Двумерные полиномиальные динамические системы с алгебраическими инвариантными множествами

Системам дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями посвящены многочисленные исследования. Изучению таких систем большое внимание уделялось в трудах А. Пуанкаре [70], А. Дюла-ка [48], Г. Дарбу [96] и других математиков.

Одной из основных проблем для двумерных вещественных полиномиальных динамических систем является вторая часть шестнадцатой проблемы Гильберта о максимальном числе и взаимном расположении предельных циклов ([69], [75]). Среди работ, связанных с изучением этой проблемы, следует отметить исследования А. А. Андронова, Е.А. Леон-тович [2], Н. Н. Баутина ([4], [6]), Н. Ф. Отрокова [65], Л. А. Черкаса [82], Е. М. Ландиса и И. Г. Петровского [66], А. Д. Морозова [63], К. С. Сибирского [73], S. Shi [101], L. Chen и М. Wang [91], Н. Zoladek [105], Ю. С. Ильяшенко ([52], [53], [54]), R. Вашоп [86], J. Ecalle [97] и других авторов.

В настоящее время, несмотря на значительные усилия, проблема оценки числа предельных циклов полиномиальных дифференциальных систем далека от завершения даже для малых значений степеней нелиней-ностей.

В середине двадцатого века возрастает интерес к задаче, поставленной Н. П. Еругиным ([51], [50]), о выделении множества двумерных систем с заданным программным движением. Эта задача послужила толчком к весьма обширным исследованиям систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую специального вида или со сиециальиым аналитическим свойством. При этом значительное внимание уделялось изучению важного класса полиномиальных динамических систем, допускающих те или иные инвариантные алгебраические кривые (см., например, [5], [7], [8], [9], [10], [26], [27], [42], [43], [45], [46], [47], [49], [55], [57], [59], [60], [64], [67], [68], [76], [78], [81], [84], [85], [87], [88], [90], [93], [94], [95], [102]). Знание частных решений, как правило, позволяет изучить топологическую структуру в целом. Эти исследования восходят к трудам Г. Дарбу и А. Пуанкаре. В 1878 году Г. Дарбу [96] показал, что если у системы с полиномиальными правыми частями существует определенное число алгебраических инвариантных кривых, то система имеет первый интеграл Дарбу Г = Ф^ • • • Ф^ = С, где Ф^ -полиномы, неприводимые над полем комплексных чисел, попарно взаимно простые, величины (3j? С, (3j ^ 0. Система, допускающая первый интеграл Дарбу, называется интегрируемой по Дарбу.

В работах М. В. Долова [14], [16], [17], [18], [22], [20], [24] установлено, что у интегрируемых по Дарбу систем предельные циклы — алгебраическиеполиномы, определяющие циклы, — вещественные и входят в аналитическое выражение интеграла Дарбуциклы структурно устойчивысостояния равновесия с чисто мнимыми корнями характеристического уравнения у таких систем могут быть только центрами [18]. С помощью этих результатов в [17] построен контрпример к гипотезе К. С. Сибирского [72], о всюду плотности множества систем дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями с первыми интегралами Дарбу в множестве полиномиальных динамических систем с простым состоянием покоя типа центр в смысле Пуанкаре. В работе [14] решена проблема Н. П. Еругина о существовании систем с полиномиальными правыми частями, имеющих среди фазовых траекторий предельные циклы и состояния покоя центр, а также изучены некоторые вопросы теории бифуркаций.

В работе Н. Н. Баутина [6] сформулирована теорема, устанавливающая связь между первой и второй частями 16-й проблемы Д. Гильберта, в частности, указан класс полиномиальных векторных полей степени п, имеющих предельными циклами овалы М-кривой степени п (алгебраической кривой порядка п с максимальным числом овалов).

В статье М. В. Долова [27] доказано существование полиномиальных векторных полей, предельными циклами которых являются только овалы двух М-кривых.

В связи с этим представляет как теоретический, так и практический интерес задача о максимальном числе предельных циклов в виде эллипсов и окружностей для полиномиального векторного поля степени п.

В работе [80] даны необходимые и достаточные условия существования при п—2 предельного цикла в виде эллиптической кривой второго порядка. Такие поля, кроме этого предельного цикла, не имеют других изолированных замкнутых траекторий, отличных от состояний покоя.

