Исследование проблемы автокорреляции (первого порядка) случайных отклонений с помощью теста Сведа-Эйзенхарта и статистики Дарбина-Уотсона

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет Кафедра аналитической экономики и эконометрики

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

на тему: Исследование проблемы автокорреляции (первого порядка) случайных отклонений с помощью теста Сведа-Эйзенхарта и статистики Дарбина-Уотсона Студентки 3 курса Т. С. Ефременко Научный руководитель Е. Г. Господарик Минск, 2013

• Введение
• 1. Построение и анализ модели
• 2. Методы выявления автокорреляции
• 2.1 Графический метод
• 2.2 Метод Дарбина-Уотсона
• 2.3 Метод Сведа-Эйзенхарта
• Заключение
• Список использованных источников
• Приложение 1
• Приложение 2

Автокорреляция — это корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени или в пространстве. Причиной возникновения автокорреляции отклонения модели, как правило служит то, что в модели не учтены такие свойства экономических показателей инерционность и «эффект паутины» В некоторых случаях причиной автокорреляции могут являться внутренние стохастические свойства, используемые для модели временных рядов.

Данная работа посвящена построению эконометрической модели и исследованию проблемы автокорреляции случайных отклонений с помощью теста Сведа-Эйзенхарта, статистики Дарбина-Уотсона и графического метода.

Для анализа будет использоваться модель зависимости ставки рефинансирования, рентабельности, валютного курса и платежй по экспорту товаров и услуг, доходам и трансфертам от консолидированного б, где (Консолидированный бюджет) — это свод бюджетов всех уровней, STR (Ставка рефинансирования) — размер процентов подлежащий уплате центральному банку страны за кредиты, предоставленные кредитным организациям., ROA (рентабельность) — относительный показатель экономической юджета Республики Беларусь.

В качестве данных используется динамика платежей, рентабельности, официального курса белорусского рубля по отношению к стоимости корзины валют, ставки рефинансирования и доходов в гос. Бюджет за период с июня 2010 по сентябрь 2013.

Соответствующие статистические данные представлены в приложении.

Для анализа модели будет использоваться эконометрический пакет Eviews. При помощи теста Сведа-Эйзенхарта, статистики Дарбина-Уотсона и графического метода будут проверены остатки построенной модели на наличие автокорреляции. Целью данной работы является выявление методов автокорреляции отклонения модели временного ряда.

1. Построение и анализ модели

С помощью программы EViews 5.1, построим модели вида:

эффективности, VK (валютный курс) — Официальный курс белорусского рубля по отношению к стоимости корзины валют, PL (Платежи по экспорту товаров и услуг, доходам и трансфертам) — это поступления денежных средств от экспорта товаров и услуг нефинансового характера, другие поступления нефинансовых организаций и домашних хозяйств Республики Беларусь от нерезидентов в виде доходов от оплаты труда, инвестиций за границей, текущих и капитальных трансфертов из-за рубежа. Исходные данные представлены в Приложении А.

автокорреляция модель отклонение статистика По этим данным строим регрессионную модель и анализируем её впоследствии:

KB = - 93 728.8823 + 23.92 811 788*PL + 4871.123 628*ROA — 3486.350 193*STR + 51.81 899 603*VK

Задача состоит в оценке параметров множественной линейной регрессии, а также проверке как индивидуальной статистической значимости коэффициентов, так и общего качества модели.

1. Статистическая значимость коэффициента детерминации.

Для характеристики общего качества модели регрессии вводится величина, называемая коэффициент детерминации, равный в нашем случае R² = 0.591 073. Эта величина показывает, какую долю общей вариации эндогенной переменной VK объясняет построенная модель. Другими словами, модель объясняет до 59% правильности модели, а 41% составляют ошибки.

Анализ происходит на основе F-статистики, для этого выдвигаются две гипотезы:

Н₀: R²= 0 [статистически незначим]

Н₁: R²? 0 [статистически значим]

Сначала определяем наблюдаемую точку:

F_н = R²/m = 13,6363

1 - R²/ n-m-1

Затем сравниваем её с критической: F_{0.05; 4; 40} = 2.6060. Мы видим, что F_н> F_кр. Эти результаты говорят о том, что мы принимаем гипотезу Н₁ о значимости коэффициента.

Однако R² увеличивается при введении в модель экзогенной переменной, даже если последняя не коррелирует с переменной KB. Следовательно, необходимо проверить на значимость коэффициенты при объясняющих переменных.

2. Гипотеза о статистической значимости коэффициентов.

