Некоторые обратные задачи для нестандартных уравнений

Обратными задачами по отношению к дифференциальным операторам называются задачи, в которых по каким-либо набору данных нужно восстановить свойства исходного оператора или весь оператор. Таким! данными могут быть спектры, спектральная функция, данные рассеяния, некоторые информации о решениях уравнения связанного с дифференциальным оператором и др. Обратная задача называется IIмерной, если хотя бы одна из восстанавливаемых функций зависит от VI переменных.

В настоящее время теория обратных задач является одним из интенсивно развивающихся разделов математики. Большим стимулом исследования обратных задач является их чрезвычайно высокая прикладная важность. Такие задачи связаны с самыми разнообразными прикладными проблемами: интерпретацией показаний многих физических приборов, геофизических, геологических, астрономических наблюдений, оптимизацией управления и планирования, синтезом автоматических систем и многими проблемами квантовой механики и математической физики.

Значение обратных задач значительно возросло в последнее время после открытия возможности их использования для решения некоторых важных нелинейных эволюционных уравнений (ем. 4]"[-105])• Эти приложения сделали исследование различных вариантов обратных задач актуальным направлением функционального анализа, математической физики и дифференциальных уравнений.

Широкую известность получила одномерная обратная задача Штурма-Лиувилля, связанная с обыкновенным дифференциальным оператором I =а 4- • Впервые обратная задача спектрального анализа для этого оператора была поставлена и решена в одном частном случае в работе С4. В простейшей постановке задача заключается в том чтобы восстановить оператор, зная его спектр. Однако как показано в работ (см. также Еюо]), в обшем случае знание одного спектра недостаточно для определения оператора. В этой же работе Борг показывает, что два спектра оператора Штурма-Лиувилля (при различных граничных условиях) однозначно его определяют.

Впервые В. А. Марченко применял к исследованию обратных задач так называемые операторы преобразования. В работе¹/] (см. также С£>53) В. А. Марченко доказал, что спектральная функция однозначно определяет оператор Штурма-Лиувилля.

В дальнейшем, в ряде работ М.Г.КрейнС^З разработал эффективный метод восстановления классического оператора Штурма-Лиувилля по двум его спектрам. Процедура явного построения потенциала (^(Оё) по спектральной функции была получена Й. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном в работе [ .

Однако полного решения обратной задачи по двум спектрам в вышеуказанных работах не было дано. Полное решение этой задачи дано в работе М. Г. Гасымова и Б. М. Левитана (см. также СбоЗ, Отметим, что в настоящее время также полностью исследованы обратные задачи спектрального анализа для случая регулярной задачи Штурма-Лиувилля с неразделенными самосопряженными граничными условиями (см. Гьч!, , С£6}).

Одним из направлений в теории обратных задач является обратная задача теории рассеяния, которая связана с задачами квантовой механики. В квантовой механике рассеяние частиц потенциальным полем возникает вопрос о том, можно ли по асимптотике волновых функций на бесконечности восстановить потенциал поля и, еели это возможно, ю дать метод восстановления.

Основополагающий результат по обратным задачам квантовой теории рассеяния для оператора Штурма-Лиувилля на полуоси содержится в работе В.А.МарченкоС (см. также [). В этой работе показано, что потенциал определяется однозначно, если заданы данные рассеяния (т.е. функция рассеяния, собственные значения и нормировочные числа), дана процедура восстановления потенциала непосредственно по данным рассеяния, найдены характеристические свойства данных рассеяния.

Исследование разрешимости обратной задачи квантовой теории рассеяния в случае системы уравнений типа Мгурма-Лиувилля впервые было предпринято Постом и Ньютоном в работеЭти авторы свели обратную задачу теории рассеяния к обратной задаче по спектральной матрице-функции. Важные результаты в задаче теории рассеяния были получены также (на ранней стадии исследований) М. Г. Крейном Подробный обзор по обратной задаче квантовой теории рассеяния (по состоянию на 1959 г.) дан в статье Л.Д.Фадде-еваИ^'З. Б работах? ^ ^,? дается решение обратной задачи теории рассеяния для оператора Штурма-Лиувилля на всей оси и некоторые обобщения на многомерный случай, (смг также С «52-» 3, и.

Обратные задачи теории рассеяния для системы уравнений Штурма-Лиувилля исследованы вСОЗ-И&З, Для канонической системы Диракав С 22.1 ~ V. 231″ Г 3 и Г 6П, для разностного уравнения второго порядка ~ в [20 для квадратичного пучка операторов Штурма-Лиувилля —, а для полиномиального пучка операторов Штурма-Лиувилля — в I 1 .

Исследования разрешимости обратных задач в различных постановках для уравнений с разрывными коэффициентами проведены в работах А. Н. Тихонова, М. Г. Крейна, М. Г. Гасьшова, Ф. Аткинсона, Р.Т.Па-шаева и др. Отметим, что такие задачи возникают в теории геофизических методов электроразведки, основанных на использовании электромагнитных полей I Ц"). В работе [ОЦТ (см. такжеСЧ 1) доказана теорема единственности восстановления дифференциального уравнения с кусочно аналитическим коэффициентом. Далее, обратная задача теории рассеяния для уравнения Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами рассмотрена в Г ¿-Ц ]. Здесь исследован вопрос о единственности решения обратной задачи по данным рассеяния и по спектральной функции. Наконец, вГЧЧЗ решены обратные задачи теории рассеяния для дифференциального уравнения второго порядка и для системы уравнений Штурма-Лиувилля в случае, когда коэффициенты уравнений имеют разрыв в одной точке.