Для кубических дифференциальных систем, то есть систем, правые части которых — полиномы третьей степени, в [77] с точностью до обратимого линейного преобразования указаны необходимые и достаточные условия существования двух квадратичных алгебраических предельных циклов. При этом установлено, что помимо двух квадратичных алгебраических кривых, являющихся предельными циклами, у систем нет никаких других периодических решений. Кроме того, в [77] показывается, что окружность и эллипс не могут быть одновременно предельными циклами полиномиальной системы.

В статье М. В. Долова [13] для систем где Р и Q — полиномы, max (degP, degQ) = п, при Р (х, у) =у указывается оценка сверху для числа траекторий, которые могут быть замкнутыми кривыми второго порядка, и для систем с наибольшим числом предельных циклов в виде эллипсов рассматривается вопрос о существовании других периодических решений. При этом случай Р (х, у) ф у не рассматривался.

Таким образом, исследование полиномиальных динамических систем, среди траекторий которых содержатся инвариантные алгебраические кривые, является актуальным.

Цель работы. Целью диссертации является исследование задачи существования и оценки числа предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости с инвариантными кривыми заданного класса. При этом значительное внимание уделяется случаям, когда система дифференциальных уравнений допускает либо линейные частные интегралы, либо имеет предельными циклами кривые второго порядка, центры которых лежат иа одной прямой.

1).

Методика исследования. В работе используются методы качественной [1] и аналитической теорий обыкновенных дифференциальных уравнений, а также теории канонических первых интегралов [21].

Научная новизна. Для двумерных автономных систем дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями получены следующие новые результаты: указан класс интегрируемых по Дарбу векторных полей степени п, имеющих предельными циклами овалы алгебраической кривой степени п-1- найдены условия существования векторных полей четвертой степени с тремя предельными циклами в виде окружностей с попарно различными центрами, лежащими на одной прямойуказаны достаточные условия, когда центры окружностей, являющихся предельными циклами, принадлежат одной прямойтеорема о максимальном числе предельных циклов в виде окружностей с центрами на одной прямой: теорема об отсутствии других предельных циклов в виде окружностей, при наличии среди фазовых кривых системы максимального числа предельных циклов в виде окружностей с центрами на одной прямойуказаны достаточные условия центра в смысле Пуанкаре и условия отсутствия предельных циклов у систем с линейными частными интегралами.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит, в основном, теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в научно-исследовательской работе по качественной теории дифференциальных уравнений, в учебных курсах и при изучении конкретных динамических систем.

Апробация и публикации. Научные результаты исследований апробированы: на Международной научной конференции аспирантов и студентов «Ломоносов 2001 «в Московском государственном университетена Международной конференции «Еругинские чтения 7» (Гродно, 2001 г.) — на Международной конференции «Еругинские чтения 8» (Брест, 2002 г.) — на V Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2002 г.) — на VI Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2004 г.) — на IX Белорусской Международной математической конференции (Гродно, 2004 г.) — на VII Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2006 г.) — на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006 г.) — на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского, иаучн. руков. проф. А. Д. Морозов.

Основные результаты опубликованы в работах [31]- [41]. В опубликованных совместно с научным руководителем работах М. В. Долову принадлежат постановка задачи, идеи доказательств основных результатов и общее руководство.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3.

1. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем втрого порядка. М.: Наука, 1966. 568 с.

2. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967. 487 с.

3. Амелькин В. В., Лукашевич Н. А., Садовский А. П. Нелинейные колебания в системах второго порядка. Минск, изд-во БГУ, 1982. 207 с.

4. Баутин Н. Н. О числе предельных цпклов, рождающихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокус или центр //Мат.Сб., 1952. Т. ЗО, № 72. С. 181−196.

5. Баутин Н. Н. О периодических решениях одной системы дифференциальных уравнений //ПММ, 1954. Т.18, М. С. 128.

6. Баутин Н. Н. Оценка числа алгебраических предельных циклов системы х = Р{х, у), у = Q (x, y), с алгебраическими правыми частями //Дифференц. Уравнения, 1980. Т. 16, № 2. С. 362.

7. Галиуллин А. С., Мухаметзянов И. А., Мухарлямов Р. Г., Фу-расов В. Д. Построение систем програмного движения. М.:Наука, 1971. 352 с.

