Применение метода моментных уравнений для построения и исследования устойчивости математических моделей со случайными параметрами
Получены с помощью стохастических функций Ляпунова необходимые и достаточные условия /^-устойчивости и асимптотической устойчивости в среднеквадратичном математических моделей, описываемых системами линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными марковскими коэффициентами. Получены с помощью уравнений для начальных моментов первого и второго порядка необходимые и достаточные… Читать ещё >
Содержание
В настоящее время все более широкое распространение получают вероятностные модели, которые в отличие от детерминированных более полно и точно отражают реальные процессы, происходящие в технике, природе и обществе. Описание этих моделей приводит либо к обыкновенным дифференциальным уравнениям, параметрами которых являются случайные функции времени, либо к стохастическим дифференциальным уравнениям. При реализации вероятностных моделей реальных процессов основное внимание обращается на их устойчивость, что привело к созданию соответствующего направления в теории устойчивости — стохастической теории устойчивости. Теоретические основы исследования устойчивости для систем дифференциальных уравнений со случайными параметрами были заложены А. Н. Колмогоровым в 1938 году.
В дальнейшем его подходы были развиты в работах P.JI. Стратоновича, Дж.Е. Бертрана и P.E. Сарачека, H.H. Красовского, A.M. Тихонова, И. Я. Каца, Р. З. Хасьминского, A.B. Скорохода, К. Г. Валеева, O. J1. Кареловой, Г. Н. Милыптейна и других авторов.
Работы всех исследователей опираются либо на изучение уравнений типа уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова и вероятностные свойства решений стохастических дифференциальных уравнений, либо на анализ мо-ментных уравнений с последующим применением методов Ляпунова.
Наиболее разработанной является теория систем с «белыми шумами» и марковскими процессами. Теория устойчивости математических моделей, представляющих собой системы дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от полумарковских процессов, является менее изученной. Поэтому рассмотрение и исследование математических моделей с полумарковскими коэффициентами является актуальным.
В работе К. Г. Валеева, O.JT. Кареловой, В. И. Горелова [26] введено понятие ¿^-устойчивости линейных систем со случайными параметрами. Исследование ¿¿-устойчивости позволяет обоснованно применять уравнения для первых начальных моментов при построении математических моделей систем.
Диссертационная работа продолжает исследования применения мо-ментных уравнений и
приложения введенного понятия ?? устойчивости к моделированию различных процессов со случайными параметрами.
Цель исследования. Целью диссертационной работы является исследование устойчивости математических моделей со случайными параметрами.
Объектом исследования являются математические модели с марковскими и полумарковскими коэффициентами, а также математические модели систем, находящих под действием возмущений типа «белого шума».
Предметом исследования является устойчивость рассматриваемых моделей на основе математического аппарата методов моментных уравнений и функций Ляпунова.
Задача исследования. Задачей диссертационного исследования является нахождение необходимых и достаточных условий ¿¿-устойчивости и асимптотической устойчивости в среднем и среднеквадратичном математических моделей, представляющих собой линейные системы с марковскими и полумарковскими коэффициентами и возмущениями типа «белого шума», и применение полученных результатов для построения моделей народонаселения и динамики развития фирмы.
Поставленная задача декомпозируется на частные подзадачи:
1) получить уравнения для начальных моментов первого и второго порядка математических моделей, представляющих собой системы линейных дифференциальных уравнений с марковскими коэффициентами-
2) получить с помощью стохастических функций Ляпунова необходимые и достаточные условия ¿¿-устойчивости и асимптотической устойчивости в среднеквадратичном математических моделей, описываемых системами линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными марковскими коэффициентами-
3) получить уравнения для начальных моментов первого и второго порядка математических моделей, представляющих собой системы линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами-
4) получить с помощью уравнений для начальных моментов первого и второго порядка необходимые и достаточные условия /^-устойчивости математических моделей, описываемых системами линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами-
5) получить с помощью стохастических функций Ляпунова необходимые и достаточные условия ¿2-устойчивости математических моделей, описываемых системами линейных стохастических дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами-
6) построить модифицированную демографическую модель народонаселения и модель динамики развития фирмы с помощью моментных уравнений первого порядка-
7) разработать методику расчета построенных моделей изменения численности населения и развития фирмы.