Отметим, что в работе С ЬЬ 1 исследована сходимость разложения по собственным функциям для уравнения Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами.

Изложим теперь вкратце обзор по обратным задачам для дифференциальных уравнений с частными производными. По-видимому, первой рассмотренной обратной задачей в этой области была обратная кинематическая задача сейсмики. Она возникла в связи с попыткой изучения внутренней структуры Земли по наблюдениям на поверхности Земли за распространением фронтов сейсмических волн, порождаемых землетрясениями. В книге Низложен обзор результатов, относящихся к одномерной и многомерной обратной кинематической задаче сейсмики в линеаризованной и нелинейной постановках.

После этого начала изучаться другая обратная задача-обратная задача теории потенциала. Эта задача заключается в определении финитной правой части линейного уравнения второго порядка эллиптического типа. Изучением этой задачи занимались П. С. Новиков,.

А.Н.Тихонов, М. М. Лаврентьев, В. К. Иванов и др.

Впервые многомерные обратные задачи (в спектральной постановке), отличные от обратной задачи теории потенциала, были рассмотрены Ю. М. Березаяским (смЛ 42.]). Теория многомерных обратных задач, связанных с отысканием коэффициентов развита в работах М. М. Лаврентьева [ 5Ъ 3, С5Ч 1 (см. также С 52. Л), В. Г. Романова I, I", А. Д. Искендерова? Ь'9 1 Д Цо 3, Л. П. Нижника С 1 и др.

Промежуточное положение между обратными задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений и многомерными обратными задачами занимают одномерные обратные задачи для уравнений в многомерном пространстве. Зачастую такие задачи приводятся к обратной задаче Штурма-Лиувилля (см., например, Ыь 3, С о }).

Известно, что многие обратные задачи для дифференциальных уравнений приводят к классически некорректным задачам. Понятие корректности (правильности) постановки задачи математической физики было введено в начале нашего века французким математиком 1. АдамаромС & Задача математической физики или краевая задача для уравнения с частными производными называется поставленной корректно, если выполняются следующие условия: а) решение задачи существуетб) решение задачи единственнов) решение задачи непрерывно зависит от данных задачи.

Сформулировав понятие корректности, Адамар привел пример некорректной задачи для дифференциального уравнения, которая, по его мнению, не соответствовала никакой реальной физической постановке. Этот пример — задача Коши для уравнения Лапласа. Оказалось, что мнение Адамара относительно этой задачи и ряда других задач этого же типа было ошибочным. Некорретные задачи встречались при математическом описании физических явлений уже давно.

Однако систематическое изучение вопросов теории некорректных задач началось сравнительно недавно.

А.Н.Тихонов показал, что для достаточно широкого класса обратных задач, имеюших физическую природу, целесообразно дать определение корректности, отличное от классического. В новом подходе к понятию корректности одним из центральных требований, предъявляемых к решению задачи, является его единственность в классе функций, принадлежащих некоторому заданному множеству функционального пространства. Сушествование решения, принадлежащего этому множеству, предполагается априори известным для некоторого множества данных. Требование непрерывной зависимости решения от данных задачи сохраняется, но понимается в этом случае в несколько ином смысле. А именно, требуется непрерывная зависимость решения задачи только от тех данных, которые не выводят решение за пределы заданного множества.

Отметим, что наиболее полно современное состояние теории некорректных задач отражено в монографиях I, С S? 1 " ?95.

Различают два типа некорректных задач: слабо некорректные и сильно некорректные задачи. Слабо некорректные задачиэти задачи некорректные в одних пар пространств и корректные для других пар пространств. Например, задача дифференцирования некорректна для пар (с (0,f} *С (0,1)) и корректна для (С1(0,0,С (0.1)). Сильно некорректные задачи — эти задачи некорректные для всех пар пространств норм которых содержит только конечное число производных функций — элементов пространства. Например, задача Коши для уравнения Лапласа является сильно некорректной задачей.

Как известно [S2 3, исследование многих многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений с частными1 производными сводится к исследованию задач интегральной геометрии. Напомним, что задачи интегральной геометрии заключаются в отыскании функции или дифференциальных форм через известные от нее интегралы по семейству кривых или поверхностей (по поводу этих задач см. [ь] «.

41″ ГН)]?[Ь9 и др.). Впервые внимание на связь между задачами интегральной геометрии и обратными задачами было обращено М. М. Лаврентьевым и В. Г. Романовым вГ£0 В дальнейшем этому связи посвяшены несколько работ (см. 52]" С 1, ио ]). В этих работах информация о решении задачи задавались на полной границе области. С точки зрения приложения естественно исследовать обратные задачи с неполными данными, т. е. когда информация о решении известна на части границы области, где исследуется задача.

Целью настоящей диссертации является исследование следующих вопросов:

1) прямая и обратная спектральные задачи теории рассеяния для дробно-линейного пучка дифференциальных операторов Штурма-Лиувил-ля;

2) единственность восстановления системы уравнений Штурма-Ли-увилля с коэффициентами, имеющими разрывы в двух точках по данным рессеяния и по спектральной мере;

3) связь между обратными задачами для дифференциальных уравнений гиперболического типа и задачами интегральной геометрии;

4) некоторый класс обратных задач для дифференциальных уравнений с частными производными, анализ которых сводится к задаче интегральной геометрии для геодезических некоторого риманова пространства.

В работе используются методы функционального анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории функций вещественного и комплексного переменного.