8. Галиуллин А. С. Инвараптиость действия и обратные задачи динамики //Дифференц. Уравнения, 1984. Т.20, № 8. С. 1318−1325.

9. Галиуллин А. С. Аналитическая динамика. М.:Высшая школа, 1989. 263 с.

10. Горбузов В. Н., Тыщенко В. Ю. Частные интегралы обыкновенных дифференциальных уравнений //Мат.Сб. 1992. Т.183, № 3. С.76−94.

11. Долов М. В. О предельных циклах одного дифференциального уравнения //Дифференц. Уравнения, 1966. Т.2, № 11. С.1469−1473.

12. Долов М. В. О дифференциальных уравнениях уу' — Q4(x, y), имеющих предельным циклом эллипс //Дифференц. Уравнения. 1967. Т. З, Л* 6. С.898−904.

13. Долов М. В. О предельных циклах одного класса дифференциальных уравнений //Дифференц. Уравнения, 1969. Т.5, JV" 7. С.1330−1334.

14. Долов М. В. О предельных циклах в случае центра //Дифференц. Уравнения, 1972. Т.8, № 9. С.1691−1692.

15. Долов М. В. О порядке алгебраической кривой, являющейся решением дифференциального уравнения //Дифференц. Уравнения, 1974. Т.10, № 3. С.544−546.

16. Долов М. В. Предельные циклы и алгебраические интегралы в случае центра //Дифференц. Уравнения, 1975. Т.11, № 11. С.1935;1941.

17. Долов М. В. Предельные циклы и интегралы Дарбу в случае узла //Дифференц. Уравнения, 1977. Т. 13, № 3. С.406−415.

18. Долов М. В. Интегралы Дарбу в случае фокуса //Дифференц. Уравнения, 1978. Т.14, № 7. С.1173−1178.

19. Долов М. В. О дифференциальных уравнениях, имеющих интегралы Дарбу //Дифференц. Уравнения, 1978. Т.14, № 10. С.1765−1774.

20. Долов М. В., Лисин Б. В. Алгебраические интегралы в окрестности седла //Дифференц. и Интегр. Уравнения, Сб. научных трудов, Горький, ГГУ, 1982. С.15−20.

21. Долов М. В. Канонические интегралы и предельные циклы. Диссертация д.ф.-м.н., Горький, 1983.

22. Долов М. В., Косарев В. В. О бифуркациях предельных циклов уравнений, допускающих интегралы Дарбу //Дифференц. и Интегр. Уравнения, Горький, ГГУ, 1982. С.3−8.

23. Долов М. В., Косарев В. В. Интегралы Дарбу и аналитическая структура решений дифференциальных уравнений //Дифференц. Уравнения, 1983. Т. 19, № 4. С.697−700.

24. Долов М. В. Интегралы Дарбу и особые циклы //Дифференц. и Интегр. Уравнения, Горький, ГГУ, 1985. С.5−8.

25. Долов М. В., Кузьмин Р. В. О предельных циклах одного класса систем //Дифференц. Уравнения, 1993. Т.29, № 9. С.1481−1485.

26. Долов М. В., Кузьмин Р. В. О предельных циклах систем с заданным частным иитегралом //Дифференц. Уравнения, 1994. Т. ЗО, Xs 7. С.1125−1132.

27. Долов М. В. Об алгебраических предельных циклах полиномиальных векторных полей на плоскости //Дифференц. Уравнения, 2001. Т.37, № 9. С.1155−1160.

28. Долов М. В. О числе алгебраических инвариантных кривых полиномиальных векторных полей //Дифференц. Уравнения, 2004. Т.40, № 6. С.838−839.

29. Долов М. В., Чистякова С. А. О предельных циклах полиномиальных систем дифференциальных уравнений с интегрирующим множителем Дарбу. // Вестник ННГУ, сер. Математика, 2004. В.1(2). С.53−60.

30. Долов М. В. О периодическом кольце и особой точке центр. // Вестник ННГУ, сер. Математика, 2006. В.1(4). С.15−17.

31. Долов М. В., Павлюк Ю. В. О предельных циклах эллиптического типа двумерных автономных систем //" Современные исследования в математике и механике", Труды 23 конф. молодых ученых мех.-мат. ф-та МГУ, Москва 9−14 апреля, 2001. С.277−281.