Анализ происходит на основе Т-статистики, для этого выдвигаем две гипотезы:

Н₀: b_i = 0

Н₁: b_i? 0

Наши наблюдаемые параметры:

Наша критическая точка высчитывается по таблице распределения Стьюдента:

t _{0.025; 40}= 2.042.

Она больше, чем наблюдаемые t-статистики, следовательно мы принимаем гипотезу Н₁ о том, что коэффициенты являются статистически.

3. Проверка модели на мультиколлинеарность.

Чем ближе коэффициент к 1, тем теснее линейная связь. При величине коэффициента корреляции менее 0,3 связь оценивается как слабая, от 0,31 до 0,5 — умеренная, от 0,51 до 0,7 — значительная, от 0,71 до 0,9 — тесная, 0,91 и выше — очень тесная. Как мы видим, связь между переменными тесная.

Один из методов выявления — это метод инфляционных факторов VIF.

Проверим построенную модель на мультиколлинеарность:

Вспомогательная модель для переменной VK:

VIF (VK) =3,764 976

Вспомогательная модель для переменной STR

VIF (STR) =3,8 871 785

Вспомогательная модель для переменной ROA

VIF (ROA) =1,177 654

Вспомогательная модель для переменной PL

VIF (PL) =1,3 166 193

Значение 1

2. Методы выявления автокорреляции

2.1 Графический метод

По формальному признаку можно заподозрить автокорреляцию в модели, если t-статистика неправдоподобно высока. Анализ графической зависимости отклонений от наблюдаемой автокорреляции установлен при сравнительном графическом отклонении с известными функциями.

Построим корреляцию с помощью RESID модели VK и лагом этой же модели RESID (-2):

Рисунок 1. Корреляционное поле

В итоге мы видим распределение точек:

1 четверть — 12

2 четверть — 8

3 четверть — 10

4 четверть — 8.

По этим данным с полной уверенностью нельзя сказать есть ли корреляция, т.к. данные распределены достаточно равномерно, но всё же есть вероятность, из-за преобладания точек в 1 и 3 четвертях.

2.2 Метод Дарбина-Уотсона

Наиболее известным критерием обнаружения автокорреляции первого порядка является критерий Дарбина-Уотсона.

Статистика Дарбина-Уотсона является важнейшей характеристикой качества регрессионной модели.

Суть его состоит в вычислении статистики Дарбина-Уотсона и на основе ее величины — осуществлении выводов об автокорреляции:

Статистика Дарбина-Уотсона тесно связана с выборочным коэффициентом корреляции :

Таким образом, 0 DW 4 и его значения могут указать на наличие либо отсутствие автокорреляции.

Если выборочный коэффициент корреляции равен 0 (автокорреляция отсутствует), то DW = 2.

Если выборочный коэффициент корреляции равен 1 (положительная автокорреляция), то DW = 0.

Если выборочный коэффициент корреляции равен — 1 (отрицательная автокорреляция), то DW = 4.

Разработаны специальные таблицы критических точек статистики Дарбина-Уотсона, позволяющие при данном числе наблюдений n, количестве объясняющих переменных m и заданном уровне значимости определять границы приемлемости (критические точки) наблюдаемой статистики DW.

Для заданных n, m, в таблице указывается два числа: d — верхняя граница и d — нижняя граница.

Выводы осуществляются по следующей схеме.

Если DW < d, то это свидетельствует о положительной автокорреляции остатков.

Если DW > 4 — d, то это свидетельствует об отрицательной автокорреляции остатков,

При d< DW < 4 — d, гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков принимается.

Если d < DW < d или 4 — d < DW < 4 — d, то гипотеза об отсутствии автокорреляции не может быть ни принята, ни отклонена.

Не обращаясь к таблице критических точек Дарбина-Уотсона, можно пользоваться «грубым» правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1,5 < DW < 2,5. Для более надежного вывода следует обращаться к таблицам.

При наличии автокорреляции остатков полученное уравнение регрессии обычно считается неудовлетворительным.

Нужно отметить, что при использовании критерия Дарбина-Уотсона необходимо учитывать следующие ограничения:

1) Критерий DW применяется лишь для тех моделей, которые содержат свободный член.

2) Предполагается, что случайные отклонения определяются по следующей итерационной схеме:, называемой авторегрессионной схемой первого порядка АR (1). Здесь V — случайный член.

3) Статистические данные должны иметь одинаковую периодичность, т. е. не должно быть пропусков в наблюдениях.