Методы исследований. Решение поставленных задач основывается на использовании математического аппарата линейных дифференциальных и операторных уравнений, методов теории детерминированной и стохастической устойчивости, объектно-ориентированного программирования.
Научная новизна полученных результатов.
1) Получено описание моментными уравнениями первого и второго порядка математических моделей со случайными параметрами, которые представляют собой системы линейных дифференциальных уравнений с марковскими и полумарковскими коэффициентами.
2) Известные методы моментных уравнений и функций Ляпунова, применявшиеся ранее для исследования устойчивости в среднем, среднеквадратичном и ¿^-устойчивости вероятностных моделей, обобщены на линейные математические модели марковского и полумарковского типа. Получены необходимые и достаточные условия? ¿-устойчивости рассматриваемых моделей.
3) Показано, что случайный процесс полностью описывается моментным уравнением первого порядка в случае, когда система ¿2-устойчива, либо ¿¿-устойчиво отклонение системы от математического ожидания.
4) Построена модифицированная демографическая модель народонаселения и модель динамики развития фирмы на основе моментных уравнений вероятностных моделей с марковскими параметрами, позволяющая исследовать изменение со временем численности населения и динамику развития фирмы.
5) Разработана общая методика расчета предложенных моделей с учетом случайного характера коэффициентов, позволяющая получить значения численности населения и графическое отображение результатов моделирования.
Практическая значимость полученных результатов.
1. Исследование математических моделей со случайными параметрами, обладающих свойством /^-устойчивости, можно заменить исследованием поведения уравнений первых начальных моментов.
2. Предложенные математические методы применимы для исследования устойчивости вероятностных моделей из различных областей прикладной математики: демографии (прогнозирование численности населения), финансовой математики (исследование портфеля ценных бумаг, расчет опционов и др.), экономики (динамика развития отрасли хозяйства или фирмы, распространение рекламной продукции и др.), экологии, механики, теории управления и оценивания и др.
3. Предложенная методика расчета моделей народонаселения и динамики развития фирмы применима для широкого спектра задач, в которых уравнения изменения состояния описываются системами линейных дифференциальных уравнений с марковскими и полумарковскими коэффициентами.
Реализация и внедрение. Модифицированная математическая модель народонаселения, методика расчета и ее программная реализация внедрены в практическую деятельность Территориального органа по Ставропольскому краю Федеральной службы государственной статистики (Ставропольстата), что подтверждается соответствующим актом о внедрении результатов диссертационного исследования. Отдельные положения использованы в учебном процессе СГУ при подготовке студентов по специальности Прикладная математика и информатика в рамках дисциплины «Случайные процессы и их
приложения".
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационном исследовании теоретических и практических результатов, формулировок теорем обеспечивается корректным применением аппарата математического и функционального анализа, теории случайных процессов, теории устойчивости.
Адекватность предложенной модели народонаселения реальным демографическим процессам подтверждается результатами численного расчета и их сравнением со статистическими данными. Относительная погрешность на срок 2 года (по отношению к статистическим данным на 2002 год) не превышает 1,058% и находится в пределах 0,005% — 1,058%, а на срок 15 лет (по отношению к прогнозу Всемирного Банка на 2015 год) — не превышает 4,876% и находится в пределах
0.181.-4.876%.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
1. Моментные уравнения первого и второго порядка математических моделей с марковскими и полумарковскими коэффициентами, позволяющие исследовать устойчивость в среднем, среднеквадратичном и ¿¿-устойчивость рассматриваемых моделей.
2. Необходимые и достаточные условия ¿¿-устойчивости (полученные с помощью стохастических функций Ляпунова) математических моделей с кусочно-постоянными марковскими коэффициентами.