32. Долов М. В., Павлюк Ю.В.О предельных циклах динамических систем с нелинейностями четвертого порядка //Тезисы докладов Международной математической конференции «Еругинские чтения VII», Гродно, 2001.

33. Долов М. В., Павлюк Ю. В. О предельных циклах эллиптического типа двумерных автономных систем //Дифференц. Уравнения, 2002. Т.38, № 10. С. 1303−1309.

34. Долов М. В., Павлюк Ю. В. О предельных циклах динамических систем с нелинейностями четвертого порядка //Труды СВМО, 2002. Т.3−4, № 1. С.61−67.

35. Долов М. В., Павлюк Ю. В. К вопросу о числе предельных циклов полиномиальных двумерных динамических систем //Тезисы докладов Международной математической конференции «Еругинские чтения VIII», Брест, 2002.

36. Долов М. В., Павлюк Ю. В. Инвариантные алгебраические кривые полиномиальных динамических систем //Дифференц. Уравнения, 2003. Т.39, № 8. С.238−243.

37. Долов М. В., Павлюк Ю. В. Инвариантные алгебраические кривые и интегрируемость по Дарбу полиномиальных векторных полей //Труды СВМО, 2003. Т.5, ДО 1. С.68−70.

38. Долов М. В., Павлюк Ю. В. К вопросу об алгебраической интегрируемости полииомиальных векторных полей //Труды СВМО, 2004. Т.6, № 1. С.40−50.

39. Долов М. В., Павлюк Ю. В. Линейные частные интегралы и интегрируемость по Дарбу //Тезисы докладов IX Белорусской Международной математической конференции, Гродно, 2004.

40. Долов М. В., Павлюк Ю. В. Интегрируемость по Дарбу систем с линейными частными интегралами //Тезисы докладов Международной конференции по дифференциальным уравнеиям и динамическим системам, Владимир, 2006. С.92−93.

41. Долов М. В., Павлюк Ю. В. Линейные частные интегралы и интегрируемость по Дарбу //Труды СВМО, 2006. Т.8, № 1. С.69−81.

42. Дружкова Т. А. Об алгебраических интегралах дифференциального уравнения //Дифференц. Уравнения, 1968. Т.4, X® 8. С.1421−1427.

43. Дружкова Т. А. Об одном дифференциальном уравнении с алгебраическими интегралами //Дифференц. Уравнения, 1975. Т.11,2. С.262−267.

44. Дружкова Т. А. О порядке алгебраической интегральной кривой дифференциальног уравнения //Дифференц. Уравнения. 1975. Т.11, № 7. С. 1338.

45. Дружкова Т. А. Дифференциальные уравнения с алгебраическими интегралами. Автореф.дисс.к.ф.-м.н. Горький, 1975. 9 с.

46. Дружкова Т. А. О квадратичном дифференциальном уравнении с алгебраическим интегралом //Дифференц. и Интегр. Уравнения. Горький, ГГУ, 1977. В.1. С.3−6.

47. Дружкова Т. А. О числе алгебраических частных интегралов дифференциального уравнения //Дифференц. и Интегр. Уравнения, Горький, ГГУ, 1981. В.5. С.34−37.

48. Дюлак Г. О предельных циклах. М.: Наука, 1980. 156 с.

49. Евдокименко P.M. Об интегральных кривых одной динамической системы //Дифференц. Уравнения, 1971. Т.7, № 8. С. 1522−1524.

50. Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1979. 744 с.

51. Еругин Н. П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую //ПММ. 1952. Т.16, вып. 6. С.659−670.

52. Ильяшенко Ю. С. Особые точки и предельные циклы дифференциальных уравнений на вещественной и комплексной плоскости //Препринт АН СССР, Пущиио, 1982. Т. 38.

53. Ильяшенко Ю. С. Мемуар Дюлака «О предельных циклах» и смежные вопросы локальной теории дифференциальных уравнений //Успехи мат. наук, 1985. Т.40, № 6. С.41−78.

54. Ильяшенко Ю. С. Теоремы конечности для предельных циклов //Успехи мат. наук, 1990. Т.45, № 2. С.143−200.

55. Косарев В. В. О циклах одной системы, имеющей алгебраический частный интеграл. В кн. качественная теория дифференциальных уравнений. ГГУ, 1975. В.2. С.79−83.

56. Косс М. Ш., Кадыров А. К. О верхней оценке числа интегральных прямых одного дифференциального уравнения //Сб.паучных трудов Ташкентского политехнического института, 1979, № 258, С.59−64.