Новыми в диссертации являются следующие результаты:

— получена формула разложения по собственным функциям дробно-линейного пучка операторов Етурма-Лиувилля;

— решена задача о восстановлении указанного пучка по данным рассеяния;

— исследованы обратные задачи по спектральной мере и по данным рассеяния для системы уравнений Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами. Дана процедура восстановления соответствующих краевых задач по спектральным данным;

— исследованы задача интегральной геометрии для геодезических и обратная кинематическая задача, в которых предполагается, что данные задачи известны на некоторой части границы области, для углов, меняющихся на некотором множестве единичной сферы, имеюшей сколь угодно малую плошадь;

— решена обратная задача для волнового уравнения в случае, когда оператор реакции, точнее ядро его, задан на части границы области и скорость распространения волн зависит от части переменных;

— используя связь между задачами интегральной геометрии для геодезических, обратной кинематической задачи и обратной задачи для волнового уравнения получены новые результаты для многомерной спектральной обратной задачи и обратных задач теории рассеяния.

Перейдем теперь к изложению основных результатов диссертации.

Работа состоит из трех глав, включаюших 8 параграфов.

Первая глава, состоящая из двух параграфов, посвяшена исследованию прямой и обратной задачи теории рассеяния для дробно-линейного пучка операторов Штурма-Лиувилля.

Вопросы, рассмотренные в § I первой главы, относятся к прямым задачам спектрального анализа.

Рассмотрим следующую граничную задачу: // У к2у, а<�х<�оо, > а, тьу (о)^о, ¦ где функция вещественна, о) и ?1 -вещественное число.

Известно Г 5 С 15 что при x >сс решение уравнения.

I), удовлетворяюшее условию Рт /, можно он ~"4-оо представить в виде.

Л/ ^ 1,<0С ^ I е + (3) Л где ядро удовлетворяет неравенству.

Кроме того, ос.

00 г ОС.

Обозначим через (р (з?, к) решение уравнения (I) при начальных данных (р (0,К)=*/у (р'(0,К)==1,.

Имеет место следующая емма1Л1Л При всех вещественных К фо справедливо тождество к^-зт*,*), 0 где ЩогЮ-Ао,-«) ^ г^г'.

Функция $(Ю называется функцией рассеяния.

Левая часть тождества (4) является мероморфной в верхней полуплоскости От К>0 функцией с полюсами, лежаших в нулях функции Р (к) =-ЬДО, к) + /(0,К).

1§ мма1Л.2>. Функция Р (К) может иметь в полуплоскости (7/7? К>0 бесконечное число нулей с единственной предельной точкой к = С?. Все эти нули простые и лежат на мнимой оои.

Далее, найдено явное выражение для резольвенты и выведена формула разложения.

Пусть Iк^ (^ = /, 2,.) — нули функции Р (ю, Пунормировочные числа, -дважды дифференцируемая финитная в бесконечности функция, удовлетворяющая условию (2) и.

2Ж.

Имеет место следующая формула разложения по собственным функциям: оо = 2 и (осл^) ] +.

ОО 00.

— оо О.

Из формулы для обычных и обобщенных собственных функций граничной задачи (1),(2) следует, что при —>+оо их асимптотики определяются величинами SCOKj .tnj}, (5) которые назовем данными рассеяния.

В последних двух пунктах первого параграфа изучаются свойства данных рассеяния в частном случае C^(sc) s О «а гакже некоторые свойства функции рассеяния, поведение решения Ц>(х, Ю, функции в верхней полуплоскости при IК} —>со в обшем случае, которые используются при доказательстве основных результатов первой главы.

В § 2 главы I решается обратная задача рассеяния для граничной задачи вида (1),(2). Эта задача состоит в восстановлении коэффициента и числа h по данным рассеяния (5).

Сначала устанавливается, что коэффициент при X^CU однозначно определяется по данным рассеяния. С этой целью выведено основное уравнение типа Марченко для функций H (ocfi) f входящая в выражение (3) специального решения, т. е. доказана следующая.

1§ ор§ ма1д2Л. При каждом ^(Хядро К (х, у) оператора преобразования (3) удовлетворяет основному уравнению.

00 а<�х<�у), х где о.

F (x) = 2%е + FS (X),,. /. -г1ка, ¿-к*, i S["C") + e е ¿-к.

2Ж —оо.

Используя основное уравнение легко уточняется свойства функции :

При всех Х^а справедлива оценка.

Р (2х) <СбСх), функция дифференцируема при Х>(Х и ее производная удовлетворяет условию 00 а.

Доказывается следуюшая.

Теорема1л2,.2д Основное уравнение имеет единственное решение в пространстве ?1(й, 0о) .

Из этой теоремы непосредственно вытекает.

Коэффициент Ц (ос) уравнения (I) при ХУ/(Х однозначно восстанавливается по данным рассеяния.

Затем устанавливается, что по данным рассеяния функция при 04Х<>С1 и число ?1 определяются единственным образом. Для этого рассматривается новая регулярная задача на отрезке, порожденная уравнением л2.

— У 4-умУ о*зс<�а граничным условием (2) и дополнительно построенным условием в точке (X :

С помошью данных рассеяния (5) и по известной функции при, а однозначно восстанавливаются собственные значения и нормировочные числа этой новой задачи. Тогда функция при Х?[0,(Х} и число к восстанавливаются (по собственным значениям и нормировочным числам) уже известным методом.

Таким образом, доказывается следующее утверждение. 1§ орема1д2Л. Коэффициент Уравнения (I) при и число k из граничного условия (2) однозначно определяются по данным рассеяния задачи (1),(2).

Вторая глава диссертации посвяшена исследованию обратных задач (по данным рассеяния и по спектральной мере) для системы уравнений Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами. Она состоит из четырех параграфов.