3. Необходимые и достаточные условия /^-устойчивости (полученные с помощью моментных уравнений) математических моделей с полумарковскими коэффициентами.
4. Необходимые и достаточные условия ¿2~устойчивости (полученные с помощью стохастических функций Ляпунова) математических моделей, описываемых системами стохастических дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами.
5. Модифицированная демографическая модель народонаселения и модель динамики развития фирмы, построенные на основе применения моментных уравнений к вероятностным моделям с марковскими коэффициентами, и методика расчета этих моделей.
Апробация результатов диссертации. Результаты работы докладывались на V Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004 г.), первой Международной научно-технической конференции «Инфотелекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании» (Ставрополь, 2004 г.), XVIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях — ММТТ-18», (Казань, 2005 г.), Всероссийской конференции «Математика и ее
приложение в математическом образовании — 2″, (Улан-Удэ, 2005 г.), VII Международной научно-практической конференции «Информационная безопасность» (Таганрог, 2005 г.), V Международной научно-практической конференции «Моделирование. Теория, методы и средства» (Новочеркасск, 2005 г.), V региональной научно-практической конференции «Совершенствование методов управления социально-экономическими процессами и их правовое регулирование» (Ставрополь, 2005 г.).
Опубликованносгпь результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 печатных работах: из них 4 — в изданиях, включенных в перечень научных и научно-технических журналов, издаваемых в Российской Федерации, в которых рекомендуется публикация основных результатов диссертационных исследований на соискание ученой степени доктора наук
Известия Томского политехнического университета", «Известия вузов. Северо-Кавказский регион» и «Обозрение прикладной и промышленной математики»), 8 — в сборниках материалов региональных, Всероссийских и Международных конференций.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (содержащего 126 наименований). Основная часть работы изложена на 155 страницах машинописного текста, содержит 12 рисунков и 7 таблиц.
Применение метода моментных уравнений для построения и исследования устойчивости математических моделей со случайными параметрами (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
4.5. Выводы по четвертой главе.
1. С помощью полученных моментных уравнений, построены модифицированная модель народонаселения и модель динамики развития фирмы, учитывающая зависимость от марковских или полумарковских процессов коэффициентов модели.
2. Разработана методика расчета построенных моделей, основанная на применения уравнений для начальных моментов первого порядка, учитывающая случайный характер коэффициентов систем, описывающих данные модели.
3. Доказана обоснованность применения моментных уравнений с помощью исследования ¿-¿—устойчивости возмущенного движения.
4. Проведен численный расчет демографической модели, подтверждающий полноту и адекватность модели реальной системе. Относительная погрешность на срок 2 года (по отношению к статистическим данным на 2002 год) не превышает 1,058% и находится в пределах 0,005% - 1,058%, на срок 15 лет (по отношению к прогнозируемым данным Всемирного Банка на 2015 год) — не превышает 4,876% и находится в пределах 0.181%-4,876%.
5. Получены кривые зависимости демографической ситуации по группам стран мира, позволяющие исследовать динамику изменения численности населения с перспективой на 15 лет до 2015 года.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
В процессе выполнения работы получены следующие основные результаты.
1. Получены уравнения для начальных моментов первого и второго порядка математических моделей с марковскими коэффициентами, позволяющие исследовать устойчивость в среднем, среднеквадратичном, и ¿-^-устойчивость рассматриваемых моделей.
2. Получены с помощью стохастических функций Ляпунова необходимые и достаточные условия /^-устойчивости и асимптотической устойчивости в среднеквадратичном математических моделей, описываемых системами линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными марковскими коэффициентами.
3. Получены уравнения для начальных моментов первого и второго порядка математических моделей с полумарковскими коэффициентами, позволяющие исследовать устойчивость в среднем, среднеквадратичном, Ь2-устойчивость рассматриваемых моделей.
4. Получены с помощью уравнений для начальных моментов первого и второго порядка необходимые и достаточные условия-устойчивости математических моделей, которые определяются системами линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами.