57. Куклес И. С., Розет И. Г. Об одном случае рождения предельного цикла на плоскости //Дифференц. Уравнения, 1971. Т.6, 5. С.771−778.

58. Лухманова Т. В. Динамические предельные множества кубических систем, порожденных интегралом типа Дарбу. Диссертация к.ф.-м.н. Нижний Новгород, 1999.

59. Любимова Р. А. Об одном дифференциальном уравнении с интегральными прямыми //Дифференц. и Интегр. У равнения, Горький, ГГУ 1977. С.19−22.

60. Любимова Р. А. Об одном дифференциальном уравнении с интегральными прямыми //Дифференц. и Интегр. Уравнения, Горький, ГГУ 1984. С.66−69.

61. Макеев Н. Г., Якунина О. А. К вопросу интегрируемости по Дарбу кубической автономной системы //Вестник ННГУ, сер. Математика, 2005, В.1(3). С.102−107.

62. Мироненко В. И. Линейная зависимость функций вдоль решений системы дифференциальных уравнений и системы с алгебраическими траекториями //Дифференц. Уравнения, 1972. Т.8, J№ 12. С.2197−2204.

63. Морозов А. Д. Глобальный анализ в теории нелинейных колебаний. Издательство ННГУ, Н. Новгород, 1995. 292 с.

64. Николайчик В. П. Построение и качественное исследование в целом одной динамической системы с двумя алгебраическими интегралами. В кн.-.Исследования по математ. и физике, Гродно. 1978. С.40−47.

65. Отроков Н. Ф. О числе предельных циклов в окресности особой точки //Мат.Сб. 1954. Т.34, № 1. С.127−144.

66. Петровский И. Г., Ландис Е. М. Число предельных циклов уравнения dy/dx — Р (х, у,)/Q{x, у), где Р и Q полиномы второй степени //Мат.Сб.1955. Т.37, № 79. С.209−250.

67. Попа М. Н., Сибирский К. С. Условия существования однородного линейного частного интеграла дифференциальной системы //Дифференц. Уравнения, 1987. Т.23, № 8. С.1324−1331.

68. Попа М. Н., Сибирский К. С. Линейные интегралы квадратичной дифференциальной системы //Изв.Акад.Наук Молдав.ССР. Математика, 1991. Т.1. С.77−80.

69. Проблемы Гильберта. М.: Наука, 1969.

70. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.:ГИТТЛ, 1947. 392 с.

71. Садовский А. П. Условия центра и предельные циклы кубических систем дифференциальных уравнений //Дифференц. Уравнения, 2000. Т.36, № 1. С.113−119.

72. Сибирский К. С. Проблема алгебраического интеграла в случае центра //Дифференц. Уравнения, 1972. Т.8. № 12. С.2211−2214. С.1324−1331.

73. Сибирский К. С. Алгебраические инварианты дифференциальных уравнений и матриц. Кишинев, Штиинца, 1976. 268 с.

74. Сибирский К. С. Условия существования линейного интеграла квадратичной системы в случае центра или фокуса //Кишинев, Мат. исслед., 1989. Т.106. С.114−118.

75. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. Пер с нем.-5-е изд. М.:Наука. Гл.ред. физ.-мат. лит., 1990. 256 с.

76. Филипцов В. Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений //Дифференц. Уравнения, 1973. Т.9, № 3. С.469−476.

77. Хуан Чи-Юй, Фан Чу-Бао, Цянь Синь-Чень Дифференциальa-ijxYные уравнения вида = b.xiyj. // Acta Mathem. Sinica, 1960. Vol. 10, № 2. P.223−238.

78. Худай-Веренов М. Г. Об алгебраических решениях и предельных циклах одного дифференциального уравнения. ИзвАН ТССР, сер. физ.-техн., хим. и геол. наук, 1963. № 1. С.108−110.

79. Худай-Веренов М.Г. О функциях, определяемых дифференциальными уравнениями. Ашхабад, Ылым, 1990.

80. Цинь Юань-Сюнь Об алгебраических предельных циклах второгоУпорядка для дифференциального уравнения ^ = • //Acta0<2 УMathem. Sinica, 1958. vol.8, № 1. P.23−35..