4) Критерий Дарбина-Уотсона не применим для регрессионных моделей, содержащих в составе объясняющих переменных зависимую переменную с временным лагом в один период, т. е. для так называемых авторегрессионных моделей вида:

Для авторегрессионных моделей разработаны специальные тесты обнаружения автокорреляции, в частности h-статистика Дарбина, которая определяется по формуле:

где — оценка автокорреляции первого порядка,

D (g) — выборочная дисперсия коэффициента при лаговой переменной у,

n — число наблюдений.

При большом объеме выборки n и справедливости нулевой гипотезы Н: =0 статистика h имеет стандартизированное нормальное распределение (h ~ N (0, 1)). Поэтому по заданному уровню значимости определяется критическая точка из условия и сравнивается h с. Если, то нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции должна быть отклонена. В противном случае она не отклоняется,

Обычно значение рассчитывается по формуле, а D (g) равна квадрату стандартной ошибки оценки g коэффициента. Поэтому h легко вычисляется на основе данных оцененной регрессии.

Основная проблема с использованием этого теста заключается в невозможности вычисления h при nD (g) > 1.

Согласно данным, полученным в Eviews, наблюдаемая точка DW = 1.375 019

Затем, опираясь на данные, что количество объясняющих переменных в уравнении регрессии m=4, a объем выборки n=40, находим критические точки по таблице распределения Дарбина-Уотсона:

d= 1.285, d=1.721

Согласно полученным данным, нарисуем следующую схему:

Следовательно, гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка не может быть ни принята, ни отклонена.

2.3 Метод Сведа-Эйзенхарта

В методе необходимо подсчитать количество положительных и отрицательных отклонений, а также выделить в ряду отклонений подрядов последовательных отношений имеющих один знак. Количество таких подрядов обозначить «к» .

При использовании метода рядов последовательно определяются знаки отклонений е. Ряд определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называется длиной ряда.

Визуальное распределение знаков свидетельствует о неслучайном характере связей между отклонениями. Если рядов слишком мало по сравнению с количеством наблюдений n, то вполне вероятна положительная автокорреляция. Если же рядов слишком много, то вероятна отрицательная автокорреляция.

Для более детального анализа предлагается следующая процедура. Пусть:

· n — объем выборки;

· n — общее количество знаков «+» при n наблюдениях (количество положительных отклонений е);

· n — общее количество знаков «- «при n наблюдениях (количество отрицательных отклонений е);

· к — количество рядов.

При достаточно большом количестве наблюдений (n|> 10, n> 10) и отсутствии автокорреляции мы имеем асимптотически нормальное распределение с

Тогда, если:

то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется.

При небольшом числе наблюдений (n|> 20, n> 20) Свед и Эйзенхарт разработали таблицы критических значений количества рядов при n наблюдениях.

Суть таблиц заключается в следующем.

На пересечении строки n и столбца n определяются нижнее к и верхнее к значения при уровне значимости 5%.

Если к < к < к, то говорят об отсутствии автокорреляции.

Если к к, то говорят о положительной автокорреляции остатков.

Если к к, то говорят об отрицательной автокорреляции остатков,

Этот метод основан на определении знаков отклонений RESID (см. Приложение Б).

На примере нашей модели:

3″ +", 6″ -", 7″ +", 7″ -", 2″ +", 5″ -", 2″ +", 2″ -", 6″ +" при 40 наблюдениях.

Рядом называется непрерывная последовательность одинаковых знаков, то есть количество рядов в данной модели k=11.

По таблице критических значений количества рядов при n наблюдениях определяем нижнее k₁ = 2 и верхнее k₂ = 9. Наша переменная k = 9 находится в промежутке k₁ < k < k_2, что говорит об отсутствии автокорреляции или о её слабом проявлении.

Заключение

В данной работе был произведен анализ построения эконометрической модели и исследования проблемы автокорреляции случайных отклонений с помощью теста Сведа-Эйзенхарта, статистики Дарбина-Уотсона и графического метода. Все эти подходы дополняют друг друга. Первоначальный анализ коррелограммы остатков позволяет определить наиболее вероятный порядок серийной корреляции, если она существует. Для критического уровня значимости б = 5% коэффициенты при экзогенных переменных являются статистически значимыми. В целом модель оказалась качественной, адекватной, в ней отсутствует мультиколлинеарность, ошибки распределены по нормальному закону. Ее недостатком является завышенная F-статистика.

Список использованных источников

1. Вводный курс эконометрики: Учебное пособие / Бородич С. А. — Мн.: БГУ, 2000.

2. НАЦИОНАЛЬНЫЙ БАНК РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ [Электронный ресурс]. — 2013. — Режим доступа: http://www.nbrb. by/statistics/bulletin/ - Дата доступа: 15.12.2013.

Приложение 1

Приложение 2