5. Получены с помощью стохастических функций Ляпунова необходимые и достаточные условия ¿-¿—устойчивости математических моделей, описываемых системами линейных стохастических дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами.
6. Построена модифицированная модель народонаселения и модель развития фирмы с помощью моментных уравнений первого порядка, позволяющая исследовать динамику численности населения и развития фирмы.
7. Разработана общая методика расчета предложенных моделей и программная реализация модели народонаселения, обеспечивающая получение значений численности населения и графическое отображение результатов моделирования на определенный временной период.
1. Агафонов С. А., Герман А. Д., Муратова Т. В. Дифференциальные уравнения. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004.
2. Анапольекий Л. Ю., Иртегов В. Д., Матросов В. М. Способы построения функций Ляпунова. В сб.: Итоги науки и техники. Общая механика. -М.: ВИНИТИ, 1975. С. 53−112.
3. Андронов A.A., Понтрягин Л. С., Витт A.A. О статическом рассмотрении динамических систем.// ЖЭТФ. 1933. — 3. Вып.З. G. 165−180.
4. Артемьев В. М. Статистический анализ систем с обратной переменной структурой. // Проблемы повышения эффективности систем управления. Минск: Минсвязь, 1971. С. 34−41.
5. Артемьев В. М. Теория динамических систем со случайными изменениями структуры. Минск: Высшая школа, 1979. — 160 с.
6. Артемьев В. М., Ивановский A.B. Дискретные управления со случайным периодом квантования. М.: Энергоатомиздат, 1986. — 96 с.
7. Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 2003. — 614 с.
8. Базыкин А. Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985.
9. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. — 240 с.
10. Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969.
11. Беллман Р.
Введение
в теорию матриц. М.: Наука, 1969. — 368 с.
12. Бендат Дж., Пирсол А. Применение корреляционного и спектрального анализа. М.: Мир, 1983. — 312 с.
13. Бендерский М. М. Об асимптотике решений линейных уравнений со случайными коэффициентами // Матем. методы анализа динам, систем. -Харьков, 1977. С. 13−15.
14. Бестужев-Лада И. В. Основные этапы разработки прогнозов. (К комплексной методике социального прогнозирования) // Социологии, исслед. 1982, № 1.
15. Бигон М., Харпер Дж., Таусенд К. Экология. Особи, популяции и сообщества. М.: Мир 1989.
16. Бондарос Ю. Г. Исследование стохастических характеристик линейной двухканальной системы с модуляцией методом моментов // АиТ, № 2, 1975. С. 75−78.
17. Броди С. М., Погосян И. А. Вложенные стохастические процессы в теории массового обслуживания. Киев: Наукова думка, 1973. — 128 с.
18. Бухалев В. А. Оптимальная фильтрация в системах со случайной структурой // АиТ, № 11, 1967. С. 122−126.
19. Бухалев В. А. Синтез управления марковским объектом со случайной структурой // АиТ, № 8, 1979. С. 95−99.
20. Валеев К. Г., Карелова О. Л., Горелов В. И. Оптимизация линейных систем со случайными коэффициентами. Монография. М.: Изд-во РУДН, 1996.-258с.
21. Валеев К. Г., Стрижак О. Л. Аналитическое описание случайных процессов I. «Нелинейные задачи гидроаэромеханики и теории упругости». Т.2. Днепропетровск, 1987. С. 68−72.
22. Валеев К. Г., Стрижак О. Л. Аналитическое описание случайных процессов 11. «Нелинейные задачи гидроаэромеханики и теории упругости». Т. З. Днепропетровск, 1987. С. 64−69.
23. Валеев К. Г., Стрижак O.JI. Исследование устойчивости в линейных цепях со случайными параметрами. Первая Всесоюзная конф. по ТОЭ. Тез. докл. Ташкент, 1987. С. 21−22.
24. Валеев К. Г., Стрижак O.JI. Метод моментных уравнений. Киев: 1985. -56 с. — (Препринт/АН УССР, Ин-т электродинамики- 467).