81. Черкас JI.А. Об алгебраических решениях уравнения у' = PjQ, где Р и Q многочлены второй степени. Докл. АН БССР. 1963. Т. 7, Л* И. С.732−735..

82. Черкас Л. А. Методы оценки числа предельных циклов автономных систем //Дифференц. Уравнения, 1977. Т.13 № 5. С.779−801..

83. Шубэ А. С. Линейные частные интегралы и проблема цен-тра.//Изв.АН Респ. Молдова, Матем, 1993. Т.2, № 1. С.91−95..

84. Яблонский А.И.О предельных циклах одного дифференциального уравнения //Дифференц. Уравнения, 1966. Т.2, № 3. С.335−344..

85. Яблонский А. И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений //Дифференц. Уравнения, 1970. Т.6, № 10. С.1752−1760..

86. Bamon R. The solution of Dulac’s problem for quadratic vector fields //Ann.Acad/Bris.Cienc, 1992. Vol.57. P. lll-142..

87. Cairo L., Feix M.R. Llibre J. Integrability and algebraic solutions for planar polynomial differential systems with emphasis on the quadratic systems //Resenhas de Universidade de Sao Paulo, 2000. Vol.4. P. 127 161..

88. Chavarriga J., Llibre J., Sotomayor J. Algebraic solutions for polynomial vector fields with emphasis in the quadratic case //Exposit. Maht., 1997. Vol.15. P.161−173..

89. Chavarriga J., Gine J. Integrability of cubic systems with degenerate infinity //Differential Eqations Dynam. Systems, 1998. Vol.6. P.425−438..

90. Chavarriga J., Giacomini H., Llibre J. Uniqueness of algebraic limit cycles for quadratic systems //J. Maht. Anal. Appl., 2001. Vol.261. P.85−99..

91. Chen L, Wang M. On relative locations and the number of limit cycles for quadratic systems //Acta Math. Sinica, 1979. Vol.22. P.751−758..

92. Cherkas L.A., Romanovskii V.G., Zoladek H. The centre conditions for a certain cubic system //Differential Eqations Dynam. Systems, 1997. Vol.5. P.299−302..

93. Christopfer С. Invariant algebraic curves and conditions for a center //Proc. R. Soc. Edinburgh, 1994. V61. A124. P.1209−1229..

94. Christopfer C., Llibre J. Integrability via invariant algebraic curves for planar polynomial differential systems //Ann. Diff. Eqs., 2000. Vol.16. P.5−19..

95. Christopfer C., Llibre J., Pantazzi C., Zhang X. Darboux integrability and invariant algebraic curves for planar polynomial systems //J. of Physics A: Math. and General, 2002. Vol.35. P.751−758..

96. Darboux G. Memoire sur les equations differentielles algebriques du premier ordre et du premier degre //Bull.des.Sc.math., 1878. Vol.2(2). P.60−96,123−144,151−200..

97. Ecalle J. Introduction aux Functions Analysables et Preuve Constructive de la Conjecture de Dulac //Hermann Publ, Paris, 1992..

98. Harnack A. Uber die Vieltheilgkeit der ebenen algebraischen Kurven //Math.Ann., 1876. Vol.10. P.189−198..

99. Llibre J., Pantazi Ch. Counterexample to a conjecture on the algebraic cycles of polynomial vector fields //Geometriae Dedicata, 2005. Vol.110. P.213−219..

100. Sadovskaia N., Ramirez R. On 16-th Gilbert problem.// Тез. докл. межд. конф. по дифф. ур-ям и дин. системам, Суздаль, август 21−26. 2000, Владимир, 2000. С.69−72..

101. Shi S A concrete example of a quadratic system of the existence of four limit cycles for plane quadratic systems //Sci. Sinica, 1980. Vol. A23. P.153−158..

102. Schlomiuk D Elementary first integrals and nvariant algebraic curves of differential equations //Exposit. Maht., 1993. Vol.ll. P.433−454..

103. Sverdlov Inverse problems for dynamical systems //Journal of Diff.Eq., 1981. Vol.42. P.72−105..

104. Winkel R. A transfer principle in the real plane from nonsingular algebraic curves to polynomial vector fields //Geometriae Dedicata, 2000. Vol.79(l). P.101−108..

105. Zoladek H. Eleven small limit cycles in a cubic vector field //Nonlin-earity, 1995. Vol.8. P.843−860..