок идеалов Хг универсальной подсхемы Г С Б х Нл обладает двучленной локально свободной резольвентой.

Гладкость Х22 доказана А. С. Тихомировым в уже цитированной работе, где им получены уравнения слоя морфизма Х22 //2 х //2 над наиболее специальной точкой. Там же им сформулирована гипотеза о гладкости многообразий полных пар Х^¿-2 для любых с1, ??

Настоящая диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы (25 названий).

1. Тимофеева Н. В. Группы гомологий многообразия полных пар хз нульмерных подсхем длины 1 и 3 проективной плоскости. Яросл. гос. пед. ун-т. -Ярославль, 1999. 11 с. Рус. Деп. в ВИНИТИ, 04.06.99. № 1815 — В99.

2. Тимофеева Н. В. Группы гомологии многообразий полных пар Х22 и Х2з• Яросл. гос. пед. ун-т. Ярославль, 1999. — 52 с. Рус. Деп. в ВИНИТИ, 07.10.99. № 3017 — В99.

3. ТИМОФЕЕВА H.B. О топологии схем Гильберта и многообразий полных пар X^d-, нульмерных подсхем в Р1 х Р1 при малых dx, d2. Яросл. гос. пед. ун-т. Ярославль, 1999. — 21 с. Рус. Деп. в ВИНИТИ, 07.10.99. № 3019 — В99.

4. ТИМОФЕЕВА Н. В. Детерминантное разрешение универсальной подсхемы в S х Hd+iЯросл. гос. пед. ун-т. Ярославль, 1999. — 10 с. Рус. Деп. в ВИНИТИ, 07.10.99. № 3018 — В99.

5. ТИМОФЕЕВА Н. В. Гладкость многообразий Х2з и Х24 полных пар нульмерных подсхем длины 2, 3 и 4 алгебраической поверхности. В сб.: Тезисы докладов 6 конференции молодых ученых. Яросл. гос. пед. ун-т. — Ярославль, 1998. С. 403 — 405.

6. ТИМОФЕЕВА Н.В. О топологии некоторых многообразий полных пар нульмерных подсхем проективной плоскости. В сб.: Тезисы докладов 7 конференции молодых ученых. Яросл. гос. пед. ун-т. — Ярославль, 1999. С.

7. BRlANgoN J. Description de HilbnC{x, у} // Invent.Math. V.41. 1977. P. 45 89.

8. ELLINGSRUD G., STR0MME S.A. On a cell decomposition of the Hilbert scheme of points in the plane //Invent, math. V.91. 1988. P. 365 370.

9. ELLINGSRUD G., STR0MME S.A. On the homology of the Hilbert scheme of points in the plane //Invent.math. V.87. 1987. P. 343 352.

10. MATSUMURA H. Commutative algebra. New York: W.A.Benjamin Co.1970.

11. БУР БАКИ H. Элементы математики. Алгебра. Глава X. Гомологическая алгебра. М.: Наука. 1987.

12. ХартсхоРН Р. Алгебраическая геометрия. М.:Мир. 1981.

13. ТИХОМИРОВ A.C. Гладкая модель пунктуальных схем Гильберта поверхности // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 1995. Т.208. С.318 334.

14. ДАНИЛОВ В. И. Алгебраические многообразия и схемы. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 23 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)». М., 1988, 172 302.