25. Валеев К. Г., Стрижак.O.JI. Моделирование случайных процессов. Киев: 1985. — 56 с. — (Препринт/АН УССР, Ин-т кибернетики- 88−63).
26. Валеев К. Г., Стрижак O.JI. Стохастические дифференциальные уравнения с телеграфными белыми шумами. Киев. 1987. 20 с. Деп. в УкрНИ-ИНТИ 24.02.87. № 832Ук.87.
27. Валеев К. Г., Финин Г. С. Построение функций Ляпунова. Киев: Науко-ва думка, 1981.-412 с.
28. Валентей Д. И., Кваша А. Я. Основы демографии. М.: Мысль, 1989. 286 с.
29. Венецкий И. Г. Математические методы в демографии. М.: Статистика, 1971.-296 с.
30. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1964. — 576 с.
31. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. — 548 с.
32. Гихман И. И. К теории дифференциальных уравнений случайных процессов. 4.1. Укр. мат. жур., 1950, 2, № 4, с. 37−63- 4.2, 1951, 3, № 3, с. 317−339.
33. Гихман И. И. Об одной схеме образования случайных процессов. Докл. АН СССР, 1947, 58, № 6, С. 961−964.
34. Гихман И. И. Об устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений // Предельные теоремы и статистические выводы. Ташкент, 1966. С. 14−15.
35. Гихман И. И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. М.: Наука, 1977.-567 с.
36. Горелов В. И., Карелова О. Л. Математическое моделирование в экологии. Монография. М.: Изд-во РУДН, 2000. — 197 с.
37. Горелов В. И., Карелова O.JI. Об одной модели народонаселения. Вестник РУДН, «Экология». М.: РУДН, 2001. С. 51−54.
38. Горелов В. И., Соловьев И. А. Моделирование миграционной ситуации на Северном Кавказе // Тезисы международной научной конференции «Проблемы миграции и опыт ее регулирования в полиэтничном Кавказском регионе». Москва-Ставрополь, 2003. С. 80−85.
39. Дынкин Е. Б. Марковские процессы. М.: Физматгиз, 1963.
40. Евланов Д. Г., Константинов В. Н. Системы со случайными параметрами. -М.: Наука, 1976.-568 с.
41. Жуковский Н. Е. О прочности движения. Уч. зап. Моск. ун-та, отдел физ.-матем., вып. 4, 1882.
42. Зубов В. И. Дифференциальные уравнения вероятностных распределений // Дифференциальные уравнения, 1979, т.25, № 2. С. 351−353.
43. Казаков И. Е. Оценивание и идентификация в системах переменной структуры // АиТ, 1979, № 11. С. 81−84.
44. Казаков И. Е. Статистическая динамика систем с переменной структурой. -М.: Наука, 1977.-356 с.
45. Карелова О. Л., Банько М. А. Вывод уравнений для моментов решений системы линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами // Известия Томского политехнического университета. 2005. — Т. 308. — № 4. С. 14−19.
46. Кац И Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры. Екатеринбург, 1998. — 222 с.
47. Кац И. Я. Об устойчивости движения стохастических систем с разрывными фазовыми траекториями. В сб. «Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений». Новосибирск: Наука, 1988. С. 179−185.
48. Кац И. Я., Красовский Н. Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами // Прикладная математика и механика, 1960, № 5. С. 809−823.
49. Колмановский В. Б. Об устойчивости стохастических систем с запаздыванием // Проблемы передачи информации, 1969. Т.5. Вып. 4. С. 55−59.
50. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. — 286 с.
51. Колмогоров А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей // Успехи матем. науки, 1938. Вып. 5. G. 5−41.
52. Коловский М. З., Троицкая 3.В. Об устойчивости линейных систем со случайными параметрами // ПММ, 1972. Вып. 36. № 2. С.218−224.
53. Коломиец В. Г., Кореневский Д. Г. Об устойчивости линейных систем со случайными возмущениями // Прикладная механика, 1967. 3. Вып. 8. С. 119−123.