Рассматривается дифференциальное уравнение.

— у" + &(ЭС)У = К2р{х)У, О4.0С<�Ьо, (б) где Q (oc) — самосопряженная матрица функция У1 -го порядка с вещественными элементами, непрерывная на 10', оо), евклидова норма ?(Q (x)ll которой удовлетворяет условию оо $oc\Q (x)\c{x.

In, оо, в которой 0Cf*0C2 -постоянные положительные диагональные матрицы порядка Цхус, не совпадающие с единичной матрицей J^, причем qcj ф ос2 (так что jo (x) имеет разрывы в точках сс =clj > % —g2), д/ - комплексный параметр, у (х) -искомое вектор-решение, — единичная матрица.

В § I второй главы исследованы специальные решения уравнения (б), введена матрица рассеяния и изучены некоторые свойства этой матрицы.

Обозначим через «фундаментальную систему решений уравнения (б), удовлетворяющие начальным условиям ф0(о, к) =о, ф0(о, к) = гй, е0т=1п, efati-o.

Известно, что существуют матрицы-функции Af (x, i), f (x,-t), имеюшие непрерывные частные производные первого порядка по каждому из аргументов, такие, что X в (х, к) в cos KQifx 4-? Kufidt, о я. / к 0 к X.

2 * X.

Bf (х, х) =±lQ (i)di, j-В,{oc, i) =.

Uo.

Аналогичное утверждение имеет место и для решений и уравнения (б), удовлетворяющие условиям к) = О, ф'(а, к) = 4- 6(а, к) = 1ц — О [а, к) =0: ф[х, к)=—-0С2 *-М, (8) в/ в (х, к) = cos KoCzix-a^+lb (x, i) cos кос2 {b-a^dt,.

Л й1 t X.

Bfrv-Umdi, LB (cc, i).

2 > fil af at i ~af.

Далее, если выполняется условие (7), то при ОтК>/0 уравнение (б) имеет решение F (x, K), предстнвимое в виде.

ЬКХ if.

Z X.

Доказывается, что при всех Х^О и От? = О имеет место равенство ф (^) = $ - F (x, — К) S ft?} F (Ork), где m = F (0,K)F" (0,K)..

Матрица называется матрицей рассеяния. Она обладает следующими свойствами:.

1. При действительных К.

2. (лемма 2.1.1). При больших вещественных К имеет место аоимпгогическая формула sc v-SiW-.Oi-L), где.

VV = г 0.

F0 (о> к) = е со% кос2 (af ~a2)cos Koctaf + s//z Kociaf$mK.

В § 2 главы П изучен спектр граничной задачи, порожденной уравнением (б) и граничным условием.

У (о) = о. (Ю).

Кроме того, дано разложение по собственным функциям..

Структура спектра задачи (б),(10) описывается следующей теоремой. Граничная задача (б),(10) может иметь лишь конечное число отрицательных собственных значений, а ее непрерывный спектр заполняет всю положительную полуось..

Следствие. Функция dei F (Q, K) в верхней полуплоскости на мнимой оси имеет конечное число нулей..

Имеет место.

1§ орема2Л2Д2. Все особые точки матрицы-функции F (0,Ю в полуплоскости Dm К >0 являются простыми полюсами..

Методом контурного интегрирования доказывается.

Тедрема2А2.3. Имеет место равенство Парсеваля р.

5] и*(хЛхл ¿-зе/) + ?=1 ё ^ со ^.

2л 0.

ГДе &-(х, к) = Г/*,*) — Р (хгК) ,.

I^ -неотрицательные нормировочные матрицы, ранги которых совпадают с кратностями нулей функции) *.

Совокупность величин, М^ называется данными рассеяния задачи (б),(10)..

В § 3 главы П выведены интегральные уравнения, позволяющие решать обратные задачи по матричной спектральной мере и по данным рассеяния.

Пус! Положим.

Пусть /(#) любая вектор-функция из (о, Оо-р (Х)). оо о.

Известно, что существует по крайней мере одна неубывающая матрица функция ^(Я) «определенная на (-оо, оо), такая, что верно равенство Парсеваля.

РО ОО.

2% -оо О.

Матричная функция называется спектральной мерой задачи.

-у" +&{ос.)у аГ$%<00,. у (йд = о..

1§§ Р§ М§"2.3Л. Ядро ^{Х,^) из формулы (8) удовлетворяет интегральному уравнению.

ОС где.

00 -00 у 4-) вв,(Л) ,%>о,.

В0(%) -спектральная мера задачи (II) при 31%) е 0, т. е. %.

-(а2-сь) +ос1 $ 1пгу/1ос2(а2-ад}с1л. о.

Ядро.

К (оаЛ) из формулы (9) удовлетворяет интегральному уравнению оо К (зс^) + У к (ое, ЮР (Ш 4 а2 < ос< со, ос где р оо.

F (x) = [SCK) -s#W]e''^¿-к..

J=1 d 2Ж-оо.

В последнем параграфе второй главы доказываются теоремы единственности восстановления коэффициентов и р (£) по данным рассеяния и по спектральной мере..

Теорема2ЛЛ. Пусть для двух граничных задач вида (б),(10) с коэффициентами Q (Oi) и р (Ос) ¦ Qffa) и J) f (x) соответственно выполняются условия (7),(?'). Если соответствующие им данные рассеяния совпадают, то Qfc) sQ^OC), jOfJt).