54. Коломиец В. Г., Притула H.H. Асимптотические методы в исследовании случайных колебаний в некоторых системах с распределенными параметрами и последействием. Препринт № 33 Ин-т матем. АН УССР, 1985.-51 с.
55. Кореневский Д. Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях параметров. Алгебраические критерии. Киев: Наукова думка, 1989. -208 с.
56. Королюк B.C. Стохастические модели систем. Киев: Наукова думка, 1989.-210 с.
57. Королюк B.C., Свищук A.B. Полумарковские случайные эволюции. -Киев: Наукова думка, 1992. 256 с.
58. Королюк B.C., Турбин А. Ф. Полумарковские процессы и их приложения. Киев: Наукова думка, 1976. — 182 с.
59. Короновский A.A., Трубецков Д. И. Нелинейная динамика в действии. -Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2002. 324 с.
60. Красовский A.A. Статистическая теория переходных процессов в системах управления. М.:1968. — 314 с.
61. Красовский A.A. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем. М.: Наука, 1974. — 232 с.
62. Красовский H.H., Лидский Э. А. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными параметрами // АиТ, 1961, № 9. С. 11.
63. Крылов Н. М., Боголюбов H.H. Про р1вняння Фоккера-Планка, що виво-диться в теорП петрубацш методом, заснованым на спектральных вла-стивостях пертурбацшного гамшьтошана. Зап. Каф. Мат. физики / Киев. ун-т, 1939, т.4. С. 5−158.
64. Кушнер Дж.Г. Стохастическая устойчивость и управление. М.: Мир, 1969.-200 с.
65. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. — 280 с.
66. Левит М. В., Якубович В. А. Алгебраический критерий стохастической устойчивости линейных систем с параметрическим воздействием типа «белый шум» // ПММ, 1972. 36, вып.1. С. 142−148.
67. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиз-дат, 1950.-472 с.
68. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. Москва-Ленинград, Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. -432 с.
69. Марков A.A. On mean values and exterior densities. \ Математический сборник № 4, 1938. С. 165−191.
70. Маркус М., 50 Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972. — 232 с.
71. Медков В. М. Демография: Учебное пособие. Ростов н/Д., 2002. -303 с.
72. Мильштейн Г. Н. Об устойчивости линейной системы, находящейся под действием марковской цепи // Дифференциальные уравнения, 1970, т.6, №Ц. С. 1982;1993.
73. Мильштейн Г. Н. Распределение интеграла от марковской цепи с двумя состояниями // Матем. запики Уральского гос. ун-та, 1972, т.8. С. 80−90.
74. Мильштейн Т. Н., Репин Ю. М. О воздействии марковского процесса на систему дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, 1969, т.5, № 8. С. 1371−1384.
75. Народонаселение: Энциклопедический словарь. / Гл. ред. Г. Г. Меликьян. -М.: Большая Российская энциклопедия, 1994.
76. Насимов К. А. Устойчивость стохастических систем и новые классы случайных процессов. Киев, 1987. — 48 с. Деп. В УкрНИИНТИ 10.03.87. № 930-Ук87.
77. Пугачев B.C., Синицын И. И. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1985. — 560 с.
78. Ризниченко Г. Ю., Рубин А. Б. Математические модели биологических продукционных процессов. М.: Изд-во МГУ, 1993.
79. Румянцев В. В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения. В кн. Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1968, т.1. С. 7−66.
80. Саградов А. А. Модель развития населения // Российский экономический журнал, 1992, № 7, с.77−82.
81. Свешников A.A. Прикладные методы теории случайных функций. Л.: Судпромгиз, 1961. — 252 с.
82. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. -М.: Наука, 1978.
83. Сигалов Г. Г. К анализу нелинейных систем методом уравнений моментов // АиТ, 1970, № 6. С. 37−47.
84. Сильвестров Д. С. Полумарковские процессы с дискретным множеством состояний (основы расчета функциональных и надежностных характеристик стохастических систем). М.: Сов. Радио, 1980. — 272 с.
85. Соболева С. В. Демографические процессы в региональном социально-экономическом развитии. Новосибирск: «Наука», 1988. — 208 с .
86. Современная демография. Под ред. А Я. Кваши, В. А. Ионцева. М.: МГУ, 1995.
87. Староверов О. В. Модели движения населения. М.: Наука, 1977.
88. Стратонович Р. Л. Условные марковские процессы. Изд. МГУ, 1966. -318 с.
89. Стрижак О. Л. Вывод моментных уравнений для некоторых классов разностных и дифференциальных уравнений. Киев. 1987. 5 с. Деп. в Укр-НИИНТИ 24.02.87. № 833Ук.87.
90. Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977.-488 с.
91. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. — 436 с.
92. Феллер В.
Введение
в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. М.: Мир, 1984, т.1. — 528 е., т.2. — 752 с.
93. Хазен Э. М. Определение одномерной плотности распределения и моментов случайного процесса на выходе существенно нелинейной системы // Теория вероятностей и ее применение, 1961. Вып.1. С. 21−29.
94. Харламов Б. П. Непрерывные полумарковские процессы. СПб.: Наука, 2001.-432 с.
95. Хасьминский Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука, 1969. -368 с.
96. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. — 656 с.
97. Хрисанов С. М. Показатели Ляпунова линейных систем с марковскими коэффициентами // Прикладная математика и механика. 1983, т.47, № 1. С. 21−26.
98. Хрисанов С. М. Разностные уравнения с марковскими коэффициентами // Теория вероятностей и математическая статистика. Киев, 1981, № 25. С. 149−153.
99. Хрисанов С. М., Хрисанова Т. В. Метод моментных уравнений в задачах управления линейными системами со случайными параметрами // Дифференциальные уравнения и их применение. Труды 3-й конф., 4.1. Руссе, 1987. С. 449−452.
100. Царьков Е. Ф. Случайные возмущения с последействием. Дисс. д.ф.-м.н. Рига, Рижский политехи, ин-т, 1981. — 326 с.
101. ПЗ. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: Изд-во АН СССР, 1962. -536 с.
102. Шумафов М. М. О построении функций Ляпунова для некоторых нелинейных стохастических дифференциальных уравнений второго порядка и вопросы устойчивости // Дифференциальные уравнения, 1981, т. 17, № 6. С. 1143−1145.
103. Ягельский М. География населения. М.: 1980. — С. 312−315.
104. Bertram J.E., Sarachik Р.Е. Stability of circuits with randomly time-varying parameters // Proc. of the Intern.Sympos. on Circuits and Inform. Theory, Los-Angeles, Calif. IRE Transactions. 1959. CT-6. P.260−270.
105. Friedman A. Stochastic Differential Equations and Applications. New York: Acad, press, 1976. — 344 p.
106. Ito K. On a stochastic integral equations. /Proc. Imp. Acad. Tokyo, 1946, v.22, p. 32−35.
107. Ito K. On stochastic differential equations. /Mem. Amer. Math. Soc., 1951, № 4. P. 1−51.
108. Karelova O.L. Stabilization of solution of system of linear differential equations depending on semi-Marcovian process. Второй Европейский конгресс математиков. Будапешт, 1996. С. 83.
109. Levy P. Processus semi-Marko veins // Proc.Internat.Congr. Math. (Amsterdam, 1954), v. III, Noordhoff, GroningenNorth-Holland, Amsterdam, 1956, MIR. l9.469. P. 414−426.
110. Mohammed S.-E.A. Stability of linear delay Equations under a small noise // Proc. Edinburgh Math. Sos. 1986. — 29. P.571 — 573.
111. Nazaroff G.J. Stability of Linear Stochastic Differential Delay Systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1973. — 18, № 6. P. 672−673.
112. Routh, A Treatise on Stability of a given State of motion.
113. Smith W.L. Regenerative stochastic processes // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1955. Vol. 232. P. 6−31.
114. Thomson and Tait, Treatise on Natural Philosophy, t. I, 1879.