TeopeMa2.4.2. Пусть p (x) кусочно-постоянная матричная функция вида (7) и при любому [О^кфо') уравнение (б) имеет ровно yl линейно независимых решений?? i^'00' Е*1)* Тогда по спектральной мере коэффициенты х) и определяются однозначно..

В третьей главе диссертации рассматриваются многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Характерной особенностью обратных задач вообше, и задач рассматриваемых в этой главе в частности, является их некорректность в смысле Адамара. Тем не менее прикладная важность их настолько велика, что они становятся в ряд актуальнейших проблем современной математики..

Третья глава состоит из двух параграфов. В первом параграфе излагается связь между обратными задачами для дифференциальных уравнений гиперболического типа и задачами интегральной геометрии на примере уравнения и^ -?U = F (x, i), (12) в котором / -равномерно эллиптический оператор с коэффициентами, зависящими только от пространственной переменной X =( , Обратные задачи для уравнения (12) заключаются в определении всех или части коэффициентов оператора Ь, либо правой части уравнения (12)..

Во втором параграфе исследуются.

1. Задача интегральной геометрии для геодезических (задача I)..

2. Обратная кинематическая задача (задача 2)..

3. Обратная задача для волнового уравнения (задача 3)..

4. Многомерная спектральная обратная задача (задача 4)..

5. Обратная задача теории рассеяния (задача 5,6). Между этими задачами имеется глубокая связь. Пусть G={b<=Rnlb'e. R1 ,'tr е 'W СИ Ъгъ, Зг*), 1 /- Ьг I <8, .

S, J"•394> • f Sможет быть сколь угодно мало,.

1 * 2Гг 1 где /() -ограниченная область переменных («с'х (Слс 5 «С ., пъ>з (х', хг), х'>о, е i2. Г = шдХ, х1>л, =(xf, xf. Sf' % х', г"'- № х Ч) Л { * '=в > «Ь = { ье..

R" /Л, $ij Ъ^ = t, 3i0e R', i0be Q }, 3 метрика в риманова пространства. Здесь ив дальнейшем по повторяющимся снизу и сверху индексам подразумевается суммирование от 1 до И ..

Пусть ?) — геодезическая метрики ^ .выходящая из точки Х&Г0' в направлении, причем оба ее конца лежат на dS5 «остальные точки — внутри ь^^^кх Для любого (х, ь) € Г0'X известен интеграл по от финитной функции Де С (о6). Зная эти интегралы, нужно найти %.

Рассмотрим класс пропорциональных римановых метрик вида = С/Хс с/Х-, где задана..

Предположим, что рассматриваемый класс функций % состоит из функций % е С3 (2 $/), удовлетворяющих при фиксированном Я0 >0 условию ЦСх") >/%0> О, ^.

3§ аача2д Требуется определить %[х) >, если для любого (х,?,) е. Г0'* (7 1 известны длина с/(Р (х, Ъ-,^)) и Я при х О ..

Задача 2 нелинейна, так как искомая метрика ^ интегрируется по ее геодезическим и называется обратной кинематической задачей, а ее линеаризация есть задача интегральной геометрии..

Теперь рассмотрим обратную задачу, связанную с задачами 1,2, В области §-Г дана задача сх') ыили 4-ци = 0, 8ГX (0,т) ,.

13) и.

1<0 г*(о, т) да).

Здесь с (х'), 0<�Сг*С (х')*С* «ЬЕ: Г ..

Т >/Тс, С^СЮ * У (к) — внешняя нормаль к Г ,.

Т^^с/сО/71 2 Г «где диаметр вычисляется по метрике с элементом длины.

Пусть и^ (х,{-{0, Ь" 0) -решение задачи (13),(14), когда = -поверхностная функция с носителем в точке ¡-Г0£ Г0') 9 К (У)^?^(ЬуЪ^) -ее (обобщенный) след на и на известен оператор реакции Щ Ъо) — Г0',^Л9 (О, ?).

Определить пару функций (С (х'), в если известен оператор 12 ..

В области рассмотрим однородную задачу Неймана.

СД + %с" х') -ф) (р =О,.

Пусть ••• ее спектр, пронумерованный с учетом кратности, {%(х)] -соответствующие ортонорми-рованные собственные функции, а {их следы, известны при всех Ь в до&-° ..

Найти пару функций (С (х') в $ 5° по заданным {, 2 Г С дЯ.

Рассмотрим теперь обратные задачи, связанные с рассеянием плоских волн. Пусть в уравнении й Я 2.

2 -г—- (с (х')ихр —уи 4-к, а =0 (15) коэффициенты С (х')>0, $(х) > О непрерывны в Rlг ы вне $$ удовлетворяют условиям С — 1 > $ = # • Ищется решение этого уравнения, имеющее вид к (х, у) где (х, V) -скалярное произведение радиуса вектора точки х и фиксированного орта V, К > О и Ь^ удовлетворяет на бесконечности условиям излучения. Функция к) носит название рассеянной плоской волны частоты К, падавшей в направлении у. Пусть $ 2 У= + У22"/}..

Зааача&bdquo-5. Восстановить коэффициенты и из.

3.3.з") в 2 Г, если задана для Б* ,.

Клюбое положительное число..

Можно рассматривать и другую постановку обратной задачи, связанную с рассеянием плоских волн..

Амплитудой рассеяния в направлении орта ^¡-И для плоской волны, падавшей в направлении V с частотой К., называется функция «вводимая посредством соотношения к}х ьп (лV,/О ь (ру, к)^, xi где |сс| —> 00, причем вектор приближается по направлению к.

Задача^б. Восстановить коэффициенты С (х') и из.

15) в, если задана для У р € «- любое положительное число..

Предположим, что в области 2 Г метрика ^ имеет изотропный вид, т. е. с192=С~2(х')(с/х?+с/х1 Н——-Ь с/:) и Ох^УО. Из последнего условия следует, что среди геодезических метрики^, выходяших из д£8, отсутствуют геодезические, не входящие своими концами на поверхность ¿-?<§-Г ..

Теорема1д В некоторой области о$ ц задача I может иметь только одно решение % (х) в классе непрерывных в и финитных функций с носителем в.

ЗГ^Собласть, опирающаяся на плоскость Х^ =¦ О «причем объем области растет с увеличением объема Р°.

Теорема2. Пусть с/(?(х, гг, д1 $ для любого (Х, 2г) е Г° X. Тогда в области ¡-¡-у ^ =%? ..

1§ о?емаЗд Задачи 3−6 могут иметь только одно решение..

Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах кафедры прикладной математики БГУ (1981;1996 г. рук. академик М.Г.Гасымов), а также на научно-теоретической конференции «Прикладные задачи анализа» (Кировабад, 1984), на заседании школы по теории операторов в функциональных пространствах (Новосибирск, 1979 г.), на международной конференций «Некорректно поставленные задачи в естественных науках» (Москва, 19−25 августа 1991 г.), на заседании ХП школы по теории операторов в функциональных пространствах (Тамбов, 14−20 сентября 1987 г.), на международной конференции по обратным задачам (Новосибирск, 12−18 августа 1991), на международном конгрессе по математике (Новосибирск, 25 июня 1996 г.), на 25-й международной конференции по математике в ИйР (Тегеран, 28−31 марта 1994 г.), на 34-й международной конференции в Пакистане (Карачи, 24−29 апреля 1993 г.)..

Основные результаты диссертации опубликованы в работах, Iе)" !, [2С,] ДХО] -П5], И07] -НОС)]..

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи.-М.:Мир, 1980 т 480 с..

2. Адамар 1. Задачи Коши для линейных уравнений о частными производными гиперболического типа.-М.:Наука, 1978.-352 с..

3. Агранович З. С., Марченко В. А. Обратная задача теории рассеяния.-Харьков: Изд. Харьковского университета, 1960.-268 с..

4. Алимов Ш. О работах А. Н. Тихонова по обратным задачам для уравнения Штурма-Лиувилля.- УМН, Т.31, вып.6(192), 1976, стр.84−88..

5. Амиров А. Х. Интегральная геометрия и задача восстановления римановой геометрии.-Новосибирск, 1989 (Препринт АН СССР Сиб. отд-ние Ин-т Математики, № 25)..

6. Амиров АД. Разрешимость задачи интегральной геометрии для геодезических.-Сиб.мат.журнал, 1993, Т.34,№ 2, с.3−14..

7. Амиров А. Х. Интегральная геометрия и задача восстановления римановой метрики.- Докл. АН СССР, 1990, Т.312,№ 6,с.1289−1291..

8. Амиров А. Х., Пашаев Р. Т. Обратная задача для волнового уравнения.-Докл. АН СССР, 1991, Т.319, № 3, с.521−522..

9. Амиров А. Х., Пашаев Р. Т. Обратная задача для волнового уравнения.- Мат. международной конференц." Некорректно поставленные задачи в естественных науках" (Москва, 19−25 августа 1991 г.)..

10. Березанский Ю. М. К теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера.-Тр.Моск. о-ва 1958, Т.7, с.3−51..

11. Березанский Ю. М. Обзор по спектральной теории самосопряженных дифференциальных и разностных операторов в пространстве Z2Тр. семинара по функциональному анализу. Киев:Ин-т математики АН УССР, 1970, с.3−135..

12. Березанский Ю. М. Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов.- Киев: Наукова думка, 1965,798 с..

13. Бернштейн Й. Н., Гервер М. Л. Условия различности метрик по годографом.- Методы и алгоритмы интерпретации сейсмологических данных.!.: Наука, 1980, с.50−73 (Вычислит.сейсмология, вып. 13)..

14. Будак Б. М., Шскендеров А. Д. Об одном классе обратных краевых задач с неизвестными коэффициентами. ДАН СССР, 1967, Т.176,№ 1, с.20−23..

15. Велиев М. Б., Гасымов М. Г. Об операторе преобразования для системы уравнений Штурма-Лиувилля.-Иатем.заметки, 1972, Т. II, № 5,с. 559−567..

16. Велиев 1.Б., Гасымов М. Г. Обратная задача теории рассеяния для многоканальных систем с ненулевыми внутренными энергиями.-Докл.АН СССР, 1974, Т.204,№ 4,с.747−750..

17. Владимиров В, С. Уравнения математической физики.М.:Наука, 1967, с. 436..

18. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М., Наука, 1976, 280 с..

19. Гасымов М. Г., Левитан Б. М. Определение дифференциального оператора по двум спектрам.-УМН, 1964, Т.19,№ 2,0.3−63..

20. Гасымов М. Г., Левитан Б. М. Определение системы Дирака по фазе рассеяния.-Докл.АН СССР, 1966, Т.167,№ 6,с.1219−1222..

21. Гасымов И. Г. Обратная задача теории рассеяния для системы уравнений Дирака 2 -го порядка.-Труды ММО, 1968, вып.19, с. 41−112..

22. Гасымов М. Г. Прямые и обратные задачи спектрального анализа для одного класса уравнений с разрывными коэффициентами." Неклассические методы в геофизике". Материалы международной конференции 1977 г., май, г. Новосибирск..

23. Гасымов М. Г. Восстановление финитного потенциала по полюсам резольвенты.-Труды Советско-Чехословацкого совместного симпозиума по теорий функций и методам математической физики, г. Алма-Ата, 1978..

24. Гасымов М. Г., Пашаев Р. Т. Об одном дробно-линейном пучке дифференциальных операторов типа Штурма-Лиувилля.-Докл.АН СССР, 1987, Т.294, № 5,с.1041−1044..

25. Гельфанд И.1., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции.-Изв.АН СССР, сер. матем., 1951, Т.15,М?4, с.309−360..

26. Гервер М. Л., Маркушевич В. М. Исследование неоднозначности при определении по годографу скорости распространения сейсмической волны.-Докл.АН СССР, 1965, Т.163,№ 6,с.1377−1380..

27. Гусейнов Г. Ш. Определение бесконечной матрицы Якоби по данным рассеяния.-Докл.АН СССР, 1976, Т.227,Ш6,с.1289−1292..

28. Гусейнов Г. Ш. Обратная задача теории рассеяния для разностного уравнения второго порядка на всей оси.-Докл.АН СССР, 1976. Т.231, № 5, С.1045−1048..

29. Гусейнов Й. М. Обратная задача теории рассеяния для системы уравнений Диракаго порядка.-Докл.АН СССР, 1977, Т.232, № 5, с.993−996..

30. Гусейнов Й. М. О непрерывности коэффициента отражения одномерного уравнения Шредингера.-Дифф.уравнения, 1985, Т.21,1Ш, с. 1993;1995..

31. Гусейнов И. М. К теории обратных задач рассеяния для полиномиального пучка операторов Штурма-Лиувилля.-Сб.трудов I респ. конференции по мех. и матем."Баку, 1995, с.86−89..

32. Гусейнов И. М., Набиев И. М. Решение одного класса обратных краевых задач Штурма-Лиувилля.-Матем.сб., 1995, Т.186,№ 5,с.35−48..

33. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения.-!!.:Наука, 1978..

34. Ильин В. А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора.-Мат.заметки, 1977, Т.22,№ 5,с.679−698..

35. Искендеров А. Д. Об обратных краевых задачах с неизвестными коэффициентами для некоторых квазилинейных уравнений.-Докл. АН СССР, 1968, Т.178, № 5, с.999−1009..

36. Искендеров А. Д. Некоторые обратные задачи для определения фильтрационных и тепяофизичееких характеристик.-В кн.?Неклассические методы в геофизике. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977, с.54−63..

37. Иосида К. Функциональный анализ.-М.:Мир, 1967, 475 с..

38. Колоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования исолитоны. Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений.-М.:Мир, 1985, 469 с..

39. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.-М.:Наука, 1981, 542 с..

40. Крейн М. Г. Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля.-Докл. АН СССР, 1951, т.76, № I, с.21−24..

41. Крейн М. Г. Определение плотности неоднородной симметрической струны по спектру ее частот.-Докл.АН СССР, 1951, Т.76,№ 3, с.345−348..

42. Крейн М. Г. О переходной функции одномерной краевой задачи второго порядка.-Докл.АН СССР, 1953, Т.88, № 3,0.405−408..

43. Крейн М. Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи.-Докл.АН СССР, 1954, Т.95,№ 6,с.767−770..

44. Крейн М. Г. Об определении потенциала частицы по ее & -функции.-Докл.АН СССР, 1955, Т.105, № 3, с.433−436..

45. Курант Р. Уравнения с частными производными.-М., 1964, с. 830..

46. Лаврентьев М. М., Романов В. Г. О трех линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений. ДАН СССР, 1966, Т.171, № 6, с.1279−1281..

47. Кулиев М. А. Многомерная обратная задача для уравнения гиперболического типа в конечной области. В ей: Некоторые вопросн теории дифференциальных уравнений с частными производными. Изд-во АГУ, 1987..

48. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа.-М.:Наука, 1980..

49. Лаврентьев М. М. Об обратной задаче для волнового уравнения. ДАН СССР, 1964, Т.157,№ 3,с.520−521..

50. Лаврентьев М. М. Об одном классе обратных задач для дифференциальных уравнений. ДАН СССР, 1965, Т.160,1 I, с.32−35..

51. Лаврентьев М. М. О двух классах задач интегральной геометрии на плоскости.-Докл.АН СССР, 1988, Т.302,№?6,с. 1350−1352..

52. Левин Б. Я. Преобразование типа Фурье и Лапласа при помоши решений дифференциального уравнения второго порядка.-Докл.АН СССР, 1956, Т.106, № 2, с.187−190..

53. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций.-М.:Гостехиз-дат, 1956, 632 с..

54. Левитан Б. М. К решению обратной задачи квантовой теории рассеяния.-Матем.заметки, 1975, Т.17,№ 4, с..

55. Левитан Б. М. Достаточные условия разрешимости обратной задачи теории рассеяния на всей прямой.-Матем.сб. 1979, Т.108(150), № 3, с..

56. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля.-М.:Наука, 1984,.

57. Максудов Ф. Г., Велиев С. Г. Обратная задача рассеяния самосопряженного оператора Дирака на всей оси.-Докл.АН СССР, 1975, Т.225,®- 6, с.1263−1266..

58. Максудов Ф. Г., Гусейнов Г. Ш. К решению обратной задачи рассеяния для квадратичного пучка операторов Шредингера на всей оси.-Докл.АН СССР, 1986, Т.289, № 1, с.42−46..

59. Максудов Ф. Г., Гусейнов Г. Ш. Об обратной задаче рассеяния для квадратичного пучка операторов Штурма-Лиувилля на всей оси.-Спектральная теория операторов и ее приложения, Баку, 1989, в.9, с.176−211..

60. Марченко В. А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка.-Докл.АН СССР, 1950, Т.72,№ 3,с.457−460..

61. Марченко В. А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля. -Киев: Наукова думка, 1972, 219 с..

62. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения.-Киев: Наукова думка, 1977, 322 с..

63. Мухометов Р. Г. Об одной задаче восстановления римановой метрики.-Сиб.мат.журнал, 1981, Т.22, № 3, с .119−135..

64. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы.-М.:Наука, 1969, 526 с..

65. Намазов Г. К. Обратные задачи теории уравнений математической физики. Баку, 1984..

66. Нижник Л. П. Обратные задачи рассеяния для гиперболических уравнений.-Киев: Наукова думка, 1991, 232 с..

67. Новиков Р. Г. Многомерная обратная спектральная задача для уравнения -{- (&-(х) — =0 .-Функцион.анализ и его приложения, 1988, Т.22, вып.4, с.11−22..

68. Пашаев Р. Т. Теоремы единственности обратной задачи спектральной теории для одного класса систем дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами:-ДАН Азерб. ССР, Т.35,КО, 1979, с..

69. Пашаев Р. Т. Обратная задача для систем дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами.-Труды школы по теории операторов в функциональных пространствах. Новосибирск, 1979..

70. Пашаев Р. Т. К спектральной теории дифференциального оператора второго порядка с разрывными коэффициентами, 7Б596 Деп. Азерб. ун-т, Баку, 1980,15 с., библиогр.8 назв.(рукопись деп. вВИНИТИ 14 апреля 1980 г.,№ 48−80,Деп.).

71. Пашаев Р. Т. Кандидатская диссертация.-Баку, 1981, 92 с..

72. Пашаев Р. Т. Об одной обратной задаче.-Мат.научно-теоретической конференции «Прикладные задачи анализа» (г.Кировабад, 27−28 декабря 1984 г.).

73. Пашаев Р. Т., Гусейнов И. М. Об операторе преобразования для одного класса интегро-дифференциальных уравнений.-В сб." Прикладные задачи функционального анализа", Баку, 1986, с.82−86 ..

74. Пашаев Р. Т. О спектральном разложении одной разрывной задачи типа Штурма-Лиувилля.-В сб." Прикладные задачи функционального анализа", Баку, 1987, с.88−94..

75. Пашаев Р. Т. Прямые задачи для системы дифференциальных уравнений Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами.-В сб. «Спектральная теория дифференциальных операторов», Баку, АГУ, 1984, с..

76. Пашаев Р. Т. Об одном дробно-линейном пучке дифференциальных операторов типа Штурма-Лиувилля.-Тезисы докл. ХП школы по теории операторов в функциональных пространствах.(Томбов, 14−20 сентября 1987 г.)..

77. Пашаев Р. Т., Амиров А. Х. Интегральная геометрия и некоторые обратные задачи.-Сиб.мат.журнал, 1992, Т.33,№ 3,с.131−145..

78. Пашаев Р. Т. Обратная задача рассеяния для дробно-линейного пучка дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля.-Препринт № 4.96,Баку, 1996,25 с..

79. Пашаев Р. Т. Обратная задача теории рассеяния для системы уравнений Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами.-Препринт № 4.96,Баку, 1996,56 с..

80. Плаксина О. А. Обратные задачи спектрального анализа дляоператора Штурма-Лиувилля с неразделенными граничными условиями. Матем.сб., 1986, т.131, № I, с.3−26..

81. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ.-М.: Наука, 1966..

82. Романов В. Г. Дифференциальные свойства фундаментального решения уравнения второго порядка гиперболического типа.-В кн. Некорректные математические задачи и проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, I979, c. II0-I2I..

83. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа.-йзд-во «Наука», Сибирское отделение, Новосибирск, 1972,163 с..

84. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики.-М.?Наука, 1984..

85. Рофе-Бекетов Ф. С. Спектральная матрица и обратная задача Штурма-Лиувилля на оси (~00,00) Теория функций, функц. анализ ш их приложения. Харьков, 1967, в.4,с.189−197..

86. Смирнов В. И. Курс высшей математики.-М.: Гостехиздат, 1957, т.4,с.812..

87. Соболев СЛ. Некоторые применения функционального анализав математической физике. Новосибирск: СО АН СССР, 1962, с. 256..

88. Тихонов А. Н. О единственности решения задачи электроразведки.-Докл.АН СССР, 1949, Т.69,№ 6, с.797−800..

89. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. -М.:Наука, 1979..

90. Фаддеев Л. Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния.-УМН, 1959, Т.14,№ 4,с.57−119..

91. Фаддеев Л. Д. Свойстваматрицы одномерного уравнения Шредингера.-Труды Матем. йн-та им. Стеклова АН СССР, 1964, Т.73, с.314−336..

92. Фаддеев Л. Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния.-Современные проблемы математики. Итоги науки и техники.М.: 1974, Т.35с.98−180..

93. Фаддеев Л. Д. О связи потенциала и gматрицы для одномерного оператора Шредингера.-Докл.АН СССР, 1958, ТЛ21Д", с.63−66 *.

94. Чудов Л. А. Обратная задача Штурма-Лиувилля.-Матем.сб., 1949, Т.25, № 3,0.451−454..

95. Pashayev R. TInverse proefem for one dimensional! $chrod?n$er equation Wiih discontinuons coeff icients. Technical Conference (Karachi 24−29 Aprie /993) p